Oscillateurs amortis et forcés - Résonance

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1 Année École Nationale d Ingénieurs de Tarbes Enseignements Semestres 5-5 et 7 App Oscillateurs amortis et forcés - Résonance Intervenant Karl DELBÉ Karl.Delbe@enit.fr La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur.

2 Table des matières Avant-propos Notation 4 1 Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité Le pendule élastique amorti Le circuit RLC en régime libre L équivalence mécanique-électricité Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité Le régime fortement amorti Le régime faiblement amorti - pseudo-période Le régime critique Résumé Les oscillateurs forcés - Résonance 14.1 Le pendule élastique forcé Le circuit RLC en régime forcé Équation des oscillateurs forcées La solution de l équation sans second membre La solution particulière Le régime transitoire Le régime permanent Élongation de l oscillateur L impédance mécanique Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance Résumé Bibliographie 5 1

3 Avant-propos : La préparation d un cours à l ENIT J aime à penser qu étudier est un métier en soit. Ce métier n est pas valorisé dans l immédiat par un salaire ou une récompense, mais c est une épargne intellectuelle que l étudiant fait fructifier durant son cursus, pour en bénéficier au moment le plus opportun et en particulier quand il réalisera son activité professionnelle. Dans les lignes qui suivent, je vous propose une méthode pour optimiser le bénéficie de vos cours et vos travaux dirigés (TD). Il ne s agit que de suggestions et le lecteur est libre de les suivre, de les modifier ou des les éviter. Le cours à venir peut être préparé au préalable par la lecture de la partie qui sera traitée. Des recherches peuvent aussi être faite sur internet pour se familiariser avec le vocabulaire et les thèmes qui seront abordés. Une écoute attentive et active lors de la séance est recommandée. Elle nécessite de la concentration. Elle peut être accompagnée d une prise de notes sur un support qui servira à compléter le fascicule et l ensemble des documents qui constituent le cours. Lorsqu un élément du cours n est pas bien compris, poser des questions. Éviter l installation de doutes dans votre apprentissage. Pour retenir un cours, il est nécessaire de le relire plusieurs fois : une fois quelques heures après la séance ; une fois la semaine suivante ; une fois un mois plus tard (quand cela reste possible) ; et enfin, durant la période de révision proprement dite. Relevez les intitulés et les sujets abordés. Repérez les définitions et le vocabulaire. Vérifiez aussi les démonstrations qui permettent de construire les formules importantes du cours. Vous pouvez construire sur feuille une carte mentale du cours sur laquelle peut apparaître les grandes idées, les définitions, les lois ou encore les formules ainsi que les liens qui existent entre elles. Vous pouvez pareillement utiliser un dictaphone pour enregistrer et ré-écouter le cours. Vous pouvez faire des fiches.

4 Les exercices de TD sont en corrélation directe avec le cours. Il est inévitable de refaire les exercices. Il est possible de trouver et de faire des exercices supplémentaires dans les fascicules qui vous sont fournis, mais aussi sur internet ou à la bibliothèque. Apprenez les formules et si c est envisageable, leurs démonstrations, dans le but d en comprendre le sens. La révision ne se limiter pas à un déchiffrage du cours. Elle peut s étendre à la recherche du sens lié au thème traité. À l approche de l examen, il est possible de s organiser en planifiant votre activité de révision. Une semaine avant la date de l épreuve, le cours est relu. Plusieurs séances d une quinzaine de minutes sont envisagées durant cette période afin de solliciter à plusieurs reprises vos facultés. Éviter les révisions intensives la veille de l évaluation. En cas de difficulté, demandez conseil à vos enseignants. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 3

5 Notation Sauf cas contraire, les symboles utilisés sont issus des recommandations de l AFNOR. a, a C E c E p Accélération d un point A dans R et sa norme Capacité du condensateur Énergie cinétique Énergie potentiel Vecteurs unitaires du repère cartésien Fréquence Centre de gravité Champ de pesanteur et sa norme Intensité Moment d inertie Raideur du ressort Inductance de la bobine Moment cinétique Moment d une force Masse Impulsion, quantité de mouvement Charge électrique Référentiel Résistance Vecteur position d un point A et sa norme Temps Période Vecteur vitesse d un point A et sa norme e x, e z, e z f G g, g i J K L L M m p q R R r, r t T v, v x, y, z Coordonnées cartésiennes de r r, θ, z Coordonnées cylindriques de r r, θ, φ Coordonnées sphériques de r ϕ ω Déphasage Pulsation temporelle

