Test de validité et d'hypothèse

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1 Test de validité et d'hypothèse 1 Vocabulaire Problème: Il s'agit à partir de l'étude d'u ou plusieurs échatillos de predre des décisios cocerat l'esemble de la populatio. O est alors ameé à émettre des hypothèses cocerat la populatio qui peuvet s'avérer vraies ou fausses. Ces hypothèses sot faites pour être soit cofirmées soit rejetées. O défiit alors deux types d'hypothèses: H 0 : hypothèse ulle, appelée hypothèse à rejeter H 1 : hypothèse alterative (e gééral à H 0 ), toute hypothèse qui diffère d'ue autre. Quel que soit le test mis e place, il va y avoir types d'erreurs: Erreur de 1 ère espèce: O rejette ue hypothèse qui est vraie Erreur de ème espèce: O accepte ue hypothèse fausse. Le but du chapitre va être de préciser les probabilités de faire ces erreurs et d'e dimiuer les risques. Le problème est que dès que l'o dimiue le risque sur l'ue des erreurs, o augmete celui sur l'autre. Tests relatifs la distributio ormale.1 Tests relatif à ue moyee La populatio totale est défiie par ses caractéristiques: Effectif : N ; Moyee m; Ecart-type. U échatillo est défii par so effectif ; sa moyee x ; so écart-type '. Le théorème de la limite cetrale permet de dire que la distributio d'échatilloage suit la loi ormale N (M, ). Test bilatéral O veut tester si la moyee m est égale à ue valeur doée (orme). O va doc cosidérer l'hypothése H 0 : " m = " Si la moyee de la populatio est égale à alors le théorème de la limite cetrale permet de dire que la distributio d'échatilloage des moyees X suit la loi ormale N (, ). oc si ous fixos u seuil ous commeços par chercher t tel que Prob( t T t ) = 1- Ex : u seuil de 5% la valeur de t est de 1,96 car Prob(-1,96 T 1,96) = 0,95. u seuil de 1% la valeur de t est de,58 car Prob(-,58 T,58) = 0,99. Nous avos vu au chapitre précédet que, avat de prélever u échatillo de taille : Il y a 95% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle [-1,96 ; + 1,96 ]. Il y a 99% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle [-,58 ; +,58 ]. Nous prélevos alors u échatillo. Si le résultat de sa statistique est à l'extérieur de l'itervalle, ous cocluros que cet évéemet e peut se réaliser qu'avec ue probabilité de si l'hypothèse est exacte. Nous sommes eclis à affirmer que l'hypothèse est fausse au seuil (ou iveau de sigificatio, avec u risque d'erreur de première espèce. L'esemble des résultats situés à l'extérieur du domaie costitue la régio critique. Par cotre, si le résultat de la statistique de l'échatillo est à l'itérieur de l'itervalle, ous cocluros que l'évéemet peut se réaliser avec ue probabilité de 1-, si l'hypothèse est exacte. Nous pouvos alors affirmer que l'hypothèse est vraie au seuil, avec u risque d'erreur de deuxième espèce.

2 'où l'éocé d'ue règle de décisio au seuil. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est das l'itervalle, o accepte l'hypothèse. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est hors de l'itervalle, o refuse l'hypothèse. Tableau des seuils courats: 10% 5% 1% 0,5% 0,% 1 90% 95% 99% 99,5% 99,8% t 1,645 1,96,58,81 3, t t Test uilatéral O veut tester si la moyee m est différete d'ue valeur doée (orme). O va ecore cosidérer l'hypothése H 0 : " m = " mais o va avoir deux types de tests : Type 1 : O pese que la moyee est iférieure à. L'hypothèse alterative est H 1 : " m ". oc si ous fixos u seuil ous commeços par chercher t tel que Prob( t T ) = 1- Ex : u seuil de 5% la valeur de t est de 1,645 car Prob(-1,645 T ) = 0,95. u seuil de 1% la valeur de t est de,33 car Prob(-,33 T ) = 0,99. U calcul idetique à celui effectué pour le test bilatéral ous permet d'affirmer que, avat de prélever u échatillo de taille : Il y a 95% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle [-1,645 ; + [ Il y a 99% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle [-,33 ; + [. -t 'où l'éocé d'ue règle de décisio au seuil. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est das l'itervalle, o accepte l'hypothèse H 0 et ous affirmos que la moyee 'est pas iférieure à au seuil. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est hors de l'itervalle, o refuse l'hypothèse H 0 et l'o accepte l'hypothèse H 1. Nous affirmos alors que la moyee est iférieure à au seuil. Type : O pese que la moyee est supérieure à. L'hypothèse alterative est H 1 : " m ".

