Cours 8 : Analyse de variance à un facteur

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1 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe Cours 8 : alyse de varace à u facteur Table des matères Secto. "U cou de dé jamas 'abolra le hasard"... Secto. Itroducto à l aalyse de varace NOV... Secto 3. Réartto de la somme des carrés et des degrés de lberté Termes usuels Réartto de la somme des carrés Réartto des degrés de lberté No-réartto des carrés moyes... 7 Secto 4. U exemle... 7 Secto 5. Le test F... 9 Secto 6. Cocluso... Exercces... Lectures Suggérée : Howell, chatre sautez les détals de calculs e.4 sauf :.5 à.7,.9 et. jusqu à la f. Objectfs Réalser ue aalyse de varace sur moyees. Comredre la oto de varablté tra groue et ter groue. Cours 8. alyse de varace à u facteur

2 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe Secto. "U cou de dé jamas 'abolra le hasard" Ue faço smle de soder ue questo est de moter ue exérece das laquelle ous cotrastos ue stuato avec u tratemet vs. ue stuato eutre. Par exemle, ous ouvos étuder la dextérté mauelle lorsque les artcats utlset leur ma domate la drote our beaucou et lorsqu'ls utlset l'autre ma. Ceedat, l exste beaucou de stuatos exérmetales qu sot graduées. Par exemle, ous ouvos examer l'effet de l'alcool das le sag sur la dextérté mauelle. Or, la dose d'alcool eut redre luseurs valeurs de 0 à 0. mg/l. Le chercheur rsque de ruer so exérece s'l chos u dosage tro fable ou tro fort. De lus, s'l obtet u décrémet das la dextérté our u dosage artculer, dsos.08, qu'e est-l à.04? Qu ous dt que la dextérté e revet as à la ormale assé.08? Pour des rasos de gééralsato, le chercheur a tout térêt à tester luseurs dosages. Ue exérece à deux groues dque seulemet la résece ou l absece d u effet du tratemet. Ceedat, ue exérece dot le la comred lus de deux groues doera ue formato lus comlète et lus détallée de la relato etre les dvers veaux de la varable déedate et la varable déedate. Souvet, u chercheur qu désre detfer les mécasmes ou les rocessus sous-jacets à u héomèe artculer dot augmeter le ombre de tratemets ou le ombre de veaux que le tratemet eut redre, et ce, das ue seule exérece. Le roblème est que le test t devet utle. Suosos, ar exemle, que ous voulos évaluer l effet de 5 doses dfféretes sur le comortemet des déressfs. E utlsat des tests t, ous devros comarer le dosage avec le dosage, le dosage avec le dosage 3, le 5 dosage 4 avec le dosage 5. Il faudrat alors rocéder à comarasos, sot 0 das ce casc, ce qu mlque u ombre cosdérable de calculs. D autre art, toutes ces comarasos e sot as déedates usqu o devra utlser u même esemble de doées au veau de lus d ue comaraso. Cec ose u roblème car le ombre de fausses alarmes erreur α s accroît. E effet, s Prerreur α 5% our ue comaraso, la robablté de commettre au mos ue erreur α lorsque ous effectuos N comarasos devet αn, sot 40% das otre exemle! Ce taux est admssble, raso our laquelle l ous faut u autre test quad le ombre de veau est suéreur à. Secto. Itroducto à l aalyse de varace NOV Lorsque ous avos à comarer les résultats our u ombre de groues >, ous utlsos la techque d aalyse statstque coue sous le om d aalyse de varace lutôt que des tests t multles. Remarquez que l NOV eut auss être utlsée quad usque alors, elle retoure la même cocluso qu u test t. Les avatages de l NOV sot multles. Etre autre, l NOV ermet de cotourer le roblème d'erreur α goflé car elle e réalse qu ue seule comaraso. De lus, comme Cours 8. alyse de varace à u facteur

