Compléments de Mathématiques générales (B) TD octobre-novembre Suggestions pour solutions

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1 Copléents de Mathéatiques générales (B TD octobre-novebre 7 - Suggestions pour solutions Eercice. Soit un signal f (on suppose que cette fonction est intégrable et de carré intégrable. On définit l autocorrélation du signal par E f (t f(f( td, t et la densité spectrale de puissance de ce signal (PSD par D f ( ˆf(, où ˆf( désigne la transforée de Fourier négative de f en. On pose f s ( f(,.. Montrer que l autocorrélation s écrit E f f f s. Montrer que l autocorrélation d une fonction à valeurs réelles est une fonction paire. 3. Montrer que sup E f (t E f ( t 4. Montrer que la densité spectrale et l autocorrélation sont liées par la transforation de Fourier. Solution. Soit t. On a directeent (f f s (t f(f s (t d f(f( td E f (t. d où la conclusion. Soit f une fonction à valeurs réelles. On a E f ( t f(f( + td f(f( + td f( tf(d via le changeent de variables t f(f( tdt E f (t 3 Soit t. Considérons la fonction f de l énoncé et la fonction g définie par g( f( t,. Il s agit de deu fonctions de L ( et on peut leur appliquer l inégalité de Cauch-Schwarz dans L. On a f, g L f L g L c est-à-dire Coe f( t L f L, on obtient f(g( td f L f( t L E f (t f L De là, on tire E f (t f( d f(f(d sup E f (t E f ( t f(f( d E f (

2 4 On sait que E f f f s. En appliquant la transforée de Fourier négative au deu ebres de cette égalité, on obtient que F E f F f F f s. Or on a On en tire que F f s e i f( d e i f(d F E f F f F f F f D f ( e i f(d F f Eercice. Si possible, déteriner le produit de coposition des fonctions f et g suivantes Solution. Soit. On a (f g( f(, g( f( g(d et cette dernière intégrale a un sens puisque (+ On a alors (f g( + ( + d + ( + d ( +, ± ( + ( + d ( + d + Calculons alors une priitive de chacune des fonctions D une part, on a directeent D autre part, coe on obtient d ( + d + ( + d + ( +, ( +. ( + d ( +. est continu et ( + + ( + + ( +, ( + d arctan(+ + ( + d ( + d ( D + d ( arctan( + + En utilisant ces priitives pour le calcul des intégrales donnant l epression de (f g(, on obtient (f g( + arctan( Eercice 3. On considère f( cos(, [, + [. Montrer que cette fonction n est pas intégrable sur l intervalle [, + [ ais qu elle adet une intégrale fléchée en +. Suggestion : On sait que la fonction (non-intégrable à l infini sin( adet une intégrale fléchée à l infini. Solution. Montrons que f n est pas intégrable sur [, + [. Si f était intégrable, par le changeent de variables π sin(, la fonction g( serait intégrable sur l intervalle [ + π π, + [. Or on a sin( π sin(, > π Coe sin( une contradiction. n est pas intégrable en +, cela entraîne que sin( π ne l est pas non plus, d où