6 Chapitre 1 Les oscillateurs amortis - Facteur de qualité Les oscillateurs harmoniques non-amortis sont des systèmes conservatifs et idéaux. L expérience montre qu une perte d énergie est à l œuvre au cours de tous les processus physiques que nous étudions 1. Afin de rendre compte de cette dissipation d énergie, nous allons introduire dans les mécanismes qui sont représentés dans ce cours des forces de frottement et, par conséquent dans l équation du mouvement, un terme dissipatif. L introduction de ce terme a des effets sur la nature de la solution. Des régimes de fonctionnement sont distingués en fonction de la qualité du dispositif. Les sections suivantes présentent quelques d oscillateurs amortis ainsi que la notion de facteur de qualité. Les régimes de fonctionnement de ces oscillateurs avec un faible amortissement, un fort amortissement et un amortissement critique seront ensuite décrits. 1.1 Le pendule élastique amorti Les forces de frottement ont été le sujet d étude de nombre de savants souhaitant mieux rendre compte du monde qui les entoure. Parmi eux, Stokes, Coulomb et Newton ont proposé respectivement la description de la force de frottement visqueux, la force de frottement solide 3 et la force de frottement de Newton. La force de frottement de Coulomb met en relation la force nécessaire pour déplacer un objet en fonction de la charge qui lui est appliquée. Cette approche introduit la notion de coefficient de frottement, µ, très utile en tribologie 4. F f = sgn(v) µf N où F f est la force de frottement et F N, la force normale appliquée sur le système considéré. La force de frottement de Newton illustre la dissipation d énergie qui peut apparaître dans les corps où la viscosité est très élevée, tels que le miel, la lave ou les bitumes. Elle 1. Voir le cours de Thermodynamique de l ENIT - semestre.. aussi nommée frottement de Stokes ou frottement fluide. 3. encore appelé frottement de Coulomb. 4. La science qui a pour objet l étude du frottement, de l usure et de la lubrification 5

7 s exprime en fonction du carrée de la vitesse de déplacement du système : où h est le facteur d amortissement 5. F f = h v Cette partie traite uniquement de la force de frottement visqueux proposée par Stockes. Son rôle est exprimé en fonction du freinage qu elle provoque sur la trajectoire du mobile étudié. Ainsi, elle est écrite telle que : F f = h v L étude du pendule élastique équipé d un dispositif d amortisseur réalise un système amorti (Fig. 1.1). La mise en équation de ce problème va ainsi permettre de comprendre l effet de cette force de frottement sur un système mécanique. h k g R x O Fr L1 m P Figure 1.1 Pendule élastique constitué d un ressort accompagné par un dispositif d amortissement. Le système est représenté par le centre d inertie de la masselotte. Le référentiel est R Ox. L axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire. Le poids P, la force de rappel F r et la force de frottement visqueux F f agissent sur le système. Le poids vaut : P = m g = mg e x La force de rappel est définit telle que : La force de frottement vaut : F R = K (x L 0 ) e x F f = h v = h d x dt e x 5. La désignation de coefficient de frottement est aussi utilisée. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 6

8 D après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l accélération : P + F R + F f = m a mg e x K (x L 0 ) e x h d x dt e x = m d x e x (1.1) Un changement de variable approprié permet de réécrire cette équation sans le terme relatif au poids par un raisonnement analogue à celui employé pour le pendule élastique non amorti (Sec.??). Ainsi l équation 1.1 devient : d X K X h d X dt + h m = m d X d X dt + K m X = 0 (1.) Comme dans le cas de l oscillateur harmonique non-amorti, la pulsation propre du système ω 0 est définit comme égale à : K ω 0 = m Il apparaît un nouveau terme associé au paramètre d amortissement. L analyse dimensionnel de ce terme montre qu il est équivalent à l inverse d une durée, ainsi, on définit la durée de relaxation, τ e, telle que : τ e = h m Cette durée de relaxation est le temps pour lequel l amplitude des oscillations est divisée par 1, 5. L équation différentielle du pendule élastique amorti peut alors s écrire sous forme canonique : ou encore d X d X + 1 τ e d X dt + ω 0 X = 0 + µ d X dt + ω 0 X = 0 (1.3) Le paramètre µ est parfois introduit car il contribue à simplifier la résolution de l équation différentielle. 1. Le circuit RLC en régime libre le circuit RLC (Fig.??) qui a est présenté dans le paragraphe?? ne contient pas de résistance et ne dissipe donc pas d énergie. Si cette résistance est réintroduite dans le circuit alors la loi des mailles associé au circuit RLC devient : u c + R C d u c dt + L C d u c = u e Si on souhaite que le régime soit libre, il faut annuler la tension u e dans le circuit, d où : d u c + R L d u c dt + 1 L C u c = 0 La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 7

