Les nombres complexes

Transcription

1 Introduction Opérations sur C représentés dans le plan Représentation de l addition des complexes Conjugaison Module d un nombre complexe Racine carrée des nombres complexes L équation du second degré Argument Écriture trigonométrique des nombres complexes Représentation de la multiplication Représentation de la division Formule de De Moivre Exponentielle complexe Racines des nombres complexes Trigonométrie Le théorème fondamental de l algèbre

2

3 La règle des signes Introduction Soit a et b R + 0 = a.(b + ( b)) = a.b + a.( b) (a.b) = a.( b) Le produit d un positif et d un négatif est négatif 0 = ( a).(b+( b)) = ( a).b+( a).( b) = (a.b)+( a).( b) a.b = ( a).( b) Le produit d un négatif et d un négatif est positif Dans R, un carré est toujours positif L équation X + 1 = 0 n a pas de racine. Introduction On appelle i une racine carrée de 1 : i = 1 On définit l ensemble des nombres complexes comme : C = {z = x + iy x, y R, i = 1} x est la partie réelle de z, notée : x = R(z) y est la partie imaginaire de z, notée : y = I(z)

4

5 Opérations sur C z = x + iy = 0 x = y = 0 z + z = (x + iy) + (x + iy ) = x + x + i(y + y ) z.z = (x + iy).(x + iy ) = x.x y.y + i(x.y + x.y) x + iy = x + iy x = x et y = y (x + iy).(x iy) = x + y Si x + iy = 0 : 1 x+iy = x iy = x +y x x +y + i y x +y représentés dans le plan Soit z = a + ib C. Le nombre complexe z s appelle l affixe du point M de coordonnées (a, b) dans le plan. y b M(z = a + ib) O a x

6

7 Représentation de l addition des complexes y S(z + z ) b + b M(z) b b M (z ) O a a a + a x Représentation de l addition des complexes y D(z z ) b b b M(z) a a a b M (z ) M ( z ) b O a a x

8

9 Conjugaison Soit z = x + iy C. On appelle nombre complexe conjugué de z, le nombre : z = x iy y M(z) O x y M ( z) Conjugué : règles de calcul Conjugaison z = x + iy z = x iy R( z) = R(z) et I( z) = I(z) R(z) = 1 (z + z) et I(z) = 1 i (z z) z R z = z z i R z + z = 0 (z 1 + z ) = z 1 + z, (z) = z, (z 1.z ) = z 1.z

10

11 Module d un nombre complexe On appelle module du nombre complexe z, le nombre réel : z = z. z = x + y z = z = z, x z, y z z = 0 z = 0 z.z = z. z z + z z + z Attention : Ne pas confondre module d un nombre complexe avec valeur absolue. La notation est la même mais : Si z R, (z = x) z = x = x et donc z = z Si z C \ R, (z = x + iy, y = 0) z = (x + iy) = (x y ) + 4 x y = x + y = z R z = x y + ixy = z Module d un nombre complexe x + y = 0 x = y = 0 z.z = (z.z ).(z.z ) = (z.z ).( z. z ) = (z. z).(z. z ) = z. z z + z = (z + z ).(z + z ) = z. z + z. z + z. z + z. z y M(z) = z + R(z. z ) + z z + z. z + z = ( z + z ) r = x + y O x

12

13 Racine carrée des nombres complexes Proposition : Tout nombre complexe a deux racine carrées opposées. Exemple : trouver la racine carrée de i On cherche z = x + i y tel que z = i (x + i y) = x y + i xy = i z = x + y = = 5 x et y sont donc solutions du système : x y = 3 xy = 4 x + y = 5 D où les deux solutions : (x, y) = (, 1) et (x, y) = (, 1) Racine carrée des nombres complexes Pour trouver la racine d un nombre complexe a + i b, on pose : (x + i y) = a + i b (x + i y) = x y + i xy = a + i b z = x + y = a + b x et y sont donc solutions du système : x y = a (1) xy = b () x + y = a + b (3) Les équations (1) et (3) permettent de calculer x et y L équation () permet de trouver le signe de x et y

14

15 L équation du second degré a z + b z + c = 0, a = 0, b, c C a z + b z + c = a z + b a z + a c = 0 = a z + b b 4 ac = 0 a 4 a = a z + b = 0 a 4 a Les racines sont donc les nombres complexes z, tels que z + b soit une racine carrée de a 4 a L équation du second degré Quand a, b et c sont réels, on a les solutions (complexes) suivantes : Si > 0, les deux racines sont : z 1 = b + a et z = b a Si < 0, les deux racines sont : z 1 = b + i a et z = b i a Si = 0, il y a une racine double : z = b a

16

17 Argument y M(z) r = x + y θ O x x = r. cos θ y = r. sin θ Argument On appelle argument du nombre complexe z = x + iy, la seule solution θ, 0 θ < π, du système : cos θ = sin θ = x x +y y x +y Notation : θ = arg(z)

