1 Introduction aux nombres complexes

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1 TS Chapitre 05 Complexes. 1 Introduction aux nombres complexes 1.1 Ensemble C des nombres complexes Historiquement, on a tout d abord introduit N, ensemble des entiers naturels, dans lequel on sait additionner et multiplier des nombres entre eux tout en restant dans cet ensemble. Par contre on a des problèmes lorsque l on veut résoudre l équation x + a = b suivant les valeurs de a et b. D où l introduction des relatifs au 1e siècle en Italie et au 14e siècle du éro. Dans Z, l ensemble des entiers relatifs, on sait résoudre l équation x + a = b. Par contre il reste un problème avec l équation : ax = b suivant les valeurs de a et b. Pour cela on construit un nouvel ensemble Q, ensemble des rationnels, dans lequel l équation ax = b admet une solution pour toute valeur de a 0 et de b. On arrive alors à montrer que certains nombres (, π... ne peuvent pas se mettre sous la forme d une fraction, d où l introduction des nombres réels, dont l ensemble est noté R. Dans R, on sait résoudre l équation x = a pour a 0 et des équations d ordre supérieur. Jérome Cardan (Pavie, 4 septembre Rome, 1 septembre 1576 se rend compte que certaines équations admetttent des solutions réelles mais pour pouvoir les résoudre, il faut à un moment introduit un nombre dont le carré vaut - 1. C est au 17e siècle qu Euler (né le 15 avril 1707 à Bâle et mort le 18 septembre 1783 à Saint-Pétersbourg adoptera définitivement la définition suivante : Figure 1 Jérome Cardan (source Wikipedia Définition : On appelle i le nombre tel que : i = 1 Définition : On appelle nombre complexe tout nombre tel que : = x + iy, avec x et y deux nombre réels. x est appelé partie réelle de, que l on notera Re(. y est appelé partie imaginaire de, que l on notera Im(. L ensemble de tous les nombres complexes est noté C. Définition : Deux nombres complexes sont égaux ssi leurs parties réelles sont égales et leurs parties imaginaires aussi. Conséquence : L écriture d un nombre complexe = x + iy est unique. Définition : Un nombre complexe dont la partie imaginaire est nulle est un nombre réel. Un nombre complexe dont la partie réelle est nulle est appelé un nombre imaginaire pur. Définition : On appelle somme de deux nombres complexes = x + iy et = x + iy le nombre complexe noté + = x + x + i(y + y Figure Leonhard Euler (source Wikipedia Définition : On appelle produit de deux nombres complexes = x + iy et = x + iy le nombre complexe noté = xx yy + i(xy + yx 1

2 Remarques : L addition et la multiplication dans C prolongent respectivement l addition et la multiplication de R et en possédent les propriétés. Exemple : = 3 + i et = 4 + 7i + = 3 + i + (4 + 7i = 7 + 9i = 3 + i (4 + 7i = 1 5i = (3 + i(4 + 7i = 1 + 1i + 8i + 14i = + 9i Définition : On appelle opposé d un nombre complexe le nombre noté et tel que + ( = 0. Propriété : Soit = x + iy un nombre complexe non nul. Alors = x iy. Définition : On appelle différence de deux nombres complexes et le nombre noté tel que = +(. Propriété : Soit = x + iy et = x + iy deux nombres complexes non nul. Alors = x