2009/2010. Elaboré par : ALI AKIR

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1 BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : Emil : kircm@gmilcom Site Web : Mths lycées, Site édctif Téléchrgemet grtit Fiches de cors/séries d eercices/devoirs à l miso/devoirs de cotrôle et de sythèse Sjets de révisio por le bcclrét/pls : Form de mths, por répodre vos qestios

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3 LIMITES Fiche de cors 4 ème Mths Cotiité et limites Soiet P et Q de foctios polyôme de degré et m et d moôme de pls ht degré et b m respectivemet lors P() P() lim P() lim ; lim P() lim lim lim ; lim lim m Q() b Q() b 4 Eemple : lim lim lim 5 Limites trigoométries si() t() cos() cos() lim ; lim ; lim ; lim si() t() cos() cos() lim ; lim ; lim ; lim cos() cos() cos() Eemple : lim lim ² lim ² si() si() si() ² Théorème d ecdremet Soit f, g et h trois foctios telles qe : f() h() g() por voisi de Si lors lim f lim g l (l R) Eemple : lim si O : si lors por tot > : si 4 m limh m l ( fii o ifii ) si por voisi de Alors o : lors lim si lim( ) lim Théorème de compriso Soit f et g de foctios telles qe : f() g() por voisi de Si lors lim g lim f f() g() por voisi de Si lors lim g lim f ( fii o ifii ) Eemple : Soit f() ²(cos() ) Clcler lim f() O : cos - lors cos isi f() ² f() por voi si de O lors lors lim f() lim ² Théorème ; foctio composé Soit f et g de foctios telles qe : lim f y et limg z lors limgo f z (, y et z fiis o ifiis ) y m

4 π Eemple : lim si π π O pet écrire h go f vec f : et g si() et h() si π π π π O : lim f() lim lim lim et lim g() lors lim h() π ASYMPTOTE lim f() b : y b est symptote horizotle lim lim lim f() ( f() )? ( f() ) b : y b est symptote obliqe lim f()? lim lim f() lim f() ( f() ) Brche prboliqe de cœfficiet directer FONCTION CONTINUE Défiitio : Ue foctio f est cotie e poit si lim f() f()? lim f() Brche prboliqe de directer (y y) lim f() Brche prboliqe de directer ( ) Défiitio : Ue foctio f est cotie sr itervlle I, si elle est défiie sr cet itervlle et si : por tot réel de I lim f() f() L foctio prtie etière *) L foctio Prtie etière qi à tot réel ssocie le pls grd etier reltif iférier à, oté E(), est représetée ci-dessos Por tot réel, o E () < E() pr eemple : E (,) et E(,) E est-elle cotie e?,, E() doc lim E() Por [ [ 4

5 Por [,[, E() doc lim E() Ces limites étt différetes, l foctio E dmet ps de limite e Doc E est ps cotie e *) l foctio Prtie etière est ps cotie sr R Elle est cotie sr,, où est etier reltif qelcoqe tot itervlle d type [ [ Théorème *)L imge d itervlle pr e foctio cotie est itervlle *)les foctios polyômes sot coties sr R *)les foctios rtioelles sot coties sr ler domie de défiitio c est à dire e tot poit où le déomiter e s le ps *)Si f est cotie e et g est cotie e f( ), lors go f est cotie e Théorème : *) Soit f e foctio f défiie sr itervlle de type [,b[ ( b fiie o ifii) Si l foctio f est croisste et mjorée lors f possède e limite fiie e b Si l foctio f est croisste et o mjorée lors f ted vers e b *) Soit f e foctio f défiie sr itervlle de type ],b] ( fiie o ifii) Si l foctio f est décroisste et miorée lors f possède e limite fiie e Si l foctio f est décroisste et o miorée lors f ted vers e Théorème de l vler itermédiire Si f est e foctio cotie sr itervlle [,b], lors por tot réel c compris etre f () et f (b), l éqtio f () c dmet mois e soltio α [,b] Corollire de TVI Si f est cotie sr I [,b] et telle qe f() f(b) < lors il eiste mois réel ],b[ tel qe f( ) Et si de pls f est strictemet mootoe sr I lors il eiste iqe réel ],b[ tel qe f( ) Corollire de TVI Si f est cotie sr I [,b] et e s le ps lors elle grde sige costte sr I Eemple : I[,] et f() f est dérivble sr I et o : f () ² > f()- et f()7 Alors o : f est cotie sr I, f() f() < et f est strictemet croisste sr I Alors il eiste iqe réel ],[ tel qe f( ) Illstrtios grphiqes f ( b) c f ( ) y c O α b f est cotie et strictemet croisste sr l itervlle [ ; b ] L éqtio f () c dmet e soltio iqe f ( b) c f ( ) y c O α b f est cotie et strictemet décroisste sr l itervlle [ ; b ] L éqtio f () c dmet e soltio iqe 5

6 f ( b) c f ( ) y c O α α α b f est cotie mis est ps mootoe sr l itervlle [ ; b ] L éqtio f () c pet voir plsiers soltios f ( b) c f ( ) O f est ps cotie sr l itervlle [ ; b ] L éqtio f () c pet e ps voir de soltios b y c 6

7 EXERCICE N Clcler les limites sivtes : ² ² lim ; lim ; lim ² ² lim ( ² ) ; lim ( ² ) ² ; lim * (,) R N ) ; ( ² ) lim, cos lim ; lim, lim ² 9 EXERCICE N Clcler les limites sivtes qd elles eistet : t() lim cos() ; π 4 4 ; lim ( ² ) ; lim ( ² ) ; lim 6 * N ; lim ( ² ² ) cos() lim ; lim π 4 si²() si t si cos ² lim ; lim cos si t π si cos ² EXERCICE N ; π, lim π ; lim 7 ; lim π ; lim cos ; 4 si si cos ( ) t lim t π lim, ( )t ( cos ) si² lim π O cosidère l foctio f défiie sr [ ; [ pr : f() si 4 Motrer qe, por tot, f() E dédire l limite de f e EXERCICE N 4 L foctio f est défiie sr IR pr : f () cos )) Motrer qe, por tot réel, f () b) E dédire les limites sivtes : lim EXERCICE N 5 Soit l foctio f : si ( cos ) ; )-Motrer qe por tot de R : f() b-e dédire lim f() Séries d eercices Cotiité et limites et lim f() lim si )Soit l foctio g défii sr R pr : g () f() si 5 - Motrer qe g est cotie e b- Motrer qe por tot, : g() c- E dédire lim g() Iterprète géométriqemet le résltt 4 ème ème Mths et lim cos ; ( cos ) ; 7

8 EXERCICE N 6 Soit l foctio ϕ défiie sr [ ; [ pr : ϕ() cos )Motrer qe, por >, ϕ() ) E dédire l limite de ϕ e EXERCICE N 7 cos Soit l foctio f défiie sr, pr : f() )Démotrer qe por tot > o : f() ) E dédire l limite de f e EXERCICE N 8 Soit f l foctio défiie sr R pr : f() ² O ote C f s corbe représettive ds le pl mi d' repère orthoormé f() Clcler lim f(), lim Iterpréter grphiqemet EXERCICE N 8 O désige pr ζ l corbe représettive de f ds repère orthoormé Soit f : vec ² grphiqemet EXERCICE N 9 Soit l foctio f défiie pr * N Etdier sivt lim f () f() m ² m ² p si si Détermier m et p por qe f soit cotie sr R EXERCICE N ² si O cosidère l foctio f défiie pr : f () ² si )Etdier l cotiité de f e )Etdier sivt l cotiité de f e et - )Eiste-t-il des vlers de por lesqelles f est cotie sr R EXERCICE N Soit l foctio f défiie pr f() ² si R { } 7² 5 ) Détermier le domie de défiitio D f de f )Détermier le réel por qe f soit cotie e EXERCICE N Soit l foctio f défiie pr : f() ( ) )Détermier le domie de défiitio D f de f )Pet-o prler de limite e por f? Jstifier )Détermier le domie de cotiité D c de f f (), lim Iterpréter ], ] { } [, [ et f() ],[ ],[ 8