3 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe ous le verros au cours 9, lorsque ous utlsos lus d u facteur, l NOV calcule auss l effet d teracto souvet s mortat. u cœur du roblème de la vérfcato d hyothèses statstques se trouve le fat qu l est toujours ossble d attrbuer à des varatos aléatores ue arte des dfféreces observées etre les moyees des échatllos. Das ue exérece, toutes les sources cotrôlables de varablté qu affectet la mesure costtuet ce qu l est coveu d aeler l erreur exérmetale. L ue des sources les lus mortates de varablté cotrôlable rovet des dfféreces dvduelles. Ue autre source d erreur rovet de l erreur de mesure, ue mauvase lecture de l strumet, ue erreur de trascrto, u arrodssemet, etc. D autre art, ue stuato exérmetale est jamas arfatemet detque d u momet à l autre, usque le sujet erçot les deux évéemets comme état successfs mémore. Il est mossble de créer des stuatos exérmetales exactemet detques. De lus, ces sources d erreurs e sot as systématques, elles sot aléatores et déedates des effets du tratemet. Suosos que ous ayos groues de sujets assgés au hasard à u veau du tratemet. Par exemle, le groue subra le veau du tratemet, le groue subra le veau, etc. Tratemet Sujets veau veau veau moyee Chaque moyee dvduelle regroue observato, et la moyee des moyees,, qu est auss la moyee de toutes les doées dvduelles, regroue doées. Das ce tableau, toutes les sources de varablté cotrôlables au veau du groue c. à d. la varace du groue cotrbuet à l erreur exérmetale. La varace tra groue est doc u estmé de l erreur exérmetale. La même chose est vrae our les varace tra groue, 3,,. S l erreur exérmetale est résete au veau de chaque groue, l est doc ossble d obter u estmé stable de l erreur exérmetale e combat ces dvers estmés e u seul. utremet dt, l esemble de la varace tra groue costtue u estmé de la varace de l erreur exérmetal varace des sujets, de l strumet de mesure, etc.. Smlemet our llustrer, ous avos reml le tableau suvat avec des doées fctves obteues de 8 sujets, à raso de 6 sujets ar groue 6 réarts sur tros groues Cours 8. alyse de varace à u facteur 3

4 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe déedats 3. Comme o le vot c, l effet du tratemet est mortat au mos tutvemet. Le score augmete de 30 quad le sujet reçot le veau du tratemet ar raort au veau, et de 30 ecore au veau 3 ar raort au veau. Comme o le vot, la varace tra groue est fable écart tye d evro 4.6. Cette varace e eut être que le résultat de l erreur exérmetale usqu e rce, tous les sujets sot semblables trés de la même oulato et soums aux même codtos exérmetales. Pusque les sujets sot assgés au hasard, o s atted aux mêmes varatos das les erformaces our les sujets du groue et du groue 3 das otre exemle, la varablté des groues et 3 est detque à celle du groue. Tratemet Sujets veau veau veau moyee Par alleurs, la varace tergroue reflète la varablté observée etre les moyees des dfférets groues exérmetaux. S l hyothèse ulle est vrae, c. à d. s les moyees des oulatos d où les échatllos ot été trés au hasard sot égales, la varace tergroue reflètera elle auss uquemet l erreur exérmetale. Das ote exemle c-haut, s le tratemet avat eu aucu effet, la moyee du groue deux aurat dû être d evro 34.66, à lus ou mos l erreur exérmetale rès sot u écart tye, Comme o le vot, le résultat du groue deux est ettemet lus élevé, et s o calcule la varace des moyees, o obtet ue valeur ettemet lus élevée que la varace tra groue das otre exemle, l écart tye etre les tros moyees est de 30, sot rès de 7 fos lus élevée. Cette dfférece das les varaces tra groue tra-coloe, s je us dre et tergroue etre les coloes est la basse de l aalyse de varace. Il faut be comredre qu l e s agt as d u test des varaces malgré le om de la techque mas be u test sur les moyees, telles qu elles varet d ue codto à l autre. S elles varet tro le veau de comaraso état la varace das les coloes, o déclare que les moyees e euvet as être detques. S l hyothèse ulle absece d effet du tratemet est vrae, ous avos deux estmés de l erreur exérmetale, sot la varace tergroue et la varace tra groue. E fasat le raort de ces deux estmés, la valeur attedue devrat être rès de. varace tergroue varace tragroue estmé de l' erreur estmé de l' erreur exérmetale exérmetale Cours 8. alyse de varace à u facteur 4