x + i(y y. Exemple : = 3 + i et = 4 + 7i = 3 + i (4 + 7i = 1 5i. Définition : On appelle inverse d un nombre complexe non nul le nombre noté 1 et tel que 1 = 1. Propriété : Soit = x + iy un nombre complexe non nul. Alors 1 = x iy x + y. Exemple : = 3 + i 1 = i = 3 i (3 + i(3 i = 3 i = i. Définition : Soit et deux nombres complexes, avec non nul. Alors le quotient de par noté est le nombre tel que = 1. Exemple : = 3 + i et = 4 + 7i = 3 + i (3 + i(4 7i 1 1i + 8i 14i 6 13i = = 4 + 7i (4 + 7i(4 7i 16 49i = 65 = i. Remarque : Dans C, il n y a pas de relation d ordre qui prolonge celle de R, en obéissant à la même règle des signes. En effet, si tel était le cas i serait à la fois positif... et négatif puisqu égal à Plan complexe Définition : On munit un plan P d un repère orthonormé (O, e 1, e. On considère un nombre complexe = x+iy. On peut toujours considérer que l on peut associer au nombre le point M(x; y. On dit alors que est l affixe de M et l on note M(. On peut aussi considérer que l on peut associer au nombre le vecteur v(x ; y. On dit alors que est l affixe de v et l on note v(. Le plan P est appelé plan complexe. Vocabulaire : L axe (O ; e 1 est l ensemble des points M d affixe réelle, on l appelle donc l axe des réels. L axe (O ; e est l ensemble des points M d affixe imaginaire pur, on l appelle donc l axe des imaginaires. Propriété : (i Soit u( et v(, alors u + v( +. (ii Soit A( et B( alors AB( et I milieu de [AB] a pour affixe : + (iii Soit (A 1, α 1, (A, α,..., (A n, α n n points pondérés du plan, d affixes respectives A1, A,..., An, tels n α que n k Ak k=1 α k 0. Alors en notant G leur barycentre, G a pour affixe : G = n. k=1 α k Preuve : Immédiates en utilisant les affixes des vecteurs. k=1

3 1.3 Conjugué d un nombre complexe Définition : On appelle nombre conjugué d un nombre complexe = x + iy le nombre complexe noté = x iy Exemple : Le conjugué de 3 + 7i est 3 7i. Interprétation géométrique : Soit M( un point du plan complexe. On note M (. Alors M est l image de M par rapport à l axe des réels. L application M( M ( est la symétrie d axe (O, i. Propriété : Soit et deux complexes. (i = (ii + = + (iii = ( 1 (iv Pour 0, = 1 ( (v Pour 0, = (vi n = ( n avec n Z Preuve : On pose = x + iy et = x + iy (i = x + iy = x iy = x + iy (ii + = x + iy + x + iy = x + x + i(y + y = x + x i(y + y = + (iii = (x + iy(x + iy = xx yy + i(xy + x y = xx yy i(xy + x y = x(x iy iy( iy + x, d où : = (x iy(x iy = ( ( 1 1 (iv Pour 0 : = = x iy x + iy x + y = x + iy x + y = ( (v Pour 0 : = 1 ( 1 = = 1 = (vi On commence par établir le résultat par récurrence sur n N : Vrai pour les premiers termes : immédiat pour n = 0, n = 1, établi pour n = On suppose que cela est vrai pour n, c est à dire que : n = ( n. On a : n+1 = n = n = ( n = ( n+1. Donc pour tout n N, on a bien n = ( n. Soit n Z, on pose n = n ( 1 On a : n = n = n Propriété : Soit un complexe. Re( = + et Im( = i = 1 n = 1 ( n = ( n = ( n. Preuve : On pose = x + iy. On a : x = 1 x = 1 + (x + iy + x iy = y = 1 i iy = 1 (x + iy (x iy =. i i Conséquence : Soit un complexe. R ssi = ir ( est imaginaire pur ssi = Preuve : Immédiate Vers la forme trigonométrique.1 Module d un nombre complexe (x + iy(x iy (x + y (x iy = x + y (x + y (x iy = 1 Définition : On appelle module d un nombre complexe = x + iy le nombre noté = Propriétés :(i = x + y (ii = (iii = (iv Re( (v + + 3

