La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apportés au devoir. Vous devez composer sur le sujet.

Transcription

1 Composition n 2 de Mathématiques NOM : Prénom : Seconde... 9 Février 2011 Note : /20 Signature : Observations : La calculatrice est autorisée. Il sera tenu compte de la rigueur et du soin apportés au devoir. Vous devez composer sur le sujet. Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 1

2 Exercice 1 : /4 Ceci est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, il y a une ou plusieurs réponses exactes. Vous entourerez la ou les réponses qui vous semblent justes. Pour chaque bonne réponse, vous obtiendrez 0,5 point. Pour chaque mauvaise réponse, vous perdrez 0,5 point. Toute absence de réponse ne rapporte ni n enlève de point. Si le total de l exercice est négatif, il est rapporté à 0. 1) ABCD est un parallélogramme. La translation qui transforme A en B transforme a) C en D b) D en C c) A en C et B en D 2) On sait que HG = FE. On peut alors dire que : a) EFGH est un parallélogramme b) [FG] et [EH] ont même milieu c) [EG] et [FH] ont même milieu 3) Dans un repère on donne, A(2 ;1) et B(-1 ;-3). Les coordonnées du vecteur AB sont : a) (-6 ;-12) b) (6 ;12) c) (-3 ;-4) 4) Si A, B et C sont trois points tels que AC = 3 AB, alors : a) BC = -2 BA b) CB = 3 CA c) CA = -3 BA 2 5) ABCD est un parallélogramme de centre O. On note I, J, K et L les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [AD]. La somme KO + BJ est égale à : a) KI b) BC c) 0 6) On lance un dé truqué à 6 faces. La face 6 a une probabilité de sortir de 0,3 et la face 1 a une probabilité de sortir de 0,1. Les autres faces sont équiprobables et leur probabilité de sortir est : a) 0,2 b) 1 4 c) 1 6 d) 0,15 7) On choisit au hasard un nombre entier entre 1 et 8. On considère les évènements : A : «Le nombre choisi est pair» B : «Le nombre choisi est inférieur ou égal à 4» a) p(a) = p( A ) b) p(b) = 1 3 c) p( ) = 1 d) p( ) = 1 4 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 2

3 Exercice 2: /7,5 Dans (O ; I, J), un repère orthonormé du plan, on considère les points A(2 ;0), B(- 1 ; 1) et C(- 2 ; 4). 1) Placer les points A, B et C dans le repère. La figure sera complétée au fur et à mesure. /0,5 J O I 2) a) Quelle est la nature du triangle ABC? /1 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 3

4 b) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. /1 c) En déduire la nature du parallélogramme ABCD. /0,5 3) Soit E(6 ; - 4). Calculer les coordonnées des vecteurs AC et AE et en déduire que les points A, C et E sont alignés, puis que A est l e milieu de [CE]. /2 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 4

5 4) Déterminer les coordonnées de F, symétrique de C par rapport à B. /1 5) Démontrer que (AB) et (FE) sont parallèles. /1 6) En déduire la nature du quadrilatère ABFE. /0,5 Exercice 3 : /4 Le but de cet exercice est de résoudre 1 x - x = 0, x 0. 1) Résolution graphique : a) Soient f et g deux fonctions définies par f(x) = 1 x et g(x) = x Utiliser la calculatrice graphique pour conjecturer la ou les solutions de l équation f(x) = g(x)./0,5 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 5

6 b) En déduire les solutions de l équation 1 x - x = 0. /0,5 2) Résolution algébrique : a) Développer puis réduire l expression x 1 2 ². /0,5 9 b) Démontrer que 1 x - x = 4 - x ² 2x /1 c) En déduire les solutions de l équation 1 x - x = 0. /1,5 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 6

7 Exercice 4 : /6 Soit ABCD un carré dont le côté mesure 5 cm. I est un point variable sur le segment [AB]. On considère les points J, K, L respectivement sur [BC], [CD], [DA] tels que AI = BJ = CK = DL. On admettra que IJKL est un carré, et on se propose de déterminer la position du point I pour que l aire du carré IJKL soit minimale. 1) On note f la fonction qui à x = AI (en cm) associe l aire, en cm², du carré IJKL. a) Quel est l ensemble de définition de f? /0,5 b) Exprimer LI en fonction de x. /1,5 c) En déduire l expression algébrique de f(x). /1 2) a) Calculer f 5 2. /0,5 b) Démontrer que pour tout x de l ensemble de définition de f, f(x) f 5 2 = 2 x 5 2 ². /1 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 7

