Probabilités discrètes : exercices

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1 Université de Strasbourg Probabilités Département de mathématiques Agreg interne Probabilités discrètes : exercices Vous pouvez me contacter à l adresse nicolas.juilletatmath.unistra.fr. J ai choisi des exercices autour de la notion de loi d une variable aléatoire discrète ou d un couple de variables aléatoirs discrètes. Sur le thème j aurais pu choisir plus d exercices faisant intervenir un nombre fini ou dénombrables d événements, notamment autour des probabilités conditionnelles. Exercices généraux 1. Pile ou face On lance dix fois de suite une pièce équilibrée marquée pile et face et on considère la suite des résultats obtenus. Par exemple : (f,f,p,f,p,f,f,p,p,f). 1. Quel est le nombre de résultats possibles pour ces 10 lancers? 2. Quelle est la probabilité d obtenir 10 résultats identiques? 3. Quelle est la probabilité d obtenir au moins deux résultats di érents? 2. Jeu de 421 On lance n fois de suite 2 dés normaux. Pour quelles valeurs de n la probabilité d avoir obtenu au moins un double six dépasse-t-elle 1 2? Même question pour 3 dés et le nombre de lancers pour avoir un Urne Une urne contient dix enveloppes, deux pour Michel Noir et huit pour Michel Blanc. On dépouille l urne en révélant les buletins un à un. Soit X l ordre d apparition de la première voix pour Noir. En supposant que tout les permutations sont équiprobables dans le dépouillement, déterminez la loi de X, son espérance et sa variance. 4. Dangereux pour la santé Paul a dans sa poche deux boîtes d allumettes indiscernables ; l une contient m allumettes, l autre m. Il choisit au hasard une des boîtes, allume sa cigarette avec une seule allumette, puis remet la boîte dans sa poche si elle n est pas vide, ou la jette lorsqu elle est vide. Soit X la variable aléatoire représentant le nombre de cigarettes allumées avant de jeter une des deux boîtes. 1. Avec quelle probabilité la première boite sera-t-elle vide en premier? 2. Quelle est la loi du nombre de cigarettes fumées? (c est-à-dire pour toutes les valeurs possibles, la probabilité que ce soit ces valeurs) 5.

2 Dans un jeu de loto, l organisateur du jeu tire au hasard 25 nombres pris entre 1 et 75. On supposera tous les nombres équiprobables. 1. Combien y a t il de combinaisons possibles pour ces 25 nombres? 2. On s intéresse au nombre X de fois où le nombre 13 est apparu sur 10 tirages du loto (chaque tirage donnant une liste de 25 nombres, et les tirages étant indépendants). Donner la loi de X en justifiant votre réponse, son espérance et sa variance. Quelle est la probabilité d avoir eu le 13 au moins une fois? 3. Avant le tirage du loto, les joueurs choisissent chacun une carte comprenant 15 nombres entre 1 et 75. Combien existe-t-il de cartes di érentes? 4. Le tirage a lieu et chaque joueur coche parmi les 25 nombres qui ont été tirés par l organisateur, ceux qui figurent sur sa carte. Le joueur a gagné si sa carte est complète : tous ses nombres ont été tirés. Quelle est la probabilité p de cet événement? 5. Le joueur décide de garder la même carte jusqu à ce qu il gagne. Quelle est, en fonction de p, la probabilité qu il gagne en 3 tirages au plus? Quel est, en fonction de p, le nombre n de tirages à partir duquel cette probabilité dépasse 1/2? 6. Trois pierres Un sac contient trois pierres : deux blanches et une noire. j en prends deux au hasard. Soit X le nombre de pierres noires tirées et Y le nombre de pierres blanches. Déterminez la loi de X, la loi de Y et celle de X + Y. Déterminez la loi du couple (X, Y ). Célestine s exerce à lancer des boules de papier à la corbeille. Sur deux lancers, on estime sa probabilité de réussir le premier lancer à 3 sur 5. La probabilité de rater les deux lancers est 1/4 et la probabilité de réussir le premier lancer mais pas le second est 0,3. Soit X le nombre de lancers réussis. 1. Quelle est la loi de X? 2. Quelles sont son espérance, sa variance, son écart-type? 3. Tracez la fonction de répartition de X. 7. On lance 5 fois de suite et de façon indépendante une pièce équilibrée comportant un côté Pile et un côté Face. On définit deux variables aléatoires X et Y de la façon suivante : X est le rang du premier Pile obtenu (X prendra la valeur 0 si Pile n est pas obtenu). Y est le nombre de Face obtenu. a) Calculer p((x = 4) \ (Y = 2)) ; p((x = 3) \ (Y = 2)) ; p((x = 2) \ (Y = 2)). Les variables X et Y sont-elles indépendantes? b) Donner en justifiant la loi de Y, son espérance et sa variance. c) Quelle est la loi de X? Calculer son espérance. d) Déterminer la loi du couple (X ; Y). Exercices axés sur des loi discrètes classiques 8. QCM On pose 20 questions à un candidat. Pour chaque question k réponses sont proposées dont une seule est la bonne. Le candidat choisit au hasard une des réponses proposées.

