Cours et exercices de PHYSIQUE :

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1 Cours et exercces de PHYSIQUE : Électrcté. Ingéneur CESI Préparaton aux tests de sélecton. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

2 Programme de physque. Électrcté. Chaptre : Les composants passfs. - Smplfcaton de schémas comportant des composants passfs (résstances, condensateurs, nductances) en sére et en parallèle. L - Calcul de résstance à partr de la formule : = ρ. S S - Calcul de la capacté d un condensateur plan, par la formule : C = ε. e - Calcul de la valeur d une nductance, la formule de calcul étant donnée. - Untés : Ohm, Farad, Henry, Joule. dw - Los fondamentales des composants passfs : U = I, P =, P = UI, W = CV, dt di U = L,W = LI. dt Chaptre : Electrocnétque. - Courant et tenson, pussance. - Untés : ampère, volt, watt. - Générateur de tenson et de courant ; récepteurs. - Los de l électrocnétque : Lo de Joule, Lo d Ohm, Los de Krchhoff (nœuds et malles), Théorème de superposton, Théorème de Mllman, ègle du dvseur de potentel. NOT : les théorèmes de Thévenn et Norton ne sont pas au programme. - Utlsaton pour le calcul de tensons et de courants dans un crcut électrque. Chaptre 3 : égme transtores. - charge et décharge d un condensateur à travers une résstance : Etablssement de l équaton dfférentelle, ésoluton, Constante de temps : défnton, détermnaton graphque. - Crcut (L,C) et (, L, C). Etude qualtatve unquement. Chaptre 4 : égme alternatf snusoïdal - Crcut (, L, C) sére en régme alternatf snusoïdal (étude par la constructon de Fresnel et en notaton complexe) Impédance, ésonance en ntensté, ande passante, Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

3 Facteur de qualté. - Pussance moyenne Défnton, Facteur de pussance. Mécanque Chaptre 5 : Statque - Forces, moments de forces, - Equatons à l équlbre - Noton de frottement. Chaptre 6 : Cnématque - Vecteurs poston, vtesse et accélératon en coordonnées cartésennes. - Mouvements rectlgnes unforme et unformément accéléré. Chaptre 7 : Dynamque - Noton de référentel galléen - elaton fondamentale de la dynamque pour les systèmes en translaton, dans un référentel galléen. - pplcatons, notamment à la chute lbre. Chaptre 8 : Energétque - Traval, pussance, - Energe cnétque de translaton, - Energe potentelle de pesanteur, - Energe mécanque. - Théorème de l énerge cnétque. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 3 -

4 épartton des séances : Programme PFI Mars 005. Séance Séance Séance 3 Séance 4 Séance 5 Séance 6 Séance 7 Séance 8 Séance 9 Séance 0 Thème Thème Thème 3 Grandeurs et untés Statque - Grandeurs, untés - Équatons aux dmensons Cnématque - Mouvement rectlgne unforme et unformément accéléré Énergétque - Energe cnétque de translaton - Traval et pussance, - Energe potentelle de pesanteur, - Energe mécanque. - Théorème de l énerge cnétque. Electrcté - Noton de résstance, de condensateur, d nductance. Dynamque - Systèmes en translaton, - PFD, - pplcaton à la chute lbre. Electrocnétque - Lo d Ohm - ègle du dvseur de potentel - Los de Krchoff - Théorème de superposton - Electrocnétque - Théorème de Mllman égme transtore égme alternatf snusoïdal Etude qualtatve des crcuts - Grandeurs alternatves du er et du nd ordre en régme - Crcut LC sére! transtore (C, L, LC, LC). - Dagramme de Fresnel égme alternatf snusoïdal - Crcut en notaton complexe Test blanc Corrgé pprofondssements : partr des sujets demandés par les élèves. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 4 -

5 Table des matères. COUS LES COMPOSNTS PSSIFS ELECTOCINETIQUE....3 EGIME TNSITOIE COUNT SINUSOÏDL... 9 ÉNONCES DES EXECICES QUESTION SU LES OISEUX COUNT ET CHGE CPCITES EQUIVLENTES QUESTIONS SU LES CONDENSTEUS EFLEXION SU LES CPCITES PUISSNCE DISSIPEE DNS UNE ESISTNCE LUMINOSITE D UNE MPOULE ESISTNCE ET SECTION ESISTNCE ET ESISTIVITE ESISTNCE DU CUIVE ESISTNCE DU PLTINE ESISTNCE D UN TONC DE CONE ESISTNCE D UN MILIEU ENTE DEUX HEMISPHEES PUISSNCE DISSIPEE CCUMULTEU CHGE D UN CCUMULTEU ESISTNCE EQUIVLENTE EDUCTION DE L ESISTNCE ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES DE ESISTNCE EQUIVLENTE () ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN SEIE ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN DEIVTION ESISTNCE EQUIVLENTE (3) ESISTNCE EQUIVLENTE (4) CLCULS DE GNDEUS : I, U? CLCULS DE GNDEUS : I, U? SUITE GLVNOMETE MESUE D UNE ESISTNCE CONDENSTEU PLN DIELECTIQUE CHGE D UN CONDENSTEU, CICUIT C CLCULS DES ENEGIES DE DIPOLES PSSIFS ILN ENEGETIQUE DE CHGE D UN CONDENSTEU EPONSE D UN CICUIT,L UN ECHELON DE TENSION ETLISSEMENT ET UPTUE D UN COUNT EPONSE D UN CICUIT,L,C UN ECHELON DE TENSION CICUIT L,C PLLELE SOUMIS UN ECHELON DE COUNT C 004 ÎLE DE L EUNION, EXECICE: QUELQUES USGES DES CONDENSTEUS NTILLES 005 EXECICE N 3 : SONDE THEMIQUE (4 POINTS) NTILLES ; EXECICE : OINE INDUCTNCE EGLLE C JUIN 005 : MODELISTION D'UNE LME : 4 PTS POLYNESIE 006 : EXECICE : ESISTNCE D UNE OINE EELLE COUNT INDEPENDNT DU TEMPS CICUIT EQUIVLENT ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES D UN DIPOLE VLEUS LGEIQUES DE I ET E PPLICTION DU THEOEME DE SUPEPOSITION Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 5 -

