Cours de mathématiques M.P.S.I.

Transcription

1 Cours de mathématiques M.P.S.I. D'après les cours de M. De Granrut Henriet Quentin Ausseil Lucas Perard Arsène Philipp Maime

2 Fonctions usuelles. Quelques généralités Dans tout ce chapitre, I désigne un inervalle de R non réduit à un point. Les fonctions étudiées dans ce chapitre sont définies d'un intervalle I dans R : on note f : I R. On note F I, R ou R I l'ensemble des fonctions de I dans R... Parité, période Un ensemble X R est dit centré en 0 si X, X. Soit f : I R. On dit que f est : paire si I, I et f = f impaire si I, I et f = f. Si f est impaire et 0 D f, alors f 0=0. Si f est paire, C f possède un ae de symétrie : l'ae O y Si f est impaire, C f possède un centre de symétrie : O. Soit f : I R. On dit que la courbe C f possède pour ae de symétrie la droite d'équation =a si : h R tel que ah I, a h I et f ah= f a h On dit que la courbe C f admet le point A de coordonnées a, b pour centre de symétrie si : f ah f a h h R tel que ah I, a h I et =b Soient f : I R, T R. On dit que T est une période de f ou que f est T - périodique si : I tel que T I, f T = f. On obtient toute la courbe d'une fonction T - périodique, en traçant sur un intervalle de longueur T et en effectuant des translations de vecteur T k i, k Z... Limite, continuité, dérivabilité Soient f : I R, a I. On dit que f est continue en a si f = f a. a On dit que f est continue sur I si f est continue en tout point de I. Soient f : I R, a I. On dit que f est dérivable en a si f ah f a h a une ite finie quand h tend vers 0. On dit que f est dérivable sur I si f est dérivable en tout point de I. La fonction dérivée est notée f ' ou df. d Si f et g : I R sont dérivables sur I, k R, on a : f g'= f 'g' k f ' =k f ' g f '= f ' g f g' f ' = f ' f f f ' g f g' g '= g g f '= f ' g' f Propriété : f est dérivable f est continue.

3 Si f est continue et dérivable sur I, I, f ' =0 f est une fonction constante. I, f ' 0 f est croissante. I, f ' 0 f est décroissante. I, f ' 0 f ' ne s'annule qu'en un nombre fini de points I, f ' 0 f ' ne s'annule qu'en un nombre fini de points f est strictement croissante. f est strictement décroissante..3. Théorème de la bijection Soit f : I R. On dit que f réalise une bijection de I sur J si y J,! I tel que f =y. f est appelée la bijection réciproque. Théorème de la bijection : Soit f : I R continue et strictement monotone. On a alors :. f I est un intervalle du type de I et ses bornes sont les ites de f au bornes de I.. f réalise une bijection de I sur f I 3. f est continue sur f I et strictement monotone de même sens que f. 4. C f et C f ' sont symétriques par rapport à la première bissectrice. 5. Si de plus f est dérivable et si f ' ne s'annule pas, alors f est dérivable et f ' = f ' f Remarque : Ce théorème sera utilisé dans la suite du chapitre pour prouver la définition, la continuité, le sens de variation et la dérivabilité des fonctions réciproques étudiées. Il permet également d'eprimer leur dérivée..4. Plan d'étude d'une fonction. Déterminer le domaine de définition D f de la fonction étudiée.. Réduction du domaine d'étude : parité, période, centre ou ae de symétrie. 3. Continuité et dérivabilité de f sur I. 4. Calcul et factorisation de f ' pour déterminer son signe et résoudre f ' =0 5. Limites au bornes. 6. Tableau de variations. 7. Étude des branches infinies et des asymptotes. 8. Étude des points d'infleion (etrema de la dérivée) 9. Tracé de la fonction. f =±, avec 0 R : asymptote verticale = 0 Branches infinies :. 0. ± f =l avec l R : asymptote horizontale y=l 3. ± f =0,, a R, ou pas de ite. f =± : calcul de ± Si 0 ou : branche parabolique horizontale ou verticale. Si a R : Calcul de f a =b R, ± Si b R : asymptote y=a b Si : branche parabolique de direction asymptotique y=a Le signe de f a b donne la position courbe-asymptote.

