Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité).

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1 Terminale ES Correction du bac blanc de Mathématiques (version spécialité). Lycée Jacques Monod février 05 Exercice : Voici les graphiques des questions. et.. A 4 A Graphique Question. Graphique Question.. Le graphique ci-dessus donne une représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle [0;] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d abscisse. En x =, le nombre dérivé de f est : a. e; b. ; c. ou d. e e? Réponse : d. D après le cours, le nombre f () dérivé de f en x = est le coefficient directeur de la tangente T f;x= à la représentation graphique de la fonction f au point d abscisse. Par lecture directe du graphique, on obtient que ce coefficient est négatif et plus précisément qu il est compris entre - et 0. De toutes les propositions, seule la d. vérifie ces conditions.. Le graphique ci-dessus donne la courbe représentative d une fonction g définie et dérivable sur l intervalle [0;5] ainsi que la tangente à celle-ci au point A d abscisse. Le signe de la fonction g dérivée de g est : a. négatif sur [0;]; b. positif sur [;4]; c. négatif sur [;4] ou d. change en x = 4? Réponse : b. D après le graphique, la fonction g est croissante sur les intervalles [0;] et [;5] et est décroissante sur l intervalle [;]. La fonction g dérivée de la fonction g est donc positive sur les intervalles [0;] et [;5](et donc aussi sur [;4]) et est négative sur l intervalle [;].. La fonction h définie sur R par : h(x) = e x a pour fonction dérivée la fonction h définie sur R par : a. h (x) = e x ; b. h (x) = e x ; c. h (x) = x e x ou d. h (x) = x e x? Réponse : c. On considère la fonction u définie sur R par : u(x) = x. On a la relation : h = eu. Donc : h = u e u. Or l expression algébrique de la fonction u est : u (x) = x = x. Donc, pour tout réel x : h (x) = u (x) e u(x) = x e x. 4. Pour tout réel a non nul, le nombre réel e a est égal à : a. e a ; b. ; c. ea e ou d. e a? a ( ( ) Réponse : b. En exploitant les propriétés des exposants, on a : e a = e a ( ) = ea) =. ea 5. L ensemble des solutions réelles de l inéquation : e x+ e est : a. ] [ ] ; ] ; b. ;+ [ ; c. ; e [ e ou d. [? ;+ ]

2 Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, février 05 Réponse : b. Le réel e est strictement positif. En multipliant par e les deux membres de l inéquation : e x+ e, celle-ci se réécrit : e x+ e, soit après simplification (propriété des exposants) : e x+ e 0. Or, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R, l inéquation : e x+ e 0 est équivalente à : x+ 0 soit encore à : x. Exercice : Partie A : Une entreprise fabrique deux types de téléviseurs, «premier prix» et «haute technologie». Pour fabriquer un téléviseur «premier prix» il faut unité du bureau d étude,,5 unité de main-d œuvre et unités de composants électroniques et pour un téléviseur «haute technologie», il faut unités du bureau d étude, unités de main-d œuvre et 6 unités de composants électroniques. Les coûts des unités sont les suivants : 40 euros pour une unité du bureau d étude; 0 euros pour une unité de main-d œuvre; 5 euros pour une unité de composants électroniques. L entreprise doit fournir 90 téléviseurs «premier prix» et0 téléviseurs «haute technologie». On donne les matrices : P = ( ) ( ) ; B =,5 90 et C =. 0 6 Calculer les produits de matrices suivants et interpréter le résultat :. U = P B ;. V = B C et. W = P B C.. Détermination de : U = P B. Pour déterminer Le produit matricielle de P = ( ) ; par B = brouillon l opération de la façon suivante :,5 6 ( ) ( ) , =,5 6 il est commode de poser au Ainsi, après simplifications : U = ( ). P représente les coûts en euros pour une unité du bureau d étude, une unité de main d œuvre et une unité de composants. La matrice U donne le coût unitaire de production pour chaque type de téléviseurs.. Détermination de : V = B C. ( , ) = Ainsi : V = La matrice obtenue donne le nombre d unités nécessaires pour fabriquer 90 téléviseurs «premier prix» et 0 téléviseurs «haute technologie». Ainsi, il faut notamment 50 unités du bureau d étude.. Détermination de : W = P B C = U C. ( ) 90 0 = ( ) ( ) Ainsi : W = ( 50 ). Ainsi, le coût total de fabrication des 90 téléviseurs «premier prix» et des 0 téléviseurs «haute technologie» est de 50 euros.

