Introduction à la Synthèse des Filtres Actifs

Transcription

1 Introduction à la Synthèse des Filtres Actifs Notes de cours Première édition Coyright Faculté Polytechnique de Mons Faculté Polytechnique de Mons Thierry Dutoit Faculté Polytechnique de Mons TCTS Lab Ave. Coernic Ph: Parc Initialis Fax: B-7 Mons Belgium htt://tcts.fms.ac.be/~dutoit

2

3 CHAPITE INTODUCTION. Définitions Un filtre électrique oère une modification d un signal électrique d entrée ou d excitation x (t), our roduire un signal de sortie ou réonse, y (t). A cette modification du signal temorel x (t) corresond une modification du sectre X ( j) our roduire Y ( j). Si le filtre est linéaire, le contenu sectral de Y ( j) ne eut être lus riche que celui de X ( j). Le filtre se contente alors d amlifier ou d atténuer certaines comosantes résentes dans X ( j). Un filtre non linéaire, au contraire, fait aaraître des comosantes inexistantes dans X ( j). La luart des filtres sont linéaires. Ce sont les seuls que nous étudierons ici. On distingue ar ailleurs les filtres analogiques des filtres numériques. Les remiers agissent directement sur le signal analogique d entrée. Ils sont constitués d un ensemble de comosants analogiques (résistances, condensateurs, inductances, éléments actifs). Les seconds requièrent une numérisation réalable du signal d entrée, dont ils modifient les valeurs ainsi numérisées à l aide d un ensemble d oérateurs numériques (multilieurs, additionneurs, éléments à délai). Nous n étudierons ici que la synthèse des filtres analogiques.. Alications Les filtres sont aujourd hui résents dans ratiquement n imorte quel équiement de télécommunication. L alication la lus imortante est sans aucun doute celle liée au multilexage fréquentiel de signaux, oération qui consiste à combiner en un seul signal une multitude de signaux indéendants, qui occuent dans le signal multilexé une lage sectrale déterminée. C est le rincie de la transmission hertzienne des signaux radio-tv : le cham électromagnétique qui nous entoure orte la somme de toutes les émissions radio-tv. C est aussi le rincie de la transmission analogique longue distance de signaux téléhoniques sur aires cuivrées : afin de minimiser le nombre de câbles à oser, on fait asser lusieurs communications sur le même câble. A la récetion, il est donc nécessaire de démultilexer le signal transmis, afin de reconstituer les signaux de déart. Ceci s effectue en deux étaes :

4 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS. Translation du sectre multilexé, afin de faire corresondre le signal à extraire à une fenêtre sectrale fixée une fois our toutes.. Filtrage du signal translaté en fréquence, ar un filtre (fixé une fois our toutes) ermettant d éliminer les comosantes sectrales en dehors de cette fenêtre. On trouve ar ailleurs des filtres électriques dans bon nombres d'aareils électroniques grand-ublic (aareils audio, vidéo, aareils électroménagers). Enfin, un filtre de garde (forcément analogique) est indisensable à l échantillonnage d un signal analogique que l on cherche à numériser..3 Historique Les technologies utilisées our réaliser les oérations de filtrage ont connu une évolution fulgurante au cours du XXème siècle. La figure. donne un aerçu des technologies utilisées aux Etats-Unis our les communications téléhoniques. Entre 9 et 96, la grande majorité des filtres utilisés our ces alications étaient basés sur des circuits LC (assifs). Les techniques d'aroximations analytiques (que nous aborderons au chaitre 3) datent de cette éoque, ainsi que les techniques de synthèse LC. On retiendra les noms de Cauer, Piloty, et Darlington, et chez nous Belevitch (belge, rofesseur a l'ucl, directeur de recherches chez Phillis esearch, Bruxelles), qui ont énormément contribué au déveloement de ces techniques. Il a fallu attendre le milieu des années 96 (c.-à-d. le déveloement en grande série d amlificateurs oérationnels) our voir arriver les filtres actifs discrets (CAO : C+Amli Oérationnel), caables d effectuer en une même oération filtrage et amlification. L intérêt économique de ce tye de filtre s est révélé dans les années 97, avec l arrivée des circuits intégrés (HIC ou lus tard DIP), qui intègrent amlificateur oérationnel, résistances, et caacités. C'est également à cette éoque que sont aarus les filtres d'onde, sous l'imulsion de Fettweis (belge, rofesseur à l'université de Bochum). Les années 98 on vu le déveloement des circuits à caacités commutées, et l'arrivée des rocesseurs de signaux numériques, qui ont ouvert la voie au filtrage numérique. Les rofesseurs Boite et Leich, qui ont enseigné ces matières à la FPMs, ont été armi les ionniers dans la concetion de ce tye de filtres. Plus récemment des filtres analogiques VLSI sont aarus, avec des techniques de synthèse qui leur sont rores. Il est ainsi ossible de nos jours de concentrer sur un esace très réduit des filtres d ordre très élevés. On en roduit des dizaines de millions de filtres chaque année à travers le monde.

5 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 5 Fig.. Progrès en technologie du filtrage dans le système américain Bell. Le nombre de sections du second ordre synthétisable est donnée entre arenthèse (d arès [8]). Les filtres actifs résentent un ensemble d avantages indéniables sur les filtres assifs (LC) : - Ils sont lus fiables (toute la chaîne de fabrication est automatisée); - En grandes quantités, leur coût est nettement moindre; - Les éléments arasites (résistances, caacités, ou inductances arasites) sont moindres, vu la etite taille des circuits; - On eut les intégrer si nécessaire sur la uce électronique ortant un rocesseur numérique. On leur trouve également certains défauts : - Les comosants actifs (amli oérationnel) ont une bande assante réduite, ce qui tend à en limiter l usage aux alications audio. Au contraire, les comosants assifs sont utilisés our les alications hautes fréquences (jusque 5 MHz) - Les circuits actifs sont très sensibles à la récision sur leur comosants, c.-àd. que leurs caractéristiques euvent varier beaucou si les comosants utilisés n ont as leurs valeur nominale (ce qui arrive toujours en ratique, si on considère que la récision garantie ar les fabricants sur les résistances et condensateurs est souvent de l ordre de %!). Nous verrons que ce critère intervient lors du choix des structures de filtres à utiliser.