8 c) En déduire que f 5 2 est le minimum de f sur son ensemble de définition. /1 d) Préciser la valeur de l aire minimale du carré IJKL et la position du point I. /0,5 Exercice 5 : /2,5 Dans une population de souris, certaines peuvent présenter - Une maladie A ; - Une maladie B ; - Les deux maladies A et B ; - Aucune des deux maladies. On note A l ensemble des souris présentant la maladie A et B l ensemble des souris présentant la maladie B. 1) traduisez à l aide de A, B, A, B, et chacun des ensembles suivants : a) L ensemble des souris présentant les deux maladies. /0,5 b) L ensemble des souris ne présentant aucune des deux maladies. /0,5 c) l ensemble des souris ne présentant pas la maladie A. /0,5 2) a) Enoncez à l aide d une phrase l ensemble A /0,5 b) Une souris présente la maladie A mais pas la maladie B. Appartient-elle à B?Justifier. /0,5 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 8

9 Exercice 6 : /6 Au réfectoire, Hugues doit choisir une entrée puis un plat. Ensuite, il pourra prendre soit du fromage, soit un dessert. Il a le choix entre trois entrées (soupe, tomates ou concombres) et deux plats (poulet ou omelette). Il choisit chaque partie de son repas au hasard. 1) Réaliser un arbre qui permette d obtenir toutes les issues possibles de cette expérience. /1 On considère les évènements suivants : S : "Hugues choisi la soupe" D : "Hugues choisi le dessert" P : " Hugues choisi le poulet". 2) Ecrire l évènement S D sous forme ensembliste, puis calculer p(s D). /1,5 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 9

10 3) Calculer de 2 façons différentes p(s D) /1,5 4) Calculer p(p). /1 5) Calculer p( P ). /1 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 10

11 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION Exercice 1 : /4 1B 2B 3C 4A 5C 6D 7AD Exercice 2: /7,5 Dans (O ; I, J), un repère orthonormé du plan, on considère les points A(2 ;0), B(- 1 ; 1) et C(- 2 ; 4). 1) Placer les points A, B et C dans le repère. La figure sera complétée au fur et à mesure. /0,5 2) a) Quelle est la nature du triangle ABC? /1 On a AB² = (x B x A )² + (y B y A )² = (-1 2)² + (1 0)² = = 10 BC² = (x C x B )² + (y C y B )² = (-2 + 1)² + (4 1)² = = 10 On en déduit que AB = BC = 10. Donc le triangle ABC est isocèle en B. b) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. /1 Si ABCD est un parallélogramme alors Soit D(x;y) BC = AD Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 11

12 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION On a alors : BC ; soit BC -1 3 Et AD x - 2 y - 0 ; soit AD x 2 y BC = AD x 2 = -1 y = 3 D'où : x = = 1 et y = 3 Les coordonnées de D sont donc D(1;3) c) En déduire la nature du parallélogramme ABCD. /0,5 Comme AB = BC le parallélogramme ABCD a deux côtés consécutifs de même longueur : c'est donc un losange. 3) Soit E(6 ; - 4). Calculer les coordonnées des vecteurs AC et AE et en déduire que les points A, C et E sont alignés, puis que A est l e milieu de [CE]. /2 AC ; soit AC -4 4 On a On a AE ; soit AE 4-4 AC = - AE; donc les vecteurs AC et AE sont colinéaires; donc les points A, C et E sont alignés. AC = EA; donc A est le milieu de [CE]. 4) Déterminer les coordonnées de F, symétrique de C par rapport à B. /1 Si F est le symétrique de C par rapport à B, alors Soit F(x;y) CB = BF 1-3 = x + 1 y - 1 Donc F(0;-2) x = 0 et y = -2 CB = BF. 5) Démontrer que (AB) et (FE) sont parallèles. /1 AB -3 1 et On a FE Soit FE 6-2 FE = -2AB; donc les vecteurs FE et AB sont colinéaires; donc les droites (FE) et (AB) sont parallèles. 6) En déduire la nature du quadrilatère ABFE. /0,5 Comme les droites (FE) et (AB) sont parallèles, on en déduit que le quadrilatère ABFE est un trapèze. Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 12

13 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION Exercice 3 : /4 Le but de cet exercice est de résoudre 1 x - x = 0, x 0. 1) Résolution graphique : a) Soient f et g deux fonctions définies par f(x) = 1 x et g(x) = x Utiliser la calculatrice graphique pour conjecturer la ou les solutions de l équation f(x) = g(x) /0,5 On conjecture que l'équation f(x) = g(x) admet deux solutions : -1 et 2. b) En déduire les solutions de l équation 1 x - x = 0. /0,5 L'équation f(x) = g(x) est équivalente à f(x) g(x) = 0; soit 1 x - x = 0. Il semble que les solutions de l'équation 1 x - x = 0 sont -1 et ) Résolution algébrique : a) Développer puis réduire l expression x 1 2 ². /0, x 1 2 ² 9 = 4 - x² - 2 x = x² + x = -x² + x b) Démontrer que 1 x - x = 4 - x ² 2x 1 x - x = 2 x² + x = 2x x ² 2x /1 c) En déduire les solutions de l équation 1 x - x = 0. /1,5 Pour x 0, 1 x - x = x ² = 0 2x x 1 2 ² = 0 (car x 0) x 1 2 ² = 3 2 ² x 1 2 = ou x 1 2 = 3 2 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 13

