MATHÉMATIQUES I. Partie I - Calculs préliminaires

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1 MATHÉMATIQUES I Parie I - Calculs préliminaires Dans ou ce problème a e v désignen deux nombres réels, a es sricemen posiif IA - Monrer que la foncion ϕ définie sur IR * par ( sin( x) ) ϕ( x) = adme un prolongemen par coninuié à IR On le noe encore ϕ Monrer que ϕ es inégrable sur IR + puis que ϕ es inégrable sur IR IB - IB1) Soi b un réel el que < a < b Monrer que l on a : b b sin( y) 1 cos( y) b b 1 cos( y) 1 cos( y) b -d y = - + a y y -d a y y = - + a y ϕ( x)dx a a sin( y) IB) En déduire la convergence de -d y ainsi que l égalié : y sin( y) -d y = ϕ( x)dx y IC - Si [ αβ, ] es un segmen réel e si h es une applicaion de classe C 1 de β [ αβ, ] dans IC monrer, à l aide d une inégraion par paries, que h ()e iv d α adme une limie lorsque v end vers e déerminer cee limie ID - x - ID1) Soi n IN e h n la foncion définie sur, par sin( ( n + 1)) h n () = - sin( ) Monrer que h n adme un prolongemen par coninuié en sin( ( n + 1)) En déduire la convergence de I n = - sin( ) d ID) Calculer I puis, en calculan I n + 1 I n, en déduire I n Concours Cenrale-Supélec 7 1/5

2 ID3) Soi h l applicaion définie sur, par 1 1 h () = sin( ) a) Donner un développemen limié de h d ordre 1 en b) En déduire que h adme un prolongemen coninu e dérivable à, On le noe encore h Préciser h() e h () c) Monrer que h es de classe C 1 sur, d) En déduire que sin( ( n + 1 ) h ()d end vers lorsque n end vers + e) Pour n IN on pose sin( ( n + 1)) J n = - d Monrer que cee inégrale es convergene puis que la suie ( J n ) converge n IN vers sin( y) En déduire les valeurs de -d y e de y ϕ( x)dx - IE - IE1) On considère à nouveau la foncion ϕ définie dans la première quesion e on pose, pour u IR, ψ v ( u) = aϕ( au ( v) ) On a ainsi : pour v u, ψv ( u) [ sin( av ( u) )] = av ( u) e ψ v ( v) = aϕ( ) Monrer que ψ v es coninue e inégrable sur IR IE) Monrer que, lorsque v +, ψ v ( u)du IF - Monrer que, pour ou nombre réel u, 1 i( u v) e d = ψ v ( u) Concours Cenrale-Supélec 7 /5

3 IG - IG1) Monrer que, pour ou réel σ 1, u a ψ v ( u)e es inégrable sur IR + IG) Monrer que ψ v ( u)e du end vers ψ v ( u)du lorsque σ end vers 1 par valeurs supérieures Parie II - Dans cee parie : on désigne par ( β n ) n IN une suie de nombres réels posiifs els que : ( ) la série β n n -s converge pour ou nombre complexe s vérifian P 1 Re( s) > 1 où Re( s) désigne la parie réelle de s ; on désigne par B une foncion coninue e croissane de [ 1[, dans IR elle que ( P ) n IN *, Bn ( ) = β k ; on pose, pour ou réel x 1 e ou complexe s vérifian Re( s) >, F s ( x) Bx ( ) 1 -s = x x On suppose que ( P 3 ) F s es inégrable sur [1, + [ On défini ainsi pour ou complexe s vérifian Re( s) >, Gs () = F s ( x)dx 1 On suppose que ( P 4 ) IR la foncion IR IR ( σ, ) a G( σ + i) es coninue sur IR +* IR Dans oue la suie, on considère un nombre réel σ sricemen supérieur à 1 IIA - On pose, pour ou n IN *, n 1 u n = Bk ( )( k -σ ( k + 1) -σ ) IIA1) Monrer que la suie ( ) * es croissane n IN n u n Concours Cenrale-Supélec 7 3/5

4 IIA) On a Bk ( ) Bk ( 1) = β k Exprimer u n en foncion de n 1 β k k -σ e de Bn ( 1)n -σ e en déduire que ( u n ) * converge n IN IIA3) En déduire la convergence de la suie ( Bn ( )n -σ ) * n IN IIA4) En uilisan la croissance de B en déduire que la foncion xa B( x)x -σ adme une limie finie en IIB - IIB1) Transformer l inégrale définissan G par le changemen de variable x = e u On pose, pour ou v apparenan à [ [,, Ha (, v) G( σ + i) 1 iv = e d IIB) Monrer que : Ha (, v) ( e u Be ( u ) 1)e -( σ 1)u du d En déduire l exisence d une consane K elle que : v ], [, Ha (, v) 4aK IIB3) En inversan l ordre des inégraions dans la définiion de Ha (, v) (on admera que l inversion es possible), monrer que : Ha (, v) = ( e u Be ( u ) 1)e ( 1 σ)u ψ v ( u)du IIC - IIC1) Monrer que, pour ou σ > 1, la foncion ua e -σu Be ( u )ψ v ( u) es inégrable sur IR + Indicaion : on pourra uiliser la quesion IIA4 IIC) Monrer que, pour ou σ > 1, la foncion σ a e ( )ψ v ( u)du es coninue sur ]σ, [ -σu Be u Elle es donc coninue sur ]1, [ e on admera de plus que : -σu u lim e Be ( )ψ v ( u)du = e -u Be ( u )ψ v ( u)du σ 1 σ > 1 Concours Cenrale-Supélec 7 4/5

5 IID - Monrer que : G( σ + i) ( 1 )e iv lim d = G( 1 + i) ( 1 )e iv d σ 1 σ > 1 IIE - Monrer que : G 1 + ( i) ( 1 )e iv d + ψ v ( u)du = e -u Be ( u )ψ v ( u)du IIF - IIF1) En admean que le résula de la quesion IC rese valable si on suppose seulemen la coninuié de la foncion h, monrer que : lim G( 1 + i) ( 1 )e iv d = v IIF) En déduire : lim e ( )ψ v ( u)du = v -u Be u FIN Concours Cenrale-Supélec 7 5/5