Équations - Inéquations - Systèmes

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1 Équations - Inéquations - Systèmes I Premier degré Propriétés Soit f définie sur IR par f(x = ax + b avec a 0. f est une fonction affine, elle est représentée graphiquement par une droite. a est le coefficient directeur ; b est l'ordonnée à l'origine. Équation ax + b = 0 Inéquation ax + b > 0 Inéquation ax + b < 0 Graphique a > 0 L'équation ax + b = 0 a pour solution - b a ax + b > 0 - b a ; + ax + b < 0 - ;- b a - b a b a < 0 L'équation ax + b = 0 a pour solution - b a ax + b > 0 - ;- b a ax + b < 0 - b a ; + b - b a Le signe de ax + b est donné par le tableau : x - - b a signe de ax + b signe de - a 0 signe de a + Exemple 1 Résolution graphique de l'inéquation x + 3 > 0. On trace la droite représentant la fonction f définie par f(x = x + 3 L'ordonnée à l'origine est 3, le coefficient directeur. La droite est au-dessus de l'axe Ox lorsque - 3 ; +. On en déduit que l'inéquation x + 3 > 0-3 ; O Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 1

2 Exemple Résolution de l'inéquation 3x - 5 > 0. On peut écrire : 3x - 5 > 0 3x > 5 x > 5 3 x 5 3 ; + 3x - 5 > 0 Exemple 3 Résolution de l'inéquation -x On peut écrire : -x x 7 x ³ 7 - x - 7 ; + -x- 7 0 Exercice ; +. (lorsqu'on divise par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité - 7 ; +. Résoudre les équations : a 3x + 1 = 0 b -x - 3 = 0 c 5x + 3 = 8 d -x + 4 = x - 7 Exercice 0 Résoudre les inéquations : a 3x + 1 > 0 b -x c 5x + 3 < 8 d -x + 4 ³ x - 7 Exercice 03 Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par : f(x = 3 - x et g(x = 1 x + 3 En déduire les solutions de : a 3 - x ³ 0 b 1 x + 3 < 0 c 3 - x = 1 x + 3 d 3 - x 1 x + 3 Exercice 04 En utilisant un tableau de signes, déterminer le signe de f(x = x - 1 (3 + x(3 - x Exercice 05 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x = x 3 - x - 5x Montrer que pour tout réel x on peut écrire : f(x = (x- 1(x + (x - 3 En déduire le signe de f(x suivant les valeurs de x. 3 Sans faire de calculs déterminer le signe de f 19 ; f ; f(π Exercice 06 Déterminer suivant les valeurs de x, le signe de x 3-4x. Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page

3 II Second degré Propriétés Soit définie sur IR par f(x = ax + bx + c avec a 0. f est une fonction trinôme du second degré, elle est représentée graphiquement par une parabole. Son discriminant est : = b - 4ac Équation ax + bx + c = 0 Factorisation Inéquation Inéquation Graphique < 0 L'équation ax + bx + c = 0 n'a pas de solution Le trinôme ax + bx + c ne se factorise pas. l'ensemble IR. n'a pas n'a pas l'ensemble IR. < 0 a > 0 < 0 a < 0 = 0 L'équation ax + bx + c = 0 a une solution (double Cette solution est x 0 = - b a Le trinôme ax + bx + c se factorise : a(x - x 0 l'ensemble IR privé de x 0. n'a pas n'a pas l'ensemble IR privé de x 0. x 0 x 0 = 0 a > 0 = 0 a < 0 > 0 L'équation ax + bx + c = 0 a deux solutions distinctes Ces solutions sont x 1 = -b - a et x = -b + a Le trinôme ax + bx + c se factorise : a(x - x 1 (x - x ]- ; x 1 [ ]x ; + [ ]x ; x 1 [ ]x 1 ; x [ ]- ; x [ ]x 1 ; + [ > 0 a < 0 x 1 x > 0 a > 0 x x 1 Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 3

