Correction bac blanc

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1 Eercice Correction bac blanc t t + f () f (t) + f () f (t). a. Pour déterminer a et b, il suffit d avoir deu équations : f () + + b b + b f () + a+ b + a donc f ( ) a ² + b. f est une somme et un quotient de fonctions dérivables sur R, elle est donc dérivable sur son domaine de définition, c est à dire sur R et pour tout R on a : ( ² + ) f '( ) ² + ( ² + ) ( ² + ) ( ) ( ² ) f '( ) + f '( ) + ² t est la solution positive de l équation f '( ) donc de t + t X + X 5 X 5 et X + 5 Il reste à résoudre t + 5 t + 5 ou t 5 car t est positif Impossible car 5 < Eercice (non spécialité).a. lim ln donc lim g() lim + ln + donc lim + g() + g est une somme de fonctions dérivables sur ] ;+ [, elle est donc dérivable sur ] ;+ [ Pour tout ] ;+ [, g'( ) + g () est la somme de deu termes strictement positifs donc g () est strictement positif par conséquent, la fonction g est strictement croissante sur ] ;+ [ α + g'() + + g() b. La fonction g est continue, strictement croissante sur ] ;+ [ et appartient à l intervalle image. Par conséquent, l équation g( ) une unique solution α sur ] ;+ [. c. g est strictement croissante et s annule en α, on a donc : α + g () +

2 .a. lim ln et lim (+) donc lim f() lim f() f() la fonction f est donc continue en b. Les théorèmes générau (produit, quotient de fonctions dérivables) ne permettent pas de conclure car la fonction ln n est pas définie donc pas dérivable en,. Il faut donc utiliser la définition, c est à dire calculer lim f ( ) f() f( ) f() f( ) ln ln + + or lim ln et lim (+) donc lim f ( ) f() La fonction f n est pas dérivable en, mais sa courbe représentative a une tangente verticale en b. Posons U( ) ln V( ) + u ( ) donc u'( ) U est de la forme uv avec v ( ) ln donc v'( ) / U est donc dérivable et U'( ) ln + ln + V est dérivable et V '( ) f est de la forme U V avec U et V dérivable donc f est dérivable et f ' UV ' UV' V (ln + )( + ) ln donc pour tout ] ;+ [, f '( ) ( + ) après simplification on obtient : f '( ) ln + + g ( ), c est à dire f '( ) ( + ) ( + ) Le dénominateur étant un carré, il est toujours positif, f () a donc le signe de g() étudié en α + f'() + + f() f(α) La limite en + n était pas demandée, mais on peut la calculer en écrivant f ( ) ln + Eercice (spécialité). Un rep-unit n est pas divisible par ni par 5 car il se termine par..a. Un nombre est congru a son chiffre des unités modulo. Etudions les différents cas possibles dans les congruences modulo : n est congru à n est congru à Le tableau précédent permet d affirmer que : n () n () ou n 9 () Par conséquent n se termine par ou par 9 b. Nous avons mais 9 - () donc n () ou n 9 ()

3 n () ou n - () il eiste donc un entier m tel que : nm+ ou nm c. En élevant au carré nous obtenons : n m +m+ ou n m m+ n (5m +m)+ ou n (5m m)+ n (). 3.a. N k k k or pour tout i i est divisible par donc par et par conséquent, pour i, i () On en déduit que N k () donc que le reste de la division de N k par est b. Supposons que N k soit un carré, comme N k () alors d après la question.c. N k () ce qui est incompatible avec N k () donc k<, c'est-à-dire k N est un carré, par conséquent, seul le rep-unit est un carré Eercice 3 ( i)( i i) i( i) ( i+ ).a. C ' i i+ i+ b. E F G.a. Posons + i y où et y désignent deu nombres réels ( i)( + iy i) Z + iy Z s écrit ( + iy i i + y )( iy) Z (( ) + iy)( ( ) iy) iy + iy iy + y i + i y i + i y + y y iy + + iy Z ( ) + y Z ( ) ( ) Z + y i + y ( ) + y ( ) + y

