Dans tous les exercices le plan est rapporté à un repère orthonormé

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1 Dans tous ls rcics l plan st rapporté à un rpèr orthonormé Ercic On a rprésnté ci-dssous la courb rprésntativ (C) d un fonction f défini, continu t dérivabl sur IR On sait qu la courb (C) admt : Un asymptot d équation y = 0 au voisinag d + t un branch paraboliqu d dirction ( O, j) au voisinag d FONCTION EXPONENTIELLE m Sc Tchniqus r r (O, i, j) - Sulmnt du tangnts horizontals h ; l un au point O t l autr au point A(, ) En utilisant l graphiqu : f () ) Détrminr lim f (), lim f () t lim + ) Détrminr, suivant la valur du paramètr rél m, l nombr d solutions d l équation Ercic Soit f la fonction défini sur IR par ) Drssr l tablau d variation d f a) Justifir qu la rstriction g d f à b) Montrr qu l équation f () = 0 c) Vérifir qu < α <, 5 f ( ) = + On not ( ζ ) sa courb rprésntativ f () ) a) Calculr lim Intrprétr graphiqumnt l résultat b) Etudir la position rlativ d la courb ( ζ ) t la droit d équation c) Tracr ( ζ ) t 3) On not g la fonction réciproqu d g t ( ζ ) sa courb rprésntativ Tracr ( ζ ) ) Vérifir qu la fonction F défini par Ercic 3 Soit la fonction f défini sur IR par : f ( ) = ln( + ) On désign par ( ζ ) sa courb rprésntativ ) a) Montrr qu f st dérivabl sur IR t qu pour tout IR, f () = + b) Etudir ls variations d f c) Vérifir qu pour tout IR, f () = + ln( + ) Kooli Mohamd Hchmi à l intrvall [, + [ 0 réalis un bijction d admt dans IR, un solution uniqu α F() y = = + ( ) st un primitiv d f f () = m [ 0, + [ sur ], ] sur IR

2 d) En déduir qu la droit : y = st un asymptot à ( ζ ) n Etudir la position rlativ d ( ζ ) t ) Tracr ( ζ ) t ) a) Montrr qu l équation f () = admt dans IR un solution uniqu α b) Vérifir qu 0 < α < 3) a) Montrr qu pour tout 0, f ( ) b) En déduir qu tout 0, f () α α Ercic ) La courb ( Γ ) ci-dssous st cll d un d fonction g défini, continu t dérivabl sur IR On sait qu : La droit d équation y = st un asymptot à ( Γ ) au voisinag d ( ) La courb ( Γ ) admt un sul s tangnt horizontal La courb ( Γ ) coup l a ds abscisss ( O, i) n un uniqu point 0 En utilisant l graphiqu : a) Détrminr g (0) t g (0) b) Détrminr l sign d g sur IR ) La fonction g st défini sur IR par a) Eprimr g (0) t g (0) n fonction d α t β b) Déduir, n utilisant )a), qu pour tout rél, g() = ( ) Dans la suit d l rcic, on considèr la fonction f défini sur On désign par ( ζ ) sa courb rprésntativ 3) a) Calculr lim f (), lim f () t lim f () Intrprétr graphiqumnt l résultat b) Calculr lim f () c) Justifir qu la courb ( ζ ) admt un branch paraboliqu d dirction ( O, j) au voisinag d g() ) a) Vérifir qu pour tout IR, f () = b) Drssr l tablau d variation d f c) Montrr qu f ( 0 ) = d) Tracr ( ζ ) ( On prndra 0 =, ) 0 g() = ( α + β) où α t β sont du réls Kooli Mohamd Hchmi IR par + f () = +