6 6 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS - Les comosants actifs nécessitent une source d énergie. Il convient donc de chercher à en minimiser le nombre, our des sécifications données. - Les amlitudes des signaux traitables ar des filtres actifs sont de l ordre du Volt (au delà de cette valeur, ils euvent roduire de la distorsion). Les résistances et les amlis oérationnels roduisent ar ailleurs du bruit. Ceci tend à limiter la dynamique des signaux utilisables, ce qui n est as le cas our les filtres assifs. En conséquence, ces deux technologies (synthèse LC et CAO) restent d alication our la synthèse des filtres analogiques. Nous n aborderons ici que la synthèse CAO, la lus simle des deux.. Plan du cours Ares ce bref exosé introductif, nous consacrerons le chaitre à l examen des tyes de sécifications les lus couramment imosées. Nous y verrons en quoi un filtre réel eut s écarter des sécifications idéales, et en quoi cela affecte le signal roduit. Le chaitre 3 abordera, avec l aide d exemles sous MATLAB, le délicat roblème de l aroximation. Nous nous restreindrons ici à l aroximation analytique, et nous verrons comment obtenir les fonctions de transfert de filtres asse-bas, asse-bande, asse-haut, coue-bande et asse-tout avec les aroximations de Butterworth, Chebyshev, Cauer, et Bessel. La sensibilité des circuits à leur comosants fera l objet du chaitre. Cette caractéristique essentielle des circuits, dont l imortance déasse largement l étude des filtres électriques, en en effet un ré-requis indisensable à l étude des structures utilisées our la synthèse des filtres, ar laquelle nous terminerons, au chaitre 5, en nous restreignant à la synthèse ar cascade de cellules du second degré en technologie CAO.

7 CHAPITE SPECIFICATIONS. Caractéristiques d un filtre Un filtre (linéaire) est caractérisé ar sa fonction de transfert isochrone ou réonse en fréquence: H ( j) Y ( j) / X ( j) (.) On la décomose souvent en réonse en amlitude A ( ) et réonse en hase β () : jβ ( ) H ( j) A( ) e (.) On définit également l affaiblissement A f ( ), mesuré en décibels, et le délai de groue τ ( ), mesuré en secondes: A f ( ) log( A( )) (.3) ( β ( )) τ ( ) (.) Exemle. Visualisons sous Matlab la réonse en amlitude, la réonse en hase, l affaiblissement, et le délai de groue d un filtre dont on connaît la fonction de transfert oérationnelle : H()/+ : freqs([],[ ],logsace(-,+)) montre la réonse de /(+) entre e- et e rad/s (Fig...a). Pour obtenir l affaiblissement et le délai de groue, il faut demander exlicitement (Fig...b) : [H,w]freqs([],[ ],logsace(-,+)); sublot(,,) semilogx(w,-*log(abs(h))); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Attenuation (db) ); grid; sublot(,,) semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid;

8 8 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 5 Magnitude - Attenuation (db) Frequency (radians) - - Frequency (radians) Phase (degrees) Frequency (radians) Grou delay (s) Frequency (radians) Fig...a. (à gauche) éonse en fréquence du filtre; b. (à droite) affaiblissement et délai de groue. ( ). Sécifications idéales Une transformation n aorte as de distorsion du signal auquel elle est aliquée si elle restitue en sortie un signal y (t) de même forme que le signal d entrée x (t). Le signal d entrée eut ar contre avoir subi une amlification ou un délai : y t) Kx( t t ) (.5) ( Ceci corresond, en transformée de Fourier, à une amlification du sectre d amlitude et à un déhasage linéaire : Y ( j) KX ( j)ex( jt ) (.6) et donc à une fonction de transfert de tye : H j) K ex( jt ) (.7) ( Si on considère maintenant un filtre, dont le rôle est de roduire un signal de sortie corresondant à une lage de fréquences du signal d entrée, il est clair que ce filtre doit, si on veut éviter toute distorsion, vérifier (.7). Il doit donc résenter une réonse en amlitude constante et une réonse en hase linéaire et assant ar, du moins dans la lage de fréquences utile, aelée bande assante (Fig..). On constate sur ce grahique que l allure du délai de groue n est as celle attendue a riori au vu de l'allure de la réonse en hase. Il faut ceendant se souvenir que le délai de groue est la dérivée de la hase en fonction de la ulsation, et non la dérivée de la hase en fonction du log de la ulsation. On constate également que le délai de groue n'est as constant dans une zone qui va à eu rès d'une décade avant à une décade arès la fréquence de couure. Cette constatation eut être généralisée aux systèmes lus comlexes.

9 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 9 A() θ () Fig... Conditions de non-distorsion d un signal ar un filtre : réonses en amlitude et en hase. En ratique, on admet arfois que le déhasage d un filtre ne s annule as our : H ( j) K ex( jt + α) ( α n π ) (.8) Ceci eut imliquer une distorsion de la forme du signal reçu. Exemle. Soit un signal x(t)cos(5t)+cos(3t) assant à travers un filtre de réonse A() et β()-.3. Visualisons la sortie de ce filtre. Même chose si β() π. Même chose si β()- ²(Fig..3). t(:. :); sublot(,,); lot(t,cos(5*t)+cos(3*t), : ); hold on; lot(t,cos(5*t-.3*5)+cos(3*t-.3*3)); sublot(,,); lot(t,cos(5*t)+cos(3*t), : ); hold on; lot(t,cos(5*t-.3*5+6.8*i)+cos(3*t-.3*3+6.8*i));

10 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS Fig..3. Passage d un signal à travers un filtre sans distorsion (haut) et à travers un filtre à hase linéaire non nulle en. Ce tye de distorsion est ceendant sans effet lorsque le filtre est utilisé our démultilexer des signaux modulés. Exemle.3 Considérons la modulation d amlitude de cos( t) x Ω ar une orteuse cos( t ) : ( t) ( + m cosωt)cos t (.9) uisque cosa cosb cos( a b) cos( a + b), il vient : m m x ( t) cos t + cos( + Ω) t + cos( Ω) t (.) ce qui donne, arès assage dans un filtre de déhasage β t + α ( α n ) : m y( t) cos( t t + α) + cos[( + Ω) t ( + Ω) t m cos[( Ω) t ( Ω) t + α)] + α)] + et finalement, arès alication de la même identité en sens inverse : π (.) y t) [ + m cos( Ωt Ωt )]cos( t t + ) (.) ( α On constate que la orteuse et son enveloe sont décalées dans le tems, mais que la forme du signal d enveloe reste inchangée. On eut étendre ce raisonnement aux signaux d enveloe quelconques. On considère donc en général qu un filtre est sans distorsion significative lorsqu il résente une réonse en amlitude constante et un délai de groue constant dans sa bande assante..3 Sécifications en amlitude On catégorise les filtres en fonction du tye de modification qu ils imosent sur leur entrée. Les filtres réalisant des modifications du sectre d amlitude sont classés en filtres asse-bas, asse-bande, asse-haut, ou coue-bande. La forme générale de la fonction de transfert oérationnelle d un filtre est : H ( ) N( ) b b + b m m (.3) n D( ) a + a L ordre du filtre est n, qui doit bien entendu satisfaire à n>m. Les zéros de N() sont les zéros du filtre; les zéros de D() sont les ôles du filtre. Les ôles du filtre doivent être situés à gauche de l axe imaginaire our que le filtre soit stable. D() doit our ce faire être un olynôme dit de Hurwitz. Nous étudions ici la manière de sécifier divers tyes de filtres. Nous verrons lus loin (chaitre 3) comment établir des fonctions de transfert qui ermettent de resecter ces sécifications. Les sécifications d un filtre asse-bas tyique sont données à la Fig... Sa bande assante se situe entre et (où c est mis our cut-off ) et sa bande c