6 .47 EPESENTTION MTICIELLE ESISTNCE EQUIVLENTE D UN MILLGE TNSFOMTION DE KENELLY VES LE PONT DE WHETSTONE LOIS DE KICHHOFF ET METHODE MTICIELLE PPLICTION DES THEOEMES DE THEVENIN ET NOTON PONT DE WHETSTONE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE PONT DE MNCE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE CLCUL D IMPEDNCES COMPLEXES CICUIT LC EN SEIE SCHEM EQUIVLENT CLCULS DE GNDEUS EFFICCES VITION DE L PULSTION OPTIMISTION DE P QUDTUE DE PHSE ÉGLITE DES TENSIONS PONT DE WHETSTONE COMPLEXE DIFFEENTES EXPESSIONS DE L PUISSNCE METHODE DES TOIS MPEEMETES METHODE DES TOIS VOLTMETES SOLUTIONS DES EXECICES QUESTION SU LES OISEUX COUNT ET CHGE CPCITES EQUIVLENTES QUESTIONS SU LES CONDENSTEUS EFLEXION SU LES CPCITES PUISSNCE DISSIPEE DNS UNE ESISTNCE LUMINOSITE D UNE MPOULE ESISTNCE ET SECTION ESISTNCE ET ESISTIVITE ESISTNCE DU CUIVE ESISTNCE DU PLTINE ESISTNCE D UN TONC DE CONE ESISTNCE D UN MILIEU ENTE DEUX HEMISPHEES PUISSNCE DISSIPEE CCUMULTEU CHGE D UN CCUMULTEU ESISTNCE EQUIVLENTE EDUCTION DE L ESISTNCE ESISTNCE EQUIVLENTE ESISTNCE EQUIVLENTE () ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN SEIE ESISTNCE EQUIVLENTE UNE SSOCITION EN DEIVTION ESISTNCE EQUIVLENTE (3) ESISTNCE EQUIVLENTE (4) CLCULS DE GNDEUS : I, U? CLCUL DE GNDEUS : I, U? SUITE GLVNOMETE MESUE D UNE ESISTNCE CONDENSTEU PLN DIELECTIQUE CHGEMENT D UN CONDENSTEU CLCULS DES ENEGIES DE DIPOLES PSSIFS ILN ENEGETIQUE DE CHGE D UN CONDENSTEU EPONSE D UN CICUIT,L UN ECHELON DE TENSION ETLISSEMENT ET UPTUE D UN COUNT EPONSE D UN CICUIT,L,C UN ECHELON DE TENSION CICUIT L,C PLLELE SOUMIS UN ECHELON DE COUNT Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 6 -

7 3.37 SUJET C 004 EUNION ; EXECICE : QUELQUES USGES DES CONDENSTEUS NTILLES 005 : EXECICE N 3 : SONDE THEMIQUE NTILLES ; EXECICE : OINE INDUCTNCE EGLLE C 005 : MODELISTION D UNE LME POLYNESIE EXECICE N : ESISTNCE D UNE OINE EELLE COUNT INDEPENDNT DU TEMPS CICUIT EQUIVLENT ESISTNCE EQUIVLENTE UX ONES D UN DIPOLE VLEUS LGEIQUES DE I ET E PPLICTION DU THEOEME DE SUPEPOSITION EPESENTTION MTICIELLE ESISTNCE EQUIVLENTE D UN MILLGE TNSFOMTION DE KENELLY VES LE PONT DE WHETSTONE LOIS DE KICHHOFF ET METHODE MTICIELLE PPLICTION DES THEOEMES DE THEVENIN ET NOTON PONT DE WHETSTONE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE PONT DE MNCE COUNT CICULNT DNS UNE NCHE CLCUL D IMPEDNCES COMPLEXES CICUIT LC EN SEIE SCHEM EQUIVLENT CLCULS DE GNDEUS EFFICCES VITION DE L PULSTION OPTIMISTION DE P QUDTUE DE PHSE ÉGLITE DES TENSIONS PONT DE WHETSTONE COMPLEXE DIFFEENTES EXPESSIONS DE L PUISSNCE METHODE DES TOIS MPEEMETES METHODE DES TOIS VOLTMETES... 4 Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 7 -

8 Cours.. Les composants passfs... Dpôle électrocnétque On appelle dpôle électrocnétque tout système relé à l'extéreur par deux conducteurs unquement. Le comportement d'un dpôle est caractérsé par deux grandeurs électrques duales : la tenson et le courant. La tenson aux bornes d'un dpôle représente la dfférence de potentel u(t) entre les deux bornes du dpôle. La tenson s'exprme en Volt (V). Dpôle u = V - V Le courant traversant un dpôle correspond au déplacement de charges électrques sous l'effet du champ électrque ndut par la dfférence de potentel aux bornes du dpôle. tout nstant le courant entrant par une borne d'un dpôle est égal au courant sortant par l'autre borne. L'ntensté (t) de ce courant mesure le débt des charges électrques qu traversent une secton de conducteur : ( ) dq ( t) t =. dt L'ntensté s'exprme en mpère (). Le courant électrque est une grandeur orentée. Conventonnellement le sens postf correspond au sens de déplacement des charges postves (sens contrare au déplacement des électrons de charge négatve). On a (t) = (t) = (t). Il exste deux possbltés pour le chox des sens conventonnels de la tenson et du courant. Selon que u et sont de même sens ou non nous avons : Dpôle u Conventon Générateur Dpôle u Conventon écepteur En régme statonnare, ndépendant du temps, l exste une relaton entre l'ntensté traversant le dpôle et la tenson u entre ses bornes. Cette relaton peut éventuellement fare ntervenr des paramètres extéreurs (température, éclarement, champ magnétque, etc ). Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 8 -

9 Cette relaton peut se mettre sous la forme = (u) ou u = u(). Les graphes obtenus sont appelés caractérstques statques : = (u) : caractérstque statque courant-tenson du dpôle, u = u() : caractérstque statque tenson-courant du dpôle. Un dpôle est passf s son ntensté de court-crcut et sa tenson en crcut ouvert sont nulles : ses caractérstques statques passent par l'orgne. Il est dt actf dans le cas contrare. Un dpôle est lnéare s : (αu +βu ) = α (u )+β (u ) ou u(α +β ) = α u( )+β u( )... Pussance électrque reçue par un dpôle. Le traval lé au déplacement d un électron soums à une dfférence de potentel dv est donné par la relaton : dwe = Fe dl = ee dl = e dv. Pour un ensemble de charge q, on a la relaton dfférentelle : dwq = q dv. Consdérons un dpôle parcouru par un courant crculant de vers. Pendant un ntervalle de temps t, une charge q = t "entre" en et "sort" en avec une énerge. ( ) dw = V V dt = Pdt et par conséquent : ( ) P = V V. Dans la conventon récepteur la quantté P(t) = u(t) (t) représente la pussance électrque nstantanée reçue par le dpôle. écproquement dans la conventon générateur elle représente la pussance délvrée au reste du crcut par le dpôle...3 Los de Krchhoff. Un crcut ou réseau est un ensemble de conducteurs relés entre eux et contenant en générale des générateurs, des récepteurs et des résstances. Un nœud est un pont du réseau où sont connectés plus de deux conducteurs. Une branche est une porton de réseaux stuée entre deux nœuds. Une malle est un ensemble de branche formant un crcut fermé, qu ne passe qu une fos par un nœud donné. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 9 -