4 Preuve : On pose = x + iy et = x + iy (i = = (x + iy (x iy = x + y (ii = = = = (iii ( = = = = (iv Re( = x x x + y = (v On peut approcher la démonstration en notant M( et M ( Soit S le point tel que OS = OM + OM. S(+ et l on a OS OM + OM donc + +. Figure à faire + = ( + + = = + Re ( = ( +, d où le résultat.. Argument d un nombre complexe. Forme trigonométrique Définition : On appelle argument d un nombre complexe = x + iy, noté arg( l angle orienté M est le point du plan complexe d affixe. ( e1, OM, où Remarque : Il existe une infinité d argument pour un nombre complexe donné. On parle d argument principal pour l argument ayant pour valeur comprise dans ] π; π]. Propriété : Soit = x + iy un nombre complexe non nul. Un argument θ défini à π de est donné par : x y cos θ = et sin θ = x + y x + y Ainsi : = (cos θ + i sin θ. Notation : Soit un nombre complexe non nul, de module noté ρ et dont un argument est θ, la forme trigonométrique de est son écriture : = ρ (cos θ + i sin θ. Figure résumé à faire (module, argument, lien forme algébrique forme trigo voir cours TS Fini Propriété : Soit = r(cosθ + i sin θ un nombre complexe avec r > 0. Alors = r et arg( = θ[π] Preuve : On a : = (r cos θ + (r sin θ = r ( cos θ + sin θ = r, d où, comme r > 0, = r. Soit θ un argument de. D après la propriété précédente, on a : cos θ = r cos θ r Propriété : Soit et deux nombres complexes non nuls. Alors : (i arg( = arg([π], (ii arg( = arg( + π[π], (iii arg( ( = arg( + arg( [π], 1 (iv arg = arg([π], ( (v arg = arg( arg( [π] (vi arg ( n = n arg([π] où n Z = cos θ et sin θ = r sin θ r = sin θ, donc θ = θ[π]. Preuve : On pose ρ =. = ρ(cos θ + i sin θ, = ρ(cos θ i sin θ. (i Soit φ un argument de. Alors cos φ = cos θ et sin φ = sin θ, d où : φ = θ[π]. (ii On a : = ρ(cos θ + i sin θ, d où en notant ψ un argument de, on a : cos ψ = cos θ et sin ψ = sin θ, donc ψ = θ + π[π]. On pose ρ =. = ρ (cos θ + i sin θ. Alors : (iii = ρρ (cos θ + i sin θ(cos θ + i sin θ = ρρ (cos θ cos θ sin θ sin θ + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ, d où : = ρρ (cos(θ + θ + i sin(θ + θ En notant ν un argument de, on a : cos ν = cos(θ + θ et sin ν = sin(θ + θ, d où : ν = θ + θ [π] (iv 1 = 1 ρ(cos θ + i sin θ = 1 ρ (cos θ i sin θ, d où en notant φ un argument de 1. Alors cos φ = cos θ et sin φ = sin θ, d où : φ = θ[π]. (v = 1 ( ( 1, d où : arg = arg( + arg [π] = arg( arg( [π] (vi Soit n N. Montrons par récurrence que arg ( n = nθ[π]. Pour n = 0, 0 = 1, d où arg 0 = 0[π] et donc la propriété est vraie au rang 0. 4

