Mathématiques Secondes

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1 Mathématiques Secondes

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3 Table des matières 0 Algorithmique 5 1 Repérage 9 2 Équations et Inéquations du premier degré 13 3 Géométrie dans l espace 17 4 Généralités sur les fonctions 19 5 Statistiques et Fluctuations d échantillonnage 23 6 Fonctions affines 27 7 Vecteurs 29 8 Probabilités 33 9 Équations de droites Fonctions carrée et Fonctions polynômes du second degré Trigonométrie Fonction inverse 49 3

4 4 TABLE DES MATIÈRES

5 Chapitre 0 Algorithmique Définition. Un algorithme est une suite finie d opérations élémentaires permettant de résoudre un problème donné. Exemple.... Trois parties (qui peuvent être mélangées) composent un algorithme : entrée des données ; traitement des données ; sortie des résultats. 1 Variables Définition. Une variable est un espace en mémoire, portant un nom, dans lequel on peut stocker une valeur. L instruction a b se lit affecter a à b, et signifie : aller chercher en mémoire la valeur de a, et placer cette valeur dans b. D autres notations possibles sont : b a («b reçoit a) ; Affecter a à b ; a = b ; etc. Exemple. Instructions Contenu de x Contenu de y Début 3 x 3x 2 + 2x y 2y y 5

6 6 CHAPITRE 0. ALGORITHMIQUE 2 Entrées / Sorties Il est possible de demander à l utilisateur d affecter une valeur à une variable, avec une instruction du type Lire a. Le programme attend que l utilisateur saisisse une valeur au clavier, puis place dans l espace mémoire correspondant à a cette valeur. Il est possible d afficher quelque chose à l écran avec l instruction Afficher a. Exemple. Que fait l algorithme suivant? Lire a a a a Afficher a Exercice 1. Écrire un algorithme qui demande un nombre à l utilisateur, calcule l image de ce nombre par la fonction f : x 2x 2 1, et affiche ce rélultat. Exercice 2. Que fait l algorithme suivant? Lire n n m n + 3 n n 2 n n + m n n 3 n n 2 n Afficher n 3 Conditionnelles Définition. Pour résoudre certains problèmes, il est parfois nécessaire de faire un test pour savoir si on doit exécuter une tâche ou une autre. Si le test est vrai, alors on exécute une tâche, sinon on exécute une autre tâche. Exemple. Sinon Si A = B ou B = C ou A = C Afficher " Longueur des t r o i s c o t e Alors s. " Lire A Afficher " I s o c e l e. " Lire B Sinon Lire C Afficher " Scalene. " Si A = B et B = C FinSi Alors FinSi Afficher " E q u i l a t e r a l. "

7 4. BOUCLES 7 Exercice 3. Que fait l algorithme suivant? Lire x Si x > 0 Alors Afficher x Sinon Afficher " I m p o s s i b l e " FinSi Corriger l algorithme pour qu il affiche un résultat correct lorsque x vaut 0. Exercice 4. Écrire un algorithme qui prend en entrée les coordonnées d un point, et qui affiche si ce point fait partie de la courbe représentative de la fonction f : x x 2 ou non. x Boucles Certains problèmes nécessitent de répeter un ensemble d instructions plusieurs fois. Il existe deux types de boucles : les boucles Pour i allant de 1 à n exécutent n fois la boucle, pour chacune des valeurs possibles de i ; les boucles While condition exécutent la boucle tant que la condition n est pas remplie. Exemple. Affichage de la table de multiplication de 9. Pour i allant de 1 a n Faire Afficher 9 i FinPour Exemple. Calcul de l entier n tel que la somme des entiers de 1 à n fait somme 0 n Tant que somme < 2016 Faire n + 1 n somme + n n FinTantque Si somme = 2016 Alors Afficher n Sinon Afficher " Impossible " FinSi 5 Exercices Exercice 5. Écrire un algorithme qui prend en argument les longueurs des trois côtés d un triangle, et qui affiche si ce triangle est rectangle ou non. Exercice 6. Un magasin offre 5% de réduction sur le montant total d un achat si celui-ci est supérieur à 100 e. Écrire un algorithme qui lit en entrée le montant total, et affiche le montant après l éventuelle réduction.

8 8 CHAPITRE 0. ALGORITHMIQUE Exercice 7. Une bactérie double sa population chaque jour. Écrire un algorithme qui calcule la population de bactéries après trente jours, à partir d une seule bactérie au départ. Exercice 8. Un enfant veut acheter un jeu à 245 e. Ses parents lui donnent un euro la première semaine, deux euros la deuxième semaine, et ainsi de suite. Écrire un algorithme qui calcule à partir de combien de semaine l enfant va-t-il pouvoir acheter son jeu? Exercice 9. On appelle parfait un nombre qui est égal à la somme de ses diviseurs, sauf lui même (6 = est parfait ; n est pas parfait). Écrire un algorithme qui vérifie si un nombre est parfait. Écrire un second algorithme qui cherche tous les nombres parfaits inférieurs à un nombre donné.

