1ES DS commun du jeudi 5 mai MATHEMATIQUES

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1 1ES DS commun du jeudi 5 mai 011. MATHEMATIQUES NOM. Exercice 1 (8 points/40) Cet exercice est un QCM. Pour chaque question une seule réponse est exacte. On demande d entourer la bonne réponse et aucune justification n est demandée. Une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0,5 point, une absence de réponse compte 0 point, et en cas de total négatif la note de l exercice est ramenée à 0. Les questions 1), ) et 3) concernent le prix d une denrée qui augmente de 3,6 % la première année et augmente de 0 % la seconde année. 1) A l issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par : a. 0,964 b. 1,036 c. 1,360 d. 0,096 ) A l issue des deux années, ce prix a augmenté de : a. 7, % b. 4,3 % c. 16,4 % d. 3,6 % 3) Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le taux d évolution pour ces sept années aurait été, à 0,1% près, de : a. 5, % b. 8,1 % c. 3,6 % d. 7, % 4) Un prix TTC est de 19, 90 pour une TVA à 19,6 %. Le prix HT arrondi au centime est de : a. 155,36 b. 110,30 c. 108,61 5) Le prix d un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Finalement la variation est : a. une augmentation de 0,44 % b. une diminution de 1 % c. une augmentation de 1 % 6) Le prix d un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l année 005. Pour revenir à sa valeur initiale, ce prix doit baisser de : a. 70 % b. 60 % c. 40 % d. 37,5 % 7) Le prix d un article augmente d un certain pourcentage puis baisse immédiatement du même pourcentage. Finalement le prix de cet article : a. a augmenté b. a baissé c. n a pas varié d. on ne peut pas savoir 8) Pour l achat de mon baril de lessive, vaut-il mieux : a. 10% de réduction du prix? b. 10% de produit en plus? c. tout dépend du poids du baril

2 Exercice (10 points/40) f x = x 4x + 3. O ; i ; j. On considère la fonction f définie sur R par : ( ) On note P la parabole qui représente f dans un repère ( ) 1) Déterminer les cordonnées du sommet S de la parabole P. ) Dresser le tableau de variation de f. 3) Courbe de f. a) Compléter le tableau de valeurs suivant : x f x ( ) b) Représenter la parabole P dans le repère ci-dessous. 4) Soit D la droite d équation y = x 1. a) Tracer la droite D dans le même repère. b) Résoudre graphiquement l inéquation : x 4x + 3 < x 1. Expliquer la démarche. c) Résoudre algébriquement l inéquation précédente. 5) Une tangente. Déterminer une équation de la tangente T à la parabole en son point d abscisse 5, et tracer T sur le graphique.

3 Exercice 3 (10 points/40) Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 à 80 tonnes de produit chimique. Le coût de fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d euro, est donné par la fonction C définie par : C(x) = 0,01 x 3 1,05 x + 37x + 40 Chaque tonne est vendue 19 centaines d euro. 1) Calculer, en euro, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 40 tonnes. ) Exprimer en fonction de x la recette R(x) en centaine d euro. 3) Montrer que le bénéfice mensuel en centaines d euro, est donné par la fonction B définie par : B(x) = 0,01 x 3 + 1,05 x 18x 40 4) Calculer B (x), où B est la fonction dérivée de la fonction B. 5) Etudier le signe de B (x) sur [0 ; 80]. En déduire le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 80]. 6) Déduire de la question précédente, le nombre de tonnes que doit vendre l entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice en euro? Exercice 4 (1 points/40) Un directeur de zoo veut nourrir ses animaux en leur apportant des minimums journaliers de : 10 kg de protides, 90 kg de lipides et 60 kg de glucides. Deux types d'aliments tout préparés A et B lui sont proposés sur le marché. Leurs caractéristiques sont celles du tableau ci-contre. On désigne par x le nombre de sacs de type A achetés par le directeur et par y le nombre de sacs de type B. (x et y sont donc des entiers positif ou nuls) 1) Justifier que les contraintes alimentaires se traduisent par le système d'inéquations suivant : x 0 et y 0 3 x x x + 30 ) Représenter graphiquement les solutions du système précédent (on laissera non hachurée la zone représentant les solutions). 3) Respecte-t-on les contraintes en achetant : 10 sacs A et 30 sacs B? 50 sacs A et 10 sacs B? 4) Le directeur achète x sacs de type A et y de type B. Exprimer le coût C en fonction de x et y. 5) Tracer les deux droites représentant respectivement un coût de 400 et 300. sac A sac B protides 3 kg kg lipides 3 kg 1 kg glucides 1 kg kg coût ) Coût minimal. a) Expliquer comment obtenir à l aide du graphique le point M pour lequel le coût est minimal. Placer M sur le graphique. b) Calculer les coordonnées de M. c) Calculer la valeur du coût minimal.