11 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS atténuée s étend de s (où s est mis our sto ) à l infini. On accete une certaine variation maximale A (ou rile) de la courbe d affaiblissement en bande assante (où M est mis our maximum ), et on imose que l atténuation en bande atténuée soit suérieure à une valeur minimale A s (où m est mis our minimum ). H ( j) (db) -A -A s c s Fig... Sécifications en amlitude d un filtre asse-bas. Un filtre asse-haut a des sécifications inversées (Fig..5) : sa bande atténuée va de de à, et sa bande assante de à l infini. 3 s c H ( j) (db) -A -A s s c Fig..5. Sécifications en amlitude d un filtre asse-haut. Un filtre asse-bande (Fig..6) a deux bandes atténuées, de à s et de s+ à l infini. Il laisse asser les fréquences entre c et c+. En général, la largeur des bandes de transition est quelconque. On arle de filtre à symétrie géométrique lorsqu on a s+ / c+ c / s, ce qui imlique que les bandes de transition soient de même largeur sur un grahique logarithmique. 3 En ratique, la bande assante d un asse-haut est toujours limitée vers le haut ar la réonse en fréquence des éléments qui le comosent. En technologie CAO, c est l amlificateur oérationnel qui limite la bande assante, à quelques centaines de khz tout au lus.

12 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS H ( j) (db) -A -A s s- c- c+ S+ Fig..6. Sécifications en amlitude d un filtre asse-bande. Les sécifications d un filtre coue-bande sont inverses de celles d un assebande (Fig..7). H ( j) (db) -A -A s c- s- S+ c+ Fig..7. Sécifications en amlitude d un filtre coue-bande. Il arrive que l on doive réaliser la synthèse de filtres aux sécifications lus comlexes. La bande assante et/ou la bande atténuée euvent ainsi être comosées de lusieurs bandes avec des secifications d atténuation distinctes (voir Fig..8 ar exemle). H ( j) (db) Fig..8. Sécifications en amlitude d un filtre asse-bas comlexe

13 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 3. Sécifications en hase ou en délai La condition de non-distorsion sur la hase, mentionnée au oint., n est en général as requise our les signaux audio. L oreille humaine est en effet dans une large mesure insensible à un déhasage sur le signal erçu, à condition que ce déhasage soit constant dans le tems. Cette condition est ar contre très imortante lorsqu on cherche à transmettre des signaux vidéo, ou n imorte quel tye de signal numérique (/). Une distorsion de hase imlique en effet une modification de la forme de ces signaux, ce qui eut en fausser la ercetion (signaux video) ou l interrétation (signaux numériques). Or, our vérifier de manière efficiente les sécifications en amlitude, les techniques d aroximation (voir chaitre 3) lacent systématiquement les zéros de H(z) sur l axe imaginaire. Le filtre ainsi obtenu est donc à minimum de hase. ael Un système à minimum de hase est un système dont les zéros sont à gauche (ou sur) l axe imaginaire. Considérons en effet deux système dont le remier est à minimum de hase, et dont le second diffère du remier en ceci que ses zéros sont les symétriques de ceux du remier ar raort à l axe imaginaire (Fig..9). Il est clair que ces deux systèmes ossèdent la même réonse en amlitude (en vertu de l interrétation géométrique de la réonse en amlitude, qui est le roduit des normes des vecteurs j zi divisé ar le roduit des normes des vecteurs j i. Par contre, la réonse en hase du remier est artout inférieure à celle du second (en vertu de l interrétation géométrique de la réonse en hase, qui est la somme des hases des vecteurs j zi moins la somme des hases des vecteurs ). j i Im Im j-i j-i i i j-zi zi j-zi j j zi e e Fig..9. Deux systèmes à même réonse en amlitude. Celui de gauche est à minimum de hase. On eut montrer que la réonse en amlitude et la réonse en hase d un système à minimum de hase ne sont as indéendantes. Elles vérifient des relations comlexes aelées relations de Bayard-Bode, qui ermettent de trouver la réonse en hase du système, connaissant sa réonse en amlitude. Cette réonse en hase ne satisfait as en général aux conditions de nondistorsion. On cherche donc à corriger la courbe de hase (ou de délai), en multiliant H ( ) ar une fonction asse-tout H AP ( ) (AP étant mis our «all ass»). Un asse-tout est un filtre dont les zéros se trouvent dans le demi-lan de droite, en symétrie horizontale avec ses ôles. Ceci imlique que :

14 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS H AP P( ) ( ) ± (.) P( ) où P() est un olynôme quelconque. La réonse en amlitude d un tel système est égale à l unité (cf. interrétation géométrique de la réonse en amlitude). Sa réonse en hase est ar contre égale à la somme des contributions des zéros moins la somme des contributions des ôles, à π rès (vu le signe ±). Et comme la contribution de chaque ôle est égale à π moins la contribution du zéro dont il est le symétrique, la réonse en hase globale est égale à deux fois la hase du numérateur, à π rès : PI ( ) β AP ( ) arctan( ) π (.5) P ( ) Cette réonse en hase, qui eut a riori être d allure quelconque, s additionne à la hase du filtre à minimum de hase, our constituer le filtre final. Le filtre asse-tout qui ermet ainsi de vérifier a osteriori les conditions de nondistorsion est aelé égaliseur de délai.