3 oc si ous fixos u seuil ous commeços par chercher t tel que Prob( T t ) = 1- Ex : u seuil de 5% la valeur de t est de 1,645 car Prob( T 1,645 ) = 0,95. u seuil de 1% la valeur de t est de,33 car Prob( T,33 ) = 0,99. U calcul idetique à celui effectué pour le test bilatéral ous permet d'affirmer que, avat de prélever u échatillo de taille : Il y a 95% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle ] - ; +1,645 ]. Il y a 99% de chaces que sa moyee soit das l'itervalle ] - ; +,33 ]. t 'où l'éocé d'ue règle de décisio au seuil. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est das l'itervalle, o accepte l'hypothèse H 0 et ous affirmos que la moyee 'est pas supérieure à au seuil. Si le résultat de la statistique de l'échatillo est hors de l'itervalle, o refuse l'hypothèse H 0 et l'o accepte l'hypothèse H 1. Nous affirmos alors que la moyee est supérieure à au seuil. Tableau des seuils courats: 10% 5% 1% 0,5% 0,% 1 90% 95% 99% 99,5% 99,8% t 1,8 1,645,33,58,88.3 Tests relatifs à ue fréquece Test bilatéral O veut tester l'hypothèse H 0 " p = " (la fréquece de la populatio est égale à ). O accepte H 0 au iveau si pour l'échatillo doé sa fréquece f appartiet à l'itervalle [ - t ; + t ] Test uilatéraux Type 1 : O pese que la fréquece est iférieure à. L'hypothèse alterative est H 1 : " p ". O accepte H 0 au iveau si pour l'échatillo doé sa fréquece f appartiet à l'itervalle [ - t ; + [. as le cas cotraire ous affirmos que la fréquece est iférieure à au seuil. Type : O pese que la fréquece est spuérieure à. L'hypothèse alterative est H 1 : " p ". O accepte H 0 au iveau si pour l'échatillo doé sa fréquece f appartiet à l'itervalle

4 ] - ; + t ]. as le cas cotraire ous affirmos que la fréquece est iférieure à au seuil..4 Carte de cotrôle as le cotrôle das le temps de l'évolutio d'ue populatio, o peut être ameé à suivre l'évolutio des échatillos. Il peut alors être utile d'établir u graphique. Puisque la loi d'échatilloage des moyees suit la loi ormale N (M, Prob M x M + 0,95 ) o sait que Gs Prob M 3 x M + 3 > 0,99 Si o prélève régulièremet des échatillos: Tat que x est compris etre M et M + o cosidère que l'évolutio est satisfaisate. as la zoe itermédiaire, o procède immédiatemet à ue ouvelle prise d'échatillos pour vérifier. as la zoe extere, il faut procéder à ue correctio ou à u réglage s'il s'agit d'ue machie. L'esemble des résultats est cosigé sur ue fiche appelée carte de cotrôle. zoe critique M +3 M + zoe de surveillace M Zoe d'acceptatio ou de o décisio M M 3 zoe de surveillace zoe critique

5 3 Comparaiso de deux Echatillos O dispose de deux échatillos et, caractérisés par : Leurs effectifs respectifs et ; leurs moyees respectives x et x ; leurs écart-types respectif ' et '. O igore s'ils sot tirés de la même populatio. O va estimer l'écart-type de la populatio P associée à par = 1 ' et l'écart-type de la populatio P associée à par = 1 '. O va se placer das le cas où la v.a.r. X associée à la distributio d'échatilloage de la populatio P suit ue loi ormale N (M, ) et la loi d'échatilloage de la populatio P suit la loi ormale N (M, ). O cosidère alors la variable aléatoire = X X qui associe à tout échatillo prélevé das la populatio P et à tout échatillo prélevé das la populatio P, la différece des moyees des deux échatillos. O suppose que X et X sot idépedates, alors = X X suit ue loi ormale et : E( ) = E( X X ) = E( X ) E( X ) = x x V ( ) = V ( X X) = V ( X) + V ( X) = + doc M M = + M M Costructio du test: H 0 : m = m H 1 : m m O va alors tester l'hypothèse : La moyee est la même pour les deux fourisseurs. Sous l'hypothèse H 0, suit la loi ormale N (0; ) doc suit la loi ormale N (0; 1) u seuil de 5% par exemple, Prob t t = 0, 95 pour t = 1,96 ou Prob ( t. t. ) = 0,95 pour t = 1,96. 0,05 0,95 0,05 t. t. Il e reste plus qu'à éocer otre règle de décisio.