3 Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, février 05 Partie B : a+b+c = 0 On note S le système d équations : 4a+b+c = 4a+b = 5. Déterminer les matrices A et B telles que S se traduise par l égalité : AX = B avec : X = Posons : A = AX = B se réécrit donc : est solution du système S. et B = 0 5 a+b+c 4a+b+c 4a+b. On a alors : A X = = 0 5. a+b+c 4a+b+c 4a+b+0c = a+b+c 4a+b+c 4a+b a b c.. L égalité :, et est clairement vérifiée si, et seulement si le triplet (a; b; c). Déterminer A et en déduire l unique solution du système S. Après calculs, on obtient : A = 4 4. En multipliant à gauche par A les deux membres de l égalité : 4 AX = B, on obtient : X = A B =. L unique triplet (a; b; c) solution du système d équations S est : (a = ; b = ; c = ).. Déterminer la fonction f définie sur R par : f (x) = ax +bx+c dont la courbe représentative passe par les points M (; 0) et N (; ) et telle que sa tangente au point N ait pour coefficient directeur 5. Supposons que f soit une telle fonction. Déterminons alors les valeurs des coefficients a, b et c. Pour commencer, notons (C f ) la courbe représentative de la fonction f. Comme celle-ci passe par les points M (; 0) et N (; ) on a les égalités : f (x M ) = y M et f (x N ) = y N, soit encore : f () = 0 et f () =. Or : f () = a +b +c = a+b+c et f () = a +b +c = 4a+b+c. On a donc : a+b+c = 0 et 4a+b+c =. Le triplet (a; b; c) est ainsi solution des deux premières équations du système S. On sait aussi que la tangente à la courbe (C f ) au point N d abscisse a pour coefficient directeur 5. Cette affirmation se traduit par l égalité : f () = 5 ou f est la fonction dérivée de la fonction f. Or l expression algébrique de la fonction f est : f (x) = ax + b. L égalité précédente se réécrit donc : 4a+b = 5. Le triplet (a; b; c) est de ce fait aussi solution de la troisième équation du système S. D après les questions précédentes, on peut en conclure que : a = ; b = et c =. L expression algébrique de la fonction f recherchée est donc : f (x) = x x+. Exercice : Le service commercial d une société possédant plusieurs salles de sport dans une grande ville a constaté que l évolution du nombre d abonnés était définie de la manière suivante : chaque année, 40% des abonnements de l année précédente ne sont pas renouvelés; chaque année la société accueille 400 nouveaux abonnés. En 00 cette société comptait 500 abonnés. { a0 = 500 On considère la suite (a n ) n N définie par : a n+ = 0,6 a n +400,n N.. Justifier que la suite (a n ) n N modélise le nombre d abonnés pour l année 00+n. Remarquons tout d abord que a 0 = 500 est bien le nombre d abonnés comptabilisé par la société en 00. Intéressons nous maintenant à la relation de récurrence vérifiée par la suite (a n ) n N. Soit n un entier naturel fixé. Supposons que a n est effectivement le nombre d abonnés en 00 + n. Expliquons pourquoi la quantité : a n+ = 0,6 a n est alors égal au nombre d abonnés en 00+(n+). L ensemble des abonnés en 00+(n+) est la réunion de deux groupes distincts d individus à savoir : le groupe de ceux déjà abonnés l année précédente; le groupe des nouveaux abonnés.

