Exercices sur les représentations paramétriques de droites et de plans

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1 TS Exercices sur les représenaions paramériques de droies e de plans Le plan es muni d un repère O, i, j x 3 Déerminer un repère de la droie D admean pour sysème d équaions paramériques y e racer D Dans les exercices suivans, l espace E es muni d un repère On considère la droie D de repère A, u avec A 3 ;; 4 e O, i, j, k 3 u ; ; ) Donner un sysème d équaions paramériques de D ) Calculer les coordonnées du poin d inersecion de D avec le plan (xoy) ( ) 6 On considère les droies D e D ' précisées chacune par un sysème d équaions paramériques x x ' D y ( ) e D ' y 3 ' ( ' ) z z ' 3 3 Démonrer qu il exise un poin de D e un poin de D els que le poin ; ; soi le milieu de [] 7 On considère les droies D e D ' précisées chacune par un sysème d équaions paramériques x D y z 3 ( ) e D ' Démonrer que les droies D e x 3' y ' z ' ' D ' ne son pas coplanaires 8 Ex sur deux droies sécanes de l espace Trouver le poin d inersecion L énoncé sera donné en classe 3 On considère la droie D admean pour sysème d équaions paramériques x y 4 z 3 ( ) 9 On considère les poins A( ; ; ), B( ; ; ), C(3 ; ; 4) ) Démonrer que les poins A, B, C ne son pas alignés ) Déerminer un sysème d équaions paramériques du plan (ABC) 3 ) Déerminer un sysème d équaions paramériques du plan P passan par O parallèle à (ABC) ) Donner un repère de D ) Le poin E(6 ; ; 3) apparien-il à D? Le poin F( ; 3 ; ) apparien-il à D? 4 On considère les droies D e D précisées chacune par un sysème d équaions paramériques 9 x 3 x 9 ' D y ( ) D y 5 3' ( ' ) z z 3' Les droies D e D son-elles parallèles? x 5 5 On considère la droie D admean pour sysème d équaions paramériques y 4 ( ) z 3 ) Démonrer que D es parallèle à l un des plans de coordonnées ) Déerminer un sysème d équaions paramériques de la droie D parallèle à D passan par le poin A( ; 7 ; 0) x 3 ' 0 On considère le plan P défini par le sysème d équaions paramériques y z 3 4' Déerminer un repère de P ; '

2 Corrigé Le vendredi 7 mars 07 Quesion de Juliee Bongiovanni : Pourquoi représene--on le veceur u à parir de l origine O? x 3 D y ( ) Déerminons un repère de D Repère d une droie : On appelle repère d une droie dans le plan un couple formé d un poin de la droie e d un veceur direceur de la droie Une droie adme une infinié de repères Convenionnellemen, un repère es désigné en écrivan d abord le poin puis le veceur direceur D es la droie passan par A On peu aussi rédiger ainsi : «D es la droie de repère A, u avec A Traçons la droie D ; e de veceur direceur u 3 ; D ; e de veceur direceur u 3;» Réponse : On peu représener le veceur u à parir de n impore quel poin On vérifie sur la calcularice graphique Aures façons : On prend deux poins de la droie en donnan deux valeurs disinces au paramère Repasser par une équaion carésienne (possible mais lourd) D : droie de repère A, u avec A 3 3 ;; 4 e u ; ; ) Donnons un sysème d équaions paramériques de D On applique la formule du cours sur les équaions paramériques de droies On choisi soi-même la lere pour désigner le paramère (pas de lere imposée) Ce paramère es souven noé ou x 3 3 Un sysème d équaions paramériques de D s écri y z 4 NB : l n y a pas d équaions carésiennes de droies dans l espace ) Calculons les coordonnées du poin d inersecion de D avec le plan (xoy) Le plan (xoy) a pour équaion z 0 donc z 0 j O i A u On uilise ensuie le sysème d équaions paramériques de la droie D Le paramère du poin sur la droie D vérifie l équaion 4 0 Donc Grâce au sysème d équaions paramériques de D, on obien : 3 x 3 e y 3 D où ( ; ; 0) On peu aussi un aure poin de la droie disinc de A Le Vianney Dardonville : Déerminer deux poins de la droie