5 Pour n = 1, = ρ(cos θ + i sin θ, d où : arg 1 = 1 θ[π] et donc la propriété est vraie au rang 1. Pour n =, = ρ (cos θ + i sin θ (cf preuve (iii, d où : arg = θ[π] et donc la propriété est vraie au rang. On suppose la propriété vraie au rang n, montrons qu elle est encore vraie au rang n + 1. n+1 = n, donc d après (iii, on a arg( n+1 = arg( n + arg([π] = n arg( + arg([π] = (n + 1 arg([π], et donc la propriété est encore vraie au rang n + 1. Par suite, pour tout n N, arg ( n = n arg([π] Soit n Z\N. On pose ( n = n. On a :n N. D où : arg ( n = arg n = arg( n [π] d après le (iv. Puis : arg ( n = n arg([π], d après ce que l on vient de montrer pour n N. Donc : arg ( n = n arg([π]. D où (vi. Théorème : Soit A( A et B( B deux points du plan complexe. Alors : ( e1, AB = arg ( B A [π]. Preuve : On note M( M le point du plan complexe tel que OM = ( AB. Alors : e1, AB arg ( M [π] = arg ( B A [π]. = ( e1, OM [π] = Théorème : Soit A( A, B( B, C( C et D( D quatre points du plan complexe. Alors : ( D C arg [π]. B A ( AB, CD = Preuve : On a : ( AB, CD ( ( = AB, e1 + e1, CD [π] ( = e1, ( AB + e1, CD [π] = arg( B A + arg( D C [π] ( D C = arg [π] B A Propriété : (Formule de Moivre (né le 6 mai 1667 à Vitry-le-François - mort le 7 novembre 1754 à Londres Pour tout entier naturel n et tout nombre réel θ, on a : (cos θ + i sin θ n = cos nθ + i sin nθ Preuve : Immédiate avec ce qui précéde cos θ + i sin θ étant un nombre complexe de module 1 et dont un argument est θ. Application : Exprimer cos(3θ en fonction de cos θ et sin(3θ en fonction de sin θ. Résolution : On a : cos(3θ + i sin(3θ = (cos θ + i sin θ 3 = cos 3 θ + 3i cos θ sin θ 3 cos θ sin θ i sin 3 θ = cos 3 θ + 3i(1 sin θ sin θ 3 cos θ(1 cos θ i sin 3 θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ + i ( 3 sin θ 4 sin 3 θ Et donc en identifiant parties réelles et imaginaires, on a : cos(3θ = 4 cos 3 θ 3 cos θ et sin(3θ = 3 sin θ 4 sin 3 θ.3 Notation d Euler Soit θ R Considérons l application, φ : θ cos θ + i sin θ. Soit θ R On a : φ(θ + θ = cos(θ + θ + i sin(θ + θ = cos θ cos θ sin θ sin θ + i(cos θ sin θ + sin θ cos θ. D où : φ(θ + θ = (cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ = φ(θφ(θ. Et donc φ vérifie l équation fonctionnelle de l exponentielle. On pose donc pour tout θ R : φ(θ = e iθ. Figure 3 Moivre (source Wikipedia 5

6 Notation : Soit un nombre complexe non nul, de module noté ρ et d argument θ, la notation d Euler de est son écriture : = ρe iθ. Propriété : Soit = ρe iθ et = ρ e iθ Alors : (i = ρe iθ (ii = ρρ e i(θ+θ (iii = ρ ρ ei(θ θ (iv n = ρ n e inθ pour n Z deux nombres complexes non nuls. Preuve : Immédiate en s aidant de la forme trigonométrique Exemple : = e iπ 3 et = 3e iπ 4 Calculer, et 1 = e iπ 3 3e iπ 4 = 6e i π = e i 3 1 = 1 3e iπ 4 e iπ 3 = 3 ei = 1 e iπ 3 ( π 3 +π 4 ( π = 3 π 4 = 6e i π 1 3 ei7π 1 = 3 e i5π 1 Propriété : Soit θ une nombre réel. On a : cos θ = eiθ + e iθ et sin θ = eiθ e iθ i Preuve : On a : e iθ = cos θ + i sin θ et e iθ = cos θ i sin θ, d où le résultat par somme et différence. Application : Linéariser cos 3 θ et sin 4 θ Résolution : On a : 3 Applications ( e cos 3 iθ + e iθ 3 θ = = 1 ( e 3iθ + 3e iθ + 3e iθ + e 3iθ 8 = 1 ( e i3θ + e i3θ + 3 eiθ + e iθ 4 = 1 (cos 3θ + 3 cos θ Résolution dans C des équations du second degré à coefficients réels Définition : Soit a, b et c trois réels, a non nul. On appelle équation du second dégré à coefficients réels toute équation du type a + b + c = 0, où est l inconnue. Remarque : On sait déjà résoudre une telle équation dans R. Définition : Résoudre une équation du second degré à coefficients réels dans C, c est trouver tous les nombres complexes qui rendent l égalité vraie. Un tel nombre est appelé solution dans C de l équation. Résolution : ( On a : a + b + c = a + b a + c ( ( = a + b b 4ac a a 4a. On pose = b 4ac, que l on appelle discriminant de a + b + c = 0. Ce discriminant est réel puisque a, b et c sont trois réels. ( ( D où : a + b + c = a + b a 4a. 6