10 ..3. Lo des noeuds : En tout noeud d'un crcut, et à tout nstant, la somme des courants qu arrvent est égale à la somme des courants qu sortent. Il s'agt d'une conséquence de la conservaton de la charge électrque. () 3 (3) (4) () 4 La somme des ntenstés entrantes est égale à celle des ntenstés sortantes. Sur l exemple : + = La lo des noeuds peut encore s'écrre sous la forme suvante : En tout noeud d'un réseau la somme algébrque des courants est nulle :..3. Lo des malles. k = 0. k C D Une malle est un crcut fermé prs dans le réseau. S l on chost un sens de parcours sur la malle, la somme de toutes les dfférences de potentel est nulle lorsqu un tour complet a été effectué. Cec se tradut mathématquement par la relaton suvante : r ε e = 0. ε vaut + ou - selon le sens du courant et la nature du dpôle. Pour applquer les los de Krchhoff, on procède de la manère suvante : Sur chaque branche, on adopte un sens postf de mesure pour le courant, le plus vrasemblable, et une valeur algébrque du courant. On écrt les los relatves aux nœuds. On écrt ensute la lo relatve aux malles pour le nombre convenable de malles ndépendantes en prenant sur chaque malle un sens de parcours arbtrare. On obtent un système d équatons lnéares permettant de calculer toutes les ntenstés algébrques nconnues. emarque sur les los de Krchhoff. L emplo des los de Krchhoff est asé et systématque. Celles-c présentent l avantage de fournr toutes les ntenstés dans les branches concernées. Ce derner avantage peut, du reste, Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 0 -

11 consttuer un nconvénent : en effet, pour un réseau un peu complqué, les calculs seront très lourds et on rsque de s encombrer dans ceux-c d ntenstés non recherchées et ne présentant pas d ntérêt...4 ssocaton de dpôles. On dstngue deux types d'assocaton de dpôles. Les dpôles peuvent être connectés en sére, ls sont alors tous traversés par la même ntensté. Ils peuvent être connectés en parallèle, ls sont alors tous soums à la même tenson...4. ssocaton en sére. u u u 3 u 4 u n u Chaque dpôle est traversé par la même ntensté et la tenson aux bornes du dpôle équvalent est égale à la somme des tensons partelles : = n ( ) ( ) u t u t. k= k..4. ssocaton en parallèle. 3 Les dpôles sont soums à la même tenson. Le courant total qu traverse l'ensemble des dpôles est égal à la somme des courants ndvduels : = n ( ) ( ) t t. k= k n u..5 ésstance et los d Ohm...5. Los d Ohm. Un dpôle passf est un ensemble de deux conducteurs possédant deux bornes et pour lequel l y a smplement transformaton d énerge électrque en énerge calorfque. On les appelle résstances. Le passage du courant dans un conducteur électrque est produt par des électrons mobles. Ceux-c sont soums à deux forces : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

12 - La force électrque F e = ee. - Une force de frenage F = λv, v étant la vtesse des électrons mobles. Cette force est due aux dfférents chocs des électrons sur les ons fxes du réseau crstalln du métal. En régme permanent, le vecteur vtesse d un électron donné est constant et donc : F e + F = 0, sot : e v = E. λ La densté de courant est j = ρ v, ρ étant la densté volumque de charges mobles, donc d électrons mobles. S N est le nombre d électrons mobles par unté de volume : ρ = - N e, donc : Ne j = N e v sot : j = E. λ On pose : Ne γ =, conductvté électrque du matérau, donc : λ j = γ E. Cette expresson est dte forme locale de la lo d Ohm. Dans le système nternatonal, γ s exprme en semens par mètre (S.m - )...5. ésstance d un conducteur. Consdérons un conducteur d extrémtés et parcouru par un courant d ntensté I : I = j n ds. S Par alleurs, V et V étant les potentels du conducteur en et : V V = E dl. S l on multple E par un scalare quelconque k, V - V est multplée par k, j est multplé V V par k, l en est de même de I, et par sute, le rapport est nchangé. I V V Par défnton, on appelle résstance du conducteur ohmque la quantté : =. I utrement écrt : u ( t) = ( t ). Le rasonnement précédent montre que la résstance du conducteur ne dépend que du matérau et de la géométre du conducteur. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

13 La résstance s écrt : = S E dl. γ E n ds Le symbole d une résstance est : s exprme en Ohm : Ω. γ s exprme en semens par mètre : S.m -. On utlse auss la résstvté du matérau défne par : ρ = γ qu s exprme en Ω.m ésstance d un conducteur flforme de secton constante. Un conducteur est dt flforme lorsque ses dmensons transversales sont fables devant sa longueur. Les lgnes de champs sont alors parallèles aux génératrces du fl. Sot L sa longueur et sot S sa secton drote : V V I I V V E = et J = = γ E d où : = γ. On en dédut : L S S L V V L L = = = ρ. I γ S S Cette formule peut être généralsée à des conducteurs quelconques ésstvté. Sans entrer dans les détals, la résstvté est foncton du matérau, ctons par exemple : g : ρ =,6 0-8 Ω.m. Quartz fondu : ρ = 0 6 Ω.m. Conducteurs : 0-7 Ω.m. Isolants : 0 5 Ω.m. Sem-conducteurs : 0 4 Ω.m à 0 6 Ω.m. La résstvté peut dépendre de la température, du champ magnétque extéreur, de la quantté de lumère à laquelle le matérau est exposé Lo de Joule. Nous avons deux manères de l évaluer. La premère consste à utlser l expresson de la pussance reçue par un dpôle : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 3 -

14 P = u. Pusque u = alors : u P = u = =. Seconde méthode : evenons au conducteur précédent et calculons les travaux pendant un ntervalle de temps dt où l électron se déplace de dl des forces électrque et de frenage : dw = F dl = ee dl = e dv et dw = λv dl = λv dt. Par applcaton du théorème de e e l énerge cnétque, on a : dwe + dwf = Ec = 0 sot : f e dv = λ v dt. Le traval dwf est perdu sous forme de chaleur dans le conducteur. Cette perte de chaleur consttue l effet Joule. Sot N le nombre de porteurs par unté de volume. Le traval (par unté de volume) perdu par effet Joule correspond évdemment : dw N dwf N v dt = = λ. Par unté de temps, ce traval (par unté de volume) correspond à une pussance (par unté de volume) dsspée sous forme de chaleur : dw P = = Nλ v, dt Ne e or γ = et v = E ; donc : λ λ P = γe P = ρj. Ces relatons consttuent la forme locale de la lo de Joule. Consdérons un tube de champ élémentare d are ds de longueur dl. La pussance dp dsspée sous forme d effet de Joule par cet élément de volume est : dp = P ds n dl, n étant le vecteur untare de la normale à ds, dl étant un vecteur élémentare compté sur une lgne de champ, sot : = γ = γ = dp E ds n dl E n ds E dl (di)( dv) Par ntégraton sur L et S, on obtent : ( ). ( V V ) P = I V V = I =. On retrouve le même résultat qu avec la premère méthode. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 4 -

