BACCALAURÉAT GÉNÉRAL

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1 BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série : S DURÉE DE L ÉPREUVE : 4 heures. COEFFICIENT : 9 Ce sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6, dont une feuille annexe numérotée page 6 à rendre avec la copie. Une feuille de papier millimétré est mise à la disposition des candidats. L utilisation d une calculatrice est autorisée. Le candidat doit traiter tous les exercices. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies. 12MASSAG1 Page : 1 / 6

2 Les parties B et C sont indépendantes. Exercice 1 (6 points) Commun à tous les candidats On note R l ensemble des nombres réels et on considère la fonction définie sur R par () = e +1. On note c sa courbe représentative dans un repère orthonormé (;, ). Partie A : étude de la fonction 1. Déterminer la limite de en. Que peut-on en déduire pour la courbe c? 2. Déterminer la limite de en On admet que est dérivable sur R, et on note sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout réel x, () = ( +1)e. 4. Étudier les variations de sur R et dresser son tableau de variation sur R. Partie B : recherche d une tangente particulière Soit a un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s il existe une tangente à la courbe c au point d abscisse a, qui passe par l origine du repère. 1. On appelle T a la tangente à c au point d abscisse a. Donner une équation de T a. 2. Démontrer qu une tangente à c en un point d abscisse a strictement positive passe par l origine du repère si et seulement si a vérifie l égalité 1 e =0. 3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l évaluation. Démontrer que 1 est l unique solution sur l intervalle ]0 ; + [ de l équation 1 e =0. 4. Donner alors une équation de la tangente recherchée. Partie C : calcul d aire Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe c de la fonction dans un repère orthonormé ( ;, ). 1. Construire sur ce graphique la droite d équation y = 2x. On admet que la courbe c est au-dessus de la droite. Hachurer le domaine d limité par la courbe c, la droite la droite d équation (x =1) et l axe des ordonnées. 2. On pose I= e d. Montrer à l aide d une intégration par parties que I =. 3. En déduire la valeur exacte (en unités d aire) de l aire du domaine d. 12MASSAG1 Page : 2 / 6

3 Exercice 2 (4 points) Commun à tous les candidats Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct ( ;, ). On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm. On complètera cette figure au fur et à mesure des questions. On considère les points A, B et C du plan complexe d affixes respectives = 1 + 2i ; = 2 i ; = 3 + i. 1. Placer les points A, B et C sur le graphique. 2. Calculer, en déduire la nature du triangle OAB. 3. On considère l application f qui à tout point M d affixe avec, associe le point d affixe définie par = +1 2i +2+i. a. Calculer l affixe du point, image de C par f et placer le point sur la figure. b. Déterminer l ensemble e des points M d affixe avec, tels que =1. c. Justifier que e contient les points O et C. Tracer e. 4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l évaluation. On appelle J l image du point A par la rotation r de centre O et d angle. On appelle K l image du point C par la rotation r de centre O et d angle. On note L le milieu de [JK]. Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC. 12MASSAG1 Page : 3 / 6

4 Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats Soit (u n ) la suite définie pour tout entier naturel n non nul par = 1 2 = Calculer u 2, u 3 et u a. Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, u n est strictement positif. b. Démontrer que la suite ( ) est décroissante. c. Que peut-on en déduire pour la suite ( )? 3. Pour tout entier naturel n non nul, on pose =. a. Démontrer que la suite ( ) est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme v 1. b. En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, = Soit la fonction définie sur l intervalle [1 ; + [ par () = ln ln2. a. Déterminer la limite de en +. b. En déduire la limite de la suite ( ). 12MASSAG1 Page : 4 / 6

5 Exercice 4 (5 points) Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité Les 4 questions sont indépendantes a. Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l équation (E) 11x 5y = 14. b. Déterminer tous les couples d entiers relatifs (x ; y) vérifiant l équation (E). a. Démontrer que, pour tout entier naturel n, 2 1 (modulo 7). b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 2011 par On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation f qui à tout point d affixe associe le point d affixe tel que : = 3 (1 i) +4 2i On considère l algorithme suivant où désigne la partie entière de : 5. A et N sont des entiers naturels 6. Saisir A N prend la valeur 1 Tant que N A Si =0 alors Afficher N et Fin si N prend la valeur N+1 Fin Tant que. Quels résultats affiche cet algorithme pour A =12? Que donne cet algorithme dans le cas général? 12MASSAG1 Page : 5 / 6

6 ANNEXE 1 Exercice 1 À rendre avec la copie Courbe c, représentative de f. c 12MASSAG1 Page : 6 / 6

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