4 Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, février 05 Le premier groupe est constitué de 0,6a n personnes. En effet, comme 40% des a n abonnements de l année 00 + n n ont pas été renouvelés, seul 60% d entre eux l ont été. Le second groupe est quant à lui composé des 400 nouveaux abonnés. Au final, le nombre total d abonnés en 00+(n+) est effectivement de : Les réabonnements Les nouveaux abonnés 0,6 a n = a n+ En conclusion : La suite (a n ) n N modélise donc bien le nombre d abonnés pour l année 00+n.. On considère la suite (v n ) n N définie pour tout entier naturel n par : v n = a n 000. (a) Montrer que la suite (v n ) n N est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour ce faire, il faut s intéresser au rapport de deux termes consécutifs de la suite (v n ) n N (s il est indépendant des termes choisis, la suite est géométrique). Voici les informations dont on dispose : le terme général de la suite (v n ) n N s exprime directement en fonction de celui de la suite (a n ) n N via la relation : v n = a n 000 (ou encore : a n = v n +000); la suite (a n ) n N vérifie la relation de récurrence : a n+ = 0,6 a n De ces deux affirmations découle la relation de récurrence suivante (vérifiée cette fois-ci par(v n ) n N ) :(v n+ +000) = 0,6 (v n +000)+400. Soit, après simplifications : v n+ = 0,6 v n ou encore : v n+ v n = 0,6. Conclusion : La suite (v n ) n N est géométrique de raison q v = 0,6 et de premier terme v 0 = a = = 500. (b) Fournir la formule explicite du terme général v n de la suite (v n ) n N en fonction de l entier n. De ce qui précède découle directement(via le cours) la formule explicite du terme général v n de la suite (v n ) n N en fonction de l entier n à savoir : v n = v 0 (q v ) n = 500 (0,6) n. (c) En déduire que, pour tout entier naturel n : a n = ,6 n. Soit n un entier naturel fixé. On a les deux égalités : v n = 500 0,6 n et : a n = v n En remplaçant : v n par : 500 0,6 n dans la deuxième égalité, on obtient directement : a n = (500 0,6 n )+000. L arbitraire sur l entier n termine la preuve.. En 00, le prix d un abonnement annuel dans une salle de sport de cette société était de 400 euros. Chaque année le prix de cet abonnement augmente de 5%. On note P n le prix en euros de l abonnement annuel pour l année 00+n. (a) Quelle a été la recette de cette société en 00? En 00, la société a facturé sa prestation 400 euros à ses 500 abonnés ce qui induit pour l entreprise une recette d un montant de : = euros. (b) Indiquer la nature de la suite (P n ) n N en justifiant la réponse. En déduire une expression de la quantité P n en fonction de l entier naturel n. On remarque qu une augmentation de 5% correspond à une multiplication par =,05 (prendre un exemple pour s en convaincre). Ainsi, d une année à l autre, le prix d un abonnement annuel dans une des salles de sport est multiplié par :,05. La suite (P n ) n N est donc géométrique de raison q P =,05 et de premier terme P 0 = 400. Ainsi, pour tout entier n, P n = P 0 (q P ) n = 400,05 n. (c) Montrer que, pour l année 00+n la recette totale annuelle R n (en euros) réalisée par la société pour l ensemble de ses salles de sport est : R n = (500 0,6 n +000) (400,05 n ) En 00+n et pour l ensemble de ses salles de sport, la société a vendu a n = ,6 n abonnements au prix unitaire de P n = (400,05 n ) euros. Cette année si, la recette totale annuelle R n réalisée par la société est donc de : R n = a n P n = (500 0,6 n +000) (400,05 n ) euros. (d) On souhaite déterminer l année où, pour la première fois, la recette de cette société dépassera celle obtenue en 00. Ci-dessous, un algorithme permettant de déterminer cette année. (Dans l énoncé initial, l algorithme était donné incomplet est il était demandé de le compléter). En gras et soulignées en pointillées, les parties que l on devait compléter. 4

5 Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, février 05 Ligne Varables : R est un réel. n est un entier. Initialisation : Affecter à R la valeur : Affecter à n la valeur : 0. 5 Traitement : Tant que : R , faire : 6 Affecter à n la valeur : n+. 7 Affecter à R la valeur :... (500 0,6 n +000) (400,05 n ). 8 Fin de la boucle "Tant que". 