9 avec la pulsation propre ω 0 et le temps de relaxation τ e : ω 0 = 1 L C et µ = 1 τ e = R L La forme canonique de l équation des oscillateurs libres amortis est ainsi retrouvée, cette fois appliquée au circuit RLC : d u c + µ d u c dt + ω 0 u c = 0 (1.4) Cette équation peut aussi être écrite en fonction de la charge q du condensateur comme dans le paragraphe?? : d q + µ d q dt + ω 0 q = 0 (1.5) 1.3 L équivalence mécanique-électricité Si l on considère l équation du pendule élastique amorti (eq. 1.3) et celle du circuit RLC (eq. 1.5), on peut faire apparaître des équivalences entre les différents termes. d X + h m dt + K m X = 0 d q dt + R L d q dt + 1 LC q = 0 Dans ces cas, la grandeur vibratoire est soit la position de la masselotte, soit la charge Mécanique x v h m k Électricité q i R L C 1 Table 1.1 Termes équivalents entre la mécanique et l électricité. du condensateur. La vitesse de la masselotte est corrélée au déplacement des charges dans le circuit, c est-à-dire le courant électrique. Le coefficient de frottement est ainsi relié à la résistance du circuit, la raideur du ressort à l inverse de la charge du condensateur, l inertie 6 à l inductance de la bobine. Cette équivalence est très pratique dans le cadre de la simulation des systèmes mécaniques par des dispositifs électriques. 1.4 Les régimes de fonctionnement - Le facteur de qualité Les systèmes présentés dans les parties précédentes sont régies par des équations différentielles linéaires du second ordre dont la forme générale est semblable. Si la grandeur vibratoire 7 est notée X(t) alors d une manière commune, on a : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = 0 (1.6) 6. La masse du système. 7. Il faut adapter la grandeur vibratoire en fonction du problème à analyser. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 8

10 La résolution de cette équation, une fois posée sous sa forme canonique, consiste établir une solution dont la forme générale est : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) (1.7) dans laquelle r 1 et r sont les racines de l équation caractéristique (eq. 1.8) apparentée à l équation différentielle linéaire du second ordre (eq 1.6) : Le déterminant de l équation 1.8 est égale à : r + µ r + ω 0 = 0 (1.8) = ( µ) 4 ω0 = 4 ( ) µ ω0 (1.9) Trois situations sont distinguées en fonction du signe du déterminant. C est-à-dire, si est positif, négatif ou nul. Ces 3 situations permettent de déduire 3 régimes de fonctionnement de l oscillateur amorti. il est possible d introduire un facteur de qualité, noté Q, pour des raisons de commodité. Il est définit tel que : Q = ω 0 τ e = ω 0 µ (1.10) Ce paramètre contient à la fois le terme lié à la pulsation temporelle du système et celui associé à l amortissement, c est un nombre sans dimension. Ce facteur permet d identifier si le régime est fortement amorti, faiblement amorti ou critique. La description de ces 3 régimes est proposé à partir de l étude des racines de l équation caractéristique et des solutions de l équation du mouvement oscillant qui en découlent Le régime fortement amorti Si > 0, alors Q < 1. Ainsi, l équation caractéristique admet deux solutions réelles : r 1, = µ ± = µ ± µ ω 0 (1.11) dans le cas où le facteur de qualité est supérieur à 1, le système subit un fort amortissement. Le retour à la position d équilibre se réalise très lentement et sans oscillation. En effet : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) [( ) = A exp µ + µ ω0 = exp( µ t) [A exp (β t) + B exp ( β t)] ] [( ) ] t + B exp µ i µ ω0 t D après l équation de X(t), le mouvement est apériodique. Le terme β 8 vaut : β = µ ω0 8. Le terme β n est pas considéré comme une pulsation puisque dans le cas d un régime fortement amorti, il n y a pas d oscillation autour de la position d équilibre. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 9