9 Chapitre 1 Repérage 1 Repères et coordonnées Activité. TODO Problème ouvert : construction d un système de coordonnées. Définition. Soint O, I et J trois points du plan, non alignés. (O, I, J) est appelé repère du plan. Définition. Soit un repère (O, I, J). Si (OI) et (OJ) sont perpendiculaires (c est-à-dire si le triangle OIJ est rectangle en O), le repère est dit orthogonal. Si OI = OJ = 1 (c est-à-dire si le triangle OIJ est isocèle en O, et OI = 1), le repère est dit normé. Si le repère est orthogonal et normé, il est dit orthonormé. Remarque. En seconde, on utilisera principalement des repères orthonormés. Exemple. TODO Exemples de repères normé, orthogonal, orthonormé. Q M y J O I P x 9

10 10 CHAPITRE 1. REPÉRAGE Propriété. Soit (O, I, J) un repère du plan, et M un point. Ce point est repéré par un unique couple, appelé coordonnées de M dans le repère (O, I, J). Exemple. 1. On se place dans le repère (O, I, J). (a) Le repère est.... (b) Donner les coordonnées des points A et B. (c) Placer le point C(0, 5; 1). 2. On se place dans le repère (J, O, C). (a) Le repère est.... (b) Donner les coordonnées de A, B, I. (c) Placer le point D (0, 5; 1). B J O I A 2 Propriétés Activité. 1. Dans un repère orthonormé, placer les points A (2; 6), B (6; 7) et C (10; 5). 2. Placer les points I et J, milieux respectifs de [AB] et [BC], et lire leurs coordonnées. 3. En étudiant les coordonnées de A, B et I d une part, et B, C et J d autre part, conjecturer les coordonnées de K, milieu de [AC], sans le placer. Vérifier la conjecture sur le graphique. 4. Conjecturer une formule liant les coordonnées de A (x A ; y A ), B (x B ; y B ) et I (x I ; y I ), I étant le milieu de [AB]. Propriété. Soient A(x A, y A ), B(x B, y B ), I(x I, y I ) trois point du plan. Alors I est le milieu de [AB] si et seulement si x I = x A+x B et y 2 I = y A+y B. 2

11 3. POLYGONES 11 Activité. Soient A (4; 2) et B (1; 4) deux points dans le plan muni d un repère orthonormé. Le but de l activité est de calculer la longueur du segment [AB]. 1. Placer A, B et le point H (1; 2). 2. Calculer les longueurs AH et BH. 3. Conjecturer la mesure de l angle BHA. On l admet. En déduire la nature du triangle ABH. 4. Calculer la longueur AB. Propriété. Soient A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points du plan muni d un repère orthonormé. Alors la longueur AB est égale à» (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2. Activité. On munit le plan d un repère orthonormé. Calculer la longueur AB, où A (1; 2) et B (5; 5). Exercice 10. TODO algorithmique : cible 3 Polygones Définition (Triangles (rappels)). Un triangle est dit : (i) isocèle s il a deux côtés de même longueur ; (ii) équilatéral s il a trois côtés de même longueur ; (iii) scalène sinon. Propriété. Soit ABCD un quadrilatère non croisé. Les propositions suivantes sont équivalentes. (a) ABCD est un parallélogramme. (b) Ses côtés opposés sont parallèles deux à deux. (c) Ses côtés opposés sont deux à deux de même longueur. (d) Il a deux côtés parallèles et de même longueur. (e) Ses angles opposés sont de deux à deux de même mesure. (f) Ses diagonales se coupent en leurs milieux. Exercice 11. TODO Algorithmique

12 12 CHAPITRE 1. REPÉRAGE

13 Chapitre 2 Équations et Inéquations du premier degré 1 Équations du premier degré TODO Définition. Soit une équation d inconnue x. Résoudre cette équation consiste à trouver toutes les valeurs de x (appelées solutions) qui vérifient l équation. Exemple. Soit l équation 3x 2 + 3x 6 = 0. 1 est solution de l équation car = 0. 2 n est pas solution, car est solution, car 3 ( 2) ( 2) 6 = 0. Exemple. Résoudre l équation 3x + 4 = 0. 3x + 4 = 0 3x = 4 x = 4 3 L équation a donc une unique solution x = 4 3. Définition. Une équation du premier degré est une équation de la forme ax+b = 0, ou pouvant s y ramener. 13