9 4 )Clcler lim f() et lim f() EXERCICE N Clcler les limites sivtes qd elles eistet : lim si ; lim E lim ( ) si ² ; EXERCICE N 4 Répodre pr Vri o F E lim E ; lim si si ; )Si lim f(), lim g() ; E lim ; lim cos ² )Si lim f() et si g()< por tot, lors E() lim ; ² si() si lim si si et si, por tot réel, f() > g(), lors lim[ f() g() ] lim f()g() )Si lim f(), lors soit lim, soit lim f() f() EXERCICE N 5 si() O dmet l eistece d e limite réelle e por f() ) E trsformt coveblemet f(), trover l vler de cette limite ) Utiliser le résltt précédet por détermier : EXERCICE N 6 Clcler 6 lim EXERCICE N 7 ( ) t() lim et cos() lim 4 )Démotrer qe l éqtio : - dmet e iqe soltio α ] ; [ ) Doer e vler pprochée pr déft de cette α à près EXERCICE N 8 Démotrer qe l éqtio : 4 ps de soltios sr R EXERCICE N 8 Motrer qe l éqtio dmet mois e rcie réelle Pls géérlemet, motrer qe tote éqtio polyomile de degré impir dmet mois e rcie réelle Q e estil si le degré est pir? EXERCICE N 9 )Soit : [, ] [, ] f e foctio cotie Motrer qe l éqtio f() dmet mois e soltio sr[, ] )Pls géérle : Soit f : [,b] J [,b] dmet mois e soltio sr[,b] )Soit e foctio : [,b] R Motrer q il eiste [,b] e foctio cotie Motrer qe l éqtio f() f cotie, et α, β des réels strictemet positifs c tel qe : α f( ) βf( b) ( α β) f( c) ² ; 9

10 EXERCICE N Soit f e foctio de [, b] ds [, b] telle qe y : f() f(y) < k y vec < k < Motrer qe l éqtio f() dmet lors tojors e et e sele soltio sr [, b] EXERCICE N Trover totes les pplictios f : R R, cotie e et por tot de R o : f ( ) f() EXERCICE N Trover totes les pplictios : R R f f() cos f, cotie e et por tot de R o : ( )

11 Théorème Soit réel fii o ifiie lim, si et selemet si, lim et lim Théorème Tote site covergete est borée Théorème Soit l et l ' de réels Soiet ( ) et ( v ) de sites covergetes respectivemet vers l et l ' S il eiste etier tel qe, por tot :, lors l S il eiste etier tel qe, por tot :, lors l S il eiste etier tel qe, por tot : m M, lors m l M S il eiste etier tel qe, por tot : v, lors l l' Covergece et divergece () est mjorée Si lors () est covergete vers réel l et por tot de I : l () est croisste () Si () l Si () () () Si () est est est est est est Clcl de limite mi orée décroisste o o croisste mjorée décroisste mi orée () est covergete vers Si f est cotie e l lim l ( l fii o if ii) Si lim f() e l Fiche de cors lors () est covergete vers réel l et por tot de I : lors lim lors Soit () l site défiie pr f( ) () est covergete vers l Si f est cotie e l Site djcete I v Si ( ) est croisste et (v lim ( v ) même limite Théorème d ecdremet l lim lors lim f( ) f( ) lors lim f( ) e Sites réelles lors l f( l) ) est décroisste 4 ème ème Mths l lors ( ) et ( v ) coverget vers le

12 Si l w lim v lim w v : N / lors l lim Si v lim v : N / lors lim Si w lim w : N / lors lim Si v lim v : N / lors lim Site rithmétiqe Site géométriqe ( ) ( ) { } > < < p k p p p k k k * p p p p k k k k k k fois s p s p s p q q q q q q q q q q q q R q tot por ) )( p ( ) )( ( ) ( k ) ( q si ps eiste ' q si q si q si q lim lim lim sg o v v v v v s o q v v s)r (p q v v r qv v r * * * sg géométriqe * * * Site * * * s rithmétiqe * * * Site

13 EXERCICE N Motrer qe : por tot de N * : π ) cos et si fois π )E dédire qe π Lim ( ) EXERCICE N Soit [, ] α, o cosidère l foctio f défiie sr pr : fois f () )Soit por tot de N : et v π 4 π 4 )Eiste t il vler de α tel qe f soit cotie e EXERCICE N Eprimer e foctio de ) et por tot de N : ) ) 4 ),, et por tot de N : et por tot de N : fois si α si si Clcler f ( ) et ( v ) et por tot de N * : ( ) ( ) 5 EXERCICE N f ) Soit réel tel qe < Motrer qe : por tot k de N : ( ) k k )Soit () l site défiie sr N * pr : () Etblir l églité sivte : por tot de N * : (b) E dédire qe : por tot 6 : (c) Motrer qe : por tot 6 : EXERCICE N 4 Séries d eercices Soiet et b de réels tels qe < b et ( ) b et N* : b b ) O sppose qe <b est miorée pr b () Motrer qe ( ) (b) Etdier l mootoie de l site ( ) Sites réelles 6 6 E dédire lors l site défiie pr : 4 ème ème Mths lim e dédire q elle est covergete

14 ) Soit v l site défiie pr : N* : v () Motrer qe v est e site géométriqe (b) E dédire e foctio de, et b (c) Clcler lors lim ) O sppose qe b () Clcler,,, e foctio de (b) Eprimer lors EXERCICE N 5 4 e foctio de et pis Soit l foctio f :R R, f() b lim O cosidère l site réelle défiie pr et N )() Motrer qe : N : p (b) Etdier l mootoie de (c) E dédire qe est covergete )() Motrer qe : (b) E dédire : EXERCICE N 6 N, p N, p p (p ), où p est réel tel qe p > p p p O cosidère l site défiie pr et N: ) Motrer qe ) E dédire qe : p N, : f( ) p p E dédire lors lim et sot de siges cotrires p ) E dédire qe si est covergete, lors 4 ) Vérifier qe : N*, 5 ) () Motrer qe :, 4 p lim 9 (b) E dédire, 4 () Motrer qe est covergete et préciser s limite EXERCICE N 7 O cosidère les sites et v défiies sr N pr : v et por tot de N : v et v )Motrer qe por tot de N o : et v )Soiet et b de sites défiies sr N pr : et b v )Motrer qe por tot de N o : b)e dédire qe por tot de N o : b et b et b c)e tilist les résltts de b/, motrer qe por tot de : d)étdier lors l covergece des sites ( ) et ( v ) p p EXERCICE N 8 b p p et b p p 4

15 ) Motrer qe por tot réel positif o : ) Motrer qe por tot etier trel : ( ) k k si 6 ²( )² 4 k si k ² )Soit réel positif fié et ( ) l site défiie sr N * pr : ( ) () Motrer qe por tot de N * ( ) ( )² : 4 4 est covergete et clcler s limite ( ) (b) E dédire qe ( ) k ² k 4 ) Soit v l site défiie sr N * pr : v si ( ) () Motrer qe por tot réel : si 4 si - 4 si 4 lim v (b) E dédire qe : v ( ) ( ) (c) Clcler lors : EXERCICE N 8 )Etdier les vritios de l foctio g défiie pr : g() 5 sr R 4 ( ) )E dédire qe l'éqtio 5 possède trois rcies, b, c, vec < b < c Doer des vlers pprochées de, b, c à - près (O trove :, ;, ;,) )O cosidère l site défiie pr so premier terme, et pr l reltio de récrrece : N ( ) 5 ) Motrer qe l site est mootoe b) Si l site est covergete, qelles sot les vlers possibles de s limite? c) Etdier l site ds les trois cs prticliers sivts : - ; ; EXERCICE N ) Soit ( ) l site réelle défiie sr N pr () Motrer qe por tot de N o : < (b) E dédire qe ( ) ) Soit v l site de terme géérl : v et por tot de N : < est covergete et clcler s limite () Motrer qe por tot de N o : v v (b) E dédire qe por tot de N : v (c) Dédire lim v et l epressio de (d) O pose por tot de N : p v v v ) Soit l site s défiie sr N * pr s k k Clcler p pis clcler p lim v 5

