c.jossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algèbre_de_Boole\_Algèbre_de_Boole.doc Algèbre de BOOLE

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1 cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc Algère de BOOLE SOMMAIRE : 1 Présenion, hisorique 2 Propriéés; 21 Ideniés remrqules; 22 Théorèmes de DE MORGAN 3 Représenions grphiques : 31 Logigrmmes; 32 Schéms à concs; 33 Chronogrmmes 4 Simplificion des expressions ooléennes : 41 Méhode lgérique; 42 Méhode des leux de Krnugh Ouils informiques : Sies «We» : Biliogrphie : AUTOM / Algère de BOOLE 1 / 5

2 cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc 1 PRESENTATION L'lgère de BOOLE es l logique uilisée pr les ordineurs En uomique, que l'on soi en «cominoire» ou en séqueniel, on prend en compe, on rie, on donne des ordres sous forme inire (0 ou 1) Les vriles qui permeen de rier ces informions peuven s'orgniser sous forme de foncions Foncions de se : OUI, NON, ET, OU Foncions spécilisées : NON-OU (NOR), NON-ET (NAND), OU «exclusif» (XOR) 2 PROPRIETES Somme : foncion OU Produi : foncion ET Négion : foncion NON 0 0=0 1=1 00=0 1=1 1=1 0 1=1 0= 01=0 0=0 0=0 1 0=1 = 10=0 = = 1 1=1 =1 11=1 =0 Commuivié : = Associivié : (c) = ()c + = + +(+c) = (+)+c Disriuivié : (+c) = + c (+)(c+d) = c + d + c + d +(c) = (+) (+c) Idempoence : + = = Aorion : = Ideniés remrqules : = c= c = c= c = c c Théorèmes de DE MORGAN : 1 er Théorème : Le complémen d'une somme logique es équivlen u produi logique des ermes de ce produi, eux-mêmes complémenés = 2 ème Théorème : Le complémen d'un produi logique es équivlen à l somme logique des ermes de cee produi, eux-mêmes complémenés = AUTOM / Algère de BOOLE 2 / 5

3 cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc 3 Représenions GRAPHIQUES 31 Logigrmmes : Symoles logiques Foncion OUI Foncion ET Foncion NON 1 1 Foncion OU & > 1 Foncion NON-ET (NAND) Foncion NON-OU (NOR) & > 1 Foncion INHIBITION Foncion OU Exclusif : & = 1 32 Schéms à concs : C'es l représenion l plus uilisée comme lngge de progrmmiondns les uomes progrmmles L'nlogie direce vec les schéms de circuis élecriques perme une compréhension isée Les concs représenn les «enrées» son oujours plcés à guche e les «sories» à droie Symoles de se : enrée : enrée : ; ( e ) : + ; ( ou ) : sorie S AUTOM / Algère de BOOLE 3 / 5

4 cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc 33 Chronogrmmes : Les chronogrmmes son une représenion grphique de l'évoluion de l'é de vriles d'enrées e de sories, mis églemen les vriles «inernes» d'un sysème uomisé L'scisse représene le emps e l'ordonnée l'é logique (0 ou 1) de l vrile Les grphes son plcés les uns u-dessus des ures vec une même échelle des emps S = + > 1 S 4 Simplificions des expressions ooléennes A prir des les de vérié, on oien des relions ou équions logiques souven complexes e difficilemen rduisiles en schéms ou progrmmes Il es donc nécessire de simplifier ces équions logiques 41 Méhode lgérique : L simplificion d'une équion logique se fi rès souven pr «clcul» lgérique en cherchn à mere en fceur les vriles e en uilisn les propriéés des foncions logiques vues u chpire 2 Exemple 1 : S= c c= c S= c Exemple 2 : S= c c c d S= c d S= c d S= c 1 d S= c 1 S= c= c AUTOM / Algère de BOOLE 4 / 5

5 cjossin J:\TRAVAIL\AUTOM\Algère_de_Boole\_Algère_de_Booledoc 42 Méhode des leux de Krnugh : L le de vérié donne un perçu rpide de l'é des vriles de sories en foncion de l'é des vriles d'enrées On ire de cee le de vérié une équion ooléenne qu'il fu simplifier Les leux de Krnugh son uiles pour simplifier les équions logiques irées de les de vérié Principe : Chque cse du leu de Krnugh correspond à un é de l vrile de sorie A B S Simplificion : On ire des cses l'équion de l sorie On regroupe les cses djcenes pour simplifier B = Ici, S= A B A B On simplifie églemen les équions en regroupn les cses de 1 en crré ou en lignes de 4 cses On peu regrouper en 8 cses Les groupemens de cses peuven ussi êre rélisés sur les coés des leux qui son ssimilés à des cylindres : «oies à Cmemer» Exemples de simplificion pr leux de Krnugh Équion à simplifier S= S= S= Tleu de Krnugh B = B = B = B = Équion simplifiée S= S= S= Remrque : Cerines cominisons des enrées ne corresponden à ucun cs de foncionnemen du sysème Dns l mesure où ces cs son indifférens ou sns effe, ils peuven êre ffecés de l vleur 0 ou 1 en foncion des esoins de l simplificion AUTOM / Algère de BOOLE 5 / 5