4 CORRIGE Exercice 1 (8 points/40) Les questions 1), ) et 3) concernent le prix d une denrée qui augmente de 3,6 % la première année et augmente de 0 % la seconde année. 1) A l issue de la première année, le prix de cette denrée a été multiplié par : 1+ 3, 6% = 1+ 0, 036 = 1, 036 (réponse b) ) A l issue des deux années, le coefficient multiplicateur est 1,036 1, = 1,43 qui traduit une augmentation de 4,3% (réponse b) 3) Si cette denrée avait augmenté de 3,6 % pendant 7 ans, le coefficient multiplicateur aurait été de 7 1,036 1,81 et le taux d évolution pour ces sept années aurait été d environ : 8,1% (réponse b) 4) Un prix TTC est de 19, 90 pour une TVA à 19,6 %. Le prix HT est tel que PHT 1,196 = 19,9 19,9 d où : PHT = 108,61 (réponse c) 1,196 5) Le prix d un produit augmente de 8 %, puis diminue de 7 %. Le coefficient multiplicateur est de 1, 08 0,93 1, 0044 =. Finalement la variation est donc une augmentation de 0,44 % (réponse a) 6) Le prix d un produit dérivé du pétrole a augmenté de 60 % durant l année 005. Pour revenir à sa 1 valeur initiale, il doit être multiplié par = 0,65 qui traduit une baisse de 37,5% (réponse d) 1,6 7) Le prix d un article augmente d un certain pourcentage t puis baisse immédiatement du même 1+ t 1 t = 1 t qui est strictement pourcentage t. Finalement le prix de cet article est multiplié par ( )( ) inferieur à 1. Le prix a donc baissé. (réponse b) 8) Pour mon baril de lessive, c est le prix unitaire pu qui décide de mon choix. p pu est le quotient du prix p du baril par la quantité q de lessive soit : pu = q Si p diminue de 10%, le prix unitaire devient : 0,9 p = 0,9 pu, donc pu diminue de 10% q p Si q augmente de 10% le prix unitaire devient : 0,91pu, donc pu diminue d environ 9% 1,1q Il vaut donc mieux 10% de réduction du prix que 10% de produit en plus (réponse a)

5 Exercice (10 points/40) On considère la fonction f définie sur R par : ( ) ax + bx + c avec a 1 ; b 4 ; c 3 f x = x 4x + 3. Il s agit d un polynôme du nd degré O ; i ; j. = = =. On note P la parabole qui représente f dans un repère ( ) 1) Les coordonnées du sommet S ( b / a ; f ( b / a) ) de la parabole P sont donc ici ( ; 1) ) On a a = 1 > 0, donc le tableau de variation de f est : x + f ( x ) 3) Courbe de f. a) Complétons le tableau de valeurs suivant : x f ( x ) b) Cf. fig. 4) Soit D la droite d équation y = x 1. a) Cf. fig. b) Résolution graphique de l inéquation : x x x < 1. Les solutions sont les abscisses des points de P situés strictement en dessous de D ; on observe qu il s agit de l intervalle ] 1 ; 4 [. c) Résolution algébrique de l inéquation précédente équivalente à x x 5x + 4 < 0. Le polynôme 5x + 4 a pour discriminant = 9 et pour racines 1 et 4, et il est négatif strictement pour x ] 1 ; 4[. On retrouve donc bien le même ensemble de solutions qu au b). 5) Une tangente. La tangente T à la parabole en son point d abscisse 5 a pour équation : y = f ' x + f soit y = 1 x, et finalement : 4 13 y = x 4

