Arbres et dérivée d une fonction composée

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1 Abes et déivée d ue foctio composée Nous allos voi ici commet l o peut epésete les déivées successives d ue foctio composée pa u esemble d abes fiis. f et g désigeot deux foctio idéfiimet déivables, et ous allos ous itéesse au déivées successives de f g. 1 Repésetatio pa des abes 1.1 Ue classe d abes U abe est pa défiitio u gaphe coexe sas cycle. Pale d abe avec acie, c est distigue u sommet paticulie de l abe. O peut alos epésete les sommets de l abe su difféet iveaux, e foctio de leu distace à la acie. Nous allos ous esteide ici à ue sous-classe paticulièe T de l esemble des abes fiis avec acie : les abes avec acie et sas oeuds ailleus qu à la acie. Autemet dit, seule la acie peut avoi plusieus fils. OUI NON Nous oteos égalemet T l esemble des abes de T à + 1 sommets la acie plus descedats). Aisi, l abe pécédet celui de gauche) est das T 5. Das toute la suite, ous utiliseos le teme de bache pou désige l esemble fomé pa l u des fils de la acie et tout ses descedats. Le ombe de bache est doc le ombe de fils de la acie. La hauteu d ue bache est le ombe de sommets de cette bache. Efi, le teme feuille désige le sommet qui est à l extémité d ue bache. 1.2 Coespodace avec des foctios À chaque abe T de T, ous allos associe ue foctio. Si désige le ombe de fils de la acie, l abe T possède exactemet baches. Soiet 1

2 i 1, i 2,..., i leus logueus espectives. Alos ous allos associe à T le poduit : f ) g ) g i 1)... g i) C est-à-die que l o egade le ombe d embachemets à la acie, qui ous doe l ode de déivatio de la foctio f. Esuite, à chaque feuille de l abe o associe u teme du poduit, qui est ue déivée de g d ode la hauteu de la feuille. Exemple : T1 T2 T3 À l abe T 1 coepod le poduit f g).g.g. À T 2 coespod f g).g, et à T 3 coespod f g).g ) 3. 2 L opéatio de déivatio 2.1 Déivée d u poduit de foctios La déivée d u poduit de foctios, c est la somme de poduits déduits du poduit d oigie pa emplacemet de l u des temes du poduit pa sa déivée : la déivée d u poduit f i s écit aisi i=1 f i f j j i i=1 Das le cas paticulie des poduits qui ous itéesset, la déivée d u poduit de la fome f ) g ).g i 1).....g i) s écit : f +1) g ) g k=1 gik) + f ) g ).g ij+1). g i k) j=1 k j Nous allos voi que chaque teme de cette somme coespod à u abe, et qu il y a ue opéatio simple qui ous pemet de passe de l abe du poduit f ) g ).g i 1).....g i) à tous les abes des temes sommés das sa déivée. 2.2 Opéatio su les abes E effet, ous avos vu que l abe de f ) g ).g i 1).....g i) était l abe à baches, de logueus espectives i 1, i 2,..., i. O, l abe coespodat au pemie teme de la déivée, à savoi le poduit f +1) g ).g.g i 1).....g i), est l abe à + 1 baches, de logueus 2

3 espectives 1, i 1,..., i. Pou passe de l abe pécédet à celui-ci, o a tout simplemet ajouté u fils à la acie. Esuite, pou chaque aute teme de la déivée, i.e. chaque teme de la fome f ) g ).g ij+1). g ik), l abe associé est l abe à baches, de logueus k j i 1,..., i j 1, i j + 1, i j+1,..., i. Chacu de ces abes se déduit doc de l abe d oigie e ajoutat u fils à l ue des feuilles. E ésumé, o passe de l abe d u poduit aux abes des temes de sa déivée e écivat tous les abes obteus pa l ajout d exactemet u sommet, soit comme fils de la acie, soit comme fils de l ue des feuilles de l abe. Exemple : Cosidéos le poduit f g).g.g, associé à l abe T 1. Nous pouvos calcule sa déivée, qui est la foctio : f g).g ).g.g + f g).g.g + f g).g.g L opéatio coespodate su les abes est alos : T1 2.3 Les déivées successives de f g Le teme f g état epéseté pa u abe éduit à sa acie, o peut aisi costuie écusivemet les esembles d abes coespodat aux esembles des temes des déivées successives de f g, ce e appliquat à chaque fois le picipe pécédet. O costuit aisi tous les abes possibles à chaque étape, et pa la coespodace o obtiet immédiatemet la déivée de f g à l ode voulu. Aisi les abes obteus apès i déivatios sot des abes ayat i sommets e plus de la acie, c est-à-die des abes de T i. Voici les abes obteus los des pemièes étapes de ce pocédé : Ce qui ous doe ciq abes à l ode 3. Les deux pemies abes sot obteus à pati du pemie abe de la déivée secode, les tois deie à pati du secod. 3