11 X(t) exp(-µt) [A exp(βt)+ B exp(-βt)] t Figure 1. Exemple de solution en régime fortement amorti. Le système retourne à sa position d équilibre très lentement. Compte tenu de ce résultat, il est possible de représenter la solution sous les formes généralisées suivantes : X(t) = C exp( µ t) sinh(β t + ϕ) ou X(t) = C exp( µ t) cosh(β t + ϕ ) ou encore X(t) = C exp( µ t) [cosh(β t) + sinh(β t)] 1.4. Le régime faiblement amorti - pseudo-période si < 0, alors Q > 1. Les racines de l équation du second degré sont complexes : r 1, = µ ± i = µ ± i ω0 µ (1.1) Par conséquent, la solution de l équation 1.6 peut s écrire sous la forme suivante : X(t) = A exp(r 1 t) + B exp(r t) ( ) = A exp µ + i ω 0 µ avec ω, la pseudo pulsation : = exp( µ t) [A exp (iω t) + B exp ( iω t)] ω = ( ) t + B exp µ i (ω0 µ ) t ω 0 µ D un manière générale, la solution associée à ce régime peut être représentée par une fonction sinusoïdale dont l amplitude décroît en fonction d un terme exponentiel, exp( µ t) : X(t) = C exp( µ t) cos(ω t + ϕ) ou X(t) = C exp( µ t) sin(ω t + ϕ ) ou encore X(t) = C exp( µ t) [cos(ω t) + cos(ω t)] La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 10

12 X(t) C exp(-µt) C exp(-µt) cos(ω t+φ) t C exp(µt) Figure 1.3 Exemple de solution en régime faiblement amorti. X(t) est enveloppé par les courbes d équation C exp( µ t) et C exp( µ t). La pseudo-période et la pseudo fréquence des oscillations peuvent être définies à partir de la pseudo-pulsation. T = π et f = 1 = ω ω T π La décroissance de l amplitude des oscillations peut être quantifiée. Soit une vibration X(t) et soit cette même vibration après n pseudo-périodes T, notée X(t + nt ) et dont l expression est : X(t + n T ) = C exp [ µ (t + n T )] cos [ω (t + n T ) ϕ] Le rapport entre la vibration à l instant t + n T et celle à l instant t donne : X(t + n T ) X(t) = C exp [ µ (t + n T )] cos [ω (t + n T ) ϕ] C exp( µ t) cos(ω t + ϕ) = exp ( n µ T ) et donc ( ) X(t + n T n µ T ) = ln X(t) Un paramètre évaluant la décroissance de l amplitude peut être proposé, il s agit du décrément logarithmique. Il est noté Λ et est égale à : Λ = µ T = 1 ( ) n ln X(t) X(t + n T ) Ce décrément logarithmique Λ peut également être exprimé en fonction de la pseudopulsation, ω ou du temps de relaxation, τ e : Λ = π µ ω = T τ e La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 11

13 1.4.3 Le régime critique Il est possible de faire évoluer un oscillateur d un régime à l autre en modifiant les paramètres de fonctionnement du système. Il existe un régime intermédiaire entre le régime fortement amorti et celui faiblement amorti. Il s agit du régime critique. Il correspond à la situation pour laquelle = 0, et le facteur de qualité, Q est égale à 1. Il y a alors une racine double réelle. r = µ (1.13) X(t) exp(-µt) (A + Bt) t Figure 1.4 Exemple de solution en régime critique. Le retour à la position d équilibre est le plus rapide dans cette situation. La solution qui décrit le mouvement de l oscillateur est alors : V (t) = A exp( µ t) (1.14) Cependant, une autre solution est valable pour résoudre l équation du mouvement (Eq. 1.6) de la forme : V (t) = B t exp( µ t) (1.15) Il est possible de fabriquer une solution à partir de la combinaison linéaire des précédentes. V (t) = (A + B t) exp( µ t) (1.16) Cette solution est considérée comme la solution générale de l équation 1.6 en régime critique. 1.5 Résumé L introduction d un terme dissipatif dans l équation du mouvement des système vibratoire conduit au retour de l oscillateur à sa position d équilibre au bout d un temps plus ou moins long. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 1

14 Le facteur de qualité permet de distinguer 3 régimes de fonctionnement des oscillateurs libres amortis. Q = ω 0 τ e = ω 0 µ Le régime faiblement amorti, pour lequel le système retourne à sa position d équilibre après plusieurs mouvements alternatifs autour de sa position d équilibre avec une pseudo période ω. ω = ω0 µ Le régime critique. Dans ce cas, le système revient à sa position d équilibre en un temps le plus court possible sans oscillations. Le régime fortement amorti, qui est apériodique, comme le régime critique. Selon l objectif que l on considère, il est possible d ajuster les caractéristiques de l oscillateur et d obtenir le régime adéquat. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 13