15 CHAPITE 3 APPOXIMATION Le but de l'aroximation est de transformer des sécifications ortant sur l'affaiblissement ou le déhasage d'un filtre en une fonction de transfert qui les vérifie. Nous nous intéresserons lus articulièrement ici à l'aroximation de l'affaiblissement. Si la hase ou le délai de groue du filtre doivent également resecter des sécifications récises, il faudra se souvenir de corriger la hase des filtres obtenus, en ajoutant des cellules correctrices de hase. Les filtres du second degré sont les lus simles que l on uisse imaginer. Leurs coefficients sont en effet directement interrétables sur la fonction de tranfert du filtre. Le roblème de l aroximation est alors trivial (3.). Ces filtres ne ermettent ceendant as de réondre à des sécifications quelconques. Pour les filtres de degrés lus élevés, on distingue deux méthodes générales d'aroximation: la remière, dite analytique, où la fonction de transfert H() est calculée à artir de formules mathématiques simles; la seconde, dite numérique, où la fonction de transfert est le résultat d'algorithmes numériques comlexes nécessitant l'usage d'un ordinateur; seule l'aroximation analytique sera abordée ici (3.). 3. Les filtres du second degré Les filtres (ou sections) du second degré ont la forme générale : b + b + b b ( z)( z*) H ( ) (3.) + a + a ( )( *) que l on trouve aussi souvent sous la forme : z + σ z. + + ( z / Qz ). + H ( ) K. K. (3.) + σ. + + ( / Q ). + où σ,, et Q (res. σ z, z, et Q z ) sont resectivement l oosé de la artie réelle, le module, et le facteur de qualité des ôles (res. des zéros). Certaines de ces grandeurs ont une interrétation grahique immédiate (Fig. 3.). z Ces techniques ne seront ceendant as vues dans ce cours d'introduction, à l'excetion de celle ébauchée à la section 3..5.

16 6 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS Im z - σ z - σ e z z* * Fig. 3.. Pôles et zéros d'un filtre du second degré quelconque On trouvera ci-dessous les caractéristiques des filtres du second degré de tye asse-bas, asse-bande, asse-haut, coue-bande, et asse-tout. Pour chaque filtre, il est facile de trouver des coefficients qui resectent des sécifications données (à condition qu elles soient très eu contraignantes, vu le faible nombre de degrés de liberté dont on disose). 3.. La section "asse-bas" La fonction de transfert de la section asse-bas est donnée ar : H ( ) K. + ( / Q ). + (3.3) exression dans laquelle Q rerésente le facteur de qualité de la section du second degré; les ôles de H() sont comlexes si Q >. 5 (ce qui corresond à σ < ). Exemle 3. Affichons la courbe de Bode en amlitude et le diagramme oles-zéros d un filtre asse-bas du second degré, de gain en bande assante égal à, de fréquence de couure égale à rad/s, et de facteur de qualité égal à (Fig. 3.) freqs([],[,,],logsace(,3)); zlane([], [,,]);

17 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 7 logk Magnitude - logq -db/déc - 3 Frequency (radians) Phase (degrees) Frequency (radians) 5 Imaginary art eal art Fig. 3.. Courbe de Bode et diagramme oles-zéros d un filtre asse-bas du second degré. La courbe asymtotique de Bode associée (dans le cas de racines comlexes), ainsi que la courbe réelle, ont une allure tyique (Fig. 3.). La courbe de gain logarithmique art de log(k) en DC, et tombe à db/décade au delà de la fréquence de couure (les deux ôles étant de même module, leurs contributions à la courbe asymtotique globale sont identiques). L'examen de cette figure exlique bien le nom orté ar Q. 3.. La section "asse-haut" La fonction de transfert de la section du second degré de tye asse-haut est donnée ar :

18 8 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS H ( ) K. + ( / Q ). + (3.) et sa courbe de gain logarithmique est résentée sur la figure ci-dessous. Le double zéro en annule la aire ôles our les hautes fréquences et assure une atténuation tendant vers l infini en. Exemle 3. Affichons la courbe de Bode en amlitude et le diagramme oles-zéros d un filtre asse-haut du second degré, de gain en bande assante égal à, de fréquence de couure égale à rad/s, et de facteur de qualité égal à (Fig. 3.3) freqs([ ],[,,],logsace(,3)); zlane([ ], [,,]); logk logq Magnitude -db/déc - 3 Frequency (radians) Phase (degrees) Frequency (radians) 5 Imaginary art eal art

19 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 9 Fig Courbe de Bode et diagramme oles-zéros d un filtre asse-haut du second degré La section "asse-bande" La fonction de transfert de la section du second degré de tye asse-bande est donnée ar: ( / Q ). H ( ) K. + ( / Q ). + (3.5) et sa courbe de gain logarithmique est résentée à la figure ci-dessous. Le zéro en n annule qu un ôle en hautes fréquences, ce qui imose une atténuation infinie en et l infini. Exemle 3.3 Affichons la courbe de Bode en amlitude et le diagramme oles-zéros d un filtre assebande du second degré, de gain en bande assante égal à, de fréquence centrale de bande assante égale à rad/s, et de facteur de qualité égal à (Fig. 3.) freqs([,],[,,],logsace(,3,5)); zlane([,], [,,]); Magnitude - - log(k/ ) +db/déc 3dB logq -db/déc Frequency (radians) Phase (degrees) Frequency (radians)

20 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 5 Imaginary art eal art Fig. 3.. Courbe de Bode et diagramme oles-zéros d un filtre asse-bande du second degré. Si on aelle + et les deux ulsations à 3 db du maximum (ce qui corresond, en amlitude, à un facteur / ), on eut monter ces fréquences sont en symétrie géométrique ar raort à et que la bande assante est inversément roortionnelle à Q : +. et + / Q (3.6) 3.. La section "réjecteur de fréquence" La fonction de transfert de la section du second degré de tye réjection de fréquence se résente sous la forme suivante : + ( Z / QZ ). + H ( ) K. (3.7) + ( / Q ). + Z On distingue les réjecteurs de tye «asse-bas», «asse-haut», et les réjecteurs «symétriques», selon que < z, z <, ou z. La courbe de gain logarithmique est résentée à la figure ci-dessous dans le cas «asse-bas». Exemle 3. Affichons la courbe de Bode en amlitude et le diagramme oles-zéros d un filtre réjecteur de fréquences de tye asse-bas du second degré, de largeur de bande assante égale à rad/s, de fréquence de réjection égale à 3 rad/s (avec 6 db de réjection), et de facteur de qualité de la aire de ôles égal à (Fig. 3.5). Comme on ne récise as le facteur de qualité de la aire de ôles, on choisit ar exemle our assurer une bande assante late. freqs(/9*[,3/,9],[,/,],logsace(,3)); zlane(/9*[,3/,9],[,/,]);

21 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS Magnitude - logqz logq log (K z / ) - 3 z Frequency (radians) 5 Phase (degrees) Frequency (radians) 3 Imaginary art eal art Fig Courbe de Bode et diagramme oles-zéros d un filtre réjecteur de fréquence du second degré. On remarque que si Q z tend vers l'infini, la ulsation z est d'autant mieux éliminée, ce qui justifie le nom de cette section du second degré La section "asse-tout" La fonction de transfert de la section du second degré de tye asse-tout se résente sous la forme suivante (qui vérifie bien.) :