15 L énerge dsspée sous forme d effet Joule dans le conducteur est telle que : dw = P dt pendant un temps nfntésmal dt : dw = I dt. Le courant étant supposé d ntensté constante, pendant un temps fn τ : W = I τ ssocaton de résstances Groupement en sére : Consdérons 3 résstances,, 3 montées en sére.. Dans ces condtons, les résstances sont traversées par le même courant. On peut écrre la lo d Ohm aux bornes de chaque résstance : I C D 3 V VC = I VC VD = I V V = ( ) I = I, en appelant la résstance équvalente VD V = 3I qu placée entre et, soumse à la même dfférence de potentel, est traversée par le même courant. On en dédut : = + + et on généralse asément : 3 sére = Groupement en parallèle : Consdérons 3 résstances,, 3 montées en parallèle. Dans ces condtons, les résstances sont soumses à la même dfférence de potentel mas sont traversées par des courants d ntenstés dfférentes. Premère Méthode : Les pussances dsspées par effet Joule dans chacune des résstances sont donc : ( V V ) ( V V ) ( V V ) P =,P =,P =, 3 3 La pussance totale dsspée par le groupement sera donc : ( V V ) I I I P = ( V V ) + + =, par dentfcaton : 3 = + + d où l on généralse : 3 I 3 3 Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 5 -

16 = //. Deuxème méthode : Sot I, I et I 3 les ntenstés traversant les dfférentes résstances et I l ntensté totale : I = I + I + I 3. Or V V = I = I = 3 I 3 = I, sot : V V V V V V V V I = ;I = ;I = ;I =. 3 3 On a donc : V V V V V V V V I = I + I + I3 = + + = ( V V ) + + =. 3 = //...6 Sources de tenson et de courant...6. Sources de tensons déales et réelles. Un générateur de tenson déal délvre une tenson ndépendante du courant débté : V -V = e = cte ". Cette tenson est la forme électromotrce (f.e.m) du générateur. u + - e u = e. e La résstance nterne d'un générateur de tenson déal est nulle, ce qu n'est généralement pas le cas pour un générateur réel. Un générateur réel est modélsé par un générateur déal en sére avec sa résstance nterne. En conventon générateur, la caractérstque statque tensoncourant du générateur de tenson réel devent : u = e r. La résstance nterne ndut une chute de tenson. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 6 -

17 + - e r u u e u = e - r..6. Sources de courant déales et réelles. Un générateur de courant déal débte un courant dont l'ntensté est ndépendante de la tenson aux bornes du générateur : = S = cte. La résstance nterne d'une source de courant déale est nfne. Pour un générateur réel on tent compte de sa résstance nterne, en le modélsant par une source déale de courant en parallèle avec sa résstance nterne r. En conventon générateur, la caractérstque statque u courant-tenson du générateur de courant réel est donc : = S. r S u u Source déale de courant. S = S u r u Source réelle de courant. u = S r Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 7 -

18 ..7 Le condensateur...7. Défnton. Un condensateur est un dpôle qu emmagasne une charge électrque q proportonnelle à la tenson qu lu est applquée : q(t) = C u(t) = C (V (t)- V (t)). La charge q est portée par l armature. Symbole d un condensateur : q -q u Le coeffcent de proportonnalté C est appelé capacté du condensateur. L'unté est le Farad noté F...7. Capacté d un condensateur. La capacté C d un condensateur dépend de sa forme, de sa composton. Dans le cas «classque», l est composé de deux plaques conductrces dsposées face à face, séparées par un solant (délectrque). S les deux plaques sont planes de surface S, dstante de d et séparées par un délectrque de permttvté relatve ε r, alors la capacté est donnée par l expresson : S C = ε0ε r. d ε 0 est la permttvté du vde et est donnée par l expresson : ε r dépend du délectrque. 4πε 0 = SI. Délectrque Permttvté relatve lumne 4.5 à 8.5 r Mca 6 à 9 Verre 5 à Plastque à 5 Céramque 5 à Pussance et énerge d un condensateur. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 8 -

19 D'autre part la varaton par unté de temps de la charge q est égale à l'ntensté du courant traversant le condensateur : ( ) du ( t) dq t ( t) = = C. dt dt La charge et donc la tenson d'un condensateur ne peuvent pas varer de manère nfnment rapde. La charge et la tenson d'un condensateur sont donc toujours des fonctons contnues par rapport au temps. Cette caractérstque est utle pour la détermnaton de condtons ntales. La pussance nstantanée reçue par un condensateur peut s'écrre : ( ) d u t p( t) = u ( t) ( t) = C. dt L énerge reçue par le condensateur pendant un ntervalle de temps t s écrt : 0 ( t) t ( ) ( ) ( ) ( ) q W = p x dx = Cu t = q t u t =. C..7.4 Groupements de condensateurs. Lorsqu on dspose de pluseurs conducteurs, on peut les grouper de dfférentes façons : - Sot en sére ; - Sot en parallèle Le groupement en sére : Dans ce type de groupement, l armature nterne de l un des condensateurs est relée à l armature externe du suvant. Pour tros condensateurs, par exemple, en appelant encore les armatures nternes et les armatures externes. Soent C, C, C 3 les capactés des condensateurs. Supposons ces condensateurs ntalement non chargés et cherchons la capacté du condensateur équvalent à ce groupement. C C C 3 M N Q -Q Q -Q Q 3 -Q 3 Etablssons entre M et N une dfférence de potentel V M -V N, C prend une charge Q, C une charge Q et C 3 une charge Q 3. L ensemble étant ntalement neutre, la charge de chacun des conducteurs entourés de pontllés sur la fgure c-dessus reste nulle (snon, l y aurat déplacement de charges). Donc : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 9 -

20 -Q + Q = 0, -Q + Q 3 = 0, d où Q = Q = Q 3. Exprmons la dfférence de potentel entre M et N : Q Q Q 3 VM VN = + + = Q + +. C C C3 C C C3 Le condensateur équvalent sera tel que, placé entre M et N, soums à la dfférence de potentel V M -V N, l prendra la charge Q. Donc, s C est la capacté de ce condensateur équvalent : = + +. C C C C 3 Plus généralement, pour un nombre quelconque de condensateur assocés en sére : =. C C sére Le groupement en parallèle : Dans ce type de groupement, toutes les armatures nternes sont relées ensemble, de même que toutes les armatures externes. Pour tros condensateurs, par exemple, on aura un schéma comme celu de la fgure ccontre. Cette fos, chaque condensateur est soums à la même dfférence de potentel V M -V N. S Q, Q, Q 3 sont les charges des condensateurs, on a donc : M + C C C N - Q Q Q = = = La charge totale prse par le groupement est la somme des charges 3 VM V N. C C C3 prses par chacun des condensateurs, donc : Q = Q + Q + Q 3., sot Q = (C + C + C 3 ) (V M -V N ). Le condensateur équvalent aura une capacté C telle que lorsqu l est soums à la dfférence de potentel V M -V N, l prenne la charge Q : Q = C (V M -V N ). Par dentfcaton, on obtent : C = C + C + C 3. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 0 -