15 Chapitre Les oscillateurs forcés - Résonance.1 Le pendule élastique forcé Soit une masselotte de masse m reliée à un moteur excitateur par l intermédiaire d un ressort de raideur K, d une poulie et d une bielle. Cette masselotte est plongée dans un liquide, qui produit une résistance vis-à-vis du mouvement de la masselotte. Le coefficient d amortissement associé à la force de frottement est h. Le moteur produit sur la masselotte une force excitatrice dépendant du temps, périodique et est nommée F e (t), telle que : F e (t) = F e cos(ω t + ϕ e ) e x où F e est l amplitude de la force excitatrice, ω, sa pulsation temporelle 1 et ϕ e, sa phase à l origine. ω L g x R O m Fr P Figure.1 Pendule élastique forcé, entraîné par une force excitatrice F e (t). Le système est représenté par le centre d inertie de la masselotte. Le référentiel est R Ox. L axe Ox est vertical ascendant, et x est la grandeur vibratoire. 1. ou vitesse angulaire. 14

16 Le système est soumis à l action du poids P, de la force de rappel F r, de la force de frottement visqueux F f et de la force excitatrice F e. Le poids vaut : P = m g = mg e x La force rappel est définit telle que : La force de frottement vaut : F R = K (x L 0 ) e x F f = h v = h d x dt e x Et comme cela à déjà été écrit, la force excitatrice est égale à : F e (t) = F e cos(ω t + ϕ e ) e x D après la seconde loi de Newton, la somme de ces 3 forces est proportionnelle à l accélération : P + F R + F f + F e (t) = m a mg e x K (x L 0 ) e x h d x dt e x + F e cos(ω t + ϕ e ) e x = m d x dt e x Avec le changement de variable adéquat, la forme canonique de l équation du mouvement s écrit : d X + µ d X dt + ω 0 X = F e m cos(ω t + ϕ e) (.1) Cette équation est celle d un oscillateur forcé à un degré de liberté.. Le circuit RLC en régime forcé En considérant le circuit RLC (Fig.??) qui a est présenté dans le paragraphe?? non plus en régime libre mais relié à une source de tension alors l expression de la loi des mailles conduit à : u c + R C d u c dt + L C d u c = u e avec u e = u m cos(ω t + ϕ e ) ou encore avec la forme canonique : d u c + µ d u c dt + ω 0 u c = u e (.) dans laquelle on rappelle que la pulsation propre ω 0 et le temps de relaxation τ e valent : ω 0 = 1 L C et µ = 1 τ e = R L En fonction de la charge q du condensateur cela donne : d q + µ d q dt + ω 0 q = u m L cos(ω t + ϕ e) (.3) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 15

17 .3 Équation des oscillateurs forcées Les équations.1 et.3 sont des équations différentielles linéaires du second ordre avec un second membre. Si l on considère que la grandeur vibratoire est X(t) alors l équation de l oscillateur forcé s écrit : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m (.4) Le cas qui sera traité dans ce fascicule est celui pour lequel F e (t) est une fonction générale du temps harmonique, périodique. Il existe solutions à l équation différentielle de X(t) (Eq..4) : La première partie représente la solution de l équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre ; La seconde représente la solution particulière de l équation complète. Théorème 1 (Principe de superposition) Si, pour un système linéaire, il existe solutions x 1 (t) et x (t), toute combinaison linéaire ou superposition linéaire de ces solutions est encore solution du système. X(t) résulte ainsi de la combinaison linéaire de X e (t) avec X p (t). X(t) = X e (t) + X p (t).3.1 La solution de l équation sans second membre Cette solution est celle de l équation sans second membre qui décrit le comportement d un oscillateur amorti (eq. 1.6) : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = 0 Ce cas a été étudié dans le paragraphe 1.4. Cette solution décroît de façon exponentielle au cours du temps compte tenu du terme exponentiel de la forme exp( µ t) qui apparaît quelque soit le régime. Au bout d un temps suffisamment long, cette solution s annule..3. La solution particulière Une solution avec une forme similaire à l excitatrice F e (t) est également valable pour résoudre l équation complète. Ainsi, X p (t) = D cos(ω t + ϕ x ) dans laquelle ω est la pulsation temporelle de l excitateur. L étude de la solution générale X(t) montre qu il apparaît régimes de fonctionnement pour l oscillateur forcé, le régime transitoire dès le démarrage de la sollicitation puis le régime permanent.. Le régime permanent est aussi appelée le régime forcé ou le régime établi. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 16