4 La déivée d ode 3 de f g sea alos la somme des temes coespodat aux 5 abes obteus, c est-à-die : f g g + 3f g g g + f g g ) 3 3 Evitos les étapes itemédiaies La démache pécédemmet décite est assez loude : il faut faie attetio à e pas oublie d abe à aucue étape. La difficulté est du même ode que losque l o déive successivemet à la mai, voie plus gade. O s apeçoit otammet assez vite qu il est facile de se tompe das les multiplicités. Nous allos voi que cette epésetatio pa les abes pemet de touve diectemet la déivée -ième de f g sas calcule les déivées pécédetes. 3.1 Fome de la déivée -ième Lemme 3.1 La déivée -ième f g) ) de f g s écit sous la fome : f g) ) = où les coefficiets t i1,...,i =1 i 1... i i i= t i1,...,i f ) g sot des eties atuels. k=1 gi k) Démostatio Pa écuece su. Le ésultat est évidet à l ode 1. Supposos le à l ode. Alos la déivée + 1)-ième de f g est aute que la somme des déivées des temes de la fome t i1,...,i f ) g O u poduit de cette fome a pou déivée : f t i1,...,i +1) g ) g k=1 gik) + j=1 k=1 gik). f ) g ).g i j+1). k j g i k) Tous ces temes sot bie de la fome voulue. E assemblat les temes idetiques poveat des déivées de temes difféets, o obtiet le ésultat voulu. Le coefficiet de chaque teme est alos ue somme d eties atuels, doc ecoe u etie atuel. ) 4

5 3.2 Calcul diect des coefficiets Mui du ésultat pécédet, la seule chose à faie pou expime diectemet la déivée -ième de f g est de pouvoi calcule les coefficiets t i1,...,i à pati de l abe. E effet, chaque teme de la somme coespod à u abe difféet de T, l esemble des abes à + 1 sommets la acie plus descedats). Et l o sait costuie diectemet tous les abes possibles de T, ce de faço systématique o costuit d abod celui, uique, dot la plus gade bache est de logueu, puis 1, puis les deux abes dot la plus logue bache est de logueu 2, et aisi de suite). L etie t i1,...,i coespod quat à lui au ombe de fois, apès déivatios su les abes, où l o a obteu l abe à baches de logueus i 1,..., i. E d autes temes, c est le ombe de faços de costuie cet abe pa ote pocédé de costuctio, qui cosiste à pati de la seule acie, puis à ajoute successivemet les sommets, chacu état placé comme fils de la acie ou du sommet alos à l extémité d ue bache. Théoème 3.2 Le coefficiet t i1,...,i est doé pa la fomule : t i1,...,i = i k! j k! k=1 k=1 où j k désige le ombe de baches de logueu k. Démostatio A posteioi, ous sommes ameés à compte le ombe de faços de uméote les sommets de ote abe, modulo deux cotaites. D abod, tout sommet doit ête uméoté avat so fils, puisque ote pocédé de costuctio fait qu il appaaît écessaiemet avat. Esuite, losque deux baches ot même logueu, elles sot itechageables vis à vis de ote pocédé de costuctio, c est-à-die qu o les distigue pa le fait que l ue des deux commece avat l aute. Autemet dit, das l abe à baches de logueus i 1... i, il ous faut impose de plus que si k < l et i k = i l, alos le pemie sommet de la k-ième bache est uméoté avat celui de la l-ième bache. E fait, cette deièe cotaite coespod à divise pa le ombe d automophisme de ote abe, c est-à-die le ombe de pemutatios des baches qui laisset l abe ichagé. Pou laisse l abe ichagé, ue pemutatio des bache e doit échage ete elles que des baches de même logueu. Si j 1,..., j désiget le ombe de baches de logueu 1,...,, il y a doc k=1 j k! faços de ce faie. Reste à compte le ombe de faço de uméote les sommets de l abe e espectat la pemièe cotaite. O, ue telle uméotatio coespod à ue patitio de l esemble {1,..., } des uméos dispoibles e paties, de cadiaux espectifs i 1,..., i. E effet, mui d ue telle patitio, ous avos u pocédé caoique pou uméote les sommets de l abe : les eties de la pemièe patie, à i 1 élémets, sevet à uméote das l ode) les sommets de la pemièe bache, de même pou les autes paties. Mais ous savos désomais calcule ceci : pou divise l esemble {1,..., } e paties de cadiaux espectifs i 1,..., i, o choisi i 1 élémets pamis, 5!

6 puis i 2 élémets pamis les i 1 estat, et aisi de suite. Le ombe echeché est ici C i 1 C i 2 i1... C i 1! i 1 +i C i i = i 1! i 2!... i 1! i! D où t i1,...,i = i k! j k! k=1 k=1 où j k désige toujous le ombe de baches de logueu k.! Exemple A l ode 4, les abes de T 4 sot les suivats : 4 3,1 2,2 2,1,1 1,1,1,1 O peut doc écie f g) 4) sous la fome : t 4 f g g 4) + t 3,1 f g g g 3) + t 2,2 f g g ) 2 +t 2,1,1 f 3) g g ) 2 g + t 1,1,1,1 f 4) g g ) 4 Et l o calcule les coefficiets gâce à la fomule établie pécédemmet : t 4 = C 4 4 = 1, t 3,1 = C 3 4 = 4, t 2,2 = C2 4 2! = 3 t 2,1,1 = C2 4 C1 2 2! = 6, t 1,1,1,1 = C1 4 C1 3 C1 2 4! O obtiet alos comme expessio de f g) 4) : f g g 4) +4f g g g 3) +3f g g ) 2 +6f 3) g g ) 2 g +f 4) g g ) 4 O peut bie sû véifie cette fomule e déivat 4 fois f g, et e utilisat les ègles classiques de déivatio. Coclusio : Ce type de fomalisme ped tout so ses losque l o s itéesse à des équatios difféetielles de la fome y = fy). L aalogie et l opéateu de déivatio su les abes e sot plus les mêmes, mais ce type de pocédés pemet ete aute de défii des solutios fomelles de l équatio, de tavaille autou de méthodes uméiques... Ces idées sot au coeu de péoccupatios modees de la echeche. 6 = 1