22 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS ( / Q ). + H ( ) K. (3.8) + ( / Q ). + Ses ôles sont en symétrie horizontale ar raort à ses zéros. Il est clair que H ( j) quelque soit la valeur de ce qui justifie le nom de la section, qui s'aelle aussi déhaseur ur ou cellule correctrice de hase car elle est utilisée our modifier la hase d'un système. Exemle 3.5 Affichons les ôles et les zéros d un filtre asse-tout du second degré, de fréquence caractéristique égale à rad/s, our des facteurs de qualité égal à (Fig. 3.6).8.6. Imaginary art eal art Fig ôles et zéros d un filtre ase-tout du second degré. Affichons le délai de groue de ce même filtre our des facteurs de qualité allant de. à 5 (Fig. 3.7). for q[.,.,.3,/sqrt(3),,5,,5] w:.:3; hfreqs([ -/q ],[ /q ],w); aunwra(angle(h)); delay-[ diff(a)./diff(w)]; semilogy(w,delay); hold on; end;

23 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 3 3 Q. - - Q Fig Délai de groue d un filtre ase-tout du second degré, our diverses valeurs du facteur de qualité. On montre que la valeur Q 3 donne la courbe la lus late. Ces courbes indiquent une forte distorsion de délai de groue our les grandes valeurs du facteur de qalité. On eut montrer ar ailleurs que, à même valeur de et de Q, les courbes de délai de groue des sections asse-bas, asse-haut, asse-bande et réjecteur de bande du second degré sont identiques, et valent la moitié de celle de la section asse-tout. On en déduit que ces section introduisent une distorsion de délai de groue d'autant lus imortant que leur facteur de qualité est imortant. Il est donc nécessaissaire, si le délai de groue doit être maintenu constant, d'utiliser des sections asse-tout du second degré our corriger la hase. Lorsque les sécifications en délai de groue ne sont as très sévères et que le degré du filtre à corriger est faible, on eut utiliser un grahique comme celui de la Fig. 3.7 our choisir à vue la ou les cellules correctrices à utiliser. 3. Aroximation analytique d un asse-base normalisé degré quelconque Nous commencerons ar l aroximation analytique d un filtre asse-bas normalisé en fréquence. Nous verrons en effet lus loin (Erreur! Source du renvoi introuvable.) que les sécifications en amlitude de filtres quelconques euvent se réduire à celles de ce tye de filtre, arès transformation en fréquence ad-hoc. La figure ci-dessous donne les sécifications générales en amlitude d un filtre asse-bas normalisé (en fréquence). La variable de fréquence y est exlicitement

24 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS notée Ω ( c ) 5, our ne as oublier que les déveloements qui vont suivre se raorteront à des sécifications normalisées : Ω c. A et A s sont resectivement l atténuation maximale admise en bande assante, et l atténuation minimale requise en bande atténuée. H ( jω) (db) -A -A s Ω s Ω (rad/s) Fig Sécifications en amlitude du filtre asse-bas normalisé. Le roblème de l aroximation analytique eut donc être osé ainsi : ositionner les ôles et les zéros de H ( ) de façon à resecter les sécifications sur H ( jω) données à la Fig Ces contraintes tendent toujours vers le conditions idéales : db en bande assante, et une atténuation infinie dans la bande atténuée. Or, imoser une atténuation infinie corresond bien entendu à lacer les zéros de H ( jω) (c.à.d. aux zéros de H ( ) situés sur l axe imaginaire) dans la bande atténuée; ar contre, imoser une valeur unitaire à H ( jω) ne corresondent as à lacer les ôles de H ( ) à un endroit articulier (lacer ces ôles sur l'axe imaginaire en bande assante conduirait à un gain infini, et non as unitaire). Pour simlifier le roblème, on asse donc lutôt as le calcul d une fonction K ( j), aelée fonction caractéristique, dont on va s arranger our que ses zéros et ses ôles corresondent récisement aux fréquences our lesquelles H ( jω) vaut ou (que l'on aelle arfois zéros et ôles d affaiblissement, resectivement). Il suffit our cela de oser : H ( jω) (3.9) + K( jω) D( jω) N( jω) K ( jω) (3.) H ( jω) N( jω) Il est clair que les zéros de K ( jω) (c.à.d. les zéros de K ( ) situés sur l axe imaginaire) corresondent aux fréquences où l atténuation vaut db (c.-à-d. aux zéros de l affaiblissement); les ôles de K ( jω) (c.à.d. les ôles de K ( ) situés 5 En toute rigueur, nous devrions donc également noter P la variable comlexe résultant de la normalisation de. Nous ne le ferons as ici, our ne as alourdir les notations. Nous nous en souviendrons ceendant à la section 3.3.

25 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 5 sur l axe imaginaire) corresondent aux fréquences où l atténuation est infinie (aux zéros de H ( jω), c.-à-d. aux ôles de l affaiblissement). Le roblème de l aroximation analytique devient alors : ositionner les ôles et les zéros de K ( ) de façon à resecter les sécifications sur H ( jω) données à la Fig etrouver ensuite le H ( ) corresondant. La Fig. 3.9 donne l allure d une fonction K ( jω) réondant à ces sécifications, ainsi que l'allure de la courbe de gain logarithmique corresondante. K ( jω) δ ε Ω r Ω Ω r r3 Ω s Ω z Ω z Ω z3 Ω (rad/s) H ( jω) (db) -A -A s Ω r Ω r Ω r3 Ω s Ω z Ω z Ω z3 Ω (rad/s) Fig Sécifications sur K ( jω) ermettant de resecter les secifications de la Fig et allure de la courbe de gain logarithmique corresondante. Les valeurs de δ et ε de la Fig. 3.9 sont évidemment liées aux valeurs de A ar : s A et 6 Il est imortant de noter sur la figure du haut que l'axe des ordonnées n'est as en db.