16 * () Motrer qe por tot N (b) E dédire qe por tot de N,, o : < < ( ) < 5 4 < 5 (c) Motrer qe por tot de N * 5 ; s 4 E dédire lors lim s EXERCICE N > Soit l site réelle défiie sr N pr : * vec R et N )Por qelle vler de l site est costte )Motrer qe por tot de N : > )O sppose ds l site qe : ² () Motrer qe por tot de N : (b) Motrer qe por tot de N : (c) Motrer qe por tot de N : ( ) ² ( ) ² (d) Motrer qe si est covergete elle coverge écessiremet vers (e) Motrer qe est strictemet décroisste et q elle coverge et détermier s limite 4 )Soit por tot de N : () Clcler (b) E dédire v (c) Clcler lors : 5 )O sppose qe : v e foctio de v v e foctio de et lim v pis () Motrer qe por tot de N : (b) Motrer qe por tot de N : (c) Motrer qe por tot de N : (d) E dédire lim v lim > EXERCICE N ) Soit l foctio f : f() ² () Etdier les vritios de f (b) Résodre ds R : f() < ( ) < (c) Motrer qe si : lors f() )Soit l site réelle défiie pr : et N f, ( ) 6

17 () Motrer qe N, (b) Etdier l mootoie de (c) Motrer qe est covergete et clcler s limite ) N, o pose v () Motrer qe v est e site géométriqe (b) E dédire l epressio de (c) Retrover lim 4 )O pose s, N* k k () Motrer qe N* : (b) E dédire : lim s 5 )O pose : N* : r () Motrer qe N* (b) E dédire qe ( ) (c) Motrer qe ( ) * N et 6 )Soit, p tel qe > p s lim s s ² : s ( ) s s r est site croisste r est e site covergete et trover s limite l () Motrer qe : ( ) (b) E dédire qe : p p s p r (c) Motrer qe : p N* l E dédire l vler de l EXERCICE N p O se doe de réels et b tels qe b O défiit les sites ( ) et ( ) v v, v b, N : et v )Etblir e reltio etre v et v )E dédire l epressio de v e foctio de, et b v pr les reltios : )E dédire l epressio de e foctio de,, et b 4 )Motrer qe les sites et v coverget vers e limite comme qe l o détermier EXERCICE N 4 O défiit des sites ( ) et ( ) et v v )Motrer qe ( ) v pr :, v > et por tot de N : et décroisste et ( ) v est croisste )Motrer qe por tot de N : v et v ( v ) v sot covergetes et ot même limite )E dédire qe ( ) et ( ) v 7

18 EXERCICE N 5 Soit (, b) R² tel qe < < b O défiit les sites ( ) et ( v ) sr N pr : v v ( v ) )Motrer qe ( ) et ( ), v coverget vers e même limite l >, b v π )O sppose qe bcos φ ; < φ < Eprimer l e foctio de b et φ EXERCICE N 6 Por tot de N *, o pose : )Clcler et C 4 * )Prover pr récrrece qe N : )Motrer q il eiste l, tel qe : lim l 4 )Motrer qe > : 4( ) ( ) 8 ( ) * 5 )E dédire qe k N : k k k k k 8k 8 k 8 k 8 k * 6 )E cdrer (por p > ), pis étblir : N : l l p )E dédire l mjortio sivte : 8 )Commet sffit-il de choisir por qe EXERCICE N 7 Prover qe l site de terme géérle EXERCICE N 8 O cosidère l site de terme géérle * N : )Motrer qe les sites ( ) et ( ) )Dédire qe l site ( ) EXERCICE N 9 O cosidère l site de terme géérle ( ) v k ( ) l l 8 6² 8 soit e vler pprochée de l à -5 prés? est croisste sr N * k est covergete )Motrer qe les sites ( ) et ( ) )Dédire qe l site ( ) ( ) k k sot des sites djcetes ( ) ( k ) k! k est covergete sot des sites djcetes 8

19 EXERCICE N Soiet les de réels et b, tels qe < < b, et les de sites ( ) et ( v ) N N v b v ( v ) et v v v )Motrer qe por tot de N, v > )Motrer qe les de sites ( ) et ( v ) N N )Dédire qe les de sites ( ) et ( v ) N N 4 )Motrer qe l site ( ) N sot covergetes sot djcetes w défiie pr so terme géérl 5 )Dédire l vler des limites des sites ( ) et ( v ) N N EXERCICE N défiies pr : w est costte v e foctio de et b ) Por tot etier trel, o ote F Clcler F, F, F, F ) Démotrer pr récrrece qe por tot >, o : F F F F ) Motrer qe l site ( ) F est croisste et o mjorée Qelle est s limite? EXERCICE N Répodre pr Vri o F e jstifit l répose Soiet l, k et q des réels tel qe < k < et < < )Si N : l k l lors est covergete ) Si N : l k l lors s est covergete tel qe : ) Si N : l k l lors est covergete 4 ) Si N : k 5 ) Si N : l k 6 )Si ( ) est croisste et ( v ) N N 7 )Soiet et v de sites réelles tel qe : Si : lim ( v v ) 8 )Si ( ) l lors lim ( ) l lors est covergete est décroisste lors ( ) lors lim lim v lim lors lim * N : s k v est décroisste k 9

20 Fiche de cors Défiitio Soit f e foctio défiie sr itervlle overt cotet f( h) f() O dit qe f est dérivble e s il eiste ombre réel l tel qe : lim l o ecore h h f() f() lim l Le réel l, lorsq il eiste, est ppelé le ombre dérivé de f e, il oté f '() (*) Si f est dérivble e lors l corbe représettive de f dmet poit M(, f() ) e tgete T d éqtio : y f '() ( ) f() Le vecter directer de cette tgete : est f' () Eemple : Soit f : Motrer qe f est dérivble e où est réel qelcoqe Dérivbilités f() f() ( )(² ² ) lim lim lim lim(² ² ) ² lors f est dérivble e et o : f '() ² Défiitio Soit f e foctio dot le domie de défiitio cotiet itervlle de l forme : ]-h, ] ( h >) f( h) f() O dit qe f est dérivble à gche e s il eiste ombre réel l ' tel qe : lim l' h h f() f() o ecore lim l' Le réel l ', lorsq il eiste, est ppelé le ombre dérivé de f à gche e, il oté f' g () Défiitio Soit f e foctio dot le domie de défiitio cotiet itervlle de l forme : [, h[ ( h>) f( h) f() O dit qe f est dérivble à droite e s il eiste ombre réel l '' tel qe : lim l' ' h h f() f() o ecore lim l' ' Le réel l '', lorsq il eiste, est ppelé le ombre dérivé de f à droite e, il oté ' () Coséqeces : ) f est dérivble e si et selemet si f' g () ' () ombre fii )Si f est dérivble à droite de lors l corbe représettive de f dmet poit M (, f() ) e demi tgete T d d éqtio : T : y f' ()( ) f() et f d d d )Si f est dérivble à gche de lors l corbe représettive de f dmet poit M (,f( ) ) demi tgete T g d éqtio : T : y f' ()( ) f() et g g 4 ème ème Mths f d e

21 f() f() f( h) f() Iterpréttio grphiqes : lim o ecore lim h h Si : Iterpréttio grphiqe : f() f() f() f() C lim o lim f dmet e poit M(, f() ) demi tgete verticle dirigé vers le ht d éqtio : et y f() f() f() f() lim o lim f() lors C f dmet e poit M(, f() ) demi tgete verticle dirigé vers le bs d éqtio : et y f() Eemple : Etdier l dérivbilité de f à droite de poit d bscisse et iterpréter l résltt tel qe : f() f() f() lim lim lim lors l corbe lors C f dmet e poit ( ) d éqtio : et y M, demi tgete verticle dirigé vers le ht Approimtio ffie : Soit f e foctio défiie sr itervlle overt cotet Si f est dérivble e, lors : f ( h) f() f' () h O dit qe f () f' () h est e pproimtio ffie de f ( h), por h voisi de zéro Eemple : Trover e vler pprochée de ( 98) f' (4) Soit f :, 4 et h - lors f(4 ) f(4) lors (98) 6, 4 ( le clcltrice doe : 6, 4479 ) Foctio composée Si f est dérivble sr itervlle I et g dérivble sr itervlle J f( I ) lors g o f est dérivble sr I et o por tot de I : ( go f) () f () ( g o f )() Théorème de Rolle Soit f e foctio cotie sr itervlle fermé boré [,b] et vérifit f() f(b) Si f est dérivble sr ],b[ lors il eiste mois élémet de ],b[ tel qe : f ( ) Théorème des ccroissemets fiis Soit f e foctio cotie sr itervlle fermé boré [,b] et dérivble sr ],b[ f(b) f() Alors il eiste mois élémet de ],b[ tel qe : f ( ) b Ses de vritio Soit f e foctio cotie sr [,b] et dérivble se ],b[ Si f () sr ],b[ lors f est croisste sr [,b] Si f () > sr ],b[ lors f est strictemet croisste sr [,b] Si f () sr ],b[ lors f est décroisste sr [,b] Si f () < sr ],b[ lors f est strictemet décroisste sr [,b] Si f () sr ],b[ lors f est costte sr [,b] Iéglités des ccroissemets fiis Soit f e foctio cotie sr itervlle fermé boré [,b] et dérivble sr ],b[ Si : eiste de réels m et M tels qe : m f () M por tot de ],b[ f(b) f() O lors : m M b Si por tot de ],b[ : f' () k lors f(b) f() k b