7 Si > 0, alors a + b + c = a (( + b a ( + b a a + et l équation a + b + c = 0 admet deux a solutions réelles 1 = b et = b +. a ( a Si = 0, alors a + b + c = a + b et l équation a + b + c = 0 admet une solution réelle double 0 = b a a. ( ( Si > 0, on a : = i (. Alors : a + b + c = a + b i ( a 4a, d où : (( a + b + c = a + b a i ( + b a a + i et donc l équation a + b + c = 0 admet deux solutions a complexes 1 = b i et = b + i. a a On remarque que : = 1. Ainsi dans C, a + b + c se factorise toujours. Exemple : Résoudre dans C, l équation : = 0 Résolution : Le discriminant de = 0 est : = = 36 < 0, donc l équation : = 0 admet deux racines complexes conjuguées : 1 = 4 i 36 = 3i et = + 3i. 3. Ensemble de points Propriété : L ensemble des points M( tels que a = r, où a C et r 0 est un cercle de centre A(a et de rayon r. Preuve : a = r équivaut à AM = r ou encore à M appartient au cercle de centre A de rayon r. Propriété : L ensemble des points M( tels que a = b, où a C et b C est la médiatrice de [AB] Preuve : a = r équivaut à AM = BM ou encore à M appartient à la médiatrice de [AB]. Propriété : L ensemble des points M( tels que arg( a = θ, où a C et θ R est la demi-droite d origine A (A non inclus dirigée par le vecteur v, tel que ( e 1, v = θ[π] Preuve : arg( a = θ équivaut à par le vecteur v, tel que ( e 1, v = θ[π]. Propriété : L ensemble des points M( tels que arg demi-cercle de diamètre [AB] privé de A et B. ( b Preuve : arg a privé de A et B. ( e1, AM = θ[π] ou encore à M appartient à la demi-droite passant par A, dirigée ( b = π a, où a C et b C et a et b est un = π ( équivaut à AM, BM = π [π] ou encore à M appartient au demi-cercle de diamètre [AB] 3.3 Interprétation géométrique de Où = + b, avec b C Théorème : La transformation qui à tout point M d affixe associe le point M d affixe tel que : = + b est une translation de vecteur u d affixe b. Preuve :On a : = b ce qui équivaut à : MM = u ce qui équivaut à M est l image de M par la translation de vecteur u Où ω = k( ω avec k R, ω C Théorème : La transformation qui à tout point M d affixe associe le point M d affixe tel que : ω = k( ω avec k R, ω C est une homothétie de rapport k, de centre Ω, d affixe ω. Preuve : On a : ω = k( ω ce qui équivaut à : ΩM = k ΩM ce qui équivaut à M est l image de M par l homothétie de rapport k, de centre Ω. 7

8 3.3.3 Où ω = e iα ( ω avec α R, ω C Théorème : La transformation qui à tout point M d affixe associe le point M d affixe tel que : ω = e iθ ( ω avec θ R, ω C est une rotation de centre Ω, d affixe ω et d angle θ. Preuve : On a : ω = e iθ ( ω = ω ce qui équivaut à ΩM = ΩM. De plus pour ω, on a : ω ( ω = ( eiθ, d où : ΩM, ΩM ω = arg = arg e iθ = θ[π] ω X.O.B