14 14 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ Exemple. Considérons l équation 3x + 7 = 2x 1. Alors : 3x + 7 = 2x 1 3x + 2 2x + 1 = 0 Donc c est une équation du premier degré. x + 3 = 0 Exemple. L équation x 2 7x + 1 = 0 n est pas une équation du premier degré. Remarque. Résoudre une équation du premier degré ax + b = 0 revient à trouver les abscisses des points d intersection de la fonction f : x ax + b avec l axe des abscisses. Propriété (Résolution algébrique). Soit une équation ax + b = 0. Si a 0, l unique solution est x = b a. Si a = 0 et b 0, l équation n a pas de solutions. Si a = 0 et b = 0, tous les réels sont solutions. 2 Inéquations et Intervalles Pour rappel, on peut représenter les solutions d une inéquation sur la droite des réels. TODO exemple TODO Faire le lien avec la droite des réels rencontrée en troisième ; montrer le passage de la droite des réels à l intervalle. Définition. Soient a et b deux nombres réels, avec a < b. L intervalle [a, b] est l ensemble des nombres compris entre a et b, inclus. L intervalle ]a, b[ est l ensemble des nombres compris entre a et b, exclus. L intervalle [a, + [ est l ensemble des nombres supérieurs (ou égaux) à a. L intervalle ], b] est l ensemble des nombres inférieurs (ou égaux) à b. TODO parler de segments et demi-droites de la droite des réels Activité. TODO Introduction des unions et intersections Définition. Soient A et B deux ensembles de nombres. L intersection de A et B, notée A B, est l ensemble des nombres appartenant à la fois à A et à B. L union de A et B, notée A B, est l ensemble des nombres appartenant à A ou à B (ou aux deux). Exemple. TODO On peut représenter les solutions d une inéquations sous forme d un intervalle. Exemple. TODO

15 3. ÉQUATIONS PRODUIT 15 3 Équations produit Propriété (Équation produit). Soient A et B deux réels. Alors A B = 0 si et seulement si A = 0 ou B = 0. En particulier, (ax + b)(cx + d) = 0 si et seulement si ax + b = 0 ou cx + d = 0.

16 16 CHAPITRE 2. ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

17 Chapitre 3 Géométrie dans l espace TODO 1 Solides de base 2 Calculs d aires et de volumes 3 Théorèmes de Pythagore et de Thalès dans des configurations spatiales 4 Géométrie du triangle rectangle 5 Droites et plans de l espace 17

18 18 CHAPITRE 3. GÉOMÉTRIE DANS L ESPACE

19 Chapitre 4 Généralités sur les fonctions 1 Définitions Définition. Étant donné un sous-ensemble D de R, définir une fonction de D dans R, c est associer à tout nombre x de D un unique nombre f(x) de R. D est appelé ensemble de définition de f ; f(x) est l image de x par f ; x est un antécédent de f(x) par x. Exemple. TODO Exemples de fonctions Remarque. La fonction f se note aussi : f : x f(x). Remarque. Tout nombre x de l ensemble de définition de f a une unique image par f. Un nombre réel a a zéro, un ou plusieurs antécédents par f. Définition. L ensemble image d une fonction f est l ensemble des valeurs que peut prendre f(x) lorsque x parcourt son ensemble de définition. Méthode. Pour déterminer l image de x par f, on calcule f(x) en remplaçant x par sa valeur dans la formule de f. Pour trouver les antécédentes de a par f, on résout l équation f(x) = a. 19

20 20 CHAPITRE 4. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS 2 Variations Définition. Soit I un intervalle de R, et f une fonction définie sur I. f est dite strictement croissante sur I si pour tous réels a et b de I tels que a < b, alors f(a) < f(b). f est dite strictement décroissante sur I si pour tous réels a et b de I tels que a < b, alors f(a) < f(b). Remarque. Graphiquement, la courbe représentative d une fonction croissante «monte», tandis que celle d une fonction décroissante «descend». Exemple. Montrons que la fonction f : x 3x 1 est croissante, et que la fonction g : x 2x + 1 est décroissante. Définition (Tableau de variations). Un tableau de variations résume les informations connues à propos des variations d une fonction. Exemple. Dresser le tableau de variations de la fonction représentée ci-dessous C f O x f

21 3. REPRÉSENTATION ET LECTURE GRAPHIQUES 21 Définition (Extremums). Soit I un intervalle de R, f une fonction définie sur I, et a un élément de I. Si pour tout x I, f(x) f(a), on dit que f(a) est le maximum de f sur I, atteint en a. Si pour tout x I, f(x) f(a), on dit que f(a) est le minimum de f sur I, atteint en a. On appelle extremum un minimum ou un maximum. Définition (Extremum local, global). Le maximum f(a) de f est dit global s il est maximum de f sur tout son ensemble de définition, et local sinon. De même pour le minimum. Exemple. Sur l exemple précédent, la fonction f présente : des maximums 7 et 1, atteints respectivements en 2 et 7 ; des minimums 5, -4 et -6, atteints respectivements en 4, 4 et 9. Parmi ceux-ci, 7 est un maximum global (les autres sont locaux), et 6 est un minimum global (les autres sont locaux). 3 Représentation et lecture graphiques Définition. Dans le plan muni d un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) de la fonction f est l ensemble C f des points (x, f(x)), où x décrit le domaine de définition de f. Méthode. TODO Lecture des ensembles de définition et ensemble image Méthode. Pour lire l image de x par f : on repère x sur l axe des abscisses ; on trace la droite parallèle à l axe des ordonnées d abscisse x ; on repère le point M, intersection de la courbe de f et de la droite précédente ; on lit l ordonnée de ce point M : c est l image de x par f. Méthode. Pour lire les antécédents de a par f : on repère a sur l axe des ordonnées ; on trace la droite parallèle à l axe des abscisses, d ordonnée a ; on repère les points d intersection de la courbe de f et cette droite ; on lit les abscisses de ces points d intersection : ce sont les antécédents de a par f.