14 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION x = ou x = x = - 1 ou x = 2 S = {-1;2} Les solutions de l'équation l équation 1 x - x = 0 sont donc -1 et 2. 2 Ce qui confirme les conjectures émises avec la calculatrice. Exercice 4 : /6 Soit ABCD un carré dont le côté mesure 5 cm. I est un point variable sur le segment [AB]. On considère les points J, K, L respectivement sur [BC], [CD], [DA] tels que AI = BJ = CK = DL. On admettra que IJKL est un carré, et on se propose de déterminer la position du point I pour que l aire du carré IJKL soit minimale. 1) On note f la fonction qui à x = AI (en cm) associe l aire, en cm², du carré IJKL. a) Quel est l ensemble de définition de f? /0,5 0 AI AB donc D f = [0;5]. b) Exprimer LI en fonction de x. On utilise le théorème de Pythagore dans le triangle AIL rectangle en A : LI² = AL² + AI² = (5 x)² + x² Donc LI = (5 x)² + x² c) En déduire l expression algébrique de f(x). /1 A IJKL = LI² Donc f(x) = (5 x)² + x² /1,5 2) a) Calculer f 5 2. /0,5 f 5 2 = ² ² 25 = = 25 2 b) Démontrer que pour tout x de l ensemble de définition de f, f(x) f 5 2 = 2 x 5 2 ². /1 f(x) f 5 2 = (5 x)² + x² = 25 10x + x² + x² = 2x² - 10x = 2 x² - 5x ² = 2 x 5 2 ² c) En déduire que f 5 2 est le minimum de f sur son ensemble de définition. /1 Comme x 5 2 ² 0 (un carré est toujours positif ou nul), on a f(x) - f pour tout x [0;5]. Donc f(x) f 5 2. De plus pour x = 5 2, f(x) = f 5 2 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 14

15 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION On en déduit que f 5 2 est le minimum de f sur[0;5]. d) Préciser la valeur de l aire minimale du carré IJKL et la position du point I. /0,5 L'aire minimale du carré IJKL est donc f 5 2 = 25 2 cm² et comme AI = 2,5 cm, alors I est le milieu du segment [AB]. Exercice 5 : /2,5 Dans une population de souris, certaines peuvent présenter - Une maladie A ; - Une maladie B ; - Les deux maladies A et B ; - Aucune des deux maladies. On note A l ensemble des souris présentant la maladie A et B l ensemble des souris présentant la maladie B. 1) traduisez à l aide de A, B, A, B, et chacun des ensembles suivants : a) L ensemble des souris présentant les deux maladies. /0,5 Il s'agit de l'ensemble noté A B. b) L ensemble des souris ne présentant aucune des deux maladies. /0,5 Il s'agit de l'ensemble noté A B. c) l ensemble des souris ne présentant pas la maladie A. /0,5 Il s'agit de l'ensemble noté A. 2) a) Enoncez à l aide d une phrase l ensemble A /0,5 Il s'agit de l'ensemble des souris qui présentent la maladie A mais pas la maladie B. b) Une souris présente la maladie A mais pas la maladie B. Appartient-elle à B?Justifier. /0,5 s A B ;donc s A er s B ; donc s B Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 15

16 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION Exercice 6 : /6 Au réfectoire, Hugues doit choisir une entrée puis un plat. Ensuite, il pourra prendre soit du fromage, soit un dessert. Il a le choix entre trois entrées (soupe, tomates ou concombres) et deux plats (poulet ou omelette). Il choisit chaque partie de son repas au hasard. 1) Réaliser un arbre qui permette d obtenir toutes les issues possibles de cette expérience. /1 Fromage Poulet Dessert Soupe Omelette Fromage Dessert Fromage Poulet Dessert Tomates Omelette Fromage Dessert Fromage Poulet Dessert Concombres Omelette Fromage Dessert Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 16

17 Secondes Composition Février 2011 CORRECTION On considère les évènements suivants : S : "Hugues choisi la soupe" D : "Hugues choisi le dessert" P : " Hugues choisi le poulet". 2) Ecrire l évènement S D sous forme ensembliste, puis calculer p(s D). /1,5 S D = {"SPD";"SOD"} On est dans une situation d'équiprobabilité. nombre de cas favorables Donc p(s D) = nombre de cas possibles = 2 12 = 1 6 3) Calculer de 2 façons différentes p(s D) /1,5 Par dénombrement on a S D = {"SPF";"SPD";"SOF";"SOD";"TPD";"TOD";"CPD";"COD"} Donc p(s D) = 8 12 = 2 3 Autre méthode : p(s D) = p(s) + p(d) - p(s D) p(s D) = = = = 2 3 4) Calculer p(p). /1 p(p) = 1 2 (Il y a 2 plats possibles.) 5) Calculer p( P ). /1 p( P ) = 1 p(p) = 1 2 Composition n 2 de Mathématiques Seconde 9 Février 2011 Page 17