22 Poit d ifleio Soit réel et f e foctio de fois dérivble sr itervlle overt cotet Si f s le e, e chget de sige, lors le poit I(, f( )) est poit d ifleio Tble de dérivé : Foctio f Foctio dérivée f Domie de défiitio de f f() k ( costte) f () R f() f () R f()b f () R f() * ( Z ) f () - R si > ; R * si < f() R * f () R * f() f () - ² f() cos() f () - si() R f() si() f () cos() R f() t() π f () t²() R k ;k Z cos ²() f() cos(b) f () - si(b) R f()si(b) f () cos(b) R f()t(b) f () ( t²(b) π b R k ;k Z Opértios sr les derives Lorsqe et v sot des foctio dérivble sr itervlle I Foctio Dérivée Coditios v v k ( k costte) k v v v v' v sr I v v² 'v v' v sr I v v² * ( Z ) - > sr I si ' > sr I ' v' o vo ( )

23 EXERCICE N O défiit l foctio f de période e dot sr [, [ : f( ) b² c f-est-elle dérivble sr R? EXERCICE N π Comprer, sr,, 9 t et t ( 9) EXERCICE N Motrer qe : p N, il eiste réel c ] p,p [ tel qe : cos( p ) cos p sic EXERCICE N 4 Motrer qe : π )Por tot de,, o : si π π 4 ) Por tot de,, o : t 4 π π π ) Por tot de,, o : cos π π π π π 4 ) Por tot de, o : cot () ) Por tot > : 6 )Motrer qe π π π idictio : f :, R, f() si() 6 4 EXERCICE N 5 π Motrer qe : por tot de,, o : si t EXERCICE N 6 Soit > Por tot de N* : O cosidère l foctio polyomile P défiie pr l reltio: P () k ) Motrer qe l'éqtio P () dmet e soltio positive et e sele, qe l'o oter Motrer qe < Séries d eercices Dérivbilités ) Etdier le sige de P ( ) ) Motrer qe l site ( ) E dédire qe l site ( ) est covergete O ote l s limite Prover qe l < 4 ) Motrer qe por tot ombre etier trel o l le ombre ( ) E dédire qe: l EXERCICE N 7 Por tot etier spérier o égl à, o défiit l foctio f pr : 4 ème ème Mths k est mootoe est soltio de l'éqtio:

24 R : f () 9² 4 ) )Motrer qe l'éqtio f () ' q'e sele soltio strictemet positive, otée b)clcler et c)vérifier qe : N*, ) ) Motrer qe, por tot élémet de ], [ b)e dédire le sige de ( ) c)motrer qe l site ( ) ) )Détermier l limite de ( ) b)doer efi l vler de l EXERCICE N 8, o : f () < f () f, pis les vritios de l site ( ) est covergete O ote l s limite lorsqe ted vers Soit f e foctio ifiimet dérivble sr R(ie : N, f est fois dérivble sr R) * Telle qe N, (,b ) R² / R f f b N *, o ( ) ( ) ( ) )Motrer qe ( ) * est e site géométriqe et ( b ) * )Clcler N et b e foctio de, et b )Trover eemple de foctio f vérifit les hypothèses ci-desss est e site rithmétiqe EXERCICE N 9 :Soiet f et g de foctios coties sr fermé [,b], dérivbles sr ],b[ qe : f ( ) g( b) et f ( b) g( ) ( < b) )Motrer qe q il eiste [,b] f g ) Motrer qe q il eiste ],b[ EXERCICE N tel qe : ( ) ( ) tel qe : f' ( ) g' ( ) Soiet f et g de foctios coties sr [,b], dérivbles sr ],b[, ( < b) O sppose qe ],b[ : g' ( ) )Motrer qe l o : g( ) g( b) )Soit l foctio h défiie sr [,b] pr : h( ) f( ) f( ) ω( g( ) g( ) ) ω Clcler ω por qe l o it h ( b) f' ( c) f( b) f( ) )L vler de ω étt celle de ), prover qe : c ],b[ / g' ( c) g( b) g( ) f' ( ) f( ) f( ) 4 )E dédire qe : Si lim l lors lim l g' ( ) g( ) g( ) cos 5 )Appliqer le résltt por clcler : lim ; ² EXERCICE N Soit f e foctio de fois dérivble sr R )Motrer qe : si f est pire lors R f ' )Motrer qe : si f est impire lors EXERCICE N / ( ) où R si lim b R / f '' ( b) O doe réel t> Soit l foctio f : t( ) )Prover qe, por tot etier trel o l, l éqtio : f () dmet e soltio et e sele comprise etre et Soit )Motrer qe, por tot de N* : )E dédire qe ) ( est croisste cette rcie ( ) t( ) 4 )E dédire qe ( ) est covergete et clcler s limite f, telles 4

25 Théorème : Soit f e foctio strictemet mootoe sr itervlle I O lors les propriétés sivtes : (*) l foctio f est e bijectio de I sr f(i) (*)L foctio f - est e bijectio de f(i) sr I et o : ( I, y f() ) ( y f(i), f - (y) ) (*)L foctio f - est strictemet mootoe sr f(i) et l même ses de vritios qe f (*) Les corbes représettives de f et f -, ds repère orthoormé, sot symétriqes pr rpport à l première bissectrice d repère (y ) Si est d pls f est cotie sr I lors f - est cotie sr f(i) Si est d pls f est dérivble sr I et f () por tot de I lors : ( f ) () por tot f' ( f ()) de f(i) Eemple :Soit f() Motrer qe f rélise e bijectio de I, sr itervlle J q l o préciser Correctio Epliciter f - () por tot de J O I : f () < ( )² lors f est strictemet décroisste et cotie sr I lors f rélise e bijectio de I sr J f(i) lim f(); lim f() ( ),,5 Por tot J : y f - () éqivt à f(y) et y I y éqivt à et y I éqivt à : y y et y I éqivt à y et y I y lors por tot de J : f - () Théorème L foctio réciproqe de l foctio f défiie sr R pr : f() ( ) est ppelée foctio rcie ième Por toit de R, le réel f - () est oté ( lire rcie ième de ) f - () (*) f - est défiie, cotie et strictemet croisste sr R elle est bijective de R sr R (*)Por tot réel de R, o : et ( ) (*) lim (*) est dérivble sr R est s foctio dérivée est : Eemple : Soit f() )Motrer qe f est cotie sr l itervlle I [, [ )Clcler lim f() Fiche de cors 4 ème Mths Foctios réciproqe )Motrer qe est strictemet croisste sr I Correctio : )L foctio : g : est cotie et positif sr I L foctio : est cotie sr R g(i) 5

26 Alors l foctio f est cotie sr I cr f est comme composée de foctio coties )o : lim ( ) et o : lim doc d près le théorème sr l limite d e foctio composée o : lim f() )Soit et b de élémet de I tel qe < b O : < b < b < b f() <f(b)alors est strictemet croisste sr I Résoltio d éqtio : Soit réel et etier spérier o égle à Si est impir et, l éqtio dmet e iqe soltio : Si est impir et <, l éqtio dmet e iqe soltio : Si est pir et, l éqtio dmet comme soltios : - et Si est pir et <, l éqtio dmet ce soltio Théorème Por et y R, et p de etiers vérifit : et p o : p ( ) p ; p p ; p p ; y y ; y Théorème Soit e foctio dérivble et positive sr itervlle I et etier y ( y>) L foctio f : () est cotie sr I et dérivble e tot réel de I tel qe ( ) ' () Et o, f' () por tot de I tel qe () > () 6