18 .3.3 Le régime transitoire Sachant que X(t) est l addition de la solution particulière X p (t) avec la solution de l équation sans second membre X e (t), le mouvement résultant de cette addition pourra prendre diverse forme et dépendre du régime d amortissement du système. La présence du terme exponentiel conduit à une extinction de la solution X e (t) au cours du temps et à l évanouissment du régime transitoire au profit d un régime permanent pour lequel il ne semeure que la solution X p (t). Si toutefois, l amortissement est négligeable, la solution X e se maintien au cours du temps et il n y a pas de régime transitoire, alors la solution est de la forme : X(t) X e (t) + X p (t) A cos(ω 0 t ϕ x) + D cos(ω t + ϕ x ) Selon la situation, cela correspond à l addition de vibrations isochrones, de vibrations avec des fréquences proches ou de vibrations avec des fréquences différentes vues au paragraphe?? : Par conséquent, si X e (t) et X p (t) sont isochrones, les amplitudes des oscillations dépendent de la différence de phase entre X e (t) et X p (t). Si les pulsations temporelles de X e (t) et X p (t) sont différentes, les vibrations sont anharmoniques. Si elle sont proches, des battements apparaissent..3.4 Le régime permanent Au cours du régime permanent, il n existe plus que la solution particulière X p (t) et donc : X(t) X p (t) D cos(ω t + ϕ x ) Dans les prochains paragraphes, nous considéreront uniquement ce régime établi afin d étudier une particularité des oscillateurs forcés : le phénomène de résonance..4 Élongation de l oscillateur Soit l équation d un oscillateur forcé : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m La résolution de cette équation dans le cas d un régime permanent est proposée en utilisant la représentation complexe de la fonction X(t). Cela conduit à écrire l équation du mouvement telle que : ainsi d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m X(t) = X m exp(j ω t) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 17

19 avec l amplitude complexe X m égale à : X m = X m exp(j ϕ x ) On rappelle que X m est l amplitude et varphi x le déphasage qui sont associés à l élongation. Pour utiliser cette solution dans l équation du mouvement, la solution X(t) est dérivée une première fois puis une seconde fois. On calcule ainsi d X(t) et d X(t) : dt d X(t) dt = j ω X(t) (.5) En utilisant ces résultats dans l équation.4, cela donne : avec d X(t) = ω X(t) (.6) ( ω + j µ ω + ω0) F e X(t) = m exp [j (ω t + ϕ e)] ( ω + j µ ω + ω0) Xm exp(j ω t) = F e exp(j ω t) m F e = F e exp(j ϕ e ) où F e et ϕ e désignent respectivement l amplitude et le déphasage de la force excitatrice. À partir de ce résultat, l amplitude complexe est alors calculée : X m = F e exp(j ϕ e ) m [(ω 0 ω ) + j µ ω] (.7) La solution réelle de cet oscillateur forcé en régime permanent peut s écrire : où l amplitude de l élongation X m vaut : X(t) = X m cos(ω t + ϕ x ) X m = X m = X m X m ainsi, X m F m m 1 (ω 0 ω ) + ( µ ω) (.8) et la différence de phase entre l élongation et la force excitatrice est : tan(ϕ x ϕ e ) = µ ω ω ω 0 (.9) L amplitude et la phase de la vibration produite suite à l excitation du système par une force extérieure est dépendante de la pulsation imposée ω. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 18