3 3 x D y 4 ( ) z 3 ) Donnons un repère de D Repère d une droie : De même pour le poin F, on cherche s il exise un réel soluion du sysème Ce sysème équivau à On remarque qu il n exise pas de nombre soluion donc F D On appelle repère d une droie (dans le plan ou dans l espace) un couple formé d un poin de la droie e d un veceur direceur de la droie Une droie adme une infinié de repères Convenionnellemen, un repère es désigné en écrivan d abord le poin puis le veceur direceur Lorsque l on demande un repère d une droie, on doi donner un poin e un veceur direceur de cee droie Un repère de la droie D es A, u avec A ; 4 ; 3 e u ;; ) Déerminons si les poins E(6 ; ; 3) e F( ; 3 ; ) appariennen à D Pour savoir si le poin E apparien ou non à D, on cherche s il exise un réel el que xe ye 4 ze 3 6 Ce sysème équivau à Ce sysème es pléhorique (du mo pléhore = excès) en équaions par rappor au nombre d inconnues éhode : Prendre chaque équaion e résoudre Si la valeur de es la même pour les rois équaions, alors le sysème adme une unique soluion e l on pourra dire que le poin apparien bien à la droie D Si les valeurs de son différenes pour les rois équaions, alors on pourra dire que le sysème n adme pas de soluion l n y a pas d équaion carésienne de droie dans l espace On peu définir une droie par un sysème de deux équaions carésiennes de plans (selon la propriéé «deux plans sécans de l espace se coupen selon une droie») ou par un sysème d équaions paramériques 4 D // D ' (déerminer un veceur direceur de chacune des deux droies e démonrer qu ils son colinéaires) Soluion déaillée : x 3 D y z ( ) D ' Aenion : e ' 9 x 9 ' y 5 3' z 3' ( ' ) On pourrai uiliser le même paramère mais on aurai un problème dans le raisonnemen (problème d inersecion de droies) On peu dire que le veceur u (3 ; ; ) es un veceur direceur de D e que le veceur v 9 ; 3 ; 3 es un veceur direceur de D ' Aenion : On ne peu pas parler de veceur normal à une droie dans l espace Une droie dans l espace pourrai admere une infinié de veceurs normaux au sens où il y a une infinié de veceurs orhogonaux ais ces veceurs ne son pas ous colinéaires enre eux (dans l espace) On ne parle donc pas de veceur normal à une droie de l espace ci, on obien la même valeur pour les rois équaions : 5 Le sysème adme bien un unique nombre soluion donc E D ( 5) 3 On observe que v u Les veceurs u e v son donc colinéaires Par suie, D // D '

4 On peu se demander si les deux droies son sricemen parallèles ou confondues l y a pour cela deux méhodes pour répondre à la quesion La méhode la plus saisfaisane consise à déerminer un poin de D e à voir s il apparien à D ' On voi alors si D e D ' son confondues ou sricemen parallèles ) Déerminons un sysème d équaions paramériques de la droie D ' parallèle à D passan par le poin A( ; 7 ; 0) Le veceur u ; 4 ; 0 es un veceur direceur de D Or D // D ' donc u es aussi un veceur direceur de D ' Si deux droies son parallèles, alors ou veceur direceur de l une es veceur direceur de l aure ère méhode : Déerminer un poin de D e voir s il apparien à D ' Le poin O 0 ; 0 ; 0 obenu pour 0 apparien à D On peu démonrer que O D ' Donc Remarque : D ' adme le sysème x y 7 4 z 0 pour sysème d équaions paramériques On voi qu il n apparien pas à D ' (car on n obiendrai pas la même valeur de ' en résolvan le sysème formé par chacune des équaions paramériques égale à 0) Donc les droies D e e méhode : D ' son sricemen parallèles Éudier l inersecion de D e de D On rouve une inersecion vide (ensemble vide) En conséquence de quoi, les droies D e parallèles (sinon on rouverai D D ' D D ') 5 D x 5 y 4 z 3 ) Démonrons que D es parallèle à l un des plans de coordonnées D ' son sricemen D après la roisième équaion du sysème d équaions paramériques, on remarque que la droie D es incluse dans le plan P d équaion z 3 D aure par, P es parallèle au plan (xoy) (en effe, un plan qui adme une équaion de la forme z a où a es un réel fixé es parallèle au plan (xoy)) Or si deux plans son parallèles, alors oue droie incluse dans l un es parallèle à l aure Donc D // (xoy) Tou veceur non nul colinéaire à u es aussi un veceur direceur de D ' Par exemple, le veceur u es aussi un veceur direceur de x sysème d équaions paramériques y 7 8 z 0 Toue droie de l espace adme une infinié de sysèmes d équaions paramériques 6 On résou le problème à l aide d un sysème e ' On obien ; 4 ; 3 e ; 5 ; 0 Soluion déaillée : D ' Avec ce veceur, la droie D ' adme pour x x ' D y ( ) D ' y 3 ' ( ' ) z z ' 3 3 Démonrons qu il exise un poin de D e un poin de D ' els que le poin ; ; soi le milieu de [] Soi un poin de D associé au paramère e un poin de D ' associé au paramère '