5 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe Par cotre, s l hyothèse ulle est fausse, s les moyees dffèret d u tratemet à l autre, la varace tergroue, e lus de refléter l erreur exérmetale toujours résete, reflète auss l effet du tratemet exérmetal maulé ar le chercheur. Doc, s l hyothèse ulle est fausse, la varace tergroue reflète l effet du tratemet exérmetal lus l erreur exérmetale alors que la varace tra groue e reflète que l erreur exérmetale. s, varace tergroue varace tragroue estmé de l' erreur exérmetale effet de tratemet exérmetale estmé de l' erreur Le raort varace tergroue / varace tra groue est la base de l'nov. L dée doc est de dvser la varace totale observée das les doées brutes e dverses artes af de vérfer l hyothèse de dfférece etre les moyees des groues. Il est esute ossble d évaluer l mortace relatve des varatos résultat des dfféretes sources et de décder, selo des règles récses à motrer, s les varatos sot lus grades que celles attedues sous l hyothèse ulle. > Secto 3. Réartto de la somme des carrés et des degrés de lberté vat d aller lus lo, l est mortat de récser le vocabulare usuellemet utlsé das les NOV, surtout que ce vocabulare est e gééral ambgu. Les NOV sot très souvet utlsées, et le vocabulare est deveu stadard das beaucou d'artcles scetfques, malgré so mrécso. 3.. Termes usuels Somme des carrés, ou e aglas, Sum of Square, SS. E fat, l s agt de la somme des écarts à la moyee ms au carré o devrat dre SEC, mas o va s e ter à la omeclature adotée alleurs. Cette est utlsée das la formule de la varace, où Somme des carrés degré de lberté das laquelle dexe les sujets de à. Carré moye, ou e aglas, MS, Mea square. Das ce cas-c, le mot moye réfère à la somme des carrés dvsée ar le ombre de degrés de lberté. Ue fos ecore, le mot carré réfère au carré des écarts à la moyee. Il serat doc lus exact de l aeler Moyee des Écarts au Carré MEC. Ue autre faço de vor le est de dre qu l s agt de la somme des carrés la varace odérée ar les degrés de lberté usque dl. 3.. Réartto de la somme des carrés Nous avos vu cours que la varace est addtve lorsque ous addtoos deux échatllos déedats. Ceedat, das le tableau de doées c-haut, ous addtoos as des doées, mas les regardos suvat deux agles : tra groue et tergroue. Pour cette raso lorsque le tratemet est as effcace, la varace est as addtve varace totale varace tra groue varace tergroue Par cotre, ue Cours 8. alyse de varace à u facteur 5 dl

6 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe Cours 8. alyse de varace à u facteur 6 rorété très téressate est que la l est. L argumet est très smlare à celu que ous avos vu our le test sur la varace, mas c, l est étedu our luseurs groues : [ ] [ ] j Das la formule c-haut, déote la doée du sujet das la codto, déote la moyee du ème groue, et la moyee globale. O vérfe faclemet que la dstace etre le score d u sujet et la moyee globale est égale à l écart de ce sujet ar raort à la moyee de so groue lus l écart de so groue ar raort à la moyee globale. Ic, u écart eut être ostf s la remère valeur excède la secode ou égatf. L étae suvate cosste à fare la somme our chaque sujet aarteat au groue : [ ] 0 j O se raelle, à la lge 4 c-haut, que la somme des écarts à la moyee doe toujours zéro. E fasat la somme our les groues, o obtet : j Comme o le vot das l équato, la sommes des écarts au carré est addtve quad o regarde la totale arte de gauche et la tra groue et tergroue. O ote gééralemet e abrégé : S T tergroue tragroue total où l dce S dque le facteur sujet à l téreur d u groue doé, et dque le facteur de tratemet admstré à os sujets sot le dosage das l exemle lus haut. Suvat cette relato, s la totale et la tra groue sot coues, vous ouvez trouver la somme des carrés tergroue. E bref, la somme totale des carrés T de groues déedats de sujets chacu se décomose e deux artes déedates et addtves : la somme des carrés tra groues