3 Montrons que la fonction cos( adet une intégrale fléchée en +. On doit prouver que la ite r + π cos( d eiste et est finie pour toute suite de réels (r N telle que r +. Soit (r n N une telle suite et fions N. On a successiveent r π cos( d r π/ π π/ r π/ r π/ sin( + π/ d sin( d + sin( d + π r π/ r π/ ( sin( + π/ + sin( d sin( ( + π/ d On sait que la fonction sin( sin( (+π/ adet une intégrale fléchée en +. De plus, puisque la fonction est intégrable sur [π/, + [, elle adet égaleent une intégrale fléchée en +. Au total la fonction de l énoncé adet égaleent une intégrale fléchée en +. Eercice 4. Soit la fonction g( cos(,, g(. Montrer que cette fonction est continue sur, appartient à L ( ais pas à L (. En déteriner ensuite la transforée de Fourier (négative. Solution. Montrons que la fonction f n appartient pas à L. Puisque cette fonction est positive, cela revient à ontrer qu elle n adet pas d intégrale fléchée en +. Supposons le contraire. Si cos( adet une intégrale fléchée en +, puisque cos( adet aussi une intégrale fléchée en + alors leur soe, à savoir la fonction adettrait égaleent une intégrale fléchée en +. Coe on sait que ce n est pas le cas, on en conclut que cos( n adet pas d intégrale fléchée en + et n est pas intégrable sur. Montrons que f appartient à L. Elle est continue sur. En effet son epression ontre directeent qu elle est continue sur et une application du théorèe de l Hospital ontre que cos( De plus on a + 3/ f(. La fonction f appartient à L \ L. Considérons les fonctions f M ( cos χ [ M,M] (, M N. Ces fonctions appartiennent à L L et elles convergent dans L vers f. Etudions leur transforée de Fourier. Puisque f M est une fonction ipaire, on a, pour M fié, F ± ±i cos f M e χ [ M,M] ( d M ±i cos e M M d ±i sin( cos d ( M sin( M ±i d ±i ±i ( M ( M sin( sin( sin( cos d M sin ( ( + + sin ( ( d M sin ( ( + d d M d sin ( ( d. 3

4 Puisque l on sait que pour λ on a on obtient ou encore F ± f M M + F ± f M M + F + f iπχ ],[ ( + iπχ ],[ (, Eercice 5. On donne les fonctions suivantes f ( sin(λ d sign(λ π si ], [ ], + [ {} iπ si ], [ ±iπ si ], [ ±i π si i π si { e si si <, f ( F f iπχ ],[ ( iπχ ],[ ( { e si e si <, f 3 ( e (, f 4 ( + i i ( + i Déteriner la transforée de Fourier (- de f, f, f 3, en précisant s il s agit de la transforée dans L ou L. Déteriner la transforée de Fourier (+ de f 4 en spécifiant s il s agit de la transforée dans L ou L. Montrer que cette transforée est nulle sur ], [. Déteriner (si possible le produit de coposition f f ainsi que sa transforée de Fourier. Solution. [Transforée de Fourier de f :] Puisque f C ([, + [ et que + e, la fonction appartient à L ( et on a + + [ ] e F ± f e e ±i d e ( i ( i + d ( i i On a calculé la transforée de Fourier (+ car elle nous servira plus loin dans l eercice. [Transforée de Fourier de f :] La fonction f est continue sur [, + [ et on a + f (. Elle est égaleent continue sur ], [ et on a f ( ainsi que f (. Au total, la fonction f est intégrable sur et on a F f + ( e e i d + e e i d F + f + F f i + + i i + e e i d e e i d 3 [Transforée de Fourier de f 3 :] La fonction f 3 est continue sur et on a ± f 3 ( ± e La fonction f 3 est intégrable sur et on a F f 3 e i e d + + e e i d ] + e cos(d + [ e (+i + i ( ( i + i + + e (+i d 4

