Chapitre 11 Proportionnalité

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1 Classe e quarième Chapire 11 Proporionnalié Compéences : Exemples 'aciviés, commenaires :. Inclus Viesse moyenne Débu :24/03 Fin 04/04 Remarques : Traier pour le socle es exercices sur les échelles Parie raiée ans son inégralié en 5 e Propriéé e l égalié es prouis en croix émonrée chapire 3 Moifier prix essence 1,2 Ex N 22,23,24,25,26,29,36 p 125 6,9,42p286 Inerrogaion I11 DST n 11 poly DM N 11 poly 28 p125 5/5 Démonsraions : acivié 1 parie 2 + quarième proporionnelle e prouis en croix égaux I. Proporionnalié Acivié 1 * Tableau 1 Nombre e specacles Prix (en ) Calculons les quoiens suivans : Les quoiens son ifférens onc le ableau 1 ne correspon pas à une siuaion e proporionnalié. Tableau 2 Âge (en année) Taille (en cm) Calculons les quoiens suivans : Les quoiens son ifférens onc le ableau 2 ne correspon pas à une siuaion e proporionnalié. Tableau 3 Longueur u côé un carré (en cm) Aire u carré (en cm²) Calculons les quoiens suivans : Les quoiens son ifférens onc le ableau 3 ne correspon pas à une siuaion e proporionnalié. Tableau 4 Masse e omaes(en kg) Prix (en ) ,5 50 Calculons les quoiens suivans : , Nous consaons que ous ces quoiens son égaux onc le ableau 4 correspon à une siuaion e proporionnalié. Page 1 sur 7

2 Classe e quarième 2)a) Le graphique I correspon au ableau 2 Le graphique II correspon au ableau 4 Le graphique III correspon au ableau 1 Le graphique IV correspon au ableau 3 b) J observe que les poins représenan une siuaion e proporionnalié semblen alignés avec l origine u repère. J observe que les poins représenan une siuaion e non proporionnalié ne son pas alignés avec l origine u repère. 3) Je sais que : OAM es un riangle. N OM, I OA. Les roies (IN) e (AM) son parallèles. Or le Théorème e Thalès me perme écrire : OI ON IN OA OM AM J uilise en pariculier OI IN OA AM J en éuis que 1 5 e onc que après l égalié es prouis en croix 5 1 y x y y 5 soi 5 1 Nous pouvons en éuire que les oronnées es poins son proporionnelles à leurs abscisses. Le coefficien e proporionnalié es e 5. 1) Rappels Définiion : Dire qu un ableau es un ableau e proporionnalié signifie que l on obien chaque nombre une ligne en muliplian le nombre corresponan e l aure ligne par un même nombre. Ce nombre es appelé coefficien e proporionnalié. Remarques : Dans un ableau e proporionnalié, il suffi e connaîre un couple e onnées non nulle pour éerminer le coefficien e proporionnalié. Un ableau es un ableau e proporionnalié lorsque ous les couples e onnées non nulle qui se corresponen onnen le même quoien. Page 2 sur 7

3 Classe e quarième 2) Proporionnalié e représenaion graphique Propriéé amise (Démonrée ans un cas pariculier): Si une siuaion es une siuaion e proporionnalié, alors les poins e sa représenaion graphique son alignés avec l origine u repère. Propriéé réciproque amise : Si les poins une représenaion graphique son alignés avec l origine u repère, alors ces poins représenen une siuaion e proporionnalié. 3) Quarième proporionnelle e prouis en croix égaux Définiion (Rappels): Dans un ableau e proporionnalié, le nombre manquan, es appelé quarième proporionnelle. Démonsraion * Soi a, b,c e quare nombres relaifs ifférens e 0. Si le ableau suivan ci-essous es un ableau e proporionnalié alors nous pouvons écrire que ous les couples e nombres qui se corresponen onnen le même quoien b a c Soi a c b.or après l égalié es prouis en croix émonrée au chapire 3 : a, b,c e ésignen quare nombres relaifs avec b 0 e 0 Si a c b alors a b c Propriéé émonrée : Soi a, b,c e quare nombres relaifs ifférens e 0. Dire que le ableau ci-essous es un ableau e proporionnalié revien à ire que les prouis en croix a e b c son égaux. Propriéé réciproque amise : Si ous les prouis en croix un ableau son égaux, alors il s agi un ableau e proporionnalié. Applicaion : Acivié 2 Durée ( en min) 25 7 Prix (en ) 3 X Sachan que le prix (en ) es proporionnel à la urée (en min), l égalié es prouis en croix nous perme écrire : ,84 25 Le prix à payer pour une communicaion uran 7 minues es e 0,84 Page 3 sur 7