21 Plus généralement, pour un nombre quelconque de condensateurs en parallèle : = C C. //..8 L nductance. La tenson aux bornes d une bobne est donnée par l expresson : d u = L. dt L nductance s exprme en Henry, H. L ntensté traversant une bobne ne peut pas varer de manère nstantanée. L'ntensté dans une bobne est donc une foncton contnue du temps. Cette caractérstque est utle pour la détermnaton de condtons ntales. La pussance reçue par la sefl est donnée par l expresson : ( ) d t p( t) = u ( t) ( t) = L. dt En ntégrant sur un ntervalle de temps t, on obtent l énerge accumulée dans une self :..8. ssocatons de bobnes ssocaton en sére. t W = p( x) dx = L ( t ). 0 L L L 3 L n u u u 3 u n Chaque self est parcourue par le même courant d ntensté et est soumse à une tenson u k : d( t) uk ( t) = Lk dt La tenson aux bornes de l ensemble est égale à la somme des tensons partelles, donc : ( ) ( ) ( ) u d( t) u t = L dt ( ) d( t) n d t n n u t = u t = L = L L = L. k k k k= dt k= dt k= Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

22 En sére, l nductance équvalente est égale à la somme des nductances ssocaton en parallèle. 3 n L L L 3 Chaque self est soumse à la même tenson : n ( ) ( ) k= k ( ) t = t mplque : d ( t) k u t = L k. dt L n u ( ) ( ) ( ) ( ) n n n d t u t dk t u t = = = =. dt L dt L L L k= k= k k= k En parallèle, l nductance équvalente est égale à l nverse de la somme des nverses des nductances.. Electrocnétque... Théorème de superposton.... Prncpe. Les los de Krchhoff condusent à des équatons lnéares vs-à-vs des ntenstés et des forces électromotrces et contre-électromotrces. Lorsqu on tent compte, dans les équatons, de la lo de Krchhoff relatve aux malles, des équatons relatves aux nœuds, on obtent un système de n équatons lnéares à n nconnues (les n ntenstés ndépendantes). Ce système peut s écrre sous la forme matrcelle : () (I) = (E) (I) représente la matrce des ntenstés algébrques nconnues, (E) représente la matrce des forces électromotrces et contre-électromotrces (avec la condton d algébrsaton), () représente la matrce de toutes les résstances. Il est ben évdent que l on peut écrre : (G) (E) = (I) (G) étant la matrce des conductances, avec évdemment (G) () = ().... Théorème. Consdérons un réseau donné dont toutes les résstances sont fxées (y comprs celles des générateurs et des récepteurs) : la matrce des conductances (G) est parfatement connues. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - -

23 Imagnons alors que l on applque à ce réseau un système de forces électromotrces et contreélectromotrces caractérsées par la matrce (E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I ) telle que : (G) (E ) = (I ). emplaçons ce système par un autre système de forces électromotrces et contreélectromotrces caractérsé par la matrce (E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I ) telle que : (G) (E ) = (I ). Supposons mantenant les deux systèmes de forces électromotrces et contre-électromotrces de manère à obtenr un système caractérsé par la matrce (E + E ). Il s établt un régme de courants permanents caractérsé par la matrce (I) telle que : (I) = (G) (E + E ). Du fat de la lnéarté : (I) = (G) (E ) + (G) (E ) donc (I) = (I ) + (I ) Énoncé du théorème : Lorsque, dans un réseau de conducteurs, on superpose pluseurs systèmes de forces électromotrces et contre-électromotrces, l ntensté du courant dans chaque branche est la somme des ntenstés dans cette branche dues à chacun des systèmes agssant seul... Courants fctfs de malles. Le prncpe est le suvant : on magne que chacune des malles d un réseau est parcourue par un courant qu est précsément le courant fctf de malle. Ces courant fctfs parcourent tous des malles forcément ndépendantes. Une fos connus les courants fctfs de malles, on peut détermner les courants réels crculant dans les branches. On ntrodut la représentaton matrcelle sur un exercce : Exercce : eprésentaton matrcelle. Pour ntrodure la représentaton matrcelle, nous allons utlser un réseau smple permettant de ben mettre en évdence les courants de malles. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 3 -

24 On a c tros malles ndépendantes. Nous noterons j, j, j 3 les courants fctfs de malle, parcourant toutes les malles dans le même sens (sens trgonométrque drect ou sens rétrograde, cela mporte peu). On écrt mantenant la lo de Krchhoff pour chaque malle : j j + j j + r j + e = 0 - malle () : ( ) ( ) - malle () : 3 4 ( 3 ) 5 ( ) - malle (3) : ( ) ( ) 5 3 j + j j + j j = 0 j j + j j + j e = Cela s arrange sous la forme matrcelle : r j e j = j 3 e On calcule ensute les ntenstés fctves j, j et j 3. Cec étant fat, on ntrodut les courants réels tels que : I = j 3, I = j, I = -j + j 3, I 3 = j j. e,r e,r j j j 3 5 I 5 I e, I 3 I e, L avantage de la méthode est certan lorsque l on a un réseau très complexe. L écrture de la matrce est mmédate. Par nverson, on peut en dédure la matrce des courants fctfs de malle et, par sute, détermner les seuls courants fctfs ntéressant pour ce que l on cherche. On en dédut alors les courants de branches...3 Théorème de Mllman : Consdérons le crcut suvant : Pour chacune des branches nous pouvons écrre : V V0 = V V0 = V3 V0 = 33 Sot encore : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 4 -

25 V V0 = V V0 = V3 V0 3 = 3 En sommant ces relatons l vent : V V0 V V0 V3 V = Or nous avons : = 0, donc : V V V3 V0 + + = ou V V V V0 = Ce résultat se généralse à un nombre quelconque de branches : Vk GkVk k k k V 0 = =. Gk k k k La tenson au nœud est la moyenne des tensons aux bornes de tous les dpôles pondérée par les conductances respectves...4 Théorème de Thévenn (hors programme). Le théorème de Thévenn permet de modélser des portons de crcut afn de calculer les ntenstés dans des branches détermnées. Consdérons un dpôle actf jouant globalement le rôle de générateur et relons ce dpôle actf à un dpôle quelconque (actf ou passf). dpôle actf I dpôle quelconque Sot U = V V la dfférence de potentel aux bornes du dpôle et sot I l ntensté du courant débté par le dpôle actf dans le dpôle quelconque. ] Débranchons le dpôle quelconque et branchons aux bornes de et du dpôle actf un générateur parfat, c est-à-dre dépourvu de résstance nterne dont la force électromotrce e est précsément la dfférence de potentel V V. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 5 -