4 Remarque Le signe du trinôme est donné par : < 0 x - + signe de ax signe de a + bx + c = 0 > 0 x - x 0 + signe de ax signe de a 0 signe de a + bx + c x - x 1 x + signe de ax signe de a signe de -a signe de a + bx + c Remarque Le sommet de la parabole représentant la fonction f(x = ax + bx + c avec 0 a pour abscisse x 0 = - b (c'est la valeur pour laquelle la dérivée de f s'annule a et pour ordonnée y = f(x 0. Exemple Résolution de l'inéquation x - 6x + 6 ³ 0 x - 6x + 6 étant un trinôme du second degré, on peut chercher son discriminant : = 36-4 x 1 x 6 = 1, on a > 0, donc le trinôme x - 6x + 6 a deux racines : x 1 = 6-1 = 6-3 = 3-3 et x = On peut alors donner donner le signe du trinôme dans le tableau : x signe de x - 6x On en déduit que l'inéquation x - 6x + 6 ³ 0 de solution : ]- ; 3-3 ] [3+ 3 ; + [ Ce résultat est confirmé par le graphique représentant la fonction f définie sur IR par f(x = x - 6x + 6 On constate que la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses pour x ]- ; x 1 ] [x ; + [ x 1 x Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 4

5 Exercice 07 Résoudre les équations suivantes : x + x - 3 = 0 3x + 1x + 30 = 0 x - x + 1 = 0 -x + 5x - 6 = 0-3x + x = - 5 x - 5x = 0 Exercice 08 Résoudre les inéquations suivantes : 1x - 1x + 3 > 0 x + 3x + 1 ³ 0 x - 3x - 7 < 0 -x + 3x x + 1 x < 4 -x < x - 3 Exercice 09 Soit fdéfinie sur IR par f(x = x + 3x - 5 Tracer, en la justifiant, la représentation graphique de f. Résoudre graphiquement l'inéquation f(x ³ 0, puis retrouver les résultats par le calcul. Exercice 10 Une petite entreprise assemble des ordinateurs. Pour des raisons de matériel et de personnel l'entreprise ne peut pas assembler plus de 350 ordinateurs par mois. On suppose que l'entreprise, lorsqu'elle assemble et vend x ordinateurs réalise un bénéfice exprimé en euros par : B(x = -x + 300x ( B(x est négatif, il s'agit d'une perte Déterminer pour quelles fabrications l'entreprise travaillera à perte. Déterminer le nombre d'ordinateurs qui procurera un bénéfice maximal et calculer ce bénéfice. Exercice 11 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x = (x- 1(x + 3x + 3 Résoudre l'équation f(x = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x. Exercice 1 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x = (- x(x - 5x + 1 Résoudre l'équation f(x = 0. Donner suivant les valeurs de x, le signe de f(x. Exercice 13 On considère la fonction f définie sur IR par : f(x = -x 3 + 8x -13x + 1 En utilisant une calculatrice graphique ou un g rapheur, représenter la courbe de f. Déterminer graphiquement le nombre de l'équation f(x = 0 et donner un encadrement d'amplitude 0,1 de chacune des solutions. 3 Montrer que pour tout réel x : f(x = (x - (-x + 6x En déduire les valeurs exactes des solutions de l'équation f(x = 0. Exercice 14 1 Représenter graphiquement les fonctions f et g définies sur IR par : f(x = x + 3x + 1 et g(x = -x - 4x + 3 On justifiera le tracé des représentations graphiques. En déduire graphiquement les solutions de l'inéquation f(x g(x Résoudre l'inéquation f(x g(x Exercice 15 On donne ci-contre la courbe représentative de la fonction f définie sur [-1 ; 1] par f(x = x 3 Tracer sur le même dessin la représentation graphique de la fonction g définie sur [-1 ; 1] par g(x = 1 3 x x Trouver graphiquement les solutions de l'équation f(x = g(x Retrouver ces solutions par le calcul. Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 5