4 Classe e quarième II. Une siuaion e proporionnalié : les pourcenages 1) Définiion (Rappels) Définiion : Un pourcenage es le coefficien e proporionnalié une siuaion exprimé sous la forme un quoien e énominaeur ) Appliquer un pourcenage (Rappels) Acivié 3 Prix avan hausse en Augmenaion en x 25 A parir u ableau e proporionnalié je peux irecemen écrire à l aie e l égalié es prouis en croix. 100x x Le mimosa augmene e Le mimosa couera 20. 3) Déerminer un pourcenage (Rappels) Acivié L augmenaion enre 2004 e 2005 es e Exprimer cee augmenaion en pourcenage. Prix avan hausse en Augmenaion en x A parir u ableau e proporionnalié suivan je peux irecemen écrire à l aie e l égalié es prouis en croix : x x L augmenaion enre 2004 e 2005 es e 9%. Page 4 sur 7

5 Classe e quarième 4) Déerminer un pourcenage relaif à la réunion e eux groupes Acivié 5 Dans le collège E.Tabarly : élèves on obenus leur Breve. 100 Dans le collège A.Colas: élèves on obenus leur Breve Au oal 200 élèves on obenu le Breve Il y a 275 élèves e 3 e. Nombre oal élèves e 3 e Nombre oal élèves e 3 e reçus au Breve 200 x A parir u ableau e proporionnalié suivan je peux irecemen écrire à l aie e l égalié es prouis en croix : ,7 Sur les eux collèges réunis, environs 72,7% es élèves e 3 e on obenu le breve. III. Une siuaion e proporionnalié : la viesse moyenne 1) Définiion e inerpréaion Acivié 6 1) La urée u parcours, a éé e heures. 2) Si le véhicule avai effecué le raje à viesse consane, alors la isance parcourue es proporionnelle à la urée u parcours. Calculer cee viesse revien à chercher la isance qu il aurai parcourue penan 1 h. Disance (en Km ) x 225 Durée (en h) 1 Nous pouvons écrire après l égalié es prouis en croix x Soi 90 La viesse aurai onc bien éé égale à 90 kilomères par heure. En réalié, le mouvemen une voiure n es jamais uniforme (accéléraion, freinage, ifférenes limiaions e la viesse, ) Aussi i-on que la viesse moyenne u véhicule a éé e 90 km.h -1 ( ou 90 Km/h) Page 5 sur 7

6 Classe e quarième Définiion : La viesse moyenne v un mobile es le quoien e la isance parcourue par la urée u parcours. Remarques : L unié ans laquelle es exprimée une viesse moyenne épen u choix es uniés e isance e e urée. Exemples : Les uniés e viesse les plus courammen uilisées son le km. h -1 ( le kilomère par heure), noé aussi km/h, e le m.s -1 ( le mère par secone), noé aussi m/s. Inerpréaion e la viesse moyenne : Dire que la viesse moyenne es e 90 km/h signifie que l on parcour en moyenne 90 kilomères en 1 heure. Dire que la viesse moyenne es e 8 m/s signifie que l on parcour en moyenne 8 mères en 1 s. 2) Calculs e la viesse moyenne, e la isance parcourue ou e la urée e parcours Acivié 7 1) Un cyclise a roulé à 18km.h -1 penan 2h, puis à 24km.h -1 penan 1h. a) Il a roulé 3 heures. b) Il a parcouru 60 km. c) Le cyclise a parcouru 60 km en 3 heures comme v 60 Nous calculons v 20 3 La viesse moyenne sur l ensemble u raje u cyclise es e 20 km.h -1 2) aller reour 2 aller la isance parcourue penan le raje es e 120 km Comme v, nous avons aussi. v aller 3 reour 2 valler 20 vreour 30 La urée u raje aller es e 3 heures. La urée u raje reour es e 2 heures. aller reour aller reour La urée u raje aller-reour es e 5 heures aller reour 120 valler reour 24 aller rerour 5 La viesse moyenne un raje sur un parcours e 60 km es e 24km.h -1. Page 6 sur 7

7 Classe e quarième 3) La viesse moyenne un camion sur un raje e 10 heures (pauses comprises) a éé e 55 km.h -1. Comme v, nous avons aussi v. Nous calculons La isance parcourue es e 550 km. 4) Une voiure a parcouru 385 km à la viesse moyenne e 70 km.h Comme v, nous avons aussi. Nous calculons 5,5 v v 70 La urée u raje es e 5 heures 30. Remarques : Il es possible à parir e la relaion v e éerminer une isance parcourue v ou une urée e parcours v La isance e la urée oiven êre exprimés ans es uniés cohérenes avec celle e la viesse. 3) Changemen uniés e viesse Acivié 8 Un chien cour à la viesse moyenne e 68,4 km.h -1 Un renar cour à la viesse moyenne e 20 m.s -1 1) Je ne sais pas quel animal semble êre le plus rapie. 2) a) Un chien cour à la viesse e 68,4 km.h -1 cela signifie qu il parcour 68,4 km en 1 heure. 68,4 km = m Le chien parcour m en 1 heure. b) 1 heure = 3600 s Le chien parcour m en 3600 secones Donc le chien parcour onc 19 mères en 1 secone. c) La viesse moyenne u chien es e 19 m.s -1, le renar es onc plus rapie. Page 7 sur 7