26 dpôle actf I e Le dpôle actf se présente alors de la manère suvante : L ntensté I débtée est évdemment nchangée par rapport au cas précédent. On a ans transformé le dpôle actf en réseau fermé par le générateur de force électromotrce e. La branche e n est ren d autre qu une branche de ce réseau. Les los de Krchhoff étant lnéares en I et e : I = Ge + Ge, Ge étant relatf à toutes les autres branches du réseau comportant éventuellement des forces électromotrces et contre-électromotrces. ] Consdérons mantenant le dpôle actf en crcut ouvert. Le courant débté est nul, I = 0. La dfférence de potentel aux bornes de et devent U 0 et l expresson c-dessus de I subsste en fasant e = U 0 et I = 0 : Ge + GU0 = 0. dpôle actf On en dédut : I = Ge GU0, sot pusque e = V V : I = G (V V ) - G U 0. 3] Supprmons mantenant toutes les forces électromotrces du générateur mas en gardant les sources (on dt qu on étent les sources) et applquons aux bornes de et de le générateur de force électromotrce e. Il débte un courant I tel que : e I' =, étant la résstance équvalente du dpôle actf vue de et. fem supprmées I e Or, l expresson précédente de I, I = Ge + Ge, subsste (en fasant e = = e n = 0) : I = Ge, et compte tenu des sens des ntenstés, I = -I, d où : -I = Ge et : e Ge =, sot G =. En reportant dans I = G (V V ) - G U 0, l vent : U0 I = ( V V ) +, sot : ( ) V V = U I. 0 Cette relaton tradut le théorème de Thévenn. Un dpôle actf est équvalent, vu de ses deux bornes, à un générateur de tenson dont la force électromotrce est la dfférence de potentel aux bornes du dpôle en crcut ouvert et dont la Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 6 -

27 résstance nterne est la résstance équvalente, vue des deux bornes du dpôle lorsque l on a enlevé toutes les forces électromotrces et en gardant les résstances. U 0 U 0 Ce générateur équvalent est dt générateur de Thévenn. Il faut ben remarquer qu l s agt d une modélsaton du dpôle actf : on remplace ans un crcut complexe à étuder par un crcut qu lu est équvalent, mas seulement vu des bornes et du dpôle...4. Méthodologe : ) Supprmer le dpôle. ) Détermner la tenson aux bornes du dpôle, U 0. 3) Détermner l mpédance équvalente vue depus les bornes lorsque toutes les sources sont étentes, 4) emplacer le crcut par le schéma équvalent c-dessus...5 Théorème de Norton (hors programme). Ce théorème donne une autre modélsaton d un dpôle actf. Schématsons à nouveau le dpôle actf par un générateur de Thévenn et court-crcutons les bornes et. Le dpôle est U 0 traversé par un courant d ntensté I 0 : I 0 I U V V = U I devent : 0 0 =. La relaton ( ) 0 = ( V V ) I I 0. Cette relaton tradut le théorème de Norton : Un dpôle actf est équvalent, vu de ses deux bornes, à un générateur de courant dont le courant prncpal est le courant de court-crcut du dpôle et dont la résstance nterne montée en parallèle est la résstance équvalente vue de deux bornes du dpôle lorsqu on a enlevé toutes les forces électromotrces, cette résstance détournant un courant ( V ) V. I 0 ( V V ) Ce générateur équvalent est dt générateur de Norton. Il faut remarquer qu l s agt là encore d une modélsaton du dpôle actf, au demeurant parfatement équvalente à la précédente. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 7 -

28 ..5. Méthodologe : ) Court-crcutez le dpôle. ) Détermner le courant de court-crcut crculant dans, I 0. 3) Détermner l mpédance équvalente vue depus les bornes lorsque toutes les sources sont étentes, 4) emplacer le crcut par le schéma équvalent c-dessus...5. Exemples d applcaton des théorèmes de Thévenn et de Norton : Proposons nous de calculer au moyen des théorèmes de Thévenn et de Norton l ntensté traversant le dpôle (e,r ). Pour cela, l nous faut modélser le dpôle e. e e r r Modélsaton de Thévenn : - Calcul de U 0 : e =. + r V V =, or V V n est ren d autre que U 0 : e U0 =. + r e r r - Détermnaton de : Vu de et, le dpôle, lorsqu on a supprmé e, se rédut à et r montées en parallèle donc : r =. + r Le crcut étudé est donc équvalent au suvant : Par conséquent : e e U U0 e r e e ( + r ) 0 + e = ou = =, + r r + r r + r ( + r ) r + r sot : ( ) ( ) e e e r =. r + r + rr Modélsaton de Norton : Détermnaton de I 0 : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 8 -

29 e U + r e 0 I 0 = = =. r r + r Le crcut étudé est donc équvalent au suvant : V V = e + r. Par alleurs, d après le théorème de Norton : e I r 0 ( ) ( ) e e e r I =. r + r + r r I ( V V ) e e + r I = I0 sot : I = r r ( + ) e ( + ) r r e r I + = r r r + r, sot :, on en dédut :.3 égme transtore..3. Charge et décharge d un condensateur à travers une résstance. Vor la parte exercce..3. Crcut (L,C) Vor la parte exercce..3.3 Crcut (,L,C) Vor la parte exercce..4 Courant snusoïdal..4. appels sur les fonctons snusoïdales. Sot une foncton de dans : f(t) = F cos (ωt + φ) avec F réel postf. - Calculons la valeur absolue de la foncton : f(t) = F cos (ωt + φ) or cos (ωt + φ) d où l on dédut que f(t) F = F. F est la valeur maxmale de la foncton f(t). - ωt + φ est la phase nstantanée. - ω est la pulsaton propre de la foncton, elle s exprme en rad.s -. - On sat que la foncton cosnus est π-pérodque donc : π cos (ωt + φ) = cos (ωt + φ + π) = cos (ω(t+t) + φ) => ωt = π et T = =. T, la pérode, ω f s exprme en seconde, s, et f, la fréquence, en Hertz, Hz. (Ne pas confondre f et f(t), l une est une fréquence et l autre est la foncton ntrodute). Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 9 -

30 fn de ben comprendre la noton de phase, on trace la foncton cos(πt) et la foncton cos(πt + π/) : Le déphasage correspond à une avance ou à un retard d une courbe l une par rapport à l autre. Déphasage entre π td et π t+ π D t - - Valeur moyenne d une foncton snusoïdale : ( ) T T F f t = f ( t ) dt F cos ( t ) dt sn ( t ) T = T ω + φ = ωt ω + φ T, F f ( t) = sn ( T ) sn 0 ωt ω + φ φ = et donc : f t = 0, la valeur moyenne d une foncton snusoïdale est nulle. ( ) f H tl F f H t L sur deux pérode T t - - Valeur effcace d une foncton snusoïdale : T T T F F ( ) = ( ) = ( ω + φ ) = + ( ω + φ), f t f t dt cos t dt cos t dt T T T F F f ( t) = ( T + 0 ) =. T F Feff = f t =. On défnt la valeur effcace : ( ) Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