3 1. On lui attribue un point par bonne réponse. Soit X le nombre de points obtenus. Quelle est la loi de X? 2. Lorsque le candidat donne une mauvaise réponse, il peut choisir à nouveau une des autres réponses proposées. On lui attribue alors 1 2 point par bonne réponse. Soit Y le nombre de 1 2 points obtenus lors de ces seconds choix. Quelle est la loi de Y? 3. Quelle est la loi de X + Y? X et Y sont elles indépendantes? 4. Soit S le nombre total de points obtenus. Déterminer k pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur Achille et Hector Achille et Hector jouent à un jeu : ils ont chacun une pièce qui a la probabilité p de tomber sur pile. Ils lancent chacun leur tour la pièce et le premier qui fait pile a gagné. (Achille lance en premier la pièce). 1. Quelle est la probabilité que Achille gagne au n-ième lancer? 2. Quel est la probabilité que Achille gagne. Trouver p tel que le jeu soit équilibré. 3. Même questions avec Achille qui a la probabilité p 1 de faire pile et Hector p 2 de faire pile. 10. Une variable aléatoire X suit une loi de probabilité telle que : P(X = k) =a.p k avec a, un nombre réel et p compris entre 0 et 1 exclus. 1. Déterminer le rél a 2. Déterminer la loi de X = Y avec Y une variable aléatoire indépendante de X et qui suit la même loi 3. Déterminer la loi de Z = X Y 4. Déterminer E(Z) et V (Z). Soit X et Y des variables aléatoires indépendantes, toutes deux de loi géométrique. 11. P(X = n) =p(1 p) n 1 On introduit également la matrice M =( X Y Y X ). 1. Échelonner la matrice M. 2. Avec quelle probabilité M est-elle inversible? 12. Dagobert et les alevins Dagobert jette son épuisette dans l étang. Son frère qui l observe sait que le nombre N d alevins recueillis lors de cette pêche suit une loi de Poisson de paramètre 3. Chacun des alevins pêchés est indépendemment mâle ou femelle avec probabilité 1/2 1. Quelle est la probabilité que Dagobert a pêché exactement trois alevins femelles? (Décomposer selon le nombre d alevins pêchés) 2. Montrer que le nombre d alevins femelle pêché suit une loi de Poisson dont on déterminera le paramètre. 13. Soit X 1,...,X n des variables aléatoires indépendantes de loi de Poisson de paramètres respectifs 1,..., n. Montrere que X X n suit une loi de Poisson dont on précisera le paramètre.

4 14. Déterminer la loi et l espérance de la variable Y =( 1) X lorsque X suit une loi de Poisson de paramètre. Indication : on pourra calculer l espérance, puis la loi On répartit n boules dans quatre boites B 1, B 2, B 3 et B 4. Soit X i le nombre de boules que reçoit la boite B i. Déterminer la loi, l espérance et la variance des variables X i, S 2 = X 1 + X 2, S 3 = X 1 + X 2 + X 3 et S 4 = X 1 + X 2 + X 3 + X On prélève une combinaison de n objets d un ensemble en comportant N avec une proportion x (soit donc xn) présentant caractère C1. Soit X le nombre d éléments prélevés prśentant ce caractère. Montrer que X suit une loi hypergéométrique dont on préxcisera les paramètres. Justifier la formule numérique de P(X = k). Étudier la limite quand N!1à n et x fixé. Commenter. Dans la dernière formule, faites maintenant tendre n vers 0 et x vers zéro de façon à avoir nx!. Qu obtient-on? Il conviendra de donner un sens précis aux limites dans les questions. Listes d exercices sur les probabilités discrètes issus d ouvrages recommandables En tant que professeur du secondaire, inscris à la préparation au concours de l agrégation interne, vous devez avoir accès aux trois bibliothèques Bibliothèque de l IRMA (Locaux de l UFR de Math-Info) ; Bibliothèque de l IREM (Bâtiment IRMA) ; Bibliothèque Blaise Pascal. L épreuve de l agrégation vous demandera de vous constituer votre propre catalogue de référrances. Je vous conseille de commencer le plus possible à vous intéresser aux livres. La méthode alternative, egalement formatrice, est de stocker le maximum de connaissance dans votre mémoire. Jean-Yves Ouvrard : Probabilités, tome 1 Ce livre possède un chapitre familles sommables. C est ainsi que l on désbigne la téorie de l inégration de Lebesgue lorsqu elle est restreinte aux mesures concentreés sur Z d. On y rencontre en particulier les sommes double, c est-à-dire les séries pour les suites à deux indices. Celle-ci sont particulièrement utiles pour l étude des couples de variables alḿatoirs discoètes. Ces exercices sont corrigeés Ex 2,2 Familles sommables et germes de probabilité Ex 3,2 Ex 3,3 La somme de deux variables aléatoirs de loi de Poisson peut-être de loi de Poisson sans que ces variables alḿatoirs soient indépendantes. Ex 3,4 Loi binomiale négative Ex 3,5 Variables aléatoires de loi géométrique ; calculs de lois de maximum et minimum, lois de variables aléatoires bi-dimensionnelles, lois de marginales Ex 3,6 Loi binomiale, loi de Poisson et gestion de stock Ex 5,9 Loi trinomiale, loi binomiale, fonction génératrice et indépendance ; caractérisation de la loi de Poisson