22 22 CHAPITRE 4. GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS Remarque. Ces méthodes ne permettent que d obtenir des valeurs approchées. Pour obtenir des valeurs exactes, le calcul de f(x) ou la résolution algébrique de f(x) = a sont nécessaires. Propriété. Résoudre f(x) = k, c est déterminer les antécédents de k par f. Résoudre f(x) = g(x), c est déterminer les abscisses des points d intersection de f et g. Propriété. Résoudre f(x) < k, c est déterminer les valeurs de x dont l image par f est inférieure à k. Résoudre f(x) < g(x), c est déterminer les valeurs de x dont l image par f est inférieure à g(x).

23 Chapitre 5 Statistiques et Fluctuations d échantillonnage 1 Vocabulaire TODO Population, individu Caractère, qualitatif ou quantitatif, discret ou continu classe, intervalle, étendue Effectif total, d une valeur Fréquence, effectifs cumulés croissants,fréquences cumulées croissantes 2 Représentations graphiques 2.1 Nuage de points Définition (Nuage de points). Un nuage de points est l ensemble des points (x i ; n i ), où x i sont les valeurs des caractères, et n i les effectifs. TODO exemple. 2.2 Histogramme Description (Histogramme). TODO Adapté aux caractères quantitatifs regroupés en classes. Les aires des barres sont proportionnelles aux effectifs des caractères. 23

24 24CHAPITRE 5. STATISTIQUES ET FLUCTUATIONS D ÉCHANTILLONNAGE Pour des classes de même étendue, les hauteurs sont proportionnelles aux effectifs des caractères. TODO exemple. 2.3 Courbe des effectifs cumulés Description. TODO Les caractères en abscisses, les fréquences cumulées en ordonnées. Permet de lire graphiquement les médianes et quartiles. TODO exemple et méthode. 3 Indicateurs d une série statistique Définition (Moyenne). La moyenne d une série de caractères x 1, x 2,... x k et d effectifs n 1, n 2... n k est le nombre réel notée x valant : x = n 1x 1 + n 2 x n k x k n 1 + n n k. Définition (Médiane). La médiane d une série statistique est un nombre m tel que la moitié des effectifs étudiés ait une valeur inférieure ou égale à m, et l autre moité ait une valeur supérieure ou égale. Méthode (Calcul de la médiane). Soit une série statistique de taille N, triée par ordre croissant. Si N est impair, la médiane est la valeur de rang N+1 2. Si N est pair, la médiane est la moyenne des valeurs de rang 2 et N Remarque. La moyenne et la médiane sont des indicateurs de position. Définition (Quartiles). Le premier quartile d une série (noté Q 1 ) est la plus petite valeur telle qu au moins 25% des valeurs lui soit inférieure ou égale. Le troisième quartile d une série (noté Q 3 ) est la plus petite valeur telle qu au moins 75% des valeurs lui soit inférieure ou égale. L écart interquartile est le nombre réel Q 3 Q 1. Méthode. On trie les effectifs par ordre croissant, et on applique la définition.

25 4. ÉCHANTILLON 25 Exemple. Calculer la médiane et les quartiles des salaires des entreprises A et B. A : Salaire Effectif B : Salaire Effectif Remarque. Les quartiles sont des indicateurs de dispersion 4 Échantillon Activité. TODO Activité Père-Noël et sourcier. Définition. On appelle échantillon de taille n les résultats de n répétitions indépendantes d une même expérience aléatoire. Exemple. Pour évaluer la qualité des produits à la sortie d une usine, on en prélève 100 au hasard, et pour chacun d entre eux, on détermine s il est considéré défectueux ou non. Pour tenter de deviner les résultats d une élection, on prélève au hasard 1000 personnes dans la population, et on leur demande quelle est leur intention de vote. Activité. TODO Refaire avec le sourcier. J affirme que 95 fois sur 100, si on lance 30 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée, on obtient entre 10 et 20 fois Pile (inclus). Étant donné cette nouvelle information, que peut-on dire d une pièce qui a donné 8 pile en 30 lancers? Définition. L intervalle de fluctuation au seuil de 95%, relatif aux échantillons de taille n, est l intervalle centré autour de p, proportion du caractère dans la population, où se situe, avec une probabilité égale à 0, 95, la fréquence observée. Propriété. Pour un échantillon de taille n 25, et une proportion p du caractère appartenant à [0, 2; 0, 8], la fréquence observée d apparition du caractère dans l échantillon appartient à l intervalle [ ] p 1 n ; p + 1 n avec une probabilité d au moins 0, 95. Exemple (Estimation d une proportion inconnue). TODO Exemple (Prise de décision). TODO