31 f H tl F f H t L sur une pérode T t.4. appels sur les nombres complexes..4.. Défnton : L'ensemble des nombres complexes est l'ensemble des nombres qu s'écrvent a + jb avec a et b appartenant à et j² = -, mun des opératons d'addton et de multplcaton ayant les mêmes proprétés que celle de..4.. Nombre j. Nous avons un nouvel ensemble de nombres qu est composé de deux termes d'une somme : celu qu n'est pas multplé par le symbole j et celu qu est multplé par le symbole j, qu'l exste des opératons sur ces nombres, que ces opératons ont les proprétés des opératons sur mas que j est un symbole spécal, quand on le multple par lu-même on a : j² = -. C'est donc ce nombre qu caractérse les nombres complexes. Dans le cas où b = 0 on a : a + 0 = a. Ce qu nous fat dre que l'ensemble des nombres réels est nclus dans les nombres complexes ou que les nombres complexes sont une extenson des nombres réels Parte réelle, parte magnare Dans z = a + jb : a est appelé parte réelle de z qu est notée e(z), b est appelé parte magnare de z qu est notée Im(z). S e(z) = 0 alors z est un magnare pur. S Im(z) = 0 alors z est un réel Module d'un nombre complexe Défnton : Le module d'un nombre complexe est le nombre réel postf ou nul tel que : z ² = a² + b² Proprétés : z = 0 ss z = 0, le module est nul s et seulement s le nombre complexe est nul. z.z' = z. z'. Le module d'un produt est égal au produt des modules. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 3 -

32 z + z' z + z'. Comme le module est une dstance, au même ttre que la valeur absolue des réels dont l est l'équvalent pour les complexes, l "obét" à l'négalté trangulare. C'est ce qu'ndque cette proprété Conjugason complexe Il y a deux nombres dont le carré est - : et -, et ce n'est que de manère arbtrare que nous avons chos et non pas -, l n'empêche que toutes les proprétés vraes pour le sont pour -, d'où l'mportance du nombre complexe a - b. Ce nombre s'appelle conjugué de z et se note z. S z = a + b alors z = a - b La conjugason complexe est très mportante, car toutes les proprétés que z possède, z les possède auss Notatons des nombres complexes Consdérons le repère orthonormé (O,, j ). De part la défnton des nombres complexes que nous avons donnée, nous pouvons repérer, sur l'axe des abscsses, la parte réelle et, sur l'axe des ordonnées, la parte magnare de chaque nombre complexe. Nous pouvons donc fare correspondre à tout nombre complexe le vecteur : W = e z + Im z j ( ) ( ) S z = a + jb, alors nous avons OM = a + bj. Le pont M est unque, on l appelle mage de z. Dans un tel plan, on a OM² = a² + b², d'après le théorème de Pythagore, ce qu reste cohérent avec la noton de module. On peut donc dentfer les ponts du plan, mun d'un tel repère, à l'ensemble des nombres complexes. C'est le plan complexe. Le pont de la fgure c-dessous a pour coordonnées ( ; 0) et le pont (0 ; ). L'axe (O) est l'axe des réels et l'axe (O) celu des magnares purs. On dra axe des réels et axe des magnares. j O θ M chaque pont M du plan complexe, on peut assocer le couple unque : (π)), c'est à dre le couple dstance (OM ; ( O,OM) du pont à l'orgne et l'angle orenté, modulo π, formé entre l'axe des abscsses (réels) et OM. Dans le plan complexe, sot M un pont d'affxe z, (π) est appelé argument de z. On le l'angle ( O,OM) note : arg (z). Sot z un nombre complexe, z = a + b. Notons r le module de z et θ son argument. On a : a = r.cosθ et b = r.snθ d'où z = r.cosθ + r.snθ Et nous pouvons écrre : z = r(cosθ +.snθ) qu est la notaton trgonométrque de z. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr - 3 -

33 L'addton n'a aucun ntérêt à être fate avec la notaton trgonométrque, au contrare elle complque les choses. Par contre, la multplcaton des nombres complexes écrts sous la forme trgonométrque possède certans avantages. Sot z = r(cosθ+.snθ) et z' = r'(cosθ'+.snθ'), on a : zz' = r(cosθ+.snθ) r'(cosθ'+.snθ') = rr'( cosθ. cosθ' + cosθ..snθ' +.snθ cosθ' - snθ snθ') = rr'( cosθ. cosθ' - snθ snθ' +.(cosθ snθ' + cosθ'snθ)) D'après les formules de trgonométre (snus et cosnus d'une somme), nous avons : zz' = rr'(cos (θ+θ') +.sn (θ+θ')) On en conclut que : pour multpler deux nombres complexes, écrts sous la forme trgonométrque, l faut multpler leurs modules et addtonner leurs arguments. Cec n est pas sans rappeler les proprétés des exponentelles. L'argument d'un nombre complexe se comporte comme un exposant. On convendra de noter z = r(cos θ+.snθ) ans : z = r.e θ. C'est la notaton exponentelle. Dans ce cas le conjugué de z s'écrt : z = r.e -θ. Cette notaton a un gros avantage, elle permet de calculer rapdement les produts, de plus elle donne le module et l'argument du nombre Notaton complexe. À toute grandeur snusoïdale d ampltude a et de phase nstantanée ωt + φ, on fat correspondre un nombre complexe défn par : y(t) = a cos (ωt + φ) ( ) ( t ) j y t = a e ω +φ Ic, nous fasons le chox de la conventon jωt et non l opposée jωt. Le chox de l une ou de l autre dépend de l utlsateur et de la matère consdérée. En électrcté, on utlse généralement la conventon jωt. En théore de la propagaton, on utlse souvent jωt. S l on dérve et ntègre y(t) : d y ( ) ( t ) j a e j ω t+φ = ω = j ω y ( t ), dt j( ω t+φ ) y( t ) dt = a e = y( t ). jω jω ns la dérvée est remplacée par une multplcaton par : jω, d j dt ω. L ntégraton est remplacée par la multplcaton par : jω, dt =. j ω Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

34 .4.3 Impédance complexe d un dpôle lnéare Défnton : Consdérons un dpôle lnéare : Chosssons u(t) = U cos ωt et (t) = I cos (ωt + φ). Dans ces condtons, jωt j( ω t+φ) u t = U e, t = I e. ( ) ( ) La relaton lnéare entre u ( t ) et ( ) t est : (t) u ( ) = z ( t ) u t z est l mpédance complexe, elle dépend de ω. ns u U = = = où I jφ jφ z e Z e - Le module Z = z est l mpédance. Elle s exprme en Ohms. - L argument φ est le déphasage de u par rapport à. Pour chaque dpôle, on écrt la relaton «courant-tenson» que l on compare à u ( t) z ( t) = ésstance : u = u ( t) = ( t) comparée à u ( t) z ( t) l on dédut : Z =, φ = 0. = donne : j z = = Z e φ, d où Condensateur parfat : u q C C jcω = = ( t) dt u ( t ) = ( t ) = z ( t ) donne : z = jcω d où l on dédut : π Z C =, φ C =. Cω u d L dt Inductance déale : = u ( t) jl ( t) z ( t) = ω = donne : z = jlω d où l on dédut : π ZL = L ω, φ L =. S l on représente les mpédances complexes dans le plan complexe, on a : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