6 III Systèmes de deux équations à deux inconnues Remarque Une équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ; b (0 ; 0 correspond toujours à une équation de droite. Si b 0, on peut écrire y = - a b x - c. Il s'agit d'une droite oblique ou horizontale (parallèle à Ox. b Si b = 0, alors on a a 0 et on peut écrire x = - c a. Il s'agit d'une droite verticale (parallèle à Oy. Propriété ax + by + c = 0 On considère le système a'x + b'y + c' = 0 Soit D la droite d'équation ax + by + c = 0 et D' la droite d'équation a'x + b'y + c' = 0. On appelle déterminant du système le nombre : = ab' - ba'. Ensemble des solutions du système Graphique Les droites D et D' sont sécantes 0 Le système a un couple de solutions unique (x 0 ; y 0 y 0 x 0 Les droites D et D' sont strictement parallèles Le système n'a pas de solution. = 0 Les droites D et D' sont confondues Le système a une infinité de solutions : Tous les couples (x ; y de coordonnées des points de D (et de D' sont solutions. x y x y Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 6

7 Résolution par la méthode de substitution On exprime une inconnue en fonction de l'autre dans une équation, puis on remplace dans l'autre équation. Exemple x + 3y - 17 = 0 7x - y - 4 = 0 x = - 3y x - y - 4 = 0 = - 3y + 17 x 7(- 3y y - 4 = 0 = - 3y + 17 x = - 3y y y - 4 = 0 = - 3y + 17 x - 3y = 0 x y = x = - 3y + 17 y = 5 Le système a pour solution unique le couple ( ; 5 x = - 3 x y = 5 x = y = 5 Résolution par la méthode de combinaison linéaire On multiplie les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître une inconnue. Exemple x + 3y - 17 = 0 7x - y - 4 = 0 7x + 1y = 0 (7L 1 L 1 7x - y - 4 = 0 7x + 1y = 0 (L 1 - L L 3y = 0 x + 3y - 17 = 0 y = Le système a pour solution unique le couple ( ; 5 Exercice 16 x + 3y - 17 = 0 y = 5 Résoudre chacun des systèmes : x + y = 0 4x - y - 1 = 0 y + 5z = -9 x - y + 1 = 0 x + 3y - 11 = 0 y + 7z = -1 3 x + y - = 0 x - 3y - 11 = 0 3x + 3 y + 1 = 0 x + y + = 0 Exercice 17 1 x y - 1 = 0 3x + y - 6 = 0 Pour chacun des sytèmes, indiquer s'il a une solution unique, puis le résoudre. x - y = 46 x + y = 790 ; 3 3x + 4y = 0 4 x - y = 1 ; - x = 19 y ; 1x + 8y = 85 8x + 5y = x + 5y = 460 x = y = 5 Exercice 18 3x - y = 8 On considère le système : 5x + 3y = 7 Représenter graphiquement ce système et déterminer à partir de ce graphique l'ensemble de ses solutions. Exercice 19 Un jardinier a dépensé 4,60 euros pour des jacinthes à 0,60 euro l'une et des tulipes à 0,40 euro l'une. Il y a 19 tulipes de plus que de jacinthes.. Déterminer le nombre de jacinthes et le nombre de tulipes achetées. Exercice 0 (7L 1 L 1 signifie que la ligne 1 a été multipliée par 7 (L 1 - L L signifie que la ligne a été remplacée par la différence entre la ligne 1 et la ligne x = 0 y = 5 Lors d'un spectacle on a vendu des places à 16 euros (tarif plein et des places à 10 euros (tarif réduit. Il y a eu 85 spectateurs pour une recette de euros. Déterminer le nombre de places à tarif plein et le nombre de places à tarif réduit. Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 7