26 26CHAPITRE 5. STATISTIQUES ET FLUCTUATIONS D ÉCHANTILLONNAGE

27 Chapitre 6 Fonctions affines 1 Définitions Définition. Une fonction affine est une fonction de la forme x ax + b, où a et b sont réels. Elle est définie sur R. Quand b = 0, la fonction est de la forme x ax, et on dit alors que la fonction est linéaire. Définition. Soit une fonction affine f : x ax+b, et D sa courbe représentative. Le réel a est appelé coefficient directeur. Le réel b est appelé ordonné à l origine. Propriété (Rappel). Soient f : x ax + b une fonction affine, D sa courbe représentative, et A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points de D. Alors a = y B y A x B x A. Méthode (Détermination de l équation d une fonction affine). Soit f une fonction affine dont on connaît la représentation graphique D. Pour calculer a, on choisit deux points arbitraires distincts A et B de D, et on calcule a = y B y A x B x A. Pour calculer b, TODO. 2 Variations Propriété. Soit f : x ax + b une fonction affine. si a > 0, la fonction est croissante sur R ; si a = 0, la fonction est constante sur R ; si a < 0, la fonction est décroissante sur R. Démonstration. TODO 27

28 28 CHAPITRE 6. FONCTIONS AFFINES 3 Signe d une fonction affine Propriété. Soit f : x ax + b une fonction affine. 1. Si a = 0, la fonction est constante, et du signe de b. 2. Si a > 0, la fonction est négative sur ó ; b ó î a, et positive sur b ; a + î. x ax + b b a Si a < 0, la fonction est positive sur ó ; b a ó, et négative sur î b a ; + î. x ax + b b a + + 0

29 Chapitre 7 Vecteurs TODO Voir les coordonnées en même temps que le reste? 1 Notion de translation Vecteur associé TODO Voir activité. 1.1 Définitions Définition. Soient A et B deux points du plan. On appelle translation qui transforme A en B la transformation qui a tout point C du plan associe l unique point D tel que [AD] et [BC] ont même milieu. À cette translation, on associe le vecteur AB, qui symbolise le déplacement de A vers B (ou de C vers D). Le point A est appelé l origine du vecteur AB, et le point B son extrémité. On dit que B est l image de A par la translation de vecteur AB. Remarque. Si les points A et B sont confondus, tout point C est également confondu avec son image par la translation de vecteur AB. On dit aussi que tout point du plan est invariant par la translation de vecteur AB. Le vecteur AA est appelé vecteur nul, et on note AA = 0. Propriété (Propriétés d une translation). Soient A et B deux points du plan, M, N et O trois points ayant pour image respective M, N et O par la translation de vecteur AB. Alors : Si M, N, et O sont alignés, alors M, N et O sont alignés. 29

30 30 CHAPITRE 7. VECTEURS L image du segment [MN] est le segment [M N ], de même longueur. Si O est le milieu de [MN], alors O est le milieu de [M N ]. On dit que la translation conserve les angles et les distances : L image d une droite par une translation est une droite parallèle. L image d un cercle par une translation est un cercle de même rayon. 1.2 Égalité de vecteurs Définition. Deux vecteurs sont dit égaux s ils sont associés à une même translation. Propriété. Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan. Les propriétés suivantes sont équivalentes. AB = CD. D est l image de C par la translation qui transforme A en B. [AD] et [BC] ont le même milieu. ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Définition. Pour désigner l unique vecteur associé à la translation qui transforme A en B et C en D, on peut utiliser une lettre unique en écrivant AB = CD = u. On dit alors que les vecteurs AB et BC sont les représentants du vecteur u. Remarque. Une vecteur admet une infinité de représentants. Propriété. Un vecteur non nul AB est déterminé par sa direction (celle de la droite (AB)) ; son sens (de A vers B) ; sa longueur, AB, appelée norme du vecteur, et notée AB. Corollaire. Deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement s ils ont même direction, même sens et même longueur. Remarque. Le vecteur nul n a ni direction, ni sens. Propriété (Caractérisation du milieu). Le point I est le milieu du segment [AB] si et seulement si les vecteurs AI et IB sont égaux.

31 2. SOMME DE DEUX VECTEURS 31 2 Somme de deux vecteurs B C Activité. A (a) Placer le point F tel que EF = AB. (b) Placer le point G tel que F G = BC. (c) Placer le point H tel que EH = AC. D E (d) Que remarquez-vous? Comment traduire cela par une égalité de vecteurs? Propriété (Relation de Chasles). Pour tous points A, B, C du plan, on a : AB + BC = AC Définition. Soient u et v deux vecteurs. On appelle somme des vecteurs u et v, le vecteur w associé à la transformation résultant de l enchaînement des translations de vecteur u et v. 3 Produit d un vecteur par un réel Définition. Soint u un vecteur non nul, et k un réel non nul. On appelle produit de k par u le vecteur noté k u : de même direction que u ; de même sens si k > 0, et de sens opposé si k < 0 ; k u si k > 0 de norme égale à k u si k < 0. Définition (Cas particuliers). Soit u un vecteur non nul, et k un nombre réel non nul. 0 u est égal au vecteur nul 0 ; k 0 est égal au vecteur nul 0. Propriété. Soit u un vecteur nul. Le vecteur u est le vecteur de même direction, de même norme, et de sens opposé à u.