35 Lω /Cω.4.4 ssocaton d mpédances complexes ssocatons en sére. u u u 3 u 4 u n z z z 3 z 4 z n u En sére, les tenson s ajoutent : u = u + u + u 3 + u u n ce qu donne : u = u + u + u + u u = z + z + z + z z = z et par conséquence, ( ) 3 4 n 3 4 n l mpédance équvalente est : zsére = z + z + z3 + z z n ssocaton en parallèle. En parallèle, la tenson aux bornes de chaque mpédance est constante, l ntensté totale est la somme des ntenstés dans chaque branche : u u u u u = n = = d où l on dédut : z z z z z 3 n z z = z z z z z // 3 n z 3 z 4 z n u.4.5 Pussance Pussance nstantanée. Sot un dpôle d mpédance z ; à l nstant t, la pussance consommée, en conventon récepteur, est : p(t) = u(t) (t), S u(t) = U cos ωt et (t) = I cos(ωt + φ), la pussance est égale à : Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

36 p(t) = u(t) (t) = UI cos ωt cos(ωt + φ), ( )( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) p(t) = UI cos ωt cos ωt cos φ sn ωt sn φ, p(t) = UI cos ωt cos φ cos ωt sn ωt sn φ, (( ( )) ( ) ) p(t) = UI + cos ωt cos φ sn ωt sn φ, p(t) = UI( cos φ + cos( ω t + φ) ) Pussance moyenne ou actve. S l on fat la moyenne de l expresson temporelle de la pussance, on obtent, sachant que la valeur moyenne de la foncton cosnus est nulle sur une pérode : P = p(t) = UI cos φ = Ueff Ieff cos φ. P est la pussance actve. U I est la pussance apparente. eff eff cos φ est le facteur de pussance. Exercce : utre expresson de la pussance actve. Montrer que la pussance actve aux bornes d un dpôle d mpédance z = r + jx est Soluton : j t u = U e ω j( t ) et = I e ω +φ sont lés par u = z. On a donc : U = z I Ueff = z Ieff r u = z et cos φ =. On en dédut : 0 = arg ( z) + φ φ = arg ( z ) z r P = Ueff Ieff cos φ = z Ieff = r Ieff. Il est mportant de connaître cette dernère relaton. z P = r I eff Théorème de oucherot. j t Consdérons la tenson u = U e ω et l ntensté du courant * u pussance complexe : p =. * u jωt -j t -jφ ( ω +φ) ( ) p = = U e I e = UIe = UI cos φ jsn φ sot : p = U I cos φ ju I sn φ = P + jp. eff eff eff eff r On retrouve : j( t ) = I e ω +φ. On ntrodut la Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

37 La pussance actve P = Ueff Ieff cosφ et on ntrodut la pussance réactve : Pr = Ueff Ieff sn φ. Elle s exprme en V, Volt mpère éactf. Consdérons alors les mpédances complexes z k k = à n, montées en sére (le même rasonnement peut être tenu avec un crcut en parallèle). Elles sont traversées par le même courant. Soent v k les dfférences de potentel complexe aux bornes de chaque mpédance. On a évdemment aux bornes de l ensemble : * * v = v sot v = v. k k k k Donc, p k, k = à n, étant les pussances complexes dsspées dans chaque mpédance : p = p, k = à n. k k Pour des mpédances en sére, les pussances complexes s ajoutent par conséquent. En dentfant parte réelle et parte magnare, l vent : P = P r = P k k P, r,k k Or les pussances actves sont postves ou nulles. Les pussances réactves sont postves, négatves ou nulles. On exprme les résultats c-dessus par le théorème de oucherot : La pussance actve consommée dans un réseau almenté en courant snusoïdal est égale à la somme des pussances actves consommées par les apparels du réseau ; la pussance réactve est égale à la somme algébrque des pussances réactves. On retendra donc que : u = U cos ωt et = I cos (ωt+ φ) P actve = P = ½ U I cos φ. P réactve = Q = ½ U I sn φ. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P actve réactve Cas des dpôles : ésstance : φ = 0 donc cos φ = et sn φ = 0 P actve = P = ½ U I. P réactve = Q = ½ U I sn φ = 0. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = P. actve réactve Capacté C : z = /jcω = -j/cω d où φ = -π/ donc cos φ = 0 et sn φ = -. P actve = P = 0. P réactve = Q = ½ U I sn φ = -U²Cω. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = Q. actve réactve Inductance L : z = jlω d où φ = π/ donc cos φ = 0 et sn φ =. P actve = P = 0. P réactve = Q = ½ U I sn φ = = U²/Lω. P apparente = S = ½ U I = P + Q = P + P = Q. actve réactve Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

38 .4.6 Crcut LC, résonance en ntensté, bande passante, facteur de qualté. Vor l exercce sur le crcut LC. Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr

39 Énoncés des exercces.. Queston sur les oseaux. Pourquo les oseaux ne prennent-ls pas de chocs électrques sur les gros fls?. Courant et charge. Un fl transporte un courant de. Comben d électrons passent par le fl en s? La charge élémentare d un électron est de e = C..3 Capactés équvalentes. partr de condensateurs de capactés µf, consttuer une porton de crcut de capacté équvalente égale à 3 µf, 0,5 µf..4 Questons sur les condensateurs. ) Vra ou faux? a. La tenson aux bornes d un condensateur double quand sa charge double. b. La tenson aux bornes d un condensateur est égale au produt de sa charge par sa capacté. c. Deux condensateurs de même capacté ont toujours la même charge. d. L énerge emmagasnée dans un condensateur est proportonnelle à la tenson à ces bornes. e. Sous une tenson donnée, un condensateur emmagasne d autant plus d énerge que sa capacté est grande. f. La constante de temps d une assocaton C en sére double quand la capacté double. ) Détermner la charge d un condensateur de capacté 0 nf chargé sous une tenson de 0 V. 3) Détermner l énerge emmagasnée dans un condensateur de capacté 0,40 mf chargé sous une tenson de 0 V. 4) L énerge emmagasnée dans un condensateur de capacté de 30 µf est de,5 mj. Quelle est sa charge? Quelle est la tenson à ses bornes? 5) On charge un condensateur de capacté,0 mf ntalement déchargé avec un générateur de courant constant délvrant une ntensté de 4,0 m. Quelle est l énerge emmagasnée dans le condensateur au bout de t = 0,50 s?.5 éflexon sur les capactés. Un condensateur de capacté C est soums à une dfférence de potentel V - V. ) Quelle est l expresson de la charge q de l armature du condensateur? ) Quelle est l expresson de la charge q de l armature du condensateur? 3) Quelle est l expresson de la charge du condensateur? 4) Quelle est l expresson de son énerge électrostatque? Stéphane Vctor. stephanevctor@yahoo.fr