4 . Fonctions usuelles.. Fonctions trigonométriques... Définition géométrique J B O M A T I i,om= k On définit sin =OB, cos=oa, tan =IT Pour 0 AM OA AM : sin=, cos=, tan = OM OM AO. Pythagore donne : =sin cos Thalès donne : tan = IT OI = AM OA =OB OA = sin cos OI=i, i =... Sinus et cosinus Sinus es définie, continue, dérivable sur R. Sinus est impaire, - périodique, et admet O comme centre de symétrie. R, sin =sin, et admet = sin '=cos. sin 0 6 comme ae de symétrie. 0 4 sin = cos 0 y=sin Cosinus est définie, continue, dérivable sur R. Cosinus est paire, - périodique, et admet O y comme ae de symétrie. R, cos cos =0. cos' = sin. y=cos O 0 cos =..3. Formules cosab=cosacosb sin asin b cosa b=cosacosbsin asin b sin ab=sin acosbsinbcosa sin a b=sin acosb sin bcosa sin =sin cos cos =cos sin =cos = sin cos cos = sin cos = cos =cos cos pcosq= cos pq cos p q cos p cosq= sin pq sin p q sin psin q=sin pq cos p q sin p sin q=sin p q cos pq cos =sin

5 cosabcosa b=cosacosb cosa b cosab=sin asin b sinabsina b=sinacosb sin cos= cos 4 = sin Tangente et cotangente sin tan = cos, cotan = cos sin Tangente est définie, continue et dérivable sur ] k, k [. y=cotan Cotangente est définie, continue et dérivable sur ]k,k[. Tangente et cotangente sont impaires et - périodique. ] k, k, tan ' = [ cos =tan ]k,k[, cotan ' = 0 tan = et cotan = 0 sin = cotan y=tan 4 0 tan cotan Divers Remarque : cosa=cosb a=b k ou a= b k, k Z. sin a=sin b a=bk ou a= b k, k Z. tana=tanb a=bk, k Z. Soit a 0. f f f : cosa est a - périodique, admet asin a pour dérivée et sina pour primitive. a : sina est a - périodique, admet acosa pour dérivée et cosa pour primitive. a : tan a est a - périodique.

6 .. Eponentielle, logarithme et puissance... Eponentielle On appelle eponentielle et on note ep l'unique fonction dérivable sur R telle que : R, f 0= f ' = f La fonction eponentielle est définie, continue et dérivable sur R, et ep'=ep. R, ep 0, ep est strictement croissante. ep =,... Logarithme ep =0, ep =, ep =0. y=ep ep est continue et strictement croissante sur R, donc réalise une bijection de R sur R +. On appelle logarithme népérien et on note ln la bijection réciproque de ep. R, y R, y=ep =lny ln est définie, continue et dérivable sur R +, ln' = ln est strictement croissante. ln =, ln=, 0 ln =0, ln =0. 0 y=ln..3. Équations fonctionnelles. Équation fonctionnelle de ln :, y0, ln y=lnln y. 0, ln = ln 3. 0, r Q, ln r =r ln. On fie y0. On pose f =ln y ln f est définie, continue et dérivable sur R +, f ' = y y =0, donc f est constante sur R + f =lny ln=ln y, donc, y0, ln y=ln lny.. 0, =, donc lnln =ln =ln=0. 3. Posons r=n N, par récurrence sur n : Pour n=0 : 0, 0 = donc ln 0 =ln=0=0 ln : proposition vérifiée au rang 0. Supposons n N, et la formule vraie au rang n : 0, ln n =ln n =ln n ln =n lnln =nln : vérifié au rang n. Par récurrence, la proposition est vraie pour tout n N. Posons r= p Z : Posons n= p. 0, ln p =ln =ln n = ln n n = n ln= pln Posons r= p p p q, p Z, q N q. 0, qln =ln q q=ln p =p ln ln r = p ln =r ln. q.