6 Exercice 3 (10 points/40) Une entreprise fabrique mensuellement une quantité de 0 à 80 tonnes de produit chimique. Le coût de fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d euro, est donné par la fonction C définie par : ( ) 3 Chaque tonne est vendue 19 centaines d euro. C x = 0, 01x 1, 05x + 37x ) Calculons, pour 40 tonnes, en euro : C 40 = 0, , = 480 soit le coût de fabrication : ( ) 3 la recette : = le bénéfice : = 8000 ) Expression en fonction de x la recette R(x) en centaine d euro : R( x) = 19 3) Le bénéfice mensuel B(x) en centaines d euro, est défini par : 3 ( ) ( ) ( ) ( ) B x R x C x 19x 0, 01x 1, 05x 37x 40 soit = = + + ( ) 3 B ' x = 0, 03x +,1x 18 4) Calculons : ( ) 5) B '( ) x B x = 0, 01x + 1, 05x 18x 40 x est un polynôme du nd degré de racines 10 et 60, négatif à l extérieur de ces valeurs, et positif entre elles. On en déduit le tableau de variation de la fonction B sur [0 ; 80] : x B '( x ) B( x) ) On déduit de la question précédente que le nombre de tonnes que doit vendre l entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal est de 60. Ce bénéfice est alors de Exercice 4 (1 points40) Un directeur de zoo veut nourrir ses animaux en leur apportant des minimums journaliers de : 10 kg de protides, 90 kg de protides lipides sac A 3 kg 3 kg sac B kg 1 kg lipides et 60 kg de glucides. Deux types d'aliments tout préparés glucides 1 kg kg A et B lui sont proposés sur le marché. Leurs caractéristiques sont coût 10 5 celles du tableau ci-contre. On désigne par x le nombre de sacs de type A achetés par le directeur et par y le nombre de sacs de type B. 1) Le tableau suivant résume les contraintes : protides lipides glucides x sacs A 3x 3x x y sacs B y y y totaux 3x + y 3x + y x + y contraintes 3x + y 10 3x + y 90 x + y 60 Le système est donc : x 0 et y 0 x 0 et y 0 3 x x + y 10 3x + y 90 3x + 90 x + y 60 1 x + 30

7 ) Cf. fig. Les solutions sont représentées par les points à coordonnées entières situés dans la zone non hachurée, frontières comprises. On note les droites : d1: 3x + y = 10 ; d : 3x + y = 90 ; d 3: x + y = 60 3) En achetant : 10 sacs A et 30 sacs B, on ne respecte pas les contraintes, car le point H de coordonnées (10 ; 30) n'est pas dans la zone d'acceptabilité. 50 sacs A et 10 sacs B, on respecte les contraintes, car le point K de coordonnées (50 ; 10) est dans la zone d'acceptabilité. 4) Le directeur achète x sacs de type A et y de type B. Le coût en fonction de x et y est : C = 10x + 5y. 5) Equations des droites de coût (tracées en pointillés) : 400 :10x + 5y = :10x + 5y = ) Coût Minimal. a) La droite de coût minimal est obtenue en cherchant la parallèle aux droites précédentes, la plus basse possible, passant dans la zone non hachurée. C est celle qui passe par le point M(0 ; 30). b) Les coordonnées de M se calculent en résolvant le système des équations de d1 et d : 3 x + y = 10 y = 30 y = 30 soit S = {( 0 ; 30 )}. 3x + y = 90 3x = 60 x = 0 c) Ce coût minimum vaut : = 350.

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