Les polynômes du second degré
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- Flore Joseph
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1 Les polynômes du second degré exercices corrigés 12 septembre 2013 Les polynômes du second degré
2 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Les polynômes du second degré
3 Exercice 1 Les polynômes du second degré
4 Enoncé Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Les polynômes du second degré
5 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2
6 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2
7 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(
8 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1)
9 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x
10 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x + 4
11 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x )
12 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2
13 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5)
14 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5) d où P 1 (x) = 2(x + 2) 2 10
15 Mettre sous forme canonique P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 Réponse on a P 1 (x) = 2x 2 + 8x 2 donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x 1) donc P 1 (x) = 2(x 2 + 4x ) donc P 1 (x) = 2((x + 2) 2 5) d où P 1 (x) = 2(x + 2) 2 10 Commentaire Le minimum de la fonction P 1 vaut 10 atteint en 2.
16 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1
17 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1
18 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x
19 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x + 9 4
20 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x
21 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 ) 2 2
22 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 )
23 Mettre sous forme canonique P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 Réponse on a P 2 (x) = x 2 + 3x + 1 donc P 2 (x) = x 2 + 3x d où P 2 (x) = ( x + 3 ) Commentaire Le maximum de la fonction P 2 vaut 5 4 atteint en 3 2.
24 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5
25 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5
26 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (
27 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5)
28 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x
29 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x + 1
30 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x )
31 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2
32 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6)
33 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6) d où P 3 (x) = (x 1) 2 + 6
34 Mettre sous forme canonique P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 Réponse on a P 3 (x) = x 2 + 2x + 5 donc P 3 (x) = (x 2 2x 5) donc P 3 (x) = (x 2 2x ) donc P 3 (x) = ((x 1) 2 6) d où P 3 (x) = (x 1) Commentaire Le maximum de la fonction P 3 vaut 6 atteint en 1.
35 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4
36 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4
37 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 ( donc P 4 (x) = 3
38 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3
39 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x
40 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x
41 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc ( P 4 (x) = 3 x x 4 ) 3 donc ( P 4 (x) = 3 x x ) 3
42 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 donc P 4 (x) = 3 ( ( x + 1 ) 2 6 )
43 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) )
44 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) ) ( d où P 4 (x) = 3 x + 1 )
45 Mettre sous forme canonique P 4 (x) = 3x 2 + x 4 Réponse on a P 4 (x) = 3x 2 + x 4 donc P 4 (x) = 3 ( x x 4 3 ( donc P 4 (x) = 3 x x ) 3 ) donc P 4 (x) = 3 ( ( x ) ) ( d où P 4 (x) = 3 x + 1 ) Commentaire Le minimum de la fonction P 4 vaut atteint en 1 6.
46 Exercice 2 Les polynômes du second degré
47 Enoncé Résoudre chacune des équations (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0 (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0 (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Les polynômes du second degré
48 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0.
49 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0
50 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0
51 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0 donc (E 1 ) (x 3) 2 =0
52 Enoncé Résoudre (E 1 ) 2x 2 12x + 18 = 0. Factorisation on a (E 1 ) 2x 2 12x + 18 =0 donc (E 1 ) x 2 6x + 9 =0 donc (E 1 ) (x 3) 2 =0 Résolution de l équation Cette équation admet une solution double : S = {3}
53 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0
54 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1)
55 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24
56 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23
57 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle.
58 Enoncé Résoudre (E 2 ) x 2 x + 6 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 24 = 23 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle. Résolution de l équation Il n y a pas de solution réelle à cette équation.
59 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0.
60 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1)
61 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) =
62 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28
63 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2
64 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont x 1 = et x 2 =
65 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont donc x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 =
66 Enoncé Résoudre (E 3 ) 3x 2 + 4x 1 = 0. Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 28 d où = (2 7) 2 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont donc x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Résolution de l équation { 2 7 Cette équation admet une solution double : S = ; 2 + } 7 3 3
67 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0
68 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1)
69 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8
70 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7
71 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle.
72 Enoncé Résoudre (E 4 ) 2x 2 x + 1 = 0 Calcul du discriminant on a = ( 1) = 1 8 = 7 Racines du polynôme Le discriminant est strictement négatif, donc le polynôme n admet pas de racine réelle. Résolution de l équation Il n y a pas de solution réelle à cette équation.