32 32 CHAPITRE 7. VECTEURS Propriété. Pour tous points A et B, AB = BA. Définition (Différence de deux vecteurs). Étant donnés deux vecteurs u et v, on appelle différence de u et v, le vecteur w, noté w = u v tel que : u v = u + ( v ) Définition. Deux vecteurs u et v sont colinéaires si l un des deux est le vecteur nul, ou s il existe un réel k tel que u = k v. Propriété. Soient A, B, C et D quatre points du plan. Les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si AB et CD sont colinéaires. Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteur AB et CD sont colinéaires. 4 Coordonnées de vecteurs TODO Se placer dans un repère de points Définition. Le plan est muni d un repère (O, ı, j ). Pour tout vecteur u du plan, il existe un unique couple (x, y) de réels tels que u = x ı + y j. Ce couple est appelé coordonnées de u, et on note u (x; y) ou u Ä ä x y. Définition (Coordonnées d un point). TODO Propriété. Soient A(x A, y A ) et B(x B, y B ) deux points du plan. Alors les coordonnées du vecteur AB sont (x B x A ; y B y A ). Propriété. Soient deux vecteurs u Ä ä Ä x y et v x ä y. 1. Les vecteurs u et v sont égaux si et seulement si x = x et y = y. 2. Les coordonnées du vecteur u + v sont Ä x+x y+y ä. 3. Soit un réel k. Les coordonnées du vecteur k u sont Ä kx ky 4. u et v sont colinéaires si et seulement si il existe un réel k tel que Propriété (Condition de colinéarité). TODO ä. x = kx y = ky.

33 Chapitre 8 Probabilités 1 Vocabulaire Définition. Une expérience aléatoire est une expérience faisant intervenir le hasard, et comportant plusieurs issues (pouvant donner plusieurs résultat). On ne connaît pas, à priori, le résultat d une telle expérience. Une issue est un résultat possible de l expérience aléatoire. L univers est l ensemble de toutes les issues. Il est généralement noté Ω. Un évènement est un ensemble d issues. Un évènement élémentaire est un évènement ne comportant qu une seule issue. Exemple. Lancer un dé équilibré à 6 faces et regarder le nombre obtenu est une expérience aléatoire. «Obtenir 2» et «Obtenir 1» sont des issues. «Obtenir un nombre pair» est un évènement. Choisir un élève au hasard dans la classe est une expérience aléatoire. «Obtenir l élève X» est une issue. «Obtenir un garçon», «Obtenir une personne aux cheuveux longs», «Obtenir un mineur» sont des évènements. Remarque. Dans toute la suite du cours, les univers considérés seront finis. 2 Probabilité Définition. On considère une expérience aléatoire. 33

34 34 CHAPITRE 8. PROBABILITÉS La probabilité d un événement élémentaire est un nombre compris entre 0 et 1, tel que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires fait 1. La probabilité d un évènement est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent. Propriété. On considère une expérience aléatoire. La probabilité d un évènement A est un nombre compris entre 0 et 1 : 0 P (A) 1. L évènement certain, contenant toutes les issues de l univers, a une probabilité de 1. L évènement vide a une probabilité de 0. Exemple. TODO Définition. Quand, dans une expérience aléatoire, tous les événements élémentaires ont la même probabilité, on dit que l expérience est équiprobable. Exemple. Le lancer d une pièce de monnaie équilibrée est une expérience équiprobable. Considèrer l âge d un élève pris au hasard dans la classe n est pas une expérience équiprobable. Propriété. Soit une expérience aléatoire, ayant n issues équiprobables. La probabilité de chaque évènement élémentaire est 1 n. La probabilité d un évènement A est P (A) = 3 Évènements Nombre d issues de A. Nombre d issues total Dans toute cette section, on considère une expérience aléatoire ayant un univers Ω fini. Définition et Propriété. L évènement impossible ne contient aucune issue : P ( ) = 0. L évènement certain Ω contient toutes les issues : P (Ω) = 1. Exemple. On lance un dé à six faces. L évènement «Obtenir 1, 2, 3, 4, 5 ou 6» est certain. Sa probabilité est 1. L évènement «N obtenir ni 1, ni 2, ni 3, ni 4, ni 5, ni 6» est impossible. Sa probabilité est 0.