4 b. Z est réel Im(Z) + y ( ) + y + y et ( ) + y + y et ( ; y) (;) L ensemble des points M est donc le cercle de centre et de rayon privé du point A ( ) + ( y ) c. Re(Z) négatif ou nul ( ) + y Soit Ω( ;) on obtient : ( ) + ( y ) et ( ) + y ( ) + ( y ) et ( ; y) (;) Re(Z) négatif ou nul MΩ et M A L ensemble F est donc le disque de centre Ω et de rayon d. L ensemble G est l arc du cercle E qui ne se trouve pas dans le disque F 3.a. ( ) i + cos θ Soit θ un argument de ( i) on a donc arg( i) +k k sin θ Donc i cos ( ) isin + ( ) b. ( i )( i ) R * il eiste k tel que arg ( i)( i) k + il eiste k tel que arg( i) + arg i ( ) k M B il eiste k tel que + arg k M A il eiste k tel que + ( MA,MB) k ( i)( i) R * il eiste k tel que ( MA,MB ) + k c. L'ensemble des points M vérifiant ( MA,MB ) + k, k Z est donc l ensemble des points M() tel que Z soit un réel non nul, c est donc le cercle de centre et de rayon privé des points A et B d. En utilisant le même raisonnement que dans la question 3b, on montrerait que ( i)( i) * R + il eiste k tel que ( MA,MB) + k L ensemble cherché est donc l arc de cercle trouvé en.d.

5 Eercice :. Soit le nombre complee + i, alors: 3 est imaginaire pur R X Il eiste un entier naturel n tel que n est un réel strictement négatif X Il eiste un entier naturel n tel que arg( n ) (). Soit f une fonction définie et deu fois dérivable sur R. On note C la courbe représentative de f La tangente à C au point d'abscisse a pour équation y et celle au point d'abscisse a pour équation y +, alors: f( -) f est paire X Il eiste a [-; ] tel que f'(a) X Il eiste c ]- ; [ tel que f admet un minimum local en c 3. Pour toute fonction f continue sur [ ; ], à valeurs dans R, on a : Si f() - et f() alors il eiste un unique [ ; ] tel que f() X Si f est strictement croissante sur [; ] alors pour tout y [f(); f()], il eiste un unique [; ] tel que y f() Si f est dérivable sur [ ; ] et f() et f() alors pour tout [ ; ], f'() Si f() et f() alors il eiste a [ ; ] tel que f(a) a X. Soit f la fonction définie sur R par f() e. Alors: X Pour tout R, f()f( ) X Pour tout R, f'() + f() e X Pour tout R, f() f() lim

6 Eercice 5 Partie A. lim e + et lim ( ) donc lim g () g() peut s écrire e e + or lim e et lim e donc lim g () g la fonction dérivable sur R car c est une somme et un produit de fonctions dérivables sur Pour tout réel, g () ( l) e +(l ) e e Une eponentielle étant toujours positive, g () a le signe de D où le tableau : α + g () + g() R. Sur [,;,3], g est continue (car dérivable) et strictement décroissante, de plus g(,),3 et g(,3),, ils sont de signes différents par conséquent l équation g() admet un solution unique dans [,;,3] 3. D après le tableau de variation, on a : Sur ] ; [, <g() < donc g()> Sur [ : + [, g est strictement décroissante et s annule en α donc pour tout [ ; α[, on a g()> et pour tout ] α ; + [, on a g()< On a donc le tableau de signe suivant : α + g() + Partie B. Pour tout non nul, f() peut s écrire f() + e + or nous savons que lim e + nous en déduisons que lim f() + + donc la droite d équation y est asymptote à Cf au voisinage de +.a. : f() + nous savons que lim e e + nous en déduisons que lim f().b. Calculons la différence d() f() ( + ). e e + nous savons que lim e et que lim e nous en déduisons que lim (f() ( + )) Par conséquent la droite (d) d'équation y + est une asymptote pour Cf au voisinage de Pour étudier la position de Cf par rapport à (d), il suffit d étudier le signe de d() e e + Une eponentielle étant toujours positive on en déduit que d() à le signe de d() + Position Cf au-dessus de (d) Cf au-dessous de (d) Cf coupe (d)

7 3.a La fonction f est dérivable sur R car c est une somme et un quotient de fonctions dérivables sur R ( e + ) e ( ) e + g( ) Pour tout réel, f () e + e + e + ( ) ( ) ( ) Le dénominateur étant un carré sera toujours positif, f () a le signe de g() 3.b. f(α) α + or g(α) donc ( α)e α + on obtient e α e α + α e α + α on en déduit que f(α) α + donc f(α) α+ α comme,7<α<,8 on obtient,7<f(α)<,8 tableau des variations α + f () + α+ var(f) y α