Géométrie et Infographie. J-L.Maltret

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1 L2 Mathématiques-Informatique Géométrie et Infographie J-L.Maltret Géométrie et Infographie J-L.Maltret 2 Table des matières 1 Introduction 4 2 Transformations 2D Translations Rotations de centre O Smétries orthogonales Rotations de centre C Affinités Cisaillements Décomposition générale Projections 2D Transformations 3D Translations Rotations Quaternions

2 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Affinités Cisaillements Décomposition générale Projections 3D Quadriques Rappels : coniques Quadriques : cas tpes Quadrique générale Classification points à l infini Géométrie et Infographie J-L.Maltret 4 1 Introduction Enoncés géométriques : Vrai / Vrai en général / Faux en général / Faux Tous les plans parallèles a une droite donnée sont parallèles Trois plans divisent l espace en 8 régions Il existe une droite parallèle à 2 plans sécants 3 plans ont une droite en commun 3 plans ont un point en commun 2 plans ont seulement un point en commun

3 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 5 Si le plan P est parallèle au plan Q toutes les droites de P sont parallèles à Q. Il existe un plan parallèle à 2 droites en position quelconque. Il existe une droite perpendiculaire à 2 plans sécants 2 plans perpendiculaires à une droite sont parallèles 2 plans perpendiculaires à un plan sont parallèles La projection oblique du milieu d un segment est le milieu du segment projeté. Géométrie et Infographie J-L.Maltret 6 Si le plan P est perpendiculaire au plan Q toutes les droites de P sont perpendiculaires à Q. D et E droites en position quelconque. Il existe un plan P contenant D et parallèle à E. D et E droites en position quelconque. Il existe un plan P contenant D et perpendiculaire à E. D et E droites en position quelconque. Il existe une projection de D et E sous forme de 2 droites parallèles. Il existe une droite perpendiculaire à droites en position quelconque et parallèle à un plan donné. Il existe un plan perpendiculaire à 2 droites en position quelconque.

4 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 7 Il existe un point équidistant de 4 points non coplanaires. Il existe une droite qui rencontre 3 droites en position quelconque. Dans l espace la projection othogonale d un angle droit est un angle droit. L ensemble des points équidistants de deux droites concourantes est 2 plans perpendiculaires. La position relative de 2 droites est déterminée par leur angle et leur distance. Un quadrilatère dans l espace est déterminé par 5 distances entre ses 4 sommets. Géométrie et Infographie J-L.Maltret 8 Notations et rappels V vecteur colonne : 2D x ( ) Produit scalaire dans R 3 : V V = xx + + zz = x z Produit vectoriel dans R 3 : V V = 3D x z z z zx xz x x = V V x z = V t V (V V ) V = (V V ) V = 0 (V U) U = (V U)U (U U)V Produit scalaire et produit vectoriel sont linéaires par rapport à chaque vecteur. Si U V = 0, U U = V V = 1 alors {U, V, U V } est une base orthonormée de R 3.

5 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 9 2 Transformations 2D 2.1 Translations V = V + V 0 = T V0 V x = x + x 0 0 x 1 = 1 0 x x 1 T V0 T V1 = T V1 T V0 = T V0+V 1 T 0 = I x 1 0 x 0 V = T 1 V 0 V = x 1 T 1 V 0 = T V0 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Rotations de centre O V = R θ V x = cos θ sin θ sin θ cos θ x Propriétés C 1, C 2 vecteurs-colonnes de R θ C 1 C 1 = C 2 C 2 = 1 C 1 C 2 = 0 L 1, L 2 vecteurs-lignes de R θ L 1 L 1 = L 2 L 2 = 1 L 1 L 2 = 0 R t θ R θ = R θ R t θ = I R 1 θ = R t θ = R θ det R θ = 1 Si U = R θ U alors U V = U V V V = V V R θ R θ = R θ R θ = R θ+θ Forme complexe x + i = (cos θ + i sin θ)(x + i) = e iθ (x + i)