7 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe S et la somme des carrés tergroue. Il est mortat de remarquer qu e réalté, l NOV e dvse as la varace e arte addtve. Il s agt d ue méthode qu ermet de dvser la somme des carrés e artes addtves. Metoos que cette réartto de la T est valable our u la exérmetal à groues déedats. Elle est auss valde s les groues e coteet as u ombre égal de sujets. Pour trouver les estmateurs de la varace, l e reste lus qu à trouver les degrés de lberté our chacue de ces comosates Réartto des degrés de lberté Le ombre total d observatos de groues déedats de sujets chacu est S les groues ot u ombre égal de sujets, l équato c-haut est égale à. Le ombre de degrés de lberté dl total est usque ous erdos u dl das le calcul de la moyee géérale. Le ombre de dl assocé à la tra groue S est de. Nous erdos e fat u dl our chaque moyee utlsée, ue ar groue. Cec est égal à j - s tous les groues ot u ombre égal de sujets. Le ombre de dl assocé à la tergroue est de. E effet, ous avos ecore ue fos beso de la moyee globale das ce calcul. Il est facle de vor que : dl T dl S dl j. Doc, les dl d u esemble de groues déedats se décomoset auss e deux artes addtves et déedates No-réartto des carrés moyes S l o dvse les sommes des carrés ar les degrés de lbertés resectfs, o obtet les estmés de la varace corresodate, ce qu état le but tal. Par exemle,. Il dl est à remarquer qu à ce ot-c, les carrés moyes e sot as addtfs : T S. Secto 4. U exemle Sot les doées suvates collectées sur 4 groues de 8 sujets : Cours 8. alyse de varace à u facteur 7

8 PSY 004 Tratemet : Groue j.9 j Techques d aalyses e sychologe Das cet exemle, 5.9, et 3.04 l s agt de l écart tye o basé. Toutes les moyees et tous les écarts tyes s obteet faclemet avec ue smle calculatrce ayat des foctos statstques. Pouvez-vous les retrouver? Ce sot tous ce dot ous avos beso. Les degrés de lberté sot resectvemet 3, 4 7 8, et 3 our T, S, et. T Sachat que, ous ouvos trouver T e mettat l écart tye au carré, us dlt e multlat ar les degrés de lberté total 3. O trouve Pour calculer la somme des carrés tra groue S, o eut utlser le fat que la somme des carrés est addtve auss ar groue. La somme des carrés du groue est doée ar la relato S. O trouve alors our le groue, S 5.8. De même our les autres dls groues : 8.8, 5.0, et.9. Le total est doc S 9.5. Pusque la sommes des carrés est addtve, T S O eut faclemet vérfer ce résultat e utlsat Cours 8. alyse de varace à u facteur , ce qu est la même réose, à l arrod rès. Les carrés moyes sot alors doés ar :