7 . Équation fonctionnelle de ep :, y R, ep y=ep ep y. R, ep = ep 3. R, r Q, epr =ep r. Preuve () :, y R,! ', y' R + tels que =ln ' et y=ln y' ln ' y'=ln 'ln y' ' y'=ep y epep y=epy...4. Puissances Si r N, R, r = (r fois) Si r=0, R, 0 = Si r Z, R, r = r Si r= p, p N, p est la bijection réciproque de p : il s'agit de la racine p ième. Elle est définie sur R + si p est pair, et sur R si p est impair. Si r= q p, q Z, p N, r p = q R + si p est pair, R si p est impair. r s = r s, r s = r s, y r = r y r (, y,r,s convenables). Il reste à définir r pour r R Q : 0, r =epr ln Ainsi, r R, R +, ln r =r ln y= y= y= 3 y= Remarque : ep =ep lne=e 0 ln =, 0 e =. y= y= 3 y=..5. Logarithme et eponentielle en base a Pour a R + }, R +, on définit log [a] = ln lna. Pour a R + }, R, on définit ep [ a] =ep lna=a., y R +, log [a ] y=log [a] log [ a] y., y R, a y =a a y. r ' = r r et a '= lnaa. Propriété : Soient u : I R dérivable et v : I R dérivable. f : u v u' est dérivable sur I et f ' v' lnuv ep v lnu. =[ u ]

8 .3. Fonctions hyperboliques.3.. Cosinus hyperbolique et sinus hyperbolique On appelle cosinus hyperbolique et on note ch : ch = e e On appelle sinus hyperbolique et on note sh : sh = e e y=ch sh est définie, continue et dérivable sur R, sh est impaire. R, sh ' =ch, sh = ch est définie, continue et dérivable sur R, ch est paire. R, ch ' =sh, ch = R, ch sh =, ch sh =e, ch sh =e. R, sh e ch ch sh =0 : Les courbes représentatives de ch et de sh sont asyptotes l'une de l'autre. ch =, sh = y=sh.3.. Tangente hyperbolique sh On appelle tangente hyperbolique et on note th : th= ch = e e e e = e e = e e th est définie, continue et dérivable sur R, comme quotient de deu fonctions définies, continues et dérivables sur R, dont le dénominateur ne s'annule pas. th est impaire. R, th' = th = ch th=, 0 sh =, 0 th =. y=th.4. Fonctions hyperboliques réciproques.4.. Argument sinus hyperbolique sh est continue et strictement croissante sur R, donc réalise une bijection de R dans R. On appelle argument sinus hyperbolique et on note argsh la bijection réciproque de sh. argsh est définie, continue, et strictement croissante sur R. argsh est impaire. argsh est dérivable sur R et R, argsh ' = R, argsh =ln y=sh y= y=argsh

9 Lemme : La bijection d'une fonction impaire bijective est impaire. Preuve du lemme : Soit f : I R impaire et bijective. I est centre en O. f : J R, avec J= f I, et J,!y I tel que = f y y I, et f y= f y=, donc J et f = y donc f est impaire. Preuve de la proposition : argsh est impaire d'après le lemme. sh est dérivable sur R sh '=ch ne s'annule pas argsh est dérivable sur R et R, argsh ' = ch argsh Soit y=argsh R. sh y= et ch y sh y=, donc ch y=sh y Donc argsh ' = chargsh = = sh argsh R,!y R tel que =sh y, Notons Y =e y 0 y=argsh =sh y = e y e y =Y Y Y Y =0 =4 0, Y = (car R, ch 0), Y = 0 (impossible), donc Y = et y=ln..4.. Argument cosinus hyperbolique ch est continue et strictement croissante sur R +, donc réalise une bijection de R + sur [, [ On appelle argument cosinus hyperbolique et on note argch la bijection réciproque de ch restreinte à R +. argch est définie, continue et strictement croissante sur [, [ argch est dérivable sur ], [ et ], [, argch' = ], [, argch =ln y=ch y= y=argch [, [,! y R + tel que =ch y y=argch ch est dérivable en y argch est dérivable sur ], [ ch' =sh 0 argch ' = sh argch, et ch sh =, donc sh y=ch (car y0 ), donc argch ' = [, [,! y R + tel que =ch y, notons Y=e y y=argch =ch y = ey e y =Y Y Y Y =0 =4 0, Y =, Y = : Y, Y car Y Y = et Y Y = : Donc l'un est supérieur à, l'autre inférieur à, donc argch =ln