5 Garet-Kurtzmann : De l intégration aux probabilité, Ellipse Le exercices suivants sont corrigés Ex 20 p51 Problème des dérangements (voir aussi Esco er le problème des rencontres ) Ex 44 Maximum de vraisemblance d une loi binomiale. Ex 50 Une preuve probabiliste d un théorème d Erdös (donc de combinatoire/arithmétique) Ex 51 Ex 60 Optimisation pour la vente de journaux Exercices de probabilités (Cottrel, Genon-Catalot, Duhamel et Meyre) Tous les exercices sont corrigés. Ex 1,1 Trois dés Ex 1,2 Des livres sur une étagère Ex 1,5 Fonction d Euler (voir aussi ex 3,1 de Ouvrard, tome 1 ou aussi Ramis-Warusfel) Ex 1,8 Chercher l erreur Ex 1.11 Loi de succession de Laplace Ex 1,12 Taux de panne Ex 1,13 Théorème du scrutin Ex 2,8 Estimateurs de la moyenne et de la variance Ex 3,2 Dés truqués Ex 3,4 Somme aléatoire de variables aléatoires Jérôme Esco er : Probabilités et statistiques, Ellipse Ce livre semble être très apprécié parmi les candidats. Comme d autre, il est écrit par un membre ou ancien membre du jury du concours. Ex 3,2 Ex 3,3 Ex 3,5 Ex 3,7 Ex 3,9 Ex 4,3 Ex 4,6 Les allumettes de Banach (l exercice 4. Dangereux pour la santé sous sa forme classique) Ex 4,7 Le trousseau de clefs Ex 5,8 et Ex 5,9 Ex 8,1 Reconnaissance d un dé pipé par les probabilités conditionnelles Ex 8,3 Démonstration du Théorème de Weierstrass par les polynômes de Berstein Ramis-Warusfel : Mathématiques, tout-en-un pour la licence, tomes 1 et 2, Dunod Ce pavé en deux tomes couvre tout le programme de Licence L1 et L2 (algèbre-analyse-géométrieprobabilités-statistiques... ) Il est conseillé par certains de mes collègues. Le cours semble bien écrit et la présentation est agréable. Ex2 p847 tome 1. Ex3 et5 p850 t.1 V1,0 p858 t.1 Problème de météorologie (corrigé) V,1,12 t.2 Alphonse et Bernard (analogue à l exercice 9. Achille et Hector ) V,2,7 t.2 Le problème des rencontres V,2,8 t.2 Le problème des boîte d allumettes de Banach (voir aussi Esco er) V,2,12 t.2 V,2,14 et V,2,15 t.2 Somme aléatoire de variables aléatoires (voir aussi Cottrel)

6 Chafaï-Zitt : Probabilités, préparation pour l agrégation interne Ce livre est disponible sur internet (les auteurs ont mis en place un système de dons). L ouvrage n est pas édité mais il possède un numéro ISBN et est disponible dans la bibliothèque de l agrégation ainsi d ailleurs que d autres livres électroniques. Des dispositions spéciales existent pour ces ouvrages (voir le site de l agrég). http ://djalil.chafai.net/docs/m2/chafai-zitt-agreint-2014-isbn pdf Le niveau du livre est assez élevé mais le cours est construit pour l agrégation interne. Les exercices n apparaissent pas dans des sections spécifiques. On les retrouvera en utilisant la fonction de recherche du lecteur de fichier. Je conseille notamment la lecture de Jeu de pile ou face (appendice A) Le collectionneur d images (appendice B) Barbé-Ledoux Probabilité et Carrieu Exercices corrigés (de Barbé-Ledoux ) Les exercices de ce livres sont souvent du type probabilités continues Ex 6,17 une version quantitative de l approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson (théorème de Le Cam). Exercice corrigé sous le numéro V,16 dans le livre Carrieu.