27 BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : Emil : kircm@gmilcom Site Web : Mths lycées, Site édctif Téléchrgemet grtit Fiches de cors/séries d eercices/devoirs à l miso/devoirs de cotrôle et de sythèse Sjets de révisio por le bcclrét/pls : Form de mths, por répodre vos qestios 7

28 EXERCICE N O pose por réel strictemet positif l foctio f défiie sr [,] pr : Por tot [,], f() ( ) ) Motrer qe f rélise e bijectio de [ ;] sr [ ; ] O ote f s bijectio réciproqe ) Doer le tble des vritios de ) Motrer qe EXERCICE N f f Soit f l foctio défiie sr [, [ f e précist les vlers bores pr f () 4² )Etdier l cotiité et l dérivbilité de f sr [, [ )Motrer qe f est e bijectio de [, [ sr itervlle J qe l o préciser )Sr qel esemble f est-elle cotie? 4 )Epliciter f () por J 5 )Motrer qe l éqtio f () dmet e soltio iqe α, 4 EXERCICE N Soit f : f() )Détermier le domie de défiitio D f de f )Etdier l dérivbilité de f sr D f )Motrer qe f est e bijectio de [, [ sr itervlle J qe l o préciser 4 ) Epliciter f () por J EXERCICE N 4 Soit f : f() ² ) Etdier l dérivbilité de f sr R ) Motrer qe f est e bijectio de R sr itervlle J qe l o préciser ) Epliciter f () por J 4 )Motrer qe EXERCICE N 5 f f est dérivble sr J et clcler ( )' () - O cosidère l foctio f défiie sr [-,] - { } pr : f() O ote pr C s corbe représettive ds repère orthoormé R Prtir A )Clcler lim f() ; lim - f() et iterpréter les résltts obtes Séries d eercices Foctio réciproqe )Etdier l dérivbilité de f e poit d bscisse et iterpréter le résltt obte ) Etdier l dérivbilité de f e poit d bscisse - et iterpréter le résltt obte - 4 )Motrer qe : ]-,[ - { } : f () - 5 )Dresser le tble de vritio de l foctio f, sr itervlle J qe l o préciser 6 )Motrer qe f rélise e bijectio de ] [ 4 ème ème Mths 8

29 7 )Epliciter f - () por tot de J 8 ) Représeter ds le même repère R l corbe C et C de f - Prtie B Soit g l foctio défiie sr, π pr g() f ( cos ) ) Motrer qe por tot de :, π, g() t() )Etdier le ses de vritio de l foctio g ) Motrer qe l éqtio : g() dmet e iqe soltio α ds, π et vérifier qe : π < α < 4 5 ) Motrer qe g rélise e bijectio de, π sr itervlle K q l o préciser 6 )Motrer qe g - ' est dérivble sr K et K : ( g ) () ² EXERCICE N 6 pr : f() ² Soit l foctio f défiie sr [, [ )Motrer qe f est dérivble sr ], [ et clcler f () )Etdier l dérivbilité de f à droite e et iterpréter le résltt obte )Dresser le tble de vritio de f 4 )Motrer qe f rélise e bijectio de [, [ sr itervlle J qe l o préciser 5 )Motrer qe por tot de J : f - ² () 6 )O désige pr C et C les corbe respectives de f et f - ds même repère orthoormé motrer qe l droite D : y est e symptote obliqe à C 7 )Trcer C et C 8 )Soit g l foctio défiie sr, π pr g() f cos() ) Motrer qe por tot de, π si(), g() cos() b) Motrer qe g rélise e bijectio de, π sr itervlle K q l o préciser c) Motrer qe g - ' est dérivble sr K et por tot de K : ( g ) () ² EXERCICE N 7 si ],] Soit f : R R ; ² si ], [ )Clcler : lim f() et lim f() )Etdier l cotiité de f sr D f )Etdier l dérivbilité de f e o 4 )Clcler f () pis dresser l tble de vritio de f, e soltio iqe α 5 )Motrer qe l éqtio f() dmet ds ] ] Vérifier qe α, ) Motrer qe g rélise e bijectio de ], [ sr itervlle J qe l o preciser b) Soit g - l foctio réciproqe de g 6 )Soit g l restrictio de f sr ], [ 9

30 i) Etdier l cotiité et l dérivbilité de g - sr J ii) Epliciter g - () ; por tot de J EXERCICE N 8 ² f() si > Soit f : ² π π f() t si 4 4 ) Etdier l cotiité et l dérivbilité de f sr s domie de défiitio π )Soit g l restrictio de f à, 4 π - Motrer qe g est e bijectio de, sr itervlle J qe l o préciser 4 b- Détermier le domie de dérivbilité de g, pis epliciter ( g ) ( ) π )-Moter qe l éqtio g () dmet e soltio iqe α, 4 b-e dédire qe le poit I( α, α) ( ζg ) I D où ( g ) ζ est l corbe représettive de repère orthoormé et D est l droite dot e éqtio crtésiee est : y - EXERCICE N 9 π π Soit f l foctio défiie sr, pr : f () t π π )Motrer qe f rélise e bijectio de, sr R )Soit h l foctio réciproqe de f Motrer qe h est dérivble sr R et clcler h '() por tot R )Soit φ l foctio défiie sr [, [ pr : ϕ( ) h et clcler '(), - Motrer qe ϕ est dérivble sr [, [ π b- E dédire qe : [, [ ) 4 )Soit g l foctio défiie sr [,[ ϕ por tot [ [, ϕ ( h() 4 pr : g () h ( )h() et clcler g '() et g ( ) - Motrer qe g est de fois dérivble sr [,[ b- Etdier les vritios de ' g sr [,[ pis e dédire celles de g π c- E dédire q il eiste iqe réel c ],[ tel qe c t 8c 5 )-Motrer qe l éqtio : h ( ) h() dmet mois e soltio α R b-motrer qe α vérifier : α α α EXERCICE N Soit f : )Détermier le domie de défiitio D f de f )Etdier l cotiité et l dérivbilité de f sr D f )Motrer qe f dmet prologemet pr cotiité e, défiir ce prologemet g ds

31 EXERCICE N π Soit f l foctio défiie sr, pr : f() cos π )Etdier le dérivbilité de f sr, π )Motrer qe f est e bijectio de de, sr [,] )Soit f l réciproqe de f, clcler ( ) f 4 )Préciser le domie K de l dérivbilité de 5 )Détermier l epressio de ( f ) ( ) EXERCICE N f por tot de K Soit f l foctio défiie sr [, [ pr f () )Soit ], [ Motrer qe por tot [, ] )E dédire qe por tot ], [ )E dédire lim ( ) o : β o : ( ) ( ) f ( β ) ² ² f ( β) ² ² EXERCICE N si Soit f : R R ; f() ² si < < si )Etdier l cotiité de f sr R )Motrer qe f rélise e bijectio de R sr R si )Etblire qe : f () si < < si EXERCICE N π Soit f l foctio défiie sr, pr : f() si() )Etdier les vritios de f π )Motrer qe f est e bijectio de, sr itervlle I qe l o détermier )O désige pr g l foctio réciproqe de f Clcler : g(), g( ) et g() 4 )Motrer qe g est dérivble sr I et qe : I : g' () ² π 5 )Soit h l foctio mériqe défiie sr, pr : h() f() 4 π π Motrer qe l éqtio h() dmet e soltio iqe telle qe : < <

