Approche inverse pour la restauration de l information cristallographique

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1 Approche inverse pour la restauration de l information cristallographique Ferréol Soulez INSA CNDRI, Centre de Quantimétrie Lyon 1 1 / 19

2 Principe 2 / 19

3 Diffraction des rayon X Diffraction des rayons X Source x y S z θ Objet O Diffraction d une poudre cristalline : Loi de Bragg ( θ 2 n d (h k l) sin = λ 2) D Détecteur d (h k l) distance inter-réticulaire (caractéristique du cristal), n entier. En théorie : on observe des photons que pour des couples (λ, θ) correspondant aux caractéristiques du cristal. Applications :Spectrographie Variation de θ (ADXRD), λ fixe, rotation du détecteur. Variation de λ (EDXRD), détecteur résolu en énergie. 3 / 19

6 Modèle physique Energy Dispersive X Ray Diffraction Source S α 1 α x z y α 2 Objet B O θ A Ouverture angulaire des collimateurs brouillage du spectre, Convolution variant avec E : y(e) = h(e, E ) x(e ) de D L l Détecteur 4 / 19

7 Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond (à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

9 Modèle physique Modèle physique, poudre cristalline Modèle de formation : z = R (a s (H x + f) ) +b x : Diagramme de poudre de la matière (en kev). C est ce que l on cherche à estimer, H : Réponse du montage (estimée numériquement), f : spectre du fond ( à déterminer), s : spectre de la source, a : atténuation dans l objet, R : Réponse du détecteur (convolution en énergie), b : Bruit (comptage + bruit détecteur + modèle), z : Mesures. 5 / 19

13 Estimation du diagramme de poudre 6 / 19

14 Approche inverse Approche inverse 2 vecteurs à estimer : Diagramme de poudre x, fond continu f. Modèle de formation : y = R (a s (H x + f) ) 7 / 19

15 Approche inverse Approche inverse Modèle de formation : y = R (a s (H x + f) ) A priori Diagramme de poudre x x est composé des quelques pics très importants. Fond f f est relativement lisse et de moyenne faible. Régularisation pénalisation par x 1. (Parcimonie) Régularisation pénalisation par f 2 2. Positivité 7 / 19

21 Approche inverse Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x µ 2 f 2 } {{ } 2 a priori Bruit de Poisson Bruit gaussien non-stationnaire 1 w E = γ max(z E, ) + σ 2 si z E est mesuré, b sinon. 8 / 19

22 Approche inverse Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x µ 2 f 2 } {{ } 2 a priori Bruit de Poisson Bruit gaussien non-stationnaire 1 w E = γ max(z E, ) + σ 2 si z E est mesuré, b sinon. 8 / 19

23 Résultats données réelles Échantillon de graphite, détecteur germanium Mesures 2 Restauration sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation ND ND 4.45 Théorie Position théorique et estimée des pics en nm 1. indique deux harmoniques du pic à 1.48 nm 1. 9 / 19

26 Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur Germanium Mesures Restauration sin(.5 θ) h c Résultats en transfert de quantité de mouvement : x = E Estimation Théorie faux Position théorique et estimée des pics en nm 1. Faux est pour fausse détection. 1 / 19

29 Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur CZT Mesures 8 Restauration / 19

30 Résultats données réelles Échantillon de NaCl, détecteur CZT Mesures 8 Restauration / 19

31 Reconstruction d une ligne de l objet 12 / 19

32 Principe Principe Source x z y Montage : Plusieurs détecteurs pointant sur différentes zones illuminées par le pinceau. Objectifs : Objet Mesurer toute la ligne en une seule acquisition, Super-résolution (si les zones se chevauchent), Voxels estimés plus petits. Détecteurs Principe : Même approche inverse prenant en compte toutes les mesures d un coup. 13 / 19

38 Simulation 19 cm Source x y z 27 cm 24 cm NaCl 12 voxels = 24mm 3 voxels Graphite = 6mm Object 3 voxels 3 voxels TNT = 6mm = 6mm NaCl 12 voxels = 24mm Montage : 5 détecteurs, 6 sources réparties sur 2mm, spectre source plat, 7 voxels/détecteur, voxels de 2mm 2mm 2mm. θ = 4.26 Scatter detectors 14 / 19

39 NaCl graphite TNT Champ de vue détecteurs Detect. 3 Detect. 1 Detect. 4 Detect. 2 Detect NaCl Graphite TNT NaCl z depth in voxel

40 Simulation Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x µ 2 f µ 3TV c (x) } {{ } a priori Vector valued Total Variation [Chan 21] TV c (x) = ( spatial x) 2. spatial spectral 16 / 19

41 Simulation Approche Maximum A Posteriori (MAP) Solution {x +, f + } qui minimise une fonction de coût : {x +, f + } = arg min R (a s (H x + f) ) y 2... {x f} W } {{ } attache aux données + µ 1 x µ 2 f µ 3TV c (x) } {{ } a priori Vector valued Total Variation [Chan 21] TV c (x) = ( spatial x) 2. spatial spectral 16 / 19

42 Simulation Résultats Mélange simulé Depth position in voxel Zone observée 3 momentum transfer (nm -1 ) 4 2 nm Voxels 17 / 19

43 Simulation Résultats Mélange simulé Depth position in voxel Mélange reconstruit Depth position in voxel momentum transfer (nm -1 ) 4 2 momentum transfer (nm -1 ) / 19

44 Conclusion 18 / 19

45 Conclusion Conclusion Modèle validé sur des données réelles, Bonne estimation des distances inter-réticulaires, Robuste aux bruits (bruit de photons, fond continu...). Perspective Valider la reconstruction d une ligne sur des données expérimentales, Estimer le produit spectre de la source fois atténuation, Utiliser les 16 pixels du détecteur CZT, Étendre au cas fan-beam. 19 / 19

46 Conclusion Conclusion Modèle validé sur des données réelles, Bonne estimation des distances inter-réticulaires, Robuste aux bruits (bruit de photons, fond continu...). Perspective Valider la reconstruction d une ligne sur des données expérimentales, Estimer le produit spectre de la source fois atténuation, Utiliser les 16 pixels du détecteur CZT, Étendre au cas fan-beam. 19 / 19