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1 Chapitre Convexité TABLE DES MATIÈRES page -1 Chapitre Convexité Table des matières I Exercices I I I I I I I I I I- II Cours II-1 1 Fonction convexe et concave II-1 Convexité et sens de variation de la dérivée II-1 3 Point d inflexion II- Exemples II-

2 Chapitre Convexité I EXERCICES page I-1 I Exercices Fonction convexe et fonction concave 1 Le programme indique qu un élève de terminale ES doit savoir reconnaître graphiquement des fonctions convexes et concaves. Dire qu une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle signifie que sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. Dire qu une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle signifie que sa courbe représentative est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes. Consigne Six fonctions f 1 à f 6 sont représentées graphiquement ci-dessous par les courbes C 1 à C 6. On précise que les fonctions f 1 et f sont définies par f 1 (x) = x et f = x. 1. (a) Tracer quelques tangentes à la courbe C 1. (b) Indiquer si la fonction f 1 est convexe, concave, ou ni l un ni l autre. On précisera l intervalle.. Même consignes (a) et (b) pour les autres fonctions. Pour certaines fonctions, plusieurs réponses peuvent être données selon l intervalle choisi. 0 C 1 0 C 50 C C 5 C 6 6 C Convexité et sens de variation de la dérivée. Le programme indique qu un élève de terminale ES doit savoir utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée. On rappelle que, pour une fonction dérivable f représentée par une courbe C, le nombre f (a) est le coefficient directeur de la tangente au point d abscisse a. Dire que la fonction dérivée f est croissante signifie que si a augmente, f (a) augmente.

3 Chapitre Convexité I EXERCICES page I (a) Tracer une courbe C représentant une fonction f dont la dérivée f est croissante. (b) Cette fonction f est-elle convexe ou concave?. Réciproquement (a) Pour chacune des fonctions convexes de l exercice 1, quel est le sens de variation de la fonction dérivée? (b) Même question pour chacune des fonctions concaves de cet exercice. Ranger les droites (d 1 ), (d ), (d 3 ), (d ) dans l ordre croissant de leurs coefficients directeurs (du coefficient directeur le plus petit au coefficient directeur le plus grand) (d 1 ) (d ) (d 3 ) (d ) La fonction f est définie par f(x) = x + x Faire tracer la représentation graphique avec la calculatrice, et indiquer si la fonction f semble convexe, concave ou ni l un ni l autre.. Calculer la dérivée f. 3. Pour déterminer le sens de variation de la fonction dérivée, il faut calculer sa dérivée, que l on appelle la dérivée seconde et que l on écrit f. Calculer la dérivée seconde de f.. D après le signe de la dérivée seconde f, quelle est le sens de variation de la dérivée f? 5. En déduire si la fonction f est convexe, concave ou ni l un ni l autre. Même exercice que l exercice sur fiche n o avec la fonction f définie par f(x) = x 3 6x + 5x +. Pour la convexité on donnera plusieurs réponses selon les intervalles concernés. Point d inflexion 6 1. Par lecture graphique, indiquer si la fonction f est convexe ou concave ou ni l un ni l autre. On précisera l intervalle.. On dit qu un point A appartenant à est un point d inflexion lorsque traverse sa tangente au point A. Déterminer les éventuels points d inflexion de la courbe. On pourra tracer plusieurs tangentes. 6

4 Chapitre Convexité I EXERCICES page I-3 7 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = x 3. On note la courbe représentative de f Par lecture graphique, indiquer si la fonction f est convexe ou concave ou ni l un ni l autre. On précisera l intervalle.. Déterminer les éventuels points d inflexion de la courbe. On pourra tracer plusieurs tangentes. O Une fonction g est représentée ci-contre par la courbe C g. Déterminer les éventuels points d inflexion de la courbe C g C g 0.5

5 Chapitre Convexité I EXERCICES page I- 9 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x) = On note la courbe représentative de f. x x O Par lecture graphique, étudier la convexité de la fonction f suivant les valeurs de x.. En déduire l existence de trois points d inflexion. 3. Calculer la dérivée de la fonction f. Vérifier que : f (x) = 1 x (x + 1). Déterminer l équation de T 0, tangente à la courbe au point d abscisse On note d(x) = x f(x). Vérifier que d(x) = x3 x + 1. En déduire le signe de d(x) suivant les valeurs de x, puis la position relative de la tangente T 0 et de la courbe. 6. En déduire que O est un point d inflexion.

6 Chapitre Convexité II COURS page II-1 II Cours 1 Fonction convexe et concave Le programme mentionne qu un élève de TES doit savoir reconnaître graphiquement des fonctions convexes, concaves. Définition Dire qu une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle signifie que sa courbe représentative est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes. Dire qu une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle signifie que sa courbe représentative est entièrement située en-dessous de chacune de ses tangentes. Exemples La fonction carré est convexe sur IR (courbe C 1 ). La fonction racine carrée est concave sur [0 ; + [. (courbe C ). C 1 C Convexité et sens de variation de la dérivée Le programme mentionne qu un élève de TES doit savoir utiliser le lien entre convexité et sens de variation de la dérivée. Propriété Une fonction dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée est croissante sur cet intervalle. Une fonction dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée est décroissante sur cet intervalle. Pour déterminer le sens de variation de la dérivée f, on peut calculer la dérivée de la dérivée, qu on appelle la dérivée seconde (f ), et on peut alors utiliser le signe de la dérivée seconde. Définition Lorsque une fonction f est dérivable sur un intervalle, et que sa dérivée f est elle même dérivable sur cet intervalle, on dit que la fonction f est deux fois dérivable sur cet intervalle. La dérivée de f, notée f, est appellée dérivée seconde de f. Propriété Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est convexe sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle. Une fonction deux fois dérivable sur un intervalle est concave sur cet intervalle si et seulement si sa dérivée seconde est négative sur cet intervalle.

7 Chapitre Convexité II COURS page II- 3 Point d inflexion. Le programme mentionne qu un élève de TES doit savoir reconnaître graphiquement un point d inflexion. Définition On dit qu un point A appartenant à une courbe C est un point d inflexion lorsque C traverse sa tangente au point A. Propriété Pour la courbe représentative d une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, le point d abscisse a est un point d inflexion si et seulement si la dérivée seconde de cette fonction s annule en a, en changeant de signe. Exemples Exemple 1 (exercice sur fiche n o 5). La fonction f définie par f(x) = x 3 6x + 5x + f (x) = 3x 1x + 5 f (x) = 6x 1 x + Signe de f (d) Variations de f 6 Convexité f est concave f est convexe A Ce tableau indique un point d inflexion au point A d abscisse sur la courbe. La droite (d) est la tangente à la courbe en A. La courbe traverse la tangente (d) en A. 1 3 Exemple (exercice sur fiche n o 7). La fonction f définie par f(x) = x 3 f (x) = 3x f (x) = 6x x 0 + Signe de f 0 + Variations de f Convexité f est concave f est convexe Ce tableau indique un point d inflexion au point d abscisse 0 sur la courbe, qui est le point O, origine du repère. L axe des abscisses est la tangente à la courbe en O. La courbe traverse l axe des abscisses en O A 1

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