32 EXERCICE N Prtie I : O cosidère l foctio g défiie sr [,[ pr : g() ² )Motrer qe g est ps dérivble à droite e )Etdier les vritios de g et e dédire qe g dmet e foctio réciproqe itervlle I qe l o détermier )Epliciter g () por I g défiie sr π 4 )Vérifier qe por tot, : g t t π Prtie II : O cosidère l foctio f défiie sr, pr : f() t )Etdier l dérivbilité de f à droite e Iterpréter grphiqemet le résltt π )Dresser le tble de vritios de f et e dédire qe f est e bijectio de, sr itervlle J qe l o détermier π )Motrer qe por tot de, : f '() > π 4 )Motrer qe l éqtio f() dmet ds, e soltio iqe α et vérifier qe π π α, )E dédire le sige de : f() 6 ) O cosidère l site défiie sr N pr f () - Motrer qe por tot de N : α b- Motrer qe l site est décroisste c- E dédire qe est covergete et doer s limite π Prtie III : O cosidère l foctio défiie sr, pr ϕ ( ) t )Motrer qe ϕ dmet e foctio réciproqe ϕ défiie sr itervlle J ' qe l o détermier )Motrer qe por tot de ], [ o : ( ϕ ) () 4 )Clcler π ϕ () et motrer qe por tot de ], [ : ϕ () ϕ EXERCICE N 4 Prtie I : Soit l foctio f défiie sr ], [ pr : f() ² )Etdier les vritios de f 4 )Motrer qe l éqtio f() dmet ds ], [ soltio iqe α et qe α > 5 )E dédire le sige de f(), sr R 4 )Motrer qe f rélise e bijectio de ] [ 5 )Motrer qe, por tot de R o : f () ( )² Prtie II : Soit l site défiie sr N pr f )-Motrer qe, por tot de N, α [, α] ()

33 b-motrer qe l site est croisste c-e dédire qe est covergete et clcler s limite )Motrer qe por tot R o : ( f ) () )Motrer qe por tot de N o : α α 4 )E dédire qe por tot de N o : Prtie III : Soit l foctio h défiie sr ], [ )Motrer qe por tot de ], [ )Motrer qe h étblit e bijectio de ], [ )Motrer qe α α Retrover lim pr : π h () f si π : h () t sr R h () π ( )² h est dérivble sr R et qe ( ) 4 )Soit por tot de R* l foctio H tel qe : H() h - Motrer qe H est dérivble sr R et détermier H () ( ) ( ) h H() si > b- Clcler H eth E dédire qe : H() si < 5 )Por tot de N o : v v h h et w k k k - Doer l vler de H E dédire qe : k N* : h h k k k b- Motrer qe por tot de N * : v h E dédire qe l site w est covergete et doer s limite

34 O ote pr, I : itervlle de R et f e foctio défiie sr I Défiitio : Ue primitive de f sr I est e foctio F dérivble sr I et telle qe : por tot de I o : F () f() Théorème Tote foctio cotie sr I dmet e primitive sr I Théorème Soit f e foctio cotie sr I, lors f dmet e ifiité de primitives sr I et si F est l e d etres elles, tote tre primitive G de f sr I est défiie pr : G() F() costte Théorème Soit f e foctio cotie sr I est réel doé de I et y est réel doé Alors il eiste primitive G de f sr I et e sele telle qe G( ) y Théorème 4 F et G sot des primitives respectives de f et g sr I, lors :F bg est e primitive de f bg sr I Primitives des foctios selles F désige e primitive de l foctio f sr itervlle I et, ω, φ des réels vec ω, N f cos si si cos, N * * { } ], [ o ],[ [, [ ( ω φ) R cos( ω φ) ( ω φ) R si( ω φ) t² Fiche de cors I R R R R π π, Primitives F c c c c si c cos c c ω c ω t c 4 ème ème Mths Clcl de primitives F désige e primitive de l foctio f sr itervlle I et et v de foctios dérivble sr I 4

35 EXERCICE N L prbole ci-cotre est l corbe représettive d e foctio polyôme d secod degré f ds repère orthogol ( i ; j 5 ) Prmi les trois représettios grphiqes ci-dessos, e corbe e représete ps e primitive de l foctio f Lqelle? (jstifier l répose) Figre Figre Figre O Séries d eercices Primitives EXERCICE N Détermier les primitives de chce des foctios sivtes sr l itervlle I ) f : ; I R (² )² ) f : ( )(² ) ; I R ) f : ² 4 ) f : ( ) si(² ) ; I R 5 ) f : si cos ; I R 6 ) f : ; I ]-,[ ² 7 ) f : ; I ], π[ si² 8 ) f : coscos ; I R cos si 9 ) f : ; I ], [ ² ) f : ; I ],[ ² ( ) EXERCICE N )Détermier trois réels, b et c tels qe : ( - ) b( - ) c ) E dédire les primitives de f sr R tel qe ( ) 9 f() EXERCICE N 4 Soit f l foctio défiie sr R pr : f() cos )Détermier l dérivée de l foctio g défiie sr R pr : g() si )E dédire e primitive de f sr R EXERCICE N 5 Soit l foctio f défiie sr R pr : f() cos bcos où et b de réels )Clcler f () et f () )Comprer f() et f () E dédire les primitives de f ds R O 4 ème ème Mths O O 5

36 EXERCICE N 6 Soit l foctio f défiie pr : f() 8 (² 4)² )Prover q il eiste de réels et b telles qe : por tot de R {,} : o it : f() b ( )² ( )² )Dédire les primitives sr ],[ de f EXERCICE N 7 Soit f l foctio défiie sr l itervlle I ]- ; [ pr : ( 4) f() ( ) ) Détermier les réels et b, tels qe por tot réel de l itervlle I ]- ; [ : f() ) E dédire l primitive de f sr l itervlle I ]- ; [ qi s le e EXERCICE N 8 π )Détermier e primitive sr, de l foctio : 4 cos² π si )O cosidère le foctio G, défiie sr, pr : G() 4 cos π Motrer qe G est dérivble sr,, et qe : G () 4 4 cos cos ² π )E dédire e primitive, sr,, de l foctio : f : 4 4 cos EXERCICE N 9 Soit l foctio f défiie sr, pr : f() ( ² ) ( )² ( ) 9 )Motrer qe : ² 4 4 )Détermier lors le primitive de f ds, qi s le e EXERCICE N )Motrer qe l foctio f : dmet des primitives sr R ² O oter lors F l primitive de vérifit F() )Etdier l prité de F et préciser le ses de vritios de F sr R, )Etdier les vritios de l foctio sr ] [ 4 )E dédire q il eiste e costte c telle qe, por tot >, o it : F ( ) 5 )Motrer qe lim F( ) c c F π π 6 )O pose, por tot de,, g () t π π - Motrer qe l foctio ϕ : Fo g() est dérivble sr,, et clcler ϕ '() π π b- E dédire qe, por tot de,, F o g() b ( ) 6

37 F,F et F c- Détermier lors ( ) ( ) π d- Motrer qe c EXERCICE N Soit l foctio f défiie sr l itervlle [ ; [ pr : f() ) ) Clcler l limite de f e b) Etdier les vritios de f sr [ ; [ et dresser so tble de vritios ) Soit F l primitive de f sr [ ; [ telle qe F() O e chercher ps à eprimer F() ) Porqoi pet-o ffirmer l eistece de F sr [ ; [? b) Qelles sot les vritios de F sr [ ; [? ) O défiit sr [ ; [ les foctios H et K pr H() F() et K() F() ) Etdier, sr [ ; [, les vritios de H et K b) E dédire qe, por tot, o : F() c) E dédire l limite de F e 4 ) ) Démotrer qe l éqtio F() π dmet e soltio iqe α sr [ ; [ b) Motrer qe l o pet préciser : π α π 7

38 BAC MATHS 9/ Cors et 8 eercices Elboré pr : ALI AKIR Doe des cors prticliers e mthémtiqes por tos les ive Pls d iformtios : Cotcter à GSM : Emil : kircm@gmilcom Site Web : Mths lycées, Site édctif Téléchrgemet grtit Fiches de cors/séries d eercices/devoirs à l miso/devoirs de cotrôle et de sythèse Sjets de révisio por le bcclrét/pls : Form de mths, por répodre vos qestios 8

39 Notio d itégrle d e foctio Le pl étt mi d' repère orthogol (O ; i, j), o défiit les poits I, Jet K pr OI i, OJ j et OIKJ rectgle L'ire d rectgle OIKJ défiit lors l'ité d'ire () Aire et itégrle d'e foctio positive Défiitio Soit f e foctio cotie et positive sr itervlle [ ; b] et C s corbe représettive ds le repère (O ; i, j) L'itégrle de à b de f est le réel oté b f ()d, égl à l'ire, eprimée e ités d'ire, d domie D délimité pr C, l'e des bscisses et les droites d'éqtios et b Remrqe et b sot les bores de l'itégrle et est e vrible mette : elle 'iterviet ps ds le résltt O pet l remplcer pr les lettres t o, isi : b f ()d Vler moyee b f (t)dt b f ()d Défiitio Soit f e foctio cotie et positive sr itervlle [ ; b] vec < b L vler moyee de f sr b [ ; b] est le réel µ f()d b L vler moyee de f sr [ ; b] est doc le réel µ tel qe le rectgle de dimesios µ et b - soit de même ire qe le domie D délimité pr l corbe représett f, l'e des bscisses et les droites d éqtios et b Itégrle et primitive Fiche de cors Itégrle d e foctio cotie, positive et croisste sr itervlle [ ; b] Théorème : Soit f e foctio cotie, positive et croisste sr itervlle I [ ; b] O ote C, s corbe représettive ds le pl mi d' repère orthogol O défiit sr [; b] l foctio A : Itégrtio 4 ème ème Mths f(t)dt et o fie ds [ ; b] 9