18

19 Écriture trigonométrique des nombres complexes Un nombre complexe peut s écrire de deux manières : 1. algébrique : z = x + iy, x, y R. trigonométrique : z = r (cos θ + i sin θ), r R +, 0 θ < π Remarque : Le choix 0 θ < π est un choix arbitraire, on peut tout aussi bien choisir : π θ < π ou... Exemples Écriture trigonométrique des nombres complexes z = 1 + i r = z = Donc : z = ( 1 + i 1 ) = ( z = 3 + i 3 r = z = = + i ) = (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) 3 + ( 3) = 1 = 3 Donc : z = 3 ( 3 +i 3 3 ) = 3 ( 3 3 +i 1 ) = 3 (cos( π 6 )+i sin( π 6 )) z = 1 i 3 r = z = 1 + ( 3) = 4 = Donc : z = ( 1 i 3 ) = (cos( 5π 6 ) + i sin( 5π 6 ))

20

21 Moyen mnémotechnique Écriture trigonométrique des nombres complexes θ 0 π 6 π 4 π 3 π sin θ cos θ Représentation de la multiplication Soit : z = r (cos θ + i sin θ), z = r (cos θ + i sin θ ) zz = rr [(cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i (cos θ sin θ + sin θ cos θ )] = rr [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )] Règle : Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique, On multiplie les modules On additionne les arguments

22

23 Représentation de la multiplication y Q(z P.z P ) P (z P ) r P O θ + θ θ P (z P ) θ x Représentation de la multiplication Soit : z = r (cos θ + i sin θ), z = r (cos θ + i sin θ ) zz = rr [(cos θ cos θ sin θ sin θ ) + i (cos θ sin θ + sin θ cos θ )] = rr [cos(θ + θ ) + i sin(θ + θ )] Règle : Pour multiplier deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique, On multiplie les modules On additionne les arguments

24

25 Représentation de la division Si z = 0, 1 z = z = 0, z C : z z. z r.(cos θ i sin θ) = r : 1 z = 1 (cos θ i sin θ) r z z = r r cos(θ θ) + i sin(θ θ) Règle : Pour diviser deux nombres complexes écrits sous forme trigonométrique, On divise les modules On soustrait l argument du dénominateur de l argument du numérateur Formule de De Moivre Puissance entière d un nombre complexe. Si n N, z n = } z.z {{... z} n-fois = r.r... r.(cos θ + i sin θ).(cos θ + i sin θ)... (cos θ + i sin θ) }{{}}{{} n-fois n-fois = r n. cos(nθ) + i sin(nθ)

26

27 Formule de De Moivre Si n Z, n N z n.z n = z n. r n. cos( nθ) + i sin( nθ) = 1 z n = 1 z n = 1 r n. cos( nθ) + i sin( nθ) = r n. cos( nθ) i sin( nθ) = r n. cos(nθ) + i sin(nθ) Formule de De Moivre Formule de De Moivre : n Z : (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ)

28

29 Exponentielle complexe Théorème : Il existe une fonction exponentielle définie sur C (notée e z z C) qui vérifie : 1. z, z C : e z+z = e z.e z. Si x R, e x est l exponentielle réelle 3. L application : [0, π[ C θ e i θ est une bijection sur l ensemble des complexes de module 1 Théorème admis Exponentielle complexe de module 1 e i 3π 4 i = e i π e i π 3 e i π 6 e i π = 1 1 e i 5π 3 = e i π 3 i = e i 3π

30

31 Exponentielle complexe M(z = 3 ei π 5 ) sin θ e i π 5 θ = π 5 cos θ 1 Exponentielle complexe On dispose de 3 écritures pour les nombres complexes : 1. algébrique : z = x + i y, x, y R. trigonométrique : z = r.(cos θ + i sin θ), r R +, θ [0, π[ 3. exponentielle : z = r.e i θ, r R +, θ [0, π[ e i θ = cos θ + i sin θ e i θ 1.e i θ = e i (θ 1+θ ) (e i θ ) n = e ni θ

32

33 Racines des nombres complexes Racine n-ième d un nombre complexe Soit z = r(cos θ + i sin θ) C et n N. On appelle racine n-ième de z, le nombre complexe : a = ϱ(cos α + i sin α) tel que : z = a n Racines des nombres complexes z = a n r(cos θ + i sin θ) = ϱ n (cos nα + i sin nα) ϱ n = r nα = θ + kπ ϱ = n r α = θ + kπ n Pour k N tel que : 0 k n 1

34

35 Racines des nombres complexes Théorème : Pour n N, tout nombre complexe z = r(cos θ + i sin θ), non-nul, a n racines n-ièmes : a k = n r cos θ + kπ n 0 k n 1 + i sin θ + kπ n Racines n-ièmes de l unité Racines des nombres complexes Si z = 1 : r = 1, θ = 0. : ω k = cos kπ n kπ + i sin 0 k n 1 s appellent les racines n-ièmes de l unité. n = ei Pour 0 k n 1, ω n k = 1 kπ n