5 4 [Transforée de Fourier de f 4 :] La fonction +i n est pas intégrable car +i eiste et est non nulle. Elle est de carré intégrable car elle est continue sur et ± Puisque F f F f +i f 4(, le théorèe de Fourier iplique que F + f 4 F + F f πf ( πe χ [,+ [ ( pp Il est évident que cette fonction est nulle sur ], [. (+i. 5 [Produit de coposition f f :] Montrons que le produit de coposition a un sens. Soit. Il faut ontrer que la fonction f (f ( est intégrable sur. Si, cette fonction est nulle et si >,elle s écrit epliciteent f (f ( e χ [,] (. Cette fonction de est intégrable sur. On obtient aussi (f f ( e d e, > (f f (,. 6 [Transforée de Fourier de f f :] La fonction e χ [,+ [ ( est continue sur [, + [, nulle en dehors et on a + f (. Cette fonction est intégrable sur et on a F (f f F f F f ( + i Eercice 6. Soit une fonction u u(, t (, t de classe C dont les dérivées partielles jusqu à l ordre sont intégrables par rapport à sur quel que soit t. Soit aussi une constante stricteent positive v. On suppose que u vérifie l équation On pose et on définit la fonction D t u(, t v D u(, t, t, f( u(,, ˆf F f F (, t, t, de telle sorte que, pour t fié, F (, t soit la transforée de Fourier (négative en de la fonction u(, t.. Montrer que pour tout, la fonction t F (, t vérifie. Déduire du point précédent que l on a D t F (, t + v F (, t. F (, t ˆf(e v t. 3. Déduire de ce qui précède que l on a finaleent u(, t ( f + v t e d,, t. π Solution. Soit. Par définition on a F (, t e i u(, t d. Une dérivation par rapport à t sous le signe d intégration (intégrales paraétriques puis l utilisation de l hpothèse donne D t F (, t e i D t u(, td v e i Du(, t d. Cela étant, deu intégrations par parties donnent alors D t F (, t v ( i e i u(, t d v F (, t 5

6 Soit. Vu le point, la fonction t F (, t est solution de l équation différentielle linéaire à coefficients constants d ordre D t g(t + v g(t dont le polnôe caractéristique est z z + v. L unique racine de ce polnôe est v. Par conséquent, il eiste une constante C telle que F (, t Ce v t t. Coe F (, on en déduit que C F (, ˆf(, e i u(, d 3 Si t >, la gaussienne e v t vérifie e i f( d ˆf( F (, t ˆf(e v t,, t. e v t avec g( e 4v t. On obtient ainsi Or, par définition, on a v πt F g( v πtĝ( F (, t v f(ĝ( πt v πt F (f g F (, t e i u(, t d F u(, t u(, t v (f g(, πt vu les hpothèses de régularité de u et le théorèe de Fourier. Pour conclure, il suffit d eainer l epression du produit de coposition intervenant dans cette égalité. On a successiveent (f g( g(f( d v t g( v t f( + v t d ( v t v t e f( + v t d u(, t v (f g( πt π coe annoncé. Pour t c est iédiat puisque u(, f( et π f( + e d f( π e f( + v td e d f(. Eercice 7. Soit f une fonction continue sur, telle que f( soit borné sur. En supposant que l on peut peruter séries et intégrales, déontrer que f( + F π feiπ. En déduire que ( + π sin (π, Z 6

7 Solution. La fonction F ( f( + est continue sur (car elle converge uniforéent sur tout intervalle feré borné de et -périodique. Nous pouvons la développer en série trigonoétrique de Fourier dans L ([, ]. Ce développeent est donné par F F, u u avec u ( e iπ (la convergence a lieu dans L ([, ] et aussi en tout réel si la fonction f est assez régulière-voir les résultats de convergence ponctuelle des séries trigonoétriques de Fourier. Calculons les coefficients de ce développeent : pour tout, on a < F, u > F (u (d j j k+ j F π f; k f( + ke iπ d f( + ke iπ d f(e iπ d f(e iπ d on obtient bien la forule annoncée. Montrons aintenant la seconde partie de l énoncé. On applique le résultat obtenu au point précédent à la fonction f définie par ( sin(π f( (, f( π appelons alors que l on a Il s ensuit que l on a f( { π si F + χ [ π,π] sin(π si ( F + χ [ π,π] 4 F + ( χ[ π,π] χ [ π,π] et on obtient Fπ f π ( χ[ π,π] χ [ π,π] (π pour tout, grâce au théorèe de Fourier et à la régularité des fonctions. On a ( χ[ π,π] χ [ π,π] ( χ [ π,π] (χ [ π,π] ( d χ [ π,π] [ π+,π+] (d π si [, π[ π + si ] π, [ si π Dès lors, pour tout réel non entier, on a F π f si, F π f π si. f( + sin (π( + ( + (cette égalité reste en fait valable pour tout réel, sin (π ( + π Cette dernière relation est l égalité annoncée. ( + π sin (π ( Z. 7