40 l foctio A est dérivble sr I et s dérivée est f Primitive d e foctio cotie Théorème Soit f e foctio cotie sr itervlle [ ; b] *)L foctio Φ défiie sr [ ; b] pr Φ() f (t)dt est :L iqe primitive de f sr [ ; b] qi s le e Remrqes L foctio Φ, défiie ds le théorème, est doc dérivble sr [ ; b], de dérivée f Ce résltt motre qe tote foctio cotie sr [ ; b] dmet e, doc des primitives sr [ ; b] Pls géérlemet, tote foctio cotie sr itervlle I qelcoqe dmet des primitives Soit F e primitive qelcoqe de f sr [ ; b], lors b f (t)dt F(b) - F() *)Soit e foctio dérivble sr itervlle J tel qe (J) I Alors l foctio F défiie sr J pr () F () f(t)dt est dérivble sr J et '() ' ()f( () ) *)Soit I itervlle cetré e et soit réel de I Si f est impire lors f(t)dt Si f est pire lors f (t)dt f(t)dt F, por tot de J T T Si f périodiqe de période T lors f (t)dt f(t)dt Propriétés de l itégrle Reltio de Chsles Soit f e foctio cotie sr itervlle I Por tos réels, b et c de I, o : f ()d b f ()d c f ()d b c Liérité Soit f et g de foctios coties sr itervlle I et k réel Por tos réels et b de I, o : b ( f g)()d b f ()d b g ()d et b ( kf)()d k b f ()d Itégrles et iéglités Soit f e foctio défiie et cotie sr itervlle I de, et, b de réels pprtet à I b Si b et f sr l'itervlle I, lors b Si b et f sr l'itervlle I, lors Coservtio de l ordre f()d Si b et f sr l'itervlle I, lors f()d f()d Si b et f sr l'itervlle I, lors f()d Soit f et g de foctios coties sr [ ; b] Si f g sr [ ; b], c'est-à-dire si, por tot réel de [ ; b], f() g(), lors f ()d g ()d b b Iéglités de l moyee Soit f e foctio cotie sr itervlle I, et et b de réels de I Si b et s'il eiste de réels m et M tels qe m f () M, por tot réel de [ ; b] b b 4

41 b lors m(b ) f ()d M(b ) b S'il eiste réel M positif tel qe f M sr I, lors f ()d M b Itégrtio pr prties Soit et v de foctios dérivbles sr l'itervlle I telles qe ' et v' soiet coties sr I Por tos réels et b de I, o : b b '() v()d [() v()] () b v' () d Aire d' domie compris etre de corbes Théorème : Soit f et g de foctios coties, et b de réels de I tels qe b l'ire e d domie limité pr les corbes C f et C g sr [, b] est le réel g (t) f(t) dt J O b I A f()d b J O b I b A f()d A f()d f()d f()d Volme d' solide L'espce est mi d' repère orthoorml (, J, J, K) et l'ité de volme (v) est le volme d cbe costrit sr (, J, J, K) Théorème O cosidère solide (Ɖ) limité pr les pls prllèles d'éqtios : z et z b ( b) z et z b ( b) Por tot z ( z b), o ote : P z le pl perpediclire à (Oz) et de cote z ; S z l'ire de l sectio d solide pr le pl P z Lorsqe S est e foctio cotie sr [, b], le volme V d solide est clclé (e v) pr : b V S (z) dz Soit f e foctio cotie et positive sr [,b] le volme V d solide de révoltio egedré pr l rottio de l rc AB { M(, y) / y f() et b} V b π f ()d J O c tor de l e ( O,i) est le réel : I b d c c d b d b 4

42 EXERCICE N Clcler les itégrles sivts : 4 t dt, ( ) d d ² π, π π, si ² ( t) dt, cos ² ( ) d, 4 t ² ( ) d, si ( t) dt, 4 π t si(t)dt, ( t² t ) t ²si(t)dt, t tdt, π π ( t ) si π dt EXERCICE N O cosidère l foctio f défiie sr R pr : f() si 4 )Eprimer si isi qe cos² e foctio de cos )Eprimer si 4 e foctio de cos et cos4 π )Clcler 8 f ()d EXERCICE N π cos si 4 )Soit f e foctio dérivble sr [,b] et s dérivé f est cotie sr [,b] b b Motrer qe f ()d f()d bf(b) f() )Clcler d et e dédire d EXERCICE N 4 Soit f l foctio défiie pr : f() 4 por tot de [,4], π )Motrer qe f dmet e foctio réciproqe qe vos clclez )Soit [,4], clcler les itégrles : f() I () f()d et J () f (y)dy )Vérifier qe I () J() f() Iterprétez géométriqemet cette derière reltio EXERCICE N 5 f O cosidère l itégrle : I d, N 9 d, )Jstifier l eistece de I et détermiez e reltio de récrrece de I et I por tot de N* )Clcler I d et I )Clcler I e foctio de 4 )E fist chgemet de vrible et e tilist l formle d biôme, doez tre epressio de I EXERCICE N 6 Ds le pl P orieté pr repère orthoormé (,i, j) O )Soit f l foctio mériqe à vrible réelle défiie pr f() 4 ² Etdier f et costrire s corbe ζ ds P )oit g l foctio défiie sr [, π] )Motrer qe g est dérivble sr [, π] b)clcler Séries d eercices Itégrtio cos pr g() 4 t² dt et qe g' () 4 si² π g E dédire l'epressio de g() e foctio de 4 ème ème Mths 4

43 )O ote pr ζ l'imge de ζ pr le symétrie cetrle de cetre O et o pose ζ ζ U ζ Costrire EXERCICE N 7 ζ et doer e éqtio crtésiee de ζ ds le repère (,i, j) π L site de Wllis défiie pr : ( cos t) w dt où est etier trel O ) Clcler w et w ) Motrer qe l site ( w ) est décroisste ) Motrer, por tot etier trel : w E dédire qe l site ( w ) est covergete 4 )Motrer qe por tot de N : w w πc 4 (!)² 5 )Motre qe por tot de N : w et w 4 ( )! w 6 )Motrer por tot etier trel, < w w E dédire qe Lim w 7 )Etblire l formle de Wllis : 4 6 Lim 5 ( ) 8 ) Motrer qe l site ( ) de terme géérl ( ) EXERCICE N 8 π w w est costte Soit I ( ) d ) Démotrer qe por tot etier spérier o égl à : ( ) I - I - ) E dédire l'epressio de I e foctio de EXERCICE N 9 p et q étt de ombres etiers positifs o ls, o pose : B(p, q) t ( t) dt ) Comprer B(p, q) et B(q, p) p ) Etblir l reltio : B(p, q) B(p,q ) (p ) q ) Clcler B(, ) por tot pprtet à N ; e dédire B(p, q) EXERCICE N Por etier trel o l o défiit l site (S ) pr :S K / / / k d ) Jstifier por k etier trel o l l'ecdremet : / k / / (k ) k d d ) E dédire l'ecdremet : S / / ) qe pet-o dire de l site (S )? 4 ) A l'ide d'ecdremets loges, motrer qe l site (T ) défiie pr : T K est covergete 4 / 4 / 4 / EXERCICE N / 4 O défiit l site pr : π t (t) dt π π ) ) Rppeler l vler de l dérivée de l foctio tgete sr, b) Clcler lors ) Motrer qe l site est décroisste p q 4