6 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 11 Non-commutativité T V0 R θ R θ T V0 1 0 x 0 cos θ sin θ 0 cos θ sin θ x 0 0 sin θ cos θ 0 = sin θ cos θ cos θ sin θ 0 x 0 cos θ sin θ x 0 cos θ 0 sin θ sin θ cos θ 0 0 = sin θ cos θ x 0 sin θ + 0 cos θ Géométrie et Infographie J-L.Maltret Smétries orthogonales Par rapport à Ox : x = 1 0 x 0 1 Par rapport à une droite faisant un angle θ avec Ox : cos θ sin θ 1 0 cos θ sin θ cos 2θ = sin θ cos θ 0 1 sin θ cos θ sin 2θ Produit de smétries : S θ1 = cos 2θ 1 sin 2θ 1 sin 2θ 1 cos 2θ 1 S θ2 = cos 2θ 2 sin 2θ 2 sin 2θ 2 cos 2θ 2 sin 2θ cos 2θ S θ2 S θ1 = R 2(θ2 θ 1) Par rapport à une droite faisant un angle θ avec Ox et à la distance d de O : 1 0 d sin θ cos 2θ sin 2θ 0 d sin θ d cos θ sin 2θ cos 2θ 0 d cos θ 0 0 0

7 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Rotations de centre C x 1 0 x 0 cos θ sin θ 0 x 0 x = 0 sin θ cos θ I V 0 R 1 W 1 R 0 W 3 = R 1 W 2 + W 1 : Non-commutativité R 2 W 2 I V 0 = = R W R 1R 2 W 3 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Affinités a 0 0 b = a b 2.6 Cisaillements Le long de Ox : x = 1 a x Le long de O : x = 1 0 x a 1

8 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Décomposition générale M matrice quelconque, det M 0, H = M t M H = L t L = α 0 β γ α β 0 γ R = ML 1 R t R = I L = SC = α 0 0 γ 1 β/α Si det R = 1 on écrit R = R M = RSC et det R = 1 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Projections 2D Projections orthogonales P x projection sur Ox P x = U U = 1, P U projection orthogonale sur la droite D U P U V = (V U)U = (ax + b) a = a ( a b b P U = UU t = a2 ab P U P U = P U ab b 2 a = cos θ b = sin θ P U = R θ P x R θ b ) x Si U U = U U = 1 U U = 0 alors V = P U V + P U V = (V U)U + (V U )U

9 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 17 Projections obliques Projection sur Ox parallèlement à D α : P Dα = Perspectives Sur Ox, à partir de (0, d) x = x 1 + d 1 1 tan α 0 0 = 0 P Dα P Dα = P Dα Géométrie et Infographie J-L.Maltret 18 3 Transformations 3D 3.1 Translations V = T V0 V = V + V 0 V = T 1 V 0 V x x 0 x 0 0 = z 0 z 0 z x x = z 0 z T V0 T V1 = T V1 T V0 = T V0+V 1 T 0 = I x z 1

10 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Rotations Par rapport à un axe de coordonnées : V = R x,θ V x z = cos θ sin θ 0 sin θ cos θ x z Non-commutativité : R x, π 2 R, π 2 R, π 2 R x, π 2 Forme géométrique : R U,θ rotation d angle θ autour de U R U,θ V = (cos θ)v + (1 cos θ)(u V )U + (sin θ)u V R U, θ = R U,θ Géométrie et Infographie J-L.Maltret 20 Expression matricielle a 2 + b 2 + c 2 = 1 U = a b c R U,θ = a 2 + cos θ(1 a 2 ) ab(1 cos θ) c sin θ bc(1 cos θ) + a sin θ ab(1 cos θ) + c sin θ b 2 + cos θ(1 b 2 ) ca(1 cos θ) b sin θ bc(1 cos θ) a sin θ ca(1 cos θ) + b sin θ c 2 + cos θ(1 c 2 ) Si V, V non colinéaires et V V = V V = 1 on transforme V en V par une rotation : V = R U,θ V cos θ = V V U = 1 sin θ V V

11 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 21 Propriétés C 1, C 2, C 3 vecteurs-colonnes de R U,θ, L 1, L 2, L 3 vecteurs-lignes de R U,θ C i C i = L i L i = 1, i = 1, 2, 3 C i C j = L i L j = 0, i j R t U,θ R U,θ = R U,θ R t U,θ = I R 1 U,θ = Rt U,θ = R U, θ Si U = R θ U alors U V = U V V V = V V Réciproquement Q telle que Q t Q = I, det Q = 1 alors Q = R U,θ Géométrie et Infographie J-L.Maltret Quaternions H = {(r, V ); r R, V R 3 } avec multiplication : (r, V )(r, V ) = (rr V V, rv + r V + V V ) Base I = J = K = i = (0, I) j = (0, J) k = (0, K) e = (1, 0) eq = qe = q i 2 = j 2 = k 2 = e ij = ji = k jk = kj = i ki = ik = j Conjugué et Norme q = (r, V ) q = (r, V ) q q = (r 2 + V V, 0) N(q) = r 2 + V V N(qq ) = N(q q) = N(q )N(q) S = {q; N(q) = 1} est un groupe