20 L amplitude et le déphasage dépendent également de l amortissement du système compte tenu de l expression de V m et de ϕ qui contient le terme τ e. ω Par commodité, le terme de pulsation réduite, ω 0 est introduit dans les expressions précédentes. De plus, le facteur de qualité est utilisé pour mettre en évidence l influence de l amortissement sur les expressions de l élongation X m et du déphasage (ϕ x ϕ e ) entre l élongation et l excitatrice, ainsi : X m = F m K Q 1 [ ω ω Q ( ω ω 0 ω 0 ω ] 1 et tan(ϕ ϕ e ) = 1 Q( ω ω 0 ω 0 ω ) 100 Q= π φ Q=0,001 Q=10 Q=5 Q=3 10 Q=0,1 Q=0, Q=0,3 Q=0,4 Q= Q=0,5 Q=0,707 Q=1,5 Q=1 Q=1,5 Q=1 0,1 Q=0,707 1 Q=0, Q=0,3 Q=0,4 Q=0,5 Q=0,1 Q= Q=3 Q=5 Q=10 Q=1000 Figure. Évolution de l amplitude en fonction de ω ω 0 pour différentes valeurs de Q. Apparition du phénomène de résonance. 0,1 ω 0 Figure.3 Déphasage entre l oscillateur et la force excitatrice en fonction de la pulsation réduite ω ω 0. Les élongations de l oscillateur forcée évoluent en fonction de la pulsation réduite 3 (Fig..). On note que le facteur de qualité agit également sur les élongations. Lorsque la pulsation de l excitatrice est faible, l oscillation est de faible amplitude. C est aussi le cas, lorsque la pulsation de l excitatrice est élevée. Si le facteur de qualité est suffisament élevé, on remarque que l amplitude passe par un maximum. Ce maximum est observé pour une pulsation réduite approximativement égale à 1 et est équivaut à : X max = F m K Q Dans le cas où le facteur de qualité est important, les élongations deviennent considérables. Concernant le déphasage entre l élongation et la force excitatrice (Fig..3), on note que : si la pulsation réduite est faible, alors le déphasage est nul ; au contraire, quand la pulsation réduite est égale à 1, le déphasage entre le mouvement de l oscillateur et la force excitatrice est de π. Cette différence de phase dépend également du facteur de qualité : 3. et donc de la pulsation, ou encore de la fréquence de l excitarice. La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 19

21 si Q tend vers 0, la différence de phase évolue rapidement vers la valeur de π ; alors que, si Q tend vers, le déphasage de π est atteint plus tard et la pulsation réduite est proche de 1..5 L impédance mécanique L impédance mécanique Z est un nombre complexe. Elle est définit par le rapport de l amplitude complexe de la force excitatrice 4, F m sur l amplitude complexe de la vitesse de l oscillateur 5. Z = F m V m (.10) L impédance mécanique représente la manière avec laquelle l oscillateur va s opposer au passage du phénomène période associé à la force excitatrice. La partie réelle de l impédance est nommée la résistance R et la partie imaginaire, la réactance, X 6. Pour déterminer une expression de l impédance, il est nécéssaire de calculer l amplitude complexe de la vitesse, d après l équation.5, la vitesse et telle que : v = d X(t) dt = j ω X(t) = j ω X m exp(ω t + ϕ x ) = ω X m exp(ω t + ϕ x + π ) ( π ) ( π ) ( π ) puisque j = cos + j sin = exp Comme la vitesse des oscillations peuvent s exprimer comme suit : v(t) = V m exp(j ω t) avec V m = V m exp(j ϕ v ) = j ωx m alors on déduit que l amplitude de la vitesse vaut : V m = ω X m et que la vitesse est en avance de phase de π par rapport à l élongation, soit : ϕ v = ϕ x + π L expression de l impédance peut alors être développée : Z = F m V m = F m j ω X m (.11) 4. La cause. 5. L effet. 6. En électricté, on définit également l inverse de l impédance : l admitance, Y = 1 Z La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 0

22 En employant l équation.7 qui explicite l amplitude complexe des élongations de l oscillateur X m, il vient : Z = m [ω 0 ω + j µ ω] j ω ( = h + j m ω K ) ω (.1) sachant que µ = h m et ω 0 = K m À partir de cette dernière expression, il est possible de représenter dans un référentiel de Fresnel l impédance de l oscillateur forcé avec la composante réelle, h, et la composante imaginaire, mω K ω. Im K/ω IZI mω O h φ Re Figure.4 Impédance mécanique représentée dans un repère de Fresnel. Dans ces conditions, le module de l impédance est : Z = [ h + ( m ω K ) ] 1 ω (.13) De plus, le déphasage entre la forcve excitatrice et la vitesse, noté ϕ = ϕ e ϕ v, est donné par l expression suivante : tan ϕ = m ω K ω h (.14) Si on considère la puslation réduite ω ω 0 et le facteur de qualité, Q : Q = ω 0 τ e = m ω 0 h on peut alors exprimer l impédance autrement : [ ( ω Z = h 1 + j Q ω )] 0 ω 0 ω (.15) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 1

