On définit la loxodromie comme étant la courbe à la surface terrestre qui coupe les méridiens à angle constant.

Transcription

1 LA LOXODROMIE

2 On définit la loxodromie comme étant la courbe à la surface terrestre qui coupe les méridiens à angle constant. Cette courbe présente la particularité d être une droite sur une carte marine. Le gros avantage est la simplicité à tracer une route vraie sur ce type de carte contrairement à l orthodromie où l angle formé entre la route et le méridien varie tout le temps à l exception d une route sur le méridien ou sur l équateur. Sur les petites distances la route loxodromique fait à peu près la même longueur que l orthodromie en revanche sur les grandes, l écart peut devenir significatif comme on le verra plus tard. Dans cet article nous allons chercher à calculer le cap de la route loxodromique et la distance en miles à partir des coordonnées latitude (φ) et longitude (ϴ) du point de départ et du point d arrivée.

3 Il existe plusieurs méthodes pour y arriver. Nous utiliserons une approche graphique pour commencer: On fera une première simplification en considérant la terre comme une sphère parfaite de rayon R=1. M Rv N P Soient M et N, points rapprochés sur la route Rv qui relie le point A au point B. M se trouve à la latitude φ et N se trouve à la latitude φ + dφ. dθ est l écart de longitude entre M et N. O φ M φ + dφ Δθ P On a: OM = OM cosφ (1) Δϴ / M P = R / OM d où M P = Δϴ OM / R Avec (1) M P = MP = Δϴ OM cosφ / R Or OM = R = 1 Donc MP = Δϴ cosφ ()

4 On constate donc que l écart de longitude entre les points M et P varie en fonction du cosinus de la latitude ce qu on pouvait intuiter en regardant la figure. Donc MP = Δϴ cosφ et NP = dφ Or MP / NP = tg Rv donc Δϴ cosφ / dφ = tg Rv d où Δϴ = dφ / cosφ tg Rv Il nous reste à sommer de A à B θ B θ A = B dφ cosφ A tg Rv (3) Un grand moment de solitude! Heureusement nous avons le livre «Formules et Tables de Mathématiques» de la série Schaum qui nous enseigne la chose suivante page 58 / 14.15: du cos u = ln ( 1 cos u + tg u) = ln tg (u + π 4 ) (4) Rappelons par ailleurs que af u du = a f u du avec a comme constante. Donc d après (4) notre relation (3) devient θ B θ A = tg Rv ( ln tg ( φ B + π 4 ) - ln tg (φ A + π 4 ) ) D où tg Rv = θ B θ A ln tg ( φ B + π 4 ) ln tg (φ A + π 4 )

5 Quant à la distance on a: Rv Rv B Δφ A AB = D = Δφ / cos Rv En synthèse la loxodromie s exprime par: D = R x Δφ / cos Rv (5) pour la distance entre points de coordonnées φ A θ A et φ B θ B et pour une sphère de rayon R. Connaissant les coordonnées des points (départ et arrivée) la route s exprime par: Rv = Arctg [ θ B θ A ln tg ( φ B + π ) ln tg 4 (φ A + π ) ] (6) 4

6 Quelques singularités des équations (5) et (6): 1) Lorsque ϴ B = ϴ A c est-à-dire lorsqu on chemine le long d un méridien Rv = 0 par conséquent on ne connait pas le sens, il faut donc y introduire un test sur la latitude. Si φ A > φ B alors Rv = 180 et 0 dans le cas contraire. ) Le dénominateur peut prendre la valeur 0 dans le cas où φ A = φ B ce qui est fort gênant pour notre équation, il faut donc y introduire un test sur la longitude. Si ϴ A > ϴ B alors Rv = 90 et 70 dans le cas contraire. 3) L équation de distance fait apparaitre un cosinus au dénominateur par conséquent l équation est indéfinie pour Rv = Pi/ (90 degrés) ou Rv = Pi x 3/ (70 degrés) c est-à-dire quand on chemine le long d un parallèle. Il suffit alors de calculer l arc compris entre ϴ A et ϴ B sur le parallèle.

7 Comparaison de l orthodromie et de la loxodromie Sur les faibles distances Prenons points A (lat 47 9 N / long 3 4 W) et B ( lat 47 5 N / long 36 W) La distance orthodromique est de 19,4 miles. La distance loxodromique calculée est de 19,4 miles et la route vraie est 10. Dans les mêmes conditions MaxSea donne une distance de 19,4 miles et une route de 10 La distance orthodromique est donc égale à la distance loxodromique, ce qui n a rien d étonnant compte tenu que sur une distance aussi faible, la surface terrestre est assimilable à un plan, l effet sphérique de la terre ne se fait pas sentir. Sur les grands distances Prenons nouveaux points A (lat N / long 48 W) et B (lat N / long W) Dans ce cas la distance orthodromique est de 3478,3 miles La distance loxodromique est de 353 miles et le cap est 36. Soit un écart par rapport à l ortho de 44,7 miles ou 1,3 %. On voit donc que l écart sur un trajet France Antilles, est assez faible sachant que dans la réalité c est ni l ortho qui sera suivie ni la loxo mais plutôt la route où le vent veut bien nous emmener.