12 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 23 Automorphisme s = (cos θ, sin θu) S f s (q) = sqs 1 q = (r, V ) f s (q) = (r, (cos 2θ)V + (1 cos 2θ)(U V )U + (sin 2θ)U V ) f s (q) = (r, V ) V = R U,2θ V Applications R U1,θ 1 q 1 = (cos θ 1 2, sin θ 1 2 U 1) R U2,θ 2 q 2 = (cos θ 2 2, sin θ 2 2 U 2) R U3,θ 3 = R U2,θ 2 R U1,θ 1 q 3 = q 2 q 1 = (cos θ 3 2, sin θ 3 2 U 3) Géométrie et Infographie J-L.Maltret Affinités a b c = a b c 3.5 Cisaillements Parallèlement à xo : 1 0 a 1 0 a b = b 0

13 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Décomposition générale M matrice quelconque, det M 0, H = M t M H = L t L = a 0 0 b c 0 d e f a b d 0 c e 0 0 f R = ML 1 R t R = I L = SC = a c f 1 b/a d/a e/c 0 M = RSC Géométrie et Infographie J-L.Maltret Projections 3D Projections orthogonales P x projection sur Ox P x = U U = 1, P U projection orthogonale sur la droite D U a a P U V = (V U)U = (ax + b + cz) b = ( b c c a 2 ab ac P U = UU t = ab b 2 bc P U P U = P U ac bc c 2 a b c ) x z I P U projection sur le plan orthogonal à U U U = U U = 1 U U = 0 P U + P U projection sur le plan engendré par U et U

14 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 27 Perspectives Sur xo à partir de (0, 0, d) x = x 1 + z d = 1 + z d z = 0 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 28 4 Quadriques 4.1 Rappels : coniques ( x ( ) a b d x 1 b c e d e f ) a b x ( + 2 b c x 1 d e = 0 ) x + f = 0 Centre x = x + x 0 0 a b b c x 0 0 = d e Solution unique si M = a b b est inversible. c

15 Géométrie et Infographie J-L.Maltret 29 λ 1, λ 2 valeurs propres de M λ 1, λ 2 de même signe : centre, pas de points à l infini, ellipse λ 1, λ 2 de signes opposés : centre, points à l infini, hperbole λ 1 0, λ 2 = 0 : pas de centre, point à l infini, parabole Cas dégénéré : 2 droites. Géométrie et Infographie J-L.Maltret Quadriques : cas tpes ax 2 + b 2 + cz 2 = 1 a, b, c positifs : ellipsoïde a, b positifs, c négatif : hperboloïde à 1 nappe a positif, b, c négatifs : hperboloïde à 2 nappes ax 2 + b 2 + z = 0 a, b de même signe : paraboloïde elliptique a, b de signes opposés : paraboloïde hperbolique ax 2 + b 2 = 1 a, b de même signe : clindre elliptique a, b de signes opposés : clindre hperbolique ax 2 + b = 0 clindre parabolique ax 2 + b 2 + cz 2 = 0 a, b, c non tous de même signe : cône elliptique

16 Géométrie et Infographie J-L.Maltret Quadrique générale ( V t 1 ) M U U t k V 1 = 0 V t MV + 2U t V + k = 0 Centre V = V + V 0 MV 0 = U Solution unique si M est inversible. Géométrie et Infographie J-L.Maltret Classification points à l infini λ 1, λ 2, λ 3 valeurs propres de M λ 1, λ 2, λ 3 de même signe : centre, pas de points à l infini, ellipsoïde λ 1, λ 2, λ 3 de signes différents : centre, points à l infini, hperboloïdes λ 1, λ 2 0, λ 3 = 0 : pas de centre, points à l infini, paraboloïdes Cas dégénérés : clindres, 2 plans.