23 Il est également possible de déterminer le module Z et la phase ϕ de l impédance : Z = [ h + ( m ω K ) ] 1 ω = h { 1 + [ ( ω Q ω )] } 1 0 ω 0 ω (.16) tan ϕ = m ω K ω h = Q ( ω ω ) 0 ω 0 ω (.17).6 Puissance dissipée dans un oscillateur forcé - Résonance Par définition, la puissance dissipée dans l oscillateur peut être calculée à partir du produit scalaire de la force excitatrice F par la vitesse V. P = F V Comme F = Fm cos(ω t + ϕ e ) e x et que V = Vm cos(ω t + ϕ v ) e x D après l équation.11, on montre que : par conséquent : V m = F m Z P = F m cos(ω t + ϕ e ) V m cos(ω t + ϕ v ) = F m Z [ cos(ω t + ϕ e + ϕ v ) + cos(ϕ)] (.18) puisque ϕ = ϕ e ϕ v La puissance varie donc de façon sinusoïdale autour d une valeur moyenne. Cette valeur moyenne < P > est égale à : < P >= F m cos ϕ (.19) Z À partir de la représentation de Fresnel, on est en mesure de déduire le cosinus de Z : cos ϕ = h Z (.0) la valeur moyenne de la puissance est alors : < P >= h F m Z (.1) La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur.

24 en tenant compte de l expression de Z (Eq..16), on exprime la valeur moyenne en fonction du facteur de qualité et de la pulsation réduite : < P >= F m h 1 + [ Q 1 ( ω ω 0 ω 0 ω )] (.) On note que lorsque la pulsation réduite est égale à 1 et la puisance moyene passe par un maximum : P max = F m h (.3) Figure.5 Évolution de la puissance moyenne < P > en fonction de la pulsation réduite ω ω 0. Le phénomène de résonance se produit quand la pulsation réduite vaut 1. Figure.6 La puissance dissipée dans l oscillateur dépend de aussi du facteur de qualité. Le phénomène de résonance est défini à partir de la puissance dissipée dans l oscillateur qui est maximale lorsque la pulsation propre de l excitatrice est égale à la pulsation propre de l oscillateur : ω = ω 0 On remarque que l analyse de la courbe de l élongation en fonction de la pulsation réduite (Fig..) ne permet pas de faire le même constat, car le maximum de l élongation ne se retrouve pas précisément en ω ω 0 = 1, mais autour de cette valeur. Le maximum l élongation coincide avec le maximum de la puissance dissipée 7 lorsque le facteur de qualité est élevé. On indique que la résonance est aigüe quand le facteur de qualité Q est élevé. Au contraire on dit qu elle est floue quand le facteur de qualité est faible. Pour plus de précision, on définit la notion de finesse de résonance, ω 1, qui consiste à calculer la largeur à mi hauteur du pic de résonance, c est-à-dire les valeurs de la pulsation réduite, ωω 0, pour lesquelles P = Pmax. On montre que : ω 1, = Q ω 0 7. et donc quand ω ω 0 = 1 La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 3

25 .7 Résumé L introduction d une force excitatrice dans l équation d un dispositif vibratoire permet de contruire un oscillateur forcé, dont l équation horaire est : d X(t) + µ d X(t) dt + ω 0 X(t) = F e(t) m (.4) le mouvement vibratoire de l oscillateur forcé se décompose en temps : 1 er temps Le régime transitoire, au cours duquel coexiste la solution particulière et la solution générale de l équation sans second membre. Ce régime n est pas approfondi en cours ; e temps Le régime établi ou régime forcé, dont la forme 8 est semblable à celle de la force excitatrice qui impose sa pulsation au système ; Cas particulier Si le dispositif n est pas amorti, la solution de l équation est une combinaison linéaire la solution particulière et de la solution de l équation sans second membre. Lorsque la pulsation de l excitatrice coïncide avec la pulsation propre de l oscillateur, la puissance reçue par l oscillateur est maximale. C est le phénomène de résonance. Durant ce phénomène les élongation et la vitesse de l oscillateur deviennent parfois impressionnants. Le facteur de qualité influence le phénomène de résonance : Si Q est élévé, la résonnance est aigüe ; si Q est faible, la résonance est flou. 8. Elle ne présente plus la solution de l éqation sans second membre, qui disparaît au bout d un temps suffisament long, compte tenu de l amortissement de l oscillateur La publication et la diffusion complète ou partielle de ce document ne sont pas autorisées par l auteur. 4

26 Bibliographie [1] J.-P. Pérez. Mécanique : fondements et applications. Masson, Paris (1997). 5 e édition. [] R. F. J.-P. Pérez, R. Carles. Paris (006). 3 e édition. Électromagnétisme : fondements et applications. Masson, [3] J.-Y. F. S. B. J.-P. Pérez, C. Lagoute. Électronique : fondements et applications. Masson, Paris (006). [4] Bergson. Évolution créatrice. Paris (1907), p