8 IV Systèmes d'ordre supérieur à Résolution par la méthode de Gauss En multipliant les équations par des constantes, puis en faisant la somme ou la différence, on fait disparaître une inconnue à chaque ligne. Exemple Résolution du système x + y - z = -8 x - 3y - z = 1 L'équation de la première ligne est notée L 1, celle de la deuxième ligne est notée L etc... x + y - z = -8 x - 3y - z = 1 (L L x + y - 4z = - 16 x - 3y - z = 1 (L -L 1 L 0x + y - 3z = - 16 x - 3y - z = 1 (L 3 L 3 0x + y - 3z = - 16 x - 6y - z = (L 3 -L 1 L 3 0x + y - 3z = x - 7y - z = y - 3z = y - z = La variable x a ainsi "disparu" de la deuxième et de la troisième équation. On poursuit pour supprimer la variable y dans la troisième équation. y - 3z = y - z = (L 3 +7L L 3 y - 3z = z = -110 (L 3 + 7L L 3 signifie que la ligne 3 a été remplacée par la somme de la ligne 3 et de la ligne multipliée par 7 On a alors obtenu un système appelé "système triangulaire" : la première équation fait intervenir trois inconnues, la deuxième deux inconnues et la troisième une seule inconnue. Ce type de système se résout facilement par substitution : y - 3z = z = -110 y - 3z = - 16 z = 5 x + y - 5 = 0 x + y - 5 = 0 y - 15 = - 16 z = 5 x - 6 = 0 y = - 1 y = - 1 z = 5 z = 5 Le système a donc pour solution unique le triplet ( 3 ;-1 ; 5. x = 3 y = -1 z = 5 Remarque Cette méthode peut être utilisée à la condition suivante : À chaque étape une ligne doit être remplacée par une combinaison de lignes la faisant intervenir. Par exemple on ne peut remplacer L 1 que par une combinaison faisant intervenir L 1. On peut donc remplacer L 1 par L 1 - L, mais on ne peut pas remplacer L 1 par L - L 3. Exercice 1 En utilisant la méthode de Gauss, résoudre chacun des systèmes suivants : -x + y - 3z = -10 x + 3y + 6z = 3 x + 3y - 5z = -17 ; x + y + z = 1 ; 3x + 5y - z = -14 x - 3y + 3z = 0 Exercice 3x + y + z = 7 x - y - 4z = 0 x + 5y - 6z = 1 En utilisant la méthode de Gauss, résoudre chacun des systèmes suivants : x + y + z + t = 10 x - y + z - t = - x + y - z = 3 x - z = 1 ; -x- y + z + t = 4 y + t = -11 x - 3y + 4z - 5t = -1 z + t = -3 Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 8

9 V Systèmes d'inéquations - Programmation linéaire Exemple : Système d'inéquations On considère le système d'inéquations : y -x- 1 y ³ 1 x - On trace la droite d 1 d'équation y = -x - 1 Les solutions de l'inéquation y -x - 1 sont les coordonnées (x ; y des points M se trouvant audessous de la droite d 1. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas. On trace la droite d d'équation y = 1 x - Les solutions de l'inéquation y ³ 1 x - sont les coordonnées (x ; y des points M se trouvant au-dessus de la droite d. On hachure sur le dessin le demi-plan qui ne convient pas. L'ensemble S des solutions du sytème est alors l'ensemble des couples (x ; y correspondant aux coordonnées des points M se trouvant dans la partie non hachurée. d 1 d Exercice 3 Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de chacun des systèmes suivants : y 1 x + 1 y ³ - 3 x + ; Exercice 4 x - y + ³ 0 x + 3y - 6³ 0 ; x + y x + y + 3 ³ 0 - x On considère le système x + y x - y - 3 < 0 x + y + ³ 0 Les couples (1 ; -1 ; (1 ; 1 ; (-1 ; 1 sont-ils des solutions du système? Représenter graphiquement l'ensemble des solutions de ce système. Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 9