5 x y milieu de [] z x y z ' ' ' x y z x x' x y y' y z z' z ' 3 3 ' ' 3 ou ' 3 3 ' ' 3 On considère le sysème formé de la ère e de la e équaion («sous-sysème») On le résou (méhode au choix) ; on rouve ' On vérifie que la 3 e équaion es saisfaie En fai, la deuxième équaion es équivalene à ' soi ' La roisième équaion es équivalene à ' soi ' Donc la deuxième équaion e la roisième équaion son ideniques ce qui évie de considérer un sous-sysème Conclusion : Pour On peu évenuellemen uiliser la calcularice pour résoudre le sysème x 4, on obien y z Pour ', on obien On en dédui que 3 x' y' 3 5 z' 0 ; 4 ; 3 e ; 5 ; 0 Aure façon de rédiger : x y milieu de [] z () 4 ' () x y z ' ' ' x y z ' 3 () 3 ' () ' 3 (3) Compe enu de (), () donne alors L égalié () donne alors L égalié (3) es vérifiée pour e ' 7 x D y z ' ' soi ' x 3' ( ) D y ' z ' Démonrons que les droies D e D ne son pas coplanaires Démonrons que D e D ne son pas parallèles La droie D adme le veceur u ; ; pour veceur direceur La droie D adme le veceur u' 3 ; ; pour veceur direceur On observe que les veceurs u e u' ne son pas colinéaires Donc D e D ne son pas parallèles Démonrons que D e D n on pas de poin commun 3 ' () Considérons le sysème () ' () 3 ' (3) ( ' ) On peu évenuellemen uiliser la calcularice pour résoudre le sysème

6 ' 5 5 (3) n es pas vérifiée pour le couple ; donc le sysème () n adme pas de couple soluion 5 5 Par conséquen, D D ' On en dédui que les droies D e D ne son pas coplanaires Aure façon : On uilise la propriéé suivane Soi D une droie de repère A, u Soi D ' une droie de repère A', u ' D e D ' son coplanaires AA', u, u ' son coplanaires Remarques : l y a d aures repères possibles : A, BA, BC Cependan, le repère A, AB, AC, B, AC, AB es le plus «naurel» pour le plan (ABC) On peu éliminer les paramères e ' dans la dernière équaion x On obien z y 6 soi y z 3x 6 0 ou encore 3x y z 6 0 ce qui donne une équaion carésienne de ABC 3 ) Déerminons un sysème d équaions paramériques du plan P passan par O parallèle à (ABC) P // ABC donc P a pour repère O, AB, AC On uilise la propriéé suivane : Soi P e P ' deux plans parallèles Soi A, u, v un repère de P Soi B un poin du plan P ' Alors B, u, v es un repère de P ' 8 A B 3 C 4 ) Démonrons que les poins A, B, C ne son pas alignés 0 AB AC 0 6 Donc un sysème d équaions paramériques du plan P s écri Remarque : On peu éliminer les paramères e ' dans la dernière équaion x ' y z 6', ' On obien z y 3x soi y 3x z 0 ou encore 3x y z 0 ce qui donne une équaion carésienne de P AB e AC ne son pas colinéaires Donc les poins A, B, C ne son pas alignés ) Déerminons un sysème d équaions paramériques du plan (ABC) (ABC) a pour repère A, AB, AC Donc un sysème d équaions paramériques du plan (ABC) s écri x ' y z 6', '

7 9 x 3 ' P y z 3 4', ' Déerminons un repère de P P a pour repère A, u, v avec A, u 0 3 e v On vérifie aisémen que u e v ne son pas colinéaires