3 Ercic 5 Soit la fonction f défini sur IR par : f () = ( + ) On désign par ( ζ ) la courb rprésntativ d f ) a) Calculr lim f () t lim f () + b) Montrr qu pour tout rél, f () = c) Drssr l tablau d variation d f f () ) a) Calculr lim Intrprétr graphiqumnt l résultat obtnu b) Tracr la courb ( ζ ) 3) Soit la fonction défini sur IR par = +, montrr qu st un primitiv d f sur IR Ercic 6 f () = + si 0 On considèr la fonction f défini sur IR par : f() = - ln si > 0 Soit (C) sa courb rprésntativ ( unité graphiqu cm ) ) a) Montrr qu f st continu n 0 b) Montrr qu f st dérivabl à gauch n 0 st qu l nombr dérivé à gauch n 0 st c) Etudir la dérivabilité d f à droit n 0, 0 0, + ) a) Etudir ls variations d f sur ]- ] puis sur ] [ b) En déduir l tablau d variation d f sur IR 3) a) Montrr qu la droit : y = st un asymptot à (C) au voisinag d b) Précisr pour 0, la position d (C) par rapport à c) Précisr pour > 0, la position d (C) par rapport à : y = d) Détrminr un équation cartésinn d la tangnt T à la courb (C) au point A (, 0) ) Tracr,, T t (C) 5) Soit g la rstriction d f à l intrvall [, + [ a) Montrr qu g admt un fonction réciproqu désign par ( C ) la courb rprésntativ d g g défini sur un intrvall J qu l on précisra On b) Vérifir qu la droit T défini dans A)3)d) st tangnt à la courb ( C ) au point B (0, ) c) Tracr ( C ) Ercic 7 Soit f la fonction défini sur ] 0, [ par : f () = ln ) a) Drssr l tablau d variation d f b) Montrr qu f possèd un fonction réciproqu défini sur IR par g() = + ) On désign par (C) la courb d g ( Unité graphiqu cm ) a) Montrr qu (C) st symétriqu par rapport au point I 0, b) Calculr g () pour tout IR t drssr l tablau d variation d g c) Vérifir qu I (C) t montrr qu la tangnt T à (C) n I a pour équation : y = + d) Montrr qu pour tout IR g () Kooli Mohamd Hchmi

4 3) Soit h la fonction défini sur IR par h() = g() a) Etudir l sns d variation d h b) Calculr h(0) t n déduir l sign d h () sur IR ) Etudir la position d (C) t T 5) a) Montrr qu l équation f () = b) Tracr (C) t T t la courb (C )) d f 6) Soit G la primitiv d g tl qu G( 0) ln a) Montrr qu pour tout IR F ( ) = G() b) Drssr l tablau d variation d F c) Montrr qu la courb Γ d F stt asymptot à la droit d) Précisr la position d Γ par rapport à D Tracr Γ Ercic 8 On a rprésnt ci-dssous dans un rpèr orthonormé la courb (C) d un fonction f défini, continu, dérivabl t strictmnt décroissant su 0, + On sait qu la courb (C) : * admt l a ds abscisss comm asymptot au voisinag d + * attint son maimum au point d absciss 0 ) Par lctur graphiqu : a) Détrminr f (0) lim f () t f d ( 0 ) (nombr dérivé à droit n 0) + b) Montrr qu f st un bijction d ) Tracr la courb ( C ) d la fonctionn On not β l absciss du point d intrsction ds du courbs (C) t ( C ) 3) On sait qu la fonction f st défini ) En utilisant ) a) montrr qu pour t possèd un sul solution α t qu 0, 5 < α 0 = t F : a ln[ g() ] ur [ [ [ 0, [ D : y = au voisinag d + sur un intrvall J qu l on détrminra f réciproqu d f sur [ 0, + [ par tout d [ 0, [ + ; f () = (a + b) où a t f () = ( + ) < 0,75 t b sont du réls Ercic 9 A) Soit g la fonction défini sur IR par : g() = ) a) Etudir ls variations d g b) Déduir qu IR on a : g() 0 B) Soit f la fonction défini sur IR par : f () = + t soit (C) sa courb rprésntativ f () ) Montrr qu lim f () = + t qu lim = + Intrprétr ls résultats + + ) a) Montrr qu la droit : y = st un asymptot obliqu à la courb (C) au voisinag d Kooli Mohamd Hchmi