9 Sortie : Afficher : 00+n. Exercice 4 : Une entreprise fabrique des poulies utilisées dans l industrie automobile. On suppose que toute la production est vendue. L entreprise peut fabriquer entre 0 et 600 poulies par semaine. On note x le nombre de milliers de poulies fabriquées et vendues en une semaine. (x varie donc dans l intervalle [0;,6]). Le bénéfice hebdomadaire est noté B(x), il est exprimé en milliers d euros. L objet de cet exercice est d étudier cette fonction B. Partie A : étude graphique Voici la représentation graphique (C B ) de la fonction B : (C B ) 0,5,0,5,0,5,0,5,5.4. Déterminer dans quel intervalle peut varier le nombre de poulies pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 000e. Réponse : Pour que le bénéfice soit supérieur ou égal à 000 e, il faut que le nombre de poulies fabriquées et vendues soit compris dans l intervalle [500; 400]. Pour répondre à cette question, il faut déterminer l ensemble des solutions de l inéquation : B(x). Pour cela, on trace sur le graphique la droite d équation : y =. Celle-ci coupe la représentation graphique de la fonction B "pour y passer d abord en-dessous puis à nouveau au-dessus" en deux points dont les abscisses sont approximativement :,5 et,4. L ensemble des solutions de l inéquation : B(x) obtenu par cette lecture graphique est l intervalle : [,5;,4].. Quel est le bénéfice maximum envisageable pour l entreprise? Pour quel nombre N de poulies fabriquées et vendues semble-t-il être réalisé? Réponse : Le bénéfice hebdomadaire maximum envisageable pour l entreprise est approximativement de 5000e et est obtenu lorsque l usine produit environ 000 poulies par semaine. 5

6 Terminale ES - Correction du bac blanc de spécialité Mathématiques. Lycée Jacques Monod, février 05 Pour répondre à cette question, il faut déterminer le maximum de la fonction B et la valeur en laquelle il est atteint. Pour ce faire, "on lit sur la figure les coordonnées du point de (C B ) de plus grande ordonnée". On obtient : (; 5). Le maximum de la fonction B vaut approximativement 5 et est atteint une unique fois en la valeur x. Partie B : étude théorique Le bénéfice hebdomadaire, noté B(x) est exprimé en milliers d euros vaut : B(x) = 5+(4 x) e x.. On note B la fonction dérivée de B. (a) Montrer que, pour tout réel x de l intervalle I = [0;,6] : B (x) = ( x) e x. On considère les fonctions u et v définies sur I par : u(x) = (4 x) et v(x) = e x. On a la relation : B = 5+u v. Donc : B = u v+u v. Or les expressions algébriques des fonctions u et v sont : u (x) = et v (x) = e x. D où : f (x) = u (x) v(x)+u(x) v (x) = ( ) e x +(4 x) e x = ( x) e x. (b) Déterminer le signe de B (x) sur l intervalle I. Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur R, quel que soit x réel, la quantité e x est toujours strictement positive. Ainsi, quel que soit x réel, les quantités B (x) = ( x) e x et x sont du même signe. En particulier, on a les équivalences : [(B (x) > 0) ( x 0) ( x)] et [(B (x) = 0) (x = )]. (c) Dresser le tableau de variation de la fonction B. On indiquera les valeurs de la fonction B aux bornes de l intervalle. x Signe de : B (x) Variations de : B Justifier que l équation : B(x) = admet deux solutions x et x, l une dans l intervalle [0; ] et l autre dans l intervalle [;,6]. Fournir les valeurs approchées au centième. La fonction B est continue car dérivable et est strictement croissante sur l intervalle [0; ]. De plus, le réel est compris entre B(0) = et B() = 5. D après le théorème des valeurs intermédiaires, on peut en conclure que l équation : B(x) = admet une unique solution x sur l intervalle [0; ]. Le même raisonnement permet d affirmer que l équation : B(x) = admet aussi une unique solution x sur l intervalle [;,6]. A l aide de la calculatrice on obtient : x,46 et x,40.. On admet que, pour tout réel x de l intervalle I, on a : B (x) = ( x) e x (a) Étudier la convexité de la fonction B sur l intervalle I. Comme la fonction exponentielle est strictement positive sur R, quel que soit x réel, la quantité e x est toujours strictement positive. Ainsi, quel que soit x réel, les quantités B (x) = ( x) e x et x sont du même signe. La fonction B est donc strictement négative sur l intervalle [0; [, s annule une unique fois en x = et est strictement positive sur ];.6]. D où l on déduit que la fonction B est strictement convexe sur l intervalle [0; [ et est strictement concave sur ];.6]. De plus sa représentation graphique (C B ) admet un point d inflexion d abscisse. Ci-dessous, un tableau récapitulatif : 9.64 x Signe de : B (x) Variations de : B Convexité de : B 0.6 B (0) + 0 Convexe B () Concave B (.6) (b) Combien de poulies faut-il fabriquer par semaine pour que le bénéfice marginal soit maximal? Pour rappel, le bénéfice marginal est la variation du bénéfice en réponse à la vente d une unité supplémentaire d un bien. En tant que dérivée de la fonction B qui donne le bénéfice en fonction du nombre de poulies produites et vendues, la fonction B exprime cette variation de bénéfice induite par la production et la vente d une poulie supplémentaire en fonction du nombre de poulies déjà produites et vendues. Or, d après la question précédente (voir tableau), la fonction B atteint son maximum une unique fois en x =. Conclusion : Pour que le bénéfice marginal soit maximal il faut fabriquer 000 poulies par semaine. 6