35 4. REPRÉSENTATION 35 Définition et Propriété. Soit A un évènement de Ω. L évènement contraire de A, noté Ā, est l évènement qui contient l ensemble des issues n appartenent pas à A. P (Ā) = 1 P (A) Exemple. On lance un dé équilibré à 8 faces. L évènement «Obtenir 1 ou 2» est le contraire de l évènement «Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3». Ainsi, P («Obtenir 1 ou 2») = 1 P («Obtenir un nombre supérieur à 3»). En effet, P («Obtenir 1 ou 2») = 1, P («Obtenir un nombre supérieur à 3») = 4 3, et 1 = Définition. Soient A et B deux évènements. A B («A union B»), est l union de A et B : c est l évènement constitué de l ensemble des issues appartenant à A ou à B. A B («A inter B»), est l intersection de A et B : c est l évènement constitué de l ensemble des issues appartenant à A et à B. Exemple. On lance deux dés à 6 faces, et on considère la somme des deux résultats. On considère les évènements : A = «Obtenir un nombre pair» = {2, 4, 6, 8, 10, 12} B = «Obtenir un nombre supérieur à 7» = {7, 8, 9, 10, 11, 12} Alors : A B = {2, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} A B = {8, 10, 12} Propriété. Pour toute expérience aléatoire, quels que soient les évènements A et B, on a : P (A B) + P (A B) = P (A) + P (B) Définition et Propriété. Soient deux évènements A et B. Ils sont dits incompatibles s ils sont disjoints, c est-à-dire si A B =. Dans ce cas, P (A B) = P (A) + P (B). 4 Représentation 4.1 Diagramme Description. Dans un diagramme, chaque «patate» correspond à un évènement. Les issues ne sont pas nécessairement indiquées. Exemple.

36 36 CHAPITRE 8. PROBABILITÉS On lance un dé équilibré à six faces, et on considère les évènements : A = «Obtenir un nombre pair» B = «Obtenir un nombre supérieur ou égal à 3» On peut représenter ceci de la manière ci-contre. A B Ω 4.2 Tableau Description. Un tableau permet de dénombrer les différentes combinaisons d évènements. Exemple. Dans une classe de secondes de 35 élèves, 16 élèves pratiquent le ski et 11 élèves pratiquent le surf. 4 élèves pratiquent ces deux sports. Combien d élèves ne pratiquent aucun sport? Quelle est la probabilité qu un élève tiré au hasard ne pratique aucun sport? Pratiquent le surf Ne pratiquent pas le surf Total Pratiquent le ski Ne pratiquent pas le ski Total Après avoir rempli le tableau, on lit que 12 élèves ne pratiquent aucun des deux sports. La probabilité qu un élève pris au hasard ne pratique aucun des deux sports est donc Arbre pondéré Description. Un arbre est sert à représenter les expériences aléatoires composées de plusieurs expériences. Chaque embranchement correspond à une expérience. Propriété. La probabilité d un évènement élémentaire est égale au produit des probabilités des chemins des branches qui y mènent.

37 4. REPRÉSENTATION 37 Dans un cas d équiprobabilité, la probabilité d un évènement est égal à Nombre de branches de l évènement Nombre total de branches. Exemple. On lance deux pièces de monnaie équilibrées. Quelle est la probabilité de l évènement A : «Obtenir un pile et un face (dans n importe quel ordre)»? Pile Pile Face Deux des quatre branches passent par pile et face. Donc P (A) = 2 4 = 1 2 Premier lancer Face Second lancer Pile Face Exemple. On pioche deux boules dans une urne contenunt trois boules blanches et deux noires, avec remise. Quelle est la probabilité des évènements A «Obtenir deux noires» et B «Obtenir une noire et une blanche (dans n importe quel ordre)»? 3 / 5 2/ 5 B N 3 / 5 2 / 5 3 / 5 2 / 5 B N B N Une seule branche correspond à «Obtenir deux noires». Sa probabilité est le produit des probabilités sur son chemin. Donc P (A) = 2 2 = Deux branches correspondent à «Obtenir une blanche et une noire». La probabilité de B est la somme des probabilités de ces branches : P (B) = =

38 38 CHAPITRE 8. PROBABILITÉS

39 Chapitre 9 Équations de droites 1 Équations de droites Propriété (Caractérisation analytique d une droite). Soit un repère du plan (O, ı, j ), et d une droite de ce repère. Si d est parallèle à l axe des ordonnées, alors elle admet une unique équation de la forme x = c, où c est un réel. Sinon, elle admet une unique équation de la forme y = mx + p, où m et p sont des réels. TODO Démonstration Propriété (Réciproque). Soit un repère (O, ı, j ). Étant donné un réel c, l ensemble des points du plan vérifiant l équation x = c est une droite parallèle à l axe des ordonnées. Étant donnés deux réels m et p, l ensemble des points du plan vérifiant l équation y = mx + p est une droite non parallèle à l axe des ordonnées. 1.1 Calcul de l équation Méthode (Par lecture graphique). Fonction affine Soit f une fonction affine dont on connaît la représentation graphique D. Pour calculer a, TODO Pour calculer b, on lit l ordonnée à l origine, c est-à-dire l ordonnée du point d intersection de D avec l axe des ordonnées. Fonction parallèle à l axe des ordonnées TODO 39