9 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe T 9.7, S 3. 7, À ce ot-c, l est mortat de e as erdre de vue otre objectf : ous voulos deux mesures de l erreur exérmetale. Ue remère ous est doée ar la varace tra groue. Cet estmé est calculé ar ce qu o aelle le S, et doe das l exemle la valeur 3.7. Le secod estmé de l erreur exérmetale est doé ar u estmé de la varace tergroue, qu o aelle dot la valeur das l exemle est de Comme o le vot, les deux valeurs semblet très dssemblables. E effet, l estmé de la varace tergroue est resque 0 fos suéreure à l estmé de la varace tra groue exactemet 9.9. Nous sommes lo d obter u rato roche de! Il est doc fort robable que cette dvergece sera sgfcatve. Il reste à vor commet quatfer cette robablté. Secto 5. Le test F a.. Postulats Le test F est basé sur le ostulat que les doées brutes j sot ormalemet dstrbuées. Il s agt d u ostulat fort, et le théorème cetral lmte ade as usque le ostulat orte sur les doées brutes et o sur les moyees des groues. Ecore ue fos ceedat, ce test semble «robuste» e ce ses que lorsque les doées sot seulemet aroxmatvemet ormales et ombreuses, les coclusos du test restet valdes. La valeur testée ar l hyothèse est le rato etre deux sommes de carrés odérés ar leurs degrés de lberté resectf. Comme ous l avos vu au cours 3, u tel rato est dstrbué comme ue varable aléatore de tye F. O eut doc évaluer la robablté d obter u rato quelcoque tel 9.9 de l'exemle récédet. a.. Hyothèses et seul L hyothèse ulle rédt que le tratemet a aucu effet. Doc, les dfférets groues ot u résultat detque, oobstat l erreur exérmetale. Nous ouvos alors écrre : H 0 :µ µ µ H : l exste u µ µ j utremet dt, l hyothèse ulle e rédt aucue dfférece alors que l hyothèse alteratve rédt qu au mos u groue dfférera d u autre groue. L NOV e dt as quels sot les groues qu dffèret ceedat ous verros des techques comlémetares au rocha cours. De lus, l NOV est toujours u test ucaudal mas bdrectoel. Nous adotos das cet exemle u seul usuel de 5%. a.3. Chercher le test Le test F est de la forme : Rejet de H 0 s > s α S Cours 8. alyse de varace à u facteur 9

10 PSY 004 où la valeur S Techques d aalyses e sychologe est dstrbuée comme u Fdl, dl S. O utlse das otre exemle chaut les degrés de lberté 3, 8 our rechercher la valeur crtque. Elle est, arès secto das la table, sα.947. O aelle souvet dl le degré de lberté du umérateur et dl S, le degré de lberté du déomateur our des rasos évdetes. De lus, ous aelos souvet S le terme d erreur. Cec est mos évdet, car e fat, les deux valeurs sot des estmées de l erreur exérmetale. Ceedat, seul le déomateur est toujours u estmé de l erreur exérmetale. S l hyothèse ulle état fausse, le umérateur reréseterat l erreur et l effet du tratemet. Souvet, o verra das les textes l abrévato e our reréseter le terme d erreur. a.4. lquer le test et coclure Nous trouvos : S 9.9 qu est suéreur à la valeur crtque.947. O rejette doc l hyothèse ulle. O coclue qu l exste au mos ue dfférece sgfcatve et [comme cette dfférece sgfcatve est écessaremet celle mlquat les deux moyees extrêmes] que le tratemet a affecté les sujets, le groue 4 ayat ue moyee sgfcatvemet suéreure à celle du groue. [Note : l s agt des groues extrêmes. Pusqu l exste au mos ue dfférece, ces deux groues sot sas ambguïté dfférets. Il est ossble qu l exste d autres dfféreces, ar exemle, le groue dffère eut-être sgfcatvemet du groue 4, mas l NOV e ermet as de coclure sur les autres dfféreces.] Les résultats d ue NOV sot souvet résetés das u tableau de la forme suvate : alyse de varace Somme des carrés Degrés de lbertés Carré moye rato source de varato dl F Itergroue dl S Itra groue S S dl S S erreur Total T dl T Das l exemle récédet, o aurat : Cours 8. alyse de varace à u facteur 0

11 PSY 004 alyse de varace Techques d aalyses e sychologe Somme des carrés Degrés lbertés Carré moy. rato source de varato dl F Tratemet Itra groue S erreur Total Secto 6. Cocluso Cours 8. alyse de varace à u facteur

12 PSY 004 Techques d aalyses e sychologe Exercces. lquer l NOV à ces doées à l'ade de SPSS : Tratemet : Groue lquer l NOV à ces doées ayat u ombre égal de sujets à l'ade de SPSS : Tratemet : Groue S ous mesuros u sujet à u veau doé u grad ombre de fos. e. o rélque la mesure u grad ombre de fos, eut-o mettre das le tableau des doées brutes so score moye sur l esemble des rélcatos? S ou, quelles sot les coséqueces sur les ostulats à la base du test F? Cours 8. alyse de varace à u facteur