10 .4.3. Argument tangente hyperbolique th est continue et strictement croissante sur R donc réalise une bijection de R sur ], [. On appelle argument tangente hyperbolique et on note argth la bijection réciproque de th. argth est définie, continue, et strictement croissante sur ],[, argth est impaire. argth est dérivable et ],[, argth ' =. ],[, argth = ln. y=argth y= y=th th est dérivable sur R argth est dérivable sur ],[ th' ne s'annule pas ],[, argth ' = th argth = ],[,! y R tel que =thy = e y e y e y =e y e y = y= ln f ' f Ensemble de définition argsh ln R R argch ln ], [ ], [, ], [ argth ],[ ln ], [,], [,], [.5. Fonctions circulaires réciproques.5.. Arcsinus sin est définie, continue et strictement croissante sur [, ] donc réalise une bijection de [, ] On appelle arcsinus et on note arcsin la bijection réciproque de sinus restreinte à [, ]. sur [,]. arcsin est définie, continue et strictement croissante sur ],[, impaire, dérivable sur ],[ ],[, arcsin ' =. y= [,],!y [, ] tel que =sin y y=arcsin sin est dérivable en y sin ' y 0 ± ], [, arcsin ' = cosarcsin arcsin est dérivable sur ], [ cos ysin y= cos y= car y ],, donc cos y0 [ y=arcsin y=sin.5.. Arccosinus sin est définie, continue et strictement décroissante sur [0,] donc réalise une bijection de [0,] sur [,]. On appelle arccosinus et on note arccos la bijection réciproque de cosinus restreinte à [ 0,].

11 arccos est définie, continue et strictement décroissante sur [, ]. arccos est dérivable sur ],[, ],[, arccos' =. [,],!y [ 0,] tel que =cosy y=arccos cos est dérivable en y arccos est dérivable sur ],[ cos' y 0 ± ], [, arcsin ' = sinarccos cos ysin y= sin y= car y ] 0,[, donc sin y0 y=arccos y= y=cos Remarque : ],[, arcsin ' arccos' =0 : la fonction arcsin arccos définie, continue et dérivable sur ],[ est donc constante. ],[, arcsin arccos =arcsin 0arccos0= Si on note M,arcsin et N, arccos : le point P, milieu de [ MN ] a pour coordonnées : P, 4 On obtient un ae de symétrie entre arcsin et arccos : y= Arctangente tan est définie, continue et strictement croissante sur ], [ donc réalise une bijection de ], [ On appelle arctangente et on note arctan la bijection réciproque de tangente restreinte à ], [. sur R. arctan est définie, continue et strictement croissante sur R. arctan est impaire, dérivable sur R, et R, arctan ' =. y=tan y= y=arctan tan est dérivable sur ], [ arctan est dérivable sur R tan ' ne s'annule pas arctan ' = tan arctan = R, arctan arctan =signe, où signe = si 0, = si 0, =0 si =0. Soit f =arctan arctan f est définie, continue et dérivable sur R et R +. R +, f ' = = =0 f est impaire. Donc c R tel que R +, f =c et c R tel que R, f =c c = f =arctanarctan= Par parité, c =. * * * * * Mis à jour le