36

37 Racines des nombres complexes Somme des racines n-ièmes de l unité j = e i π j 1 + j + j 1 O j = e i 4π 3 Racines des nombres complexes Pour n = 3 : 1 + e i π 3 + e i 4π 3 = 1 + e i π 3 + e i π 3 Pour n quelconque : = 1 e i π 3 1 e i π 3 3 = 0 n 1 k=0 e i kπ n 1 n = k=0 (e i π n ) k = 1 (ei 1 e i π n π n ) n = 0 La somme des racines n-ièmes de l unité est nulle

38

39 Racines des nombres complexes 1 + e i π 5 + e 4i π e i π 5 + e 4i π 5 + e 6i π 5 e i π e i π 5 e 4i π e i π 5 + e 4i π 5 + e 6i π 5 + e 8i π 5 1 O e 6i π 5 e 8i π 5 Racines des nombres complexes Soit n N, z C et a et b deux racines n-ièmes de z. a n = b n = z Soit : Où ω k, a n = 1 a = b.ωk b (0 k n 1) est une racine n-ièmes de l unité. Théorème : On obtient les n racines n-ièmes d un nombre complexe en multipliant l une d entre elles par les n racines n-ièmes de l unité.

40

41 Racines des nombres complexes Exemple : soit à calculer les racines 7-ièmes de z = 3 5π 1 ei On doit trouver a tel que a 7 = z. 3 a = 7 3 a 0 = 7 ei 5π = 7 ei 5π 84 Racines des nombres complexes Les autres racines sont obtenue en multipliant a 0 par les six racines 7-ièmes de l unité (différentes de 1) : a 1 = a 0 e i π 7 a = a 0 e i 4π 7 a 3 = a 0 e i 6π 7 a 4 = a 0 e i 8π 7 = 7 5π 3 ( 84 ei + π 7 ) = 7 9π 3 84 ei = 7 5π 3 ( 84 ei + 4π 7 ) = 7 53π 3 84 ei = 7 5π 3 ( 84 ei + 6π 7 ) = 7 77π 3 84 ei = 7 5π 3 ( 84 ei + 8π 7 ) = 7 101π 3 84 ei a 5 = a 0 e i 10π 7 = 7 5π 3 ( 84 ei + 10π 7 ) = 7 15π 3 84 ei a 6 = a 0 e i 1π 7 = 7 5π 3 ( 84 ei + 1π 7 ) = 7 149π 3 84 ei

42

43 Racines des nombres complexes Z(z = 3 5π ei 1 ) e i 4π 7 e i π 7 e i 6π 7 A A 1 A 3 O A 0 5π 84 e i 8π 7 A 4 A 5 A 6 e i 1π 7 e i 10π 7 Trigonométrie z C z = cos θ + i sin θ = e i θ R(z) = cos θ = 1 (z + z) = 1 (ei θ + e i θ ) I(z) = sin θ = 1 i (z z) = 1 i (ei θ e i θ )

44

45 Trigonométrie Trigonométrie Linéarisation des puissances de sinus et cosinus Transformation de cos n θ et sin n θ en une somme des sinus et cosinus des multiples de θ. Trigonométrie Trigonométrie Linéarisation des puissances de sinus et cosinus 3 cos 3 θ = (e i θ + e i θ ) 3 = e 3i θ + 3e i θ e i θ + 3e i θ e i θ + e 3i θ = (e 3i θ + e 3i θ ) + 3(e i θ + e i θ ) = cos 3θ + 6 cos θ cos 3 θ = 1 4 cos 3θ cos θ On écrit : n cos n θ = (e i θ + e i θ ) n On développe (e i θ + e i θ ) n avec la formule du binôme On regroupe chaque e k i θ avec son conjugué e k i θ

46

47 Trigonométrie Trigonométrie Linéarisation des puissances de sinus et cosinus (i) 3 sin 3 θ = (e i θ e i θ ) 3 = e 3i θ 3e i θ e i θ + 3e i θ e i θ e 3i θ = (e 3i θ e 3i θ ) 3(e i θ e i θ ) = i sin 3θ 6i sin θ sin 3 θ = 1 4 sin 3θ sin θ Trigonométrie Trigonométrie Calcul des sinus et cosinus de nθ cos nθ + i sin nθ = (cos θ + i sin θ) n cos nθ = R (cos θ + i sin θ) n sin nθ = I (cos θ + i sin θ) n

48

49 Trigonométrie Trigonométrie Calcul des sinus et cosinus de nθ cos 4θ + i sin 4θ = (cos θ + i sin θ) 4 = (cos θ) i (cosθ) 3 sin θ + 6 i (cosθ) (sin θ) + 4 i 3 (cosθ)(sin θ) 3 + i 4 (sin θ) 4 cos 4θ = (cos θ) 4 6 (cosθ) (sin θ) + (sin θ) 4 sin 4θ = 4 (cosθ) 3 sin θ 4 cosθ(sin θ) 3 Le théorème fondamental de l algèbre a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 Théorème de d Alembert Théorème : Tout polynôme non-constant à coefficients complexes a au moins une racine complexe. Corollaire : Tout polynôme de degré n 1, à coefficients complexes, a n racines complexes.

50