10 Exemple : Programmation linéaire Un artisan fabrique deux types de jouets en bois notés A et B. Un jouet A nécessite 1 heure de travail et 3 kg de bois. Un jouet B nécessite 1 heure de travail et kg de bois. L'artisan dispose quotidiennement de kg de bois, il travaille au plus 8 heures par jour et limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités. On désigne par x et y les nombres respectifs de jouets A et B fabriqués par jour. Les contraintes peuvent s'écrire sous la forme d'un système (S d'inéquations portant sur x et sur y. Contrainte sur la production : L'artisan limite sa production quotidienne de jouets A à 7 unités, on doit donc avoir : x 7. De plus les nombres x et y sont des entiers positifs. Contrainte sur le bois L'artisan dispose quotidiennement de kg de bois. Pour chaque jouet A, il utilise 3 kg de bois. Lorsqu'il fabrique x jouets A, il utilise 3x kg de bois. Pour chaque jouet B, il utilise kg de bois. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il utilise y kg de bois. La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 3x + y kg de bois. La contrainte sur le bois se traduit donc par : 3x + y Contrainte sur le temps de travail L'artisan travaille au plus 8 heures par jour. Pour chaque jouet A, il travaille 1 heure. Lorsqu'il fabrique x jouets A, il travaille 1 x heures. Pour chaque jouet B, il travaille 1 heure. Lorsqu'il fabrique y jouets B, il travaille y heures. La fabrication de x jouets A et y jouets B utilise donc 1 x + y heures de travail. La contrainte sur le temps de travail se traduit donc par : 1 x + y 8 L'ensemble des contraintes se traduit alors par le système La représentation graphique de l'ensemble des solutions de ce système est la partie S non hachurée sur le dessin ci-contre. Remarque : x ³ 0 x 7 y ³ 0 3x + y 1 x + y 8 Le point P de coordonnées (4 ; 3 se trouve dans l'ensemble des solutions Cela signifie que la fabrication de 4 jouets A et de 3 jouets B est une fabrication qui respecte les contraintes Le point Q de coordonnées (6 ; 4 ne se trouve pas dans l'ensemble des solutions. Cela signifie que la fabrication de 6 jouets A et de 4 jouets B est une fabrication qui ne respecte pas les contraintes P Q O Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 10

11 Exercice 5 Donner un système d'inéquations caractérisant l'ensemble non hachuré sur le dessin ci-contre. Exercice 6 Une entreprise embauche des commerciaux, les uns sous contrat A travaillant 35h et payés 550 euros par semaine, les autres sous contrat B travaillant 0h et payés 0 euros par semaine. Le chef d'entreprise peut embaucher au plus 8 personnes sous contrat A et 15 personnes sous contrat B. Chaque semaine il dispose d'un budget de 5060 euros et 370h de travail, au moins, doivent être effectuées. On note x le nombre de personnes embauchées sous contrat A et y le nombre de personnes embauchées sous contrat B. Traduire les informations ci-dessus par un système d'inéquations. Pour satisfaire ses besoins, l'entreprise peut-elle embaucher : 7 personnes en contrat A et 7 personnes en contrat B? 4 personnes en contrat A et 1 personnes en contrat B? personnes en contrat A et 14 personnes en contrat B? Exercice 7 L'office du tourisme d'une ville décide de renouveler le mobilier d'un jardin public. Pour cela, il est nécessaire d'acheter au moins 39 tables de pique-nique, 40 bancs publics et 108 poubelles. Les deux fournisseurs contactés proposent chacun un type de lot : Lot Tables Bancs Poubelles Coût d'un lot (en euros Lot A Lot B On cherche à déterminer le nombre x de lots A et le nombre y de lots B à acheter pour que la dépense soit minimale. 1 Traduire les contraintes sous la forme d'un sys tème d'inéquations portant sur x et y. A tout couple (x ; y de nombres réels, on associe le point M de coordonnées (x ; y dans un repère orthonormal (O; i, j. On prendra 0,5 cm pour unité graphique. Déterminer graphiquement l'ensemble des points M du plan dont les coordonnées vérifient le système obtenu à la question précédente. Hachurer la partie du plan qui ne convient pas. 3 a Exprimer en fonction de x et y la dépense d occasionnée par l'achat de x lots A et de y lots B. b Les couples (x ; y correspondant à une dépense d donnée sont les coordonnées des points d'une droite d dont on donnera l'équation sous la forme y = ax + b. c Représenter graphiquement la droite d dans le cas particulier où d = a Déterminer à l'aide du graphique le nombre d e lots de chaque type à acheter pour obtenir une dépense minimale d m ; calculer cette dépense d m. b L'office du tourisme dispose d'une somme de euros. Peut-il réaliser cet achat? Déterminer graphiquement un couple (x ; y correspondant à une dépense de euros. Terminale ES Équations Inéquation Systèmes page 11