73 Exercice 3 Les polynômes du second degré
74 Enoncé On considère la fonction trinôme f : x 2x 2 + 4x 1 définie sur R. 1 Déterminer la forme factorisée de f. 2 Déterminer la forme canonique de f. 3 Tracer la courbe P représentative de f dans un repère (O; #» ı, #» j ). Les polynômes du second degré
75 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré
76 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) Les polynômes du second degré
77 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = Les polynômes du second degré
78 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 Les polynômes du second degré
79 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Les polynômes du second degré
80 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont x 1 = et x 2 = Les polynômes du second degré
81 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont après simplification, x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Les polynômes du second degré
82 Forme factorisée Cherchons les racines du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Calcul du discriminant on a = ( 1) = = 24 ( d où = 2 ) 2 6 Racines du polynôme Le polynôme admet donc deux solutions réelles distinctes qui sont après simplification, x 1 = x 1 = et x 2 = et x 2 = Conclusion on peut affirmer que f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) Les polynômes du second degré
83 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré
84 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré
85 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 ) 2 Les polynômes du second degré
86 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 ) 2 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x ) 2 Les polynômes du second degré
87 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) ) Les polynômes du second degré
88 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) d où f (x) = 2(x + 1) 2 3 ) Les polynômes du second degré
89 Forme canonique Cherchons la forme canonique du polynôme du second degré f (x) = 2x 2 + 4x 1 Réponse on a f (x) = 2x 2 + 4x 1 ( donc f (x) = 2 x 2 + 2x 1 2 donc f (x) = 2 donc f (x) = 2 ) ( x 2 + 2x ) ( (x + 1) d où f (x) = 2(x + 1) 2 3 ) Conclusion Le minimum de la fonction f vaut 3 atteint en 1. Les polynômes du second degré
90 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 Les polynômes du second degré
91 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y 5 4 la fonction f est un polynôme du second degré O 1 2 x Les polynômes du second degré
92 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x Les polynômes du second degré
93 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole 2 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut O 1 2 x Les polynômes du second degré
94 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole 2 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut O 1 2 x Les polynômes du second degré
95 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = Les polynômes du second degré
96 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 2 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = 1 donc, la courbe coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée Les polynômes du second degré
97 Représentation graphique Forme développée on sait que : f (x) = 2x 2 + 4x 1 y la fonction f est un polynôme du second degré donc, sa courbe représentative est une parabole O 1 2 x 1 2 le cœfficient du monône de plus haut degré est positif, car il vaut 2 donc, la parabole est tournée vers le haut f (0) = 1 donc, la courbe coupe l axe des ordonnées au point d ordonnée Les polynômes du second degré
98 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x Les polynômes du second degré
99 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y pour tout réel x, f (x) O 1 2 x Les polynômes du second degré
100 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut O 1 2 x Les polynômes du second degré
101 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = Les polynômes du second degré
102 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = 3 donc, le minimun est atteint en Les polynômes du second degré
103 Représentation graphique Forme canonique on sait que : f (x) = 2(x + 1) 2 3 y O 1 2 x 1 pour tout réel x, f (x) 3 donc, le minimum de la fonction vaut 3 f ( 1) = 3 donc, le minimun est atteint en Les polynômes du second degré
104 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x Les polynômes du second degré
105 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions O 1 2 x Les polynômes du second degré
106 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x O 1 2 x Les polynômes du second degré
107 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x O 1 2 x 1 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré
108 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x 1 l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x 2 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré
109 Représentation graphique Forme factorisée on sait que : f (x) = 2(x x 1 )(x x 2 ) y O 1 2 x 1 l équation f (x) = 0 admet deux solutions 0 a donc deux antécédents qui sont x 1 et x 2 la courbe coupe l axe des abscisses aux points d abscisse x 1 et x Les polynômes du second degré
110 Enoncé 4 La courbe C tracée ci-contre représente une fonction g : x ax 2 + bx + c (où a,b et c sont trois réels que l on déterminera graphiquement). (a) Lire graphiquement les coordonnées des points d intersection de C avec les axes de coordonnées. (b) En déduire la forme factorisée de g, puis que g(x) = 1 2 x x + 2 (c) Déterminer les coordonnées des points d intersection des courbes P et C. y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré
111 Informations recueillis sur un graphique Les polynômes du second degré
112 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré
113 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 y 5 C O 1 2 x Les polynômes du second degré
114 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx O 1 2 x Les polynômes du second degré
115 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y 5 4 C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et O 1 2 x Les polynômes du second degré
116 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x Les polynômes du second degré
117 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 Les polynômes du second degré
118 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 on trouve donc a = 1 2 Les polynômes du second degré
119 Informations recueillis sur un graphique On sait que la courbe représentative ci-dessous est une parabole. y C La courbe C coupe l axe des ordonnées en 2 la forme développée de g est donc g(x) = ax 2 + bx + 2 La courbe C coupe l axe des abscisses en 4 et 1 la forme factorisée de g est donc g(x) = a(x + 4)(x + 1) O 1 2 x 1 je développe la forme factorisée et j identifie avec la forme développée on a g(x) = ax 2 + 5ax + 4a 2 3 on trouve donc a = 1 2 et g(x) = 1 2 x x + 2 Les polynômes du second degré
120 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C Les polynômes du second degré
121 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) Les polynômes du second degré
122 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 Les polynômes du second degré
123 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 Les polynômes du second degré
124 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 Les polynômes du second degré
125 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 Les polynômes du second degré
126 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 Les polynômes du second degré
127 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 car 1 est une racine évidente Les polynômes du second degré
128 Résolution d une équation du second degré Cherchons les coordonnées des points d intersection des courbes P et C je résous f (x) = g(x) (E) (E) 2x 2 + 4x 1 = 1 2 x x + 2 (E) 4x 2 + 8x 2 = x 2 + 5x + 4 (E) 3x 2 + 3x 6 = 0 (E) x 2 + x 2 = 0 (E) (x 1)(x + 2) = 0 car 1 est une racine évidente conclusion les courbes P et C se coupent aux points d abscisses 2 et 1 Les polynômes du second degré
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