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1 COURS DE MATHEMATIQUES Fichier.pdf du cours en vidéo du même nom Les équations du second degré Factorisation Ce cours porte exclusivement sur la notion de factorisation relative aux équations du second degré. 1 L idée générale Une équation du second degré à une inconnue x est une équation de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a R, b R et c R. 2 La théorie 2.1 La factorisation Soit l équation du second degré ax 2 + bx + c = 0, où a R, b R et c R. Cette équation est factorisable lorsque son discriminant vérifie : 0. Soient alors x 1 et x 2 les racines de l équation. La factorisation de l équation s écrit (x x 1 )(x x 2 ) = 0. 1

2 3 Attention! Il est inutile d entreprendre la factorisation d une équation du second degré avant de vérifier que cette équation a au moins une racine réelle. Pour cette raison, il s avère essentiel de calculer son discriminant pour en connaître le signe. 2

3 4 Exercices pratiques 4.1 Exercice 1 Factoriser l équation du second degré (7x 2) 2 = 4. Avant de factoriser l équation, il faut s interroger sur d éventuelles simplifications de l équation considérée. Ici, l expression ne peut pas a priori être simplifiée. L observation de cette expression permet de reconnaître une identité remarquable, en effet : (7x 2) 2 = 4 (7x 2) 2 4 = 0 (7x 2) = 0 On applique alors la formule correspondante, pour obtenir : (7x 2 + 2)(7x 2 2) = 0 7x(7x 4) = 0 x(7x 4) = 0 La factorisation de l équation du second degré (7x 2) 2 x(7x 4) = 0. = 4 s écrit donc 3

4 5 Exercices pratiques 5.1 Exercice 2 Factoriser l équation du second degré (5 x) 2 (2x 4) 2 = 0. Avant de factoriser l équation, il faut s interroger sur d éventuelles simplifications de l équation considérée. Ici, l expression ne peut pas a priori être simplifiée. L observation de cette expression permet de reconnaître une identité remarquable, mais cette fois, on va développer l expression afin de l écrire sous la forme ax 2 + bx + c = 0, où a R, b R et c R. (5 x) 2 (2x 4) 2 = x + x 2 (4x 2 16x + 16) = x + x 2 4x x 16 = 0 3x 2 + 6x + 9 = 0 x 2 2x 3 = 0 Il s agit alors de calculer le discriminant de cette équation du second degré. = b 2 4ac = ( 2) ( 3) = = 16 Le discriminant vérifie > 0, donc l équation considérée est factorisable. Deux méthodes sont alors possibles : calculer les racines x 1 et x 2 de l équation à partir du discriminant, pour ensuite écrire la factorisation (x x 1 )(x x 2 ) = 0 ; 4

5 chercher une racine évidente α de l équation, pour ensuite mettre (x α) en facteur et calculer le second terme de la factorisation. Pour des raisons pédagogiques, on privilégie ici la seconde méthode. On constate que le réel 1 est une racine évidente de l équation. Par conséquent, la factorisation revient à mettre (x + 1) en facteur. x 2 2x 3 = 0 (x + 1)(ax + b) = 0 x 2 2x 3 = 0 ax 2 + (a + b)x + b = 0 Les réels a et b sont obtenus directement par identification : a = 1 et b = 3. La factorisation de l équation du second degré, (5 x) 2 (2x 4) 2 = 0 s écrit donc (x + 1)(x 3) = 0. 5

6 5.2 Exercice 3 Factoriser l équation du second degré 2x 2 x 1 = 0. Avant de factoriser l équation, il faut s interroger sur d éventuelles simplifications de l équation considérée. Ici, l expression ne peut pas être simplifiée. Il s agit alors de calculer le discriminant de cette équation du second degré. = b 2 4ac = ( 1) ( 1) = = 9 Le discriminant vérifie > 0, donc l équation considérée est factorisable. Deux méthodes sont alors possibles : calculer les racines x 1 et x 2 de l équation à partir du discriminant, pour ensuite écrire la factorisation (x x 1 )(x x 2 ) = 0 ; chercher une racine évidente α de l équation, pour ensuite mettre (x α) en facteur et calculer le second terme de la factorisation. Pour des raisons pédagogiques, on privilégie ici la seconde méthode. On constate que le réel 1 est une racine évidente de l équation. Par conséquent, la factorisation revient à mettre (x 1) en facteur. 2x 2 x 1 = 0 (x 1)(ax + b) = 0 2x 2 x 1 = 0 ax 2 + ( a + b)x b = 0 Les réels a et b sont obtenus directement par identification : a = 2 et b = 1. La factorisation de l équation du second degré 2x 2 x 1 = 0 s écrit donc (x 1)(2x + 1) = 0. 6

7 5.3 Exercice 4 Factoriser l équation du second degré 3(x + 2) 2 2x 2 9x 10 = 0. Avant de factoriser l équation, il faut s interroger sur d éventuelles simplifications de l équation considérée. Ici, l expression ne peut pas a priori être simplifiée, mais nécessite en revanche d être développée afin d obtenir une expression de la forme ax 2 + bx + c = 0, où a R, b R et c R. 3(x + 2) 2 2x 2 9x 10 = 0 3(x 2 + 4x + 4) 2x 2 9x 10 = 0 3x x x 2 9x 10 = 0 3x 2 2x x 9x = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 Il s agit alors de calculer le discriminant de cette équation du second degré. = b 2 4ac = = 9 8 = 1 Le discriminant vérifie > 0, donc l équation considérée est factorisable. Deux méthodes sont alors possibles : calculer les racines x 1 et x 2 de l équation à partir du discriminant, pour ensuite écrire la factorisation (x x 1 )(x x 2 ) = 0 ; chercher une racine évidente α de l équation, pour ensuite mettre (x α) en facteur et calculer le second terme de la factorisation. Pour des raisons pédagogiques, on privilégie ici la seconde méthode. 7

8 On constate que le réel 1 est une racine évidente de l équation. Par conséquent, la factorisation revient à mettre (x + 1) en facteur. x 2 + 3x + 2 = 0 (x + 1)(ax + b) = 0 x 2 + 3x + 2 = 0 ax 2 + (a + b)x + b = 0 Les réels a et b sont obtenus directement par identification : a = 1 et b = 2. La factorisation de l équation du second degré x 2 + 3x + 2 = 0 s écrit donc (x + 1)(x + 2) = 0. 8

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