5 b) Précisr la position d (C) par rapport à la droit 3) a) Montrr qu pour tout rél on a : f () = g( ) b) En déduir qu la fonction f st strictmnt croissant sur IR c) Drssr l tablau d variation d f ) Tracr la courb (C) n précisant la tangnt au point d absciss 0 Ercic 0 Soit f la fonction défini sur IR par ) a) Calculr lim f () + f () t lim f () b) Montrr qu IR on a : f () = ( + ) = t soit (C) sa courb rprésntativ ( Unité cm ) + c) Drssr l tablau d variation d f ) a) Montrr qu l point I d (C) d absciss 0 st un cntr d symétri d (C) b) Donnr un équation cartésinn d la tangnt T à (C) au point I 3) On pos pour tout IR, g() = f () a) Etudir ls variations d g b) Montrr qu l équation g () = 0 admt dans IR un uniqu solution α t qu,6 < α <, 7 c) Etudir alors ls position rlativs d (C) t la droit : y = ) Construir (C), T t 5) a) Montrr qu f réalis un bijction d IR sur ] 0, [ b) Calculr f () ] 0, [ c) Construir la courb (C ) rprésntativ d f dans l mêm rpèr Ercic Soit f la fonction défini sur IR par : f () = t soit (C) sa courb rprésntativ + ) a) Vérifir qu pour tout rél on a : f () > 0 b) Drssr l tablau d variation d f ) a) Montrr qu la droit : y t la droit : y = sont asymptots à la courb (C) = b) Précisr ls positions d (C) par rapport à t 3) a) Montrr qu f réalis un bijction d IR sur IR t n déduir qu l équation f () = 0 admt dans IR un uniqu solution α t qu 0, < α < b) Vérifir qu + = α ) a) Montrr qu I 0, st un point d inflion d la courb (C) b) Donnr un équation cartésinn d la tangnt T à la courb (C) au point I c) Montrr qu la tangnt T coup l a ds abscisss au point A d absciss 0, 5) Tracr,, T t (C) (On prndra α 0, 5 ) Ercic α Soit f la fonction défini sur IR par : f () = + t soit (C) sa courb rprésntativ ) a) Calculr lim f () t lim f () + b) Vérifir qu IR on a : f () = ( ) c) Drssr l tablau d variation d f Kooli Mohamd Hchmi

6 d) Montrr qu IR on a : f () ) a) Résoudr dans IR l équation f () = b) Etudir alors la position d (C) par rapport à la droit : y = c) Etudir ls branchs infinis d (C) d) Tracr (C) t 3) Soit g la rstriction d f à l intrvall[ 0, + [ a) Montrr qu g admt un fonction réciproqu b) Construir dans l mêm rpèr la courb (C ) d g g défini sur [, + [ ) Soit F la fonction défini sur IR par F() = + a) Vérifir qu F st un primitiv d f sur IR b) Drssr l tablau d variation d F c) Montrr qu l équation F () = 0 admt dans IR un uniqu solution α t qu 0 < α < ln Ercic 3 A) Soit g la fonction défini sur [, + [ ) Drssr l tablau d variation d g 0 par : g() = ) a) En déduir qu il ist un sul rél α tl qu g ( α ) = 0 t tl qu b) Détrminr suivant ls valurs d l sign d g () B) Soit f la fonction défini sur [, + [ 0 par f () < α < = t soit (C) sa courb rprésntativ + ) a) Calculr f () t vérifir qu pour tout rél positif on a : f () = g() ( + ) b) Vérifir qu f () = ; n déduir lim f () + + c) Vérifir qu f ( α ) = α + d) Drssr l tablau d variation d f ) a) Précisr un équation cartésinn d la dmi tangnt T à la courb (C) au point O b) Tracr (C) t T ( On prndra α, ) 3 Kooli Mohamd Hchmi