26 6 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS log( + ε ) A log( + δ ) A s ou ou ε δ A As (3.) Il aaraît clairement à la Fig. 3.9 que les zéros et les ôles de K( ) sont situés sur l'axe imaginaire. Les remiers sont situés dans la bande assante et sont aelés zéros de réflexion ( Ω r, Ωr, Ωr3,... ) : aux fréquences corresondantes, le signal asse à travers le filtre sans être atténué; les seconds sont situés en bande atténuée et sont aelés zéros de transmission ( Ω z, Ω z, Ω z3,... ) : ces sont les zéros de H ( jω). En suosant qu'on ait u déterminer une fonction K ( jω) qui resecte les sécifications de la Fig. 3.9, il est facile de trouver H ( jω) ar (3.9). Et comme : H ( jω) H ( ) H ( ) jω (3.) il est toujours ossible de retrouver au moins une valeur de H ( ) H ( ) en remlaçant Ω ar /j dans H ( jω) 7. Le dernier roblème à résoudre consiste alors à réartir les zéros et les ôles de H ( ) H ( ) entre H ( ) et H ( ). Ceci ne ose aucun roblème our les ôles uisque tous les ôles situés dans le demi-lan de gauche sont ceux de H ( ). La réartition des zéros de H ( ) H ( ) est également univoque dans la mesure où ils seront dans la ratique tous situés sur l'axe imaginaire. 3.. L'aroximation de BUTTEWOTH La facon la lus simle de resecter les secifications de la Fig. 3.9 est d'imoser (voir Fig. 3.) : K n ( jω ) ε. Ω (3.3) en fixant n de façon que : K ( ) δ (3.) jω s 7 En mathématiques, cette oération orte le nom de rolongement analytique.

27 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 7 K( jω) n n3 n δ ε Ω (rad/s) Ω s Fig. 3.. Fonction caractéristique du filtre asse-bas de Butterworth. C'est ce que l'on aelle l'aroximation de Butterworth. Il s'agit d une aroximation olynomiale: la fonction caractéristique est un olynôme. Les zéros de réflexion se trouvent tous à l'origine et il n'y a as de zéros de transmission. On arle d'aroximation mélate (c.-à-d. maximallement late) à l'origine : on montre facilement que ce tye de fonction caractéristique conduit à imoser que toutes les dérivées de H ( jω) soient nulles our Ω. La condition (3.) conduit à : K( jω ) s ε Ω n s δ δ δ log n ε.logω s (3.5) ce qui donne finalement : A s/ log A s/ n + (3.6).logΩs où [x] rerésente la artie entière de x, uisque le degré doit ar définition être un entier. Le choix de (3.3) conduit à : + ε Ω H ( jω) n et le remlacement de Ω ar (rolongement analytique) donne : (3.7)

28 8 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS (3.8) ε H ( ) H ( ) n On en conclut que H ( ) H ( ) ne ossède as de zéros, et que ses n ôles sont les racines de : n ε. (3.9) Ceux-ci sont donc situé sur un cercle de rayon n ε. On ne retient our H ( ) que les n ôles à gauche de l'axe imaginaire (voir Fig. 3.) : k jπ + π n n k. e k,..., n ε (3.) j j j σ σ σ n n3 n Fig. 3.. Localisation des ôles des filtres de BUTTEWOTH Il est intéressant de calculer le comortement asymtotique de la courbe de gain logarithmique : log H ( jω) Ω log( ) n + ε Ω (3.) logε. n.logω On retrouve bien dans cette exression la classique chute en -db/décade fois le nombre de ôles du filtre. Exemle 3.6 Calculons l'aroximation de Butterworth our le filtre asse-bas normalisé de la Fig. 3..

29 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 9 H ( jω) (db) - -. Ω (rad/s) Fig. 3.. Filtre asse-bas normalisé simle. Matlab fournit un degré 9, et renvoie la fréquence de fin de bande assante à 3dB (qui n'est utile que our la suite de l'aroximation). On vérifiera à titre d'exercice que la formule (3.6) donne le même degré. [n,wn]buttord(,.,,,'s') n 9 wn.38 Cherchons maintenant à calculer H(): [z,,k]butta(n); Cette fonction ne retourne malheureusement as directement l'aroximation souhaitée, mais lutôt l'aroximation corresondant à une valeur unitaire de ε (c.-à.-d. à une valeur de A égale à 3dB, et à des ôles sur le cercle de rayon unité). On obtient facilement l'aroximation recherchée en multiliant les ôles ar n ε : essqrt(^(/)-); *(/es)^(/n); Doly(); ND(n+); zlane([],d) Le tracé des oles et zéros de le fonction de transfert obtenue ar aroximation de Butterwoth corresond à la théorie (Fig. 3.3).

30 3 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS.8.6. Imaginary art eal art Fig Pôles et zéros de l'aroximation de Butterworth d'un asse-bas normalisé. On affiche la réonse en fréquence (Fig. 3.). freqs(n,d); Magnitude Frequency (radians) Phase (degrees) - - Frequency (radians) Fig. 3.. éonse en fréquence de l'aroximation de Butterworth. La hase est calculée modulo π, ce qui exlique son allure cahotique. Il est également intéressant d'afficher le délai de groue (Fig. 3.5). [H,w]freqs(N,D); sublot(,,); semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid;

31 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 3 Magnitude Frequency (radians) Grou delay (s) 3 - Frequency (radians) Fig Gain et délai de groue de l'aroximation de Butterworth d'un asse-bas normalisé. 3.. L'aroximation de Chebyshev La courbe d'affaiblissement des filtres de Butterworth varie d'une façon monotone, ce qui imlique que l'écart entre les sécifications et la courbe de gain dans la bande assante sera toujours minimal à la fréquence de couure et maximal à l'origine. De même, cet écart est etit au droit de Ω s, et lus grand artout ailleurs en bande atténuée. Bref, le filtre de Butterworth est tro bon resque artout, d'où son degré exagérément élevé. Une aroximation lus efficace, qui doit conduire à une diminution du degré our les même sécifications, consiste à réartir l'erreur de façon lus uniforme dans la bande assante, en choisissant : K( jω) ε. C ( Ω) (3.) n où C n (Ω) serait un olynôme oscillant entre - et, de sorte que K ( jω) oscillerait entre et ε (voir Fig. 3.6) et où n serait fixé de façon que (3.) soit toujours vérifié.

32 3 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS K( jω) n δ n3 ε Ω (rad/s) Ω s Fig Fonction caractéristique du filtre asse-bas de Chebyshev (tye I) Ces olynômes C n (Ω) existent : ce sont les olynômes de Chebyshev. L'aroximation qui y corresond est aelée aroximation de Chebyshev de tye I (directe). Elle ossède des zéros de réflexion en bande assante, mais as de zéros de transmission. ael : les olynômes de Chebyshev On aelle olynôme de Chebyshev d'ordre n le olynôme défini ar: cos cosh [ n( arccos x) ] our x Cn ( x) (3.3) [ n( arccosh x) ] our x > Contrairement à ce qu'il y araît de rime abord, ce sont bien des olynômes. On eut en effet montrer à l'aide de formules trigonométriques classiques que l'on a: C n+ ( n n x x) x. C ( x) C ( ) (3.) avec C ( x) x et C ( x) Les olynômes de Chebyshev assent ar les oints caractéristiques suivants : C n () ± et C n () ± si si n air n imair (3.5) Pour x, C n (x) oscille n fois entre et - (ou, ce qui revient au même, C n (x) résente n extrema entre et ) tandis que our x >, ces olynômes sont monotones croissants. La Fig. 3.7 rerésente l'allure de C ( x n ) our différentes valeurs de n.