44 ) Motrer qe qel qe soit ds N : 4 ) E dédire qe por tot ds N : pis clcler lim ( ) ( ) ( ) 5 ) O pose S k k k π ) Motrer qe por tot ds N : S ( ) 4 b) E dédire l limite de S lorsqe ted vers EXERCICE N si(y) O cosidère le foctio f défiie pr : f(y) d π π et lim )Jstifier l eistece de f por tot y de R )Motrez, e tilist l formle de l moyee qe, si et b de réels, tels qe < b, il eiste si b si c [,b], tel qe cos c b )Motrez les iéglités sib si b et cos b cos b, por tot et b de R 4 )Soit y R O pose A π π cos(y ) d f(y) f(y) Motrer qe lim A y y y y E dédire qe f est dérivble poit y et eprimer f' (y) EXERCICE N Soiet f et g des foctios coties sr[,b] b )-Qel est le sige de [ (t) g(t) ] f dt, où désige ombre réel? b b b-e dédire l iéglité sivte, ppelée de Schwrz : b f (t)g(t)dt [ f(t) ] dt [ g(t) ] )Démotrer qe si f et g sot positives sr [,b] ( < b) et por tot de [,b]: f() g() b f()d EXERCICE N 4 b g()d ( b )² Soiet f et g des foctios coties sr [,b] ( < b) )Jstifier, l eistece de de réel m et M tel qe, por tot de [,b] )Démotrer qe si g() grde e sige costte sr [,b] EXERCICE N 5 Soiet f e foctio coties sr [,b] )Jstifier, l eistece d réel M tel qe, por tot de [,b] Pr l site o sppose qe < b et M > b )Prover qe f (t) dt ( b ) M )Démotrer qe lim b f(t) dt M 4 )Démotrer qe, qel qe soit le réel > de [ β] α, : f () M ε b 5 )E dédire qe f (t) dt ( M ε) ( β α) : m f() M f(t)g(t)dt lors m M b g(t)dt b : f() M ε, il eiste itervlle [, β] [,b] dt, lors : α tel qe, por tot 44

45 EXERCICE N 6 Soit l foctio f défiie sr * R pr : )Prover qe, pr tot [,] : )E dédire qe : EXERCICE N 7 f () d < f() < Clcler lim f() )Soit C { M(, y) / y ², } et S le solide obte pr rottio de C tor de l e (O)Clcler le volme de S C M(, y) / y, et S le solide obte pr rottio de C tor de l e ) Soit { } (O) Clcler le volme de S )Détermier le volme d cylidre egedré pr les rottios d e (O) d segmet de droite : * y R et h vec,r R h EXERCICE N 8 y z )Clclos le volme de S, défiie pr : z sp(, y ) ) Clclos le volme de S, défiie pr : z ) Clclos le volme de S, défiie pr : { ² y² z² 4 ) Clclos le volme de S où S est e sphère de ryo R EXERCICE N 9 O cosidère l foctio f défiie sr [, [ pr )Vérifier qe f est décroisste et positive s est décroisste )Motrer qe ( ) )Clcler f (t)dt, et e dédire qe 4 )Motrer qe por tot etier 5 )E dédire qe por 6 )E dédire qe ( ) EXERCICE N k f () et o pose por tot de N* : s ( ) f k et clcler f(t)dt f(t)dt k : f (t)dt f( k) : f (t)dt s f( ) k k k f(t)dt f(t)dt s est covergete et doer ecdremet de s vler Soit f e foctio défiie, cotie et croisste sr [, [ Soiet por tot de N * : k I f() d et s f )Vérifier qe lim I f()d k k lim k k )Motrer qe por tot etier k vérifit k o : f k f()d f )E dédire l'ecdremet: 4 )Applictio : O pred I f() f s I E dédire qe lim s p f () où p etier tel qe p k f()d 45

46 Etblir qe p lim p p p EXERCICE N Por tot etier trel, o défiit les ombres et y pr : t cos t dt, y t si t dt ) Clcler et ) Motrer qe les sites ( ) I, N et (y ) I, N sot décroisstes et q'elles sot positives O dmettr qe ces sites coverget ) Motrer, à l ide de de itégrtios pr prtie, qe por tot etier trel, o : ( )y si(), et y ( ) cos(), E dédire qe : lim y lim,et lim cos(), lim y si() EXERCICE N * )Soit N, O pose s it i( )t e e, ], π[ t ) Doer e foctio de et t, e tre epressio de s si t b) E dédire qe : cos kt cos t t k si si t c) E dédire qe cos kt t k si * )Por tot N, o pose : π t² I t cos(t) dt π ) Clcler π t cos(t)dt b) Clcler π t ²cos(t)dt c) E dédire qe π )Motrer qe : 4 )Soit * R I ² cos kt t dt π t² ² k ², ϕe foctio dérivble sr [,π] et ' ) Itégrer, e fois, pr prties π ϕ( t) si(t)dt π b) Motrer qe : ϕ' (t) cos( t)dt ϕ' (t) dt π c) E dédire qe ϕ( t) si(t)dt ϕ() ϕ( π) d) E dédire qe lim (t) si(t)dt 5 )Vérifier qe por [, π] π ϕ si t t : cos kt t k si π ϕ s dérivé, est cotie sr [, π] π ϕ' (t)dt 46

47 t² t ϕ( t) t si π si t ], π] 6 )O pose si t ) Motrer qe ϕ est cotie sr [, π] b) O sppose qe ϕ est dérivble sr [, π] c) E dédire qe : lim ² ² et qe s dérivé ' π 6 ϕ est cotie sr [, π] 47

48 Défiitio L foctio logrithme épérie, otée l, est défiie sr ], [, pred l vler e, est dt cotie sr ], [ et dmet por dérivée l foctio l : ], [ R, t Soit et b de réels strictemet positifs et,, > ( b ) ( ) l l l l( ) l l l l l l lb l l lb b l l b l < si et selemet si < < l si et selemet si l > si et selemet si ] ; [ L foctio l est strictemet croisste sr ] ; [ Soit et m de etiers trels o ls l lim l lim l lim l( ) l l lim lim lim m Tble de vritios et corbe de l l foctio l rélise e bijectio de R * vers R doc il eiste iqe réel, oté e, vérifit le l() Dérivées et primitives Fiche de cors Logrithme lim l lim m l 4 ème ème Mths ) Dérivée de l Soit e foctio dérivble et strictemet positive sr itervlle I L foctio l (()), otée l, est dérivble sr I et o :(l )' ' ) Primitive de l Soit e foctio dérivble sr itervlle I qi e s le ps sr I 48

49 ' L primitive sr l'itervlle I de l foctio est l foctio l c )Primitive de l L foctio l- est e primitive de l foctio Foctio logrithme décimle : C est l foctio log, défiie ], [ pr ( log, log ) l log, l l sr * R 49

50 EXERCICE N Séries d eercices Logrithme )Soit g l foctio défiie sr ], [ ) Etdier le ses de vritios de g b) E dédire le sige de g pr : g() l() l() )O cosidère l foctio f défiie sr ], [ pr : f() ) Etdier les limites de f e et e b) Dresser le tble de vritio de f c) Trcer l corbe représettive de f ds repère orthoormé ( ité : cm) EXERCICE N )Soit f l foctio défiie pr : por tot : f() ( ) ) Etdier les vritios de f ² b) E dédire qe por tot : l( ) l ) Soit f l foctio défiie pr : por tot : f() l( ) ) Etdier les vritios de f b) E dédire qe por tot : l( ) ² 4 ème ème Mths ² ² )Etdier l limite évetelle e l( ) de ² EXERCICE N Soit f défiie sr ], [ pr f() ( ²)l Motrer qe f est cotie Etdier l prité - de f et motrer qe f se prologe e e foctio cotie sr [, ] EXERCICE N 4 Soit g défiie sr R * l() { } pr g() et prologée pr cotiité e et e )Qe vlet g(), g()? )Etdier l brche ifiie de C g EXERCICE N 5 Soit pprtet à N g : ], [ R, l )Motrer g qe est cotie sr ], [ )Motrer qe g dmet prologemet pr cotiité f sr [, ] EXERCICE N 6 O cosidère l fmille de foctios (f ) N* défiies sr ], [ pr f () l( ) Soit N*, o ote h l foctio défiie sr ], [ pr h () l( ) ) Etdier le ses de vritio des foctios h ) Clcler h (), pis e dédire le sige de h ) Etde d cs prticlier Après voir jstifié l dérivbilité de f sr ], [, eprimer f '() e foctio de h () b E dédire les vritios de l foctio f sr ], [ 5