33 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 33 C n ( x) Fig Allure (du carré) des olynômes de Chebyshev. La condition (3.) devient alors : ε cosh ( n K( jω ) arccosh Ω ) δ s s δ δ arccosh n ε arccoshω s (3.6) ce qui donne finalement : Am / arccosh AM / n arccoshωs + (3.7) où [x] rerésente la artie entière de x, uisque le degré doit ar définition être un entier, et arccosh eut être calculé ar : ( z + ) arccosh( z ) ln z Le choix de (3.) conduit à : H ( jω) + ε ( Ω) C n (3.8) (3.9) On en conclut (arès remlacement de Ω ar / j ) que H ( ) H ( ) ne ossède as de zéros, et que ses n ôles sont les racines de : C n + ε ( / j) (3.3) On montre facilement que ceux-ci sont donc situés sur une ellise :

34 3 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS k k k sin( π ).sinh( v) + j cos( ).cosh( v) ( k,...,n) n π (3.3) n avec v arcsinh( ) n ε (3.3) Enfin, comme our l'aroximation de Butterworth, il est intéressant de calculer le comortement asymtotique de la courbe de gain logarithmique. On montrera à titre d'exercice qu'il vaut : log H ( jω) Ω log( ) + ε C ( Ω) (3.33) n.logε n.logω 6,6.( n ) On en conclut que, à degré égal, un filtre de Chebyshev résente toujours une atténuation lus grande en bande atténuée qu'un filtre de Butterworth. Il est donc clair que our resecter les mêmes sécifications un filtre de Chebyshev nécessitera toujours un degré inférieur ou égal à un filtre de Butterworth 8. On ourrait également réartir l'erreur de façon lus uniforme en bande atténuée, en inversant la formule récédente : δ (3.3) K( jω) (/ Ω) C n C'est l'aroximation de Chebyshev de tye II (inverse; voir Fig. 3.8). Cette aroximation force la courbe de gain à asser ar ( rad/s,- As db). La courbe est donc ici normalisée ar raort au début de la bande atténuée. K( jω) n n3 δ ε /Ω s Ω (rad/s) 8 En ratique, l'aroximation de Butterworth n'est utilisée que lorsqu'il est fondamental d'avoir une courbe de gain très late en bande assante. Son intérêt est donc lutôt didactique.

35 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 35 Fig Fonction caractéristique du filtre asse-bas de Chebyshev Inverse (tye II) On eut montrer que, our des sécifications identiques, Chebyshev I et Chebyshev II sont de degrés identiques. Ils aroximent donc aussi bien l'un que l'autre les sécifications en amlitude. Par contre, leurs réonses en hases sont très différentes. Les ôles de l'aroximation de Chebyshev I ont des facteurs de qualité lus élevés, ce qui conduit à des délais de groues moins constants en fréquence (voir l'exemle ci-dessous). Exemle 3.7 Calculons les aroximations de chebyshev I et II our le filtre asse-bas normalisé de la Fig. 3.. Matlab fournit un degré. On vérifiera à titre d'exercice que la formule (3.7) donne le même degré. Le tracé des oles et zéros de le fonction de transfert est doonné à la Fig [n,wn]chebord(,.,,,'s') [z,,k]cheba(n,); zlane(z,) [n,wn]chebord(,.,,,'s') [z,,k]cheba(n,); %imoser omegas comme debut de bande atténuée [N,D]ll(k*oly(z),oly(),.); 9 figure() zlane(n,d) Imaginary art. -. Imaginary art eal art eal art Fig Pôles et zéros de l'aroximation de Chebyshev d'un asse-bas normalisé. (gauche : Chebyshev I; droite : Chebyshev II) On affiche la réonse en fréquence, en remlaçant la courbe de hase ar celle de délai de groue (Fig. 3.). Nk*oly(z); Doly(); freqs(n,d); [H,w]freqs(N,D); sublot(,,); 9 Ceci constitue en fait une transformation de fréquence; nous verrons lus loin comment on la réalise.

36 36 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid; figure() freqs(n,d); [H,w]freqs(N,D); sublot(,,); semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid; Magnitude -5 - Magnitude Frequency (radians) -5 5 Frequency (radians) Grou delay (s) 3 Grou delay (s) Frequency (radians) - - Frequency (radians) Fig. 3.. Gain et délai de groue de l'aroximation de Chebyshev d'un asse-bas normalisé (gauche : Chebyshev I; droite : Chebyshev II). On remarque bien une ondulation de la courbe de gain dans la bande assante our Chebyshev I, au contraire de Chebyshev II. La courbe de délai de groue de Chebyshev I ressemble assez à celle de Butterworth (à sécifications inchangées). Celle de Chebyshev II est beacou lus late, si l'on fait abstraction des changements de signe brutaux de la hase dus à la résence de zéros sur l'axe imaginaire. On la référera donc à l'aroximation de Chebyshev I our les signaux sensibles à un décalage de hase non linéaire (signaux vidéo, signaux informatiques) L'aroximation de Cauer (ou ellitique) Nous avons vu à la section récédente que l'aroximation est meilleure si on arvient à réartir l'erreur d'aroximation de façon lus égale dans la bande assante ou dans la bande atténuée. On doit donc ouvoir obtenir une aroximation lus efficace encore en accetant des ondulations de courbe de gain dans la bande assante et dans la bande atténuée. La fonction caractéristique corresondante doit donc être cette fois une fraction rationelle, résentant des zéros de réflexion et de transmission : K( jω) ε. ( Ω) (3.35) n Il est à remarquer que la courbe de délai de groue our Chebyshev II (et nous verrons que c'est également le cas our l'aroximaton de Cauer) est onctuée de ics aigus. Chaque fois que la courbe de gain asse ar une fréquence corresondant à un zéro sur l'axe imaginaire, on otient en effet un brusque changement de signe de la courbe de hase, et donc un ic de délai de groue. Ces ics n'ont as d'imortance en ratique, uisqu'ils sont situés en bande atténuée, et n'influencent donc as beaucou les hases des comosantes sectrales en sortie du filtre.

37 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 37 Une telle fraction rationelle existe, et son calcul conduit à l'élaboration d'une théorie faisant intervenir les fonctions ellitiques, d'où le nom d'aroximation ellitique (ou de Cauer, du nom de l'ingénieur qui l'a mise au oint). L'allure de la fonction caractéristique corresond assez bien à une combinaison de l'allure d'une aroximation de Chebyshev I en bande assante, et d'une aroximation Chebyshev II en bande atténuée (Fig. 3.). L'estimation des aramètres de cette fonction est ceendant nettement lus comlexe. On se sert aujourd'hui systématiquement d'outils logiciels our l'obtenir. K( jω) n3 δ n ε Ω s Ω (rad/s) Fig. 3.. Allure de la fonction caractéristique ellitique d'ordre Exemle 3.8 Calculons l'aroximation de Cauer our le filtre asse-bas normalisé de la Fig. 3.. Matlab fournit un degré 5. [n,wn]elliord(,.,3,,'s') [z,,k]ellia(n,3,); zlane(z,)

38 38 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS.5.5 Imaginary art eal art Fig. 3.. Pôles et zéros de l'aroximation de Cauer d'un asse-bas normalisé. On affiche la réonse en fréquence, en remlaçant la courbe de hase ar celle de délai de groue (Fig. 3.). N k*oly(z); D oly(); freqs(n,d); [H,w]freqs(N,D); sublot(,,); semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid;

39 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS 39 Magnitude Frequency (radians) Grou delay (s) Frequency (radians) Fig Gain et délai de groue de l'aroximation de Cauer d'un asse-bas normalisé. On remarque bien une ondulation de la courbe de gain dans la bande assante I et dans la bande atténuée. La courbe de délai de groue est comarable à celle de Chebyshev II (à sécifications inchangées). 3.. L'aroximation de Bessel (ou de Thomson) L'examen de l'évolution du délai de groue des filtres décrits dans les sections récédentes montre que celui-ci est loin d'être linéaire, sécialement au voisinage de la fréquence de couure du filtre asse-bas. L'aroximation dite de Bessel vise à la mise au oint d'un asse-bas normalisé dont le délai de groue est maximalement constant à l'origine. Son élaboration fait intervenir des olynômes de Bessel, d'où son nom (on l'aelle arfois aussi aroximation de Thomson, du nom de l'ingénieur à qui elle est due). Les filtres de Bessel sont des filtres olynomiaux (comme les filtres de Butterworth et de Chebyshev I : ils ne résentent que des ôles): n b n (n )! H ( ), où bi n n i (3.36) n i. i!.( n i)! b. i i On montrera en guise d'exercice que, lorsque n tend vers l'infini, on a bien : lim H ( ) e (3.37) n i i. i!

40 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS ce qui corresond bien au cas idéal d'un filtre à déhasage linéaire, comme exosé à la section.. Comme les filtres de Butterworth, les filtres de Bessel demandent des degrés imortants our vérifier des sécifications sur l'affaiblissement, ce qui les rend difficiles à utiliser (il vaut mieux utiliser un filtre de Cauer auquel on ajoute des cellules correctrices de hase). On n'a de lus qu'un seul degré de liberté (n) our vérifier des sécifications qui ortent à la fois sur le gain et sur le délai. Exemle 3.9 Calculons l'aroximation de Bessel our un ordre allant de 3 à, et affichons les courbes de gain et de délai de groue corresondantes (Fig. 3.). for j3: [z,,k]bessela(j); [H,w]freqs(k,oly(),logsace(-,)); sublot(,,); loglog (w, abs(h)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Magnitude ); grid; hold on; sublot(,,); semilogx (w(:length(w)-), -diff(unwra(angle(h)))./diff(w)); xlabel( Frequency (radians) ); ylabel( Grou delay (s) ); grid; hold on; end; n3 Magnitude -5 n - Grou delay (s) - Frequency (radians) 8 n 6 n3 - Frequency (radians) Fig. 3.. Gain et délai de groue de l'aroximation de Bessel (n 3 à ). Affichons les diagramme des ôles et zéros our l'ordre (Fig. 3.5) Dans ce cas-ci, il s'agit même d'un filtre à délai égal à s. L'exression (3.36) est en effet donnée our un asse-bas normalisé ar raort à l'inverse du délai de groue, lutôt que ar raort à la fréquence de couure.

41 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS.8.6. Imaginary art eal art Fig Pôles et zéros de l'aroximation de Bessel d'odre. 3.3 Aroximation analytique de filtres quelconques transformations de fréquence Les méthodes d'aroximation analytique décrites récédemment s'aliquent au calcul de la fonction de transfert de filtres asse-bas normalisés. Elles conduisent à l'obtention de fonctions de transfert oérationnelles normalisées H (P) ou isochrones normalisées H ( jω). L'aroximation d'un filtre quelconque (ni normalisé, ni même asse-bas) de sécifications connues sur H ( j) s'effectue en trois étaes :. Trouver une fonction associant à toute fréquence des sécifications réelles une fréquence Ω des sécifications du asse-base normalisé : Ω f() (3.38) et en déduire les sécifications du asse-bas normalisé.. éaliser l'aroximation de ce asse-bas normalisé : H (P) 3. Obtenir H ( ) en remlaçant P dans H (P) ar sa valeur tirée de (3.38) : P f( ) j (3.39) j Il est clair que, si on veut que H ( ) reste une fraction rationnelle, la transformation de fréquence f() doit elle-même être une fraction rationnelle. Dans les sections qui suivent, nous assons en revue les transformations de fréquence nécessaires à l'aroximation des asses-bas, asse-hauts, assebandes, et coue-bandes non normalisés Passe-bas vers asse-bas A artir des sécifications d'un filtre asse-bas quelconque, on désire trouver les sécifications d'un filtre normalisé asse-bas normalisé. La transformation consiste en (Fig. 3.6):

42 INTODUCTION A LA SYNTHESE DES FILTES ACTIFS Ω (3.) c c'est-à-dire : P (3.) c Fig. 3.6 Transformation asse-bas vers asse-bas (les bandes assantes sont indiquées en hachuré) On remarque qu'à la bande assante (, c ) du filtre asse-bas de déart corresond ar à la bande assante (,) du filtre normalisé, ce qui est le résultat recherché. Cette transformation eut aussi servir à la dénormalisation en fréquence de n'imorte quel filtre ar raort à la ulsation de référence c. On remarque ceendant en ratique (voir Exemle 3.) que ce tye de dénormalisation conduit le lus souvent à des valeurs très disarates our les coefficients, ce qui rovoque arfois des erreurs d arrondi sur ordinateur. On réfère donc en général conserver une aroximationsnormalisée en fréquence, en ne réalisant la dénormalisation qu arès avoir calculé les comosants du filtre (voir 3.) Passe-bas vers asse-haut La transformation est définie ar (Fig. 3.7): c Ω (3.) c'est-à-dire : c P (3.3) Le choix de c c Ω aurait conduit à P asser les ôles du asse-bas normalisé à gauche de l'axe imaginaire., ce qui aurait eu our effet fâcheux de faire