40 40 CHAPITRE 9. ÉQUATIONS DE DROITES Méthode (Par le calcul, en connaissant deux points). Fonction affine TODO Fonction parallèle à l axe des ordonnées TODO 2 Position relative de deux droites Propriété. Soient un repère (O, ı, j ), et deux droites d et d non parallèles à l axe des ordonnées. Les propositions suivantes sont équivalentes. (i) Les droites d et d sont parallèles. (ii) Les droites d et d ont même coefficient directeur. (iii) Les droites d et d ont deux vecteurs directeurs colinéaires. Propriété (Intersection de droites). Soient deux droites d et d. TODO : Bilan : Conditions de parallélisme. 3 Systèmes d équations linéaires ax + by = c Propriété (Interprétation géométrique). Soit (S) le système d équations a x + b y = c, et d et d les droites définies par chacune des deux équations de (S). Les solutions de (S) sont les coordonnées des points d intersection de d et d. Corollaire. Avec le même système (S), trois cas seulement sont possibles : Le systeme (S) a une infinité de solutions si et seulement si les droites d et d sont confondues. Le système (S) a une unique solution si et seulement si les droites d et d sont sécantes. Le système (S) n a pas de solutions si et seulement si les droites d et d sont parallèles et non confondues.

41 Chapitre 10 Fonctions carrée et Fonctions polynômes du second degré 1 Fonction carrée Définition (Fonction carrée). La fonction définie sur R par f(x) = x 2 est appelée fonction carrée. Propriété (Variations). Le tableau de variations de la fonction carrée est : x 0 + j x 2 0 ı 1.1 Équations et inéquations Propriété. TODO Résolution de x 2 = a Propriété. TODO Résolution de x 2 < a TODO Résolution de x 2 > a 41

42 42CHAPITRE 10. FONCTIONS CARRÉE ET FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEG 2 Trinôme Définition (Fonction trinôme). Toute fonction f pouvant s écrire sous la forme f(x) = ax 2 +bx+c (avec a 0) est appelée fonction trinôme (ou fonction polynôme du second degré). Dans la suite du chapitre, f est un trinôme défini par f(x) = ax 2 + bx + c. Propriété (Variations d un trinôme). Les variations d un trinôme sont les suivantes. Si a > 0 : Si a < 0 x b 2a + x b 2a + ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c 2.1 Représentation graphique Propriété (Symétrie). La courbe représentative d un trinôme admet pour axe de symétrie la droite d équation x = b 2a. Propriété (Représentation graphique). La courbe représentative d un trinôme est une parabole. a < 0 j ı a > 0 Définition. On appelle sommet le point qui correspond à l extremum de la fonction. Il est situé sur l axe de symétrie de la parabole, donc son abscisse est b 2a.

43 3. SIGNE D UN PRODUIT Forme canonique Propriété. Tout trinôme peut être mis sous la forme f(x) = a(x β) 2 + γ, où β = b. Cette forme s appelle forme canonique. 2a 3 Signe d un produit Propriété (Signe d un produit). Soient A et B deux réels. Alors A B est positif si et seulement si A et B sont de même signe, et négatif si et seulement si ils sont de signes différents. En particulier, (ax + b)(cx d) 0 si et seulement si ax + b et cx + d sont de même signe. Exemple. Résolution de (x + 7)(2x 4) 0.

44 44CHAPITRE 10. FONCTIONS CARRÉE ET FONCTIONS POLYNÔMES DU SECOND DEG

45 Chapitre 11 Trigonométrie [TODO Sophie Meiss] De même en trigonométrie, ton cours reste à illustrer pour lui donner du sens (l enroulement de la droite réelle sur le cercle trigo peut se faire sous geogébra... ) ; dans le paragraphe 3 tu indiques la notation d angle orienté de vecteurs qui n est pas au programme en seconde. Sans définir le radian, il est préférable de rester sur le point associé à x (abscisse sur la droite réelle) ; il faut préciser également l importance du sens trigonométrique. 1 Cercle trigonométrique Définition. On appelle cercle trigonométrique le cercle de centre O, de rayon 1. J O I 2 Enroulement de la droite des réels On considère le cercle trigonométrique C, et la droite D d équation x = 1. En «enroulant» cette droite autour du cercle C, on obtient une correspondance entre un point N de la droite et un unique point M du cercle. 45

46 46 CHAPITRE 11. TRIGONOMÉTRIE N M J O I 3 Sinus et cosinus Propriété. Soit M un point du cercle trigonométrique, la mesure de l angle ( OI; OM) étant noté t. Ses coordonnées sont alors Ä ä cos t sin t. Démonstration. TODO : Triangle rectangle dans le cercle trigonométrique. sin t O J t cos t M I Propriété. Soit t un réel. (i) sin 2 x + cos 2 x = 1 (ii) 1 sin x 1 et 1 cos x 1 (iii) sin x = sin x et cos x = cos x Propriété (Valeurs particulières). α cos α sin α

47 4. ÉQUATIONS 47 Démonstration. Calculer la valeur et les sinus et cosinus des angles α, β et γ suivants, dans les triangles suivants, dont l un est rectangle isocèle, et l autre est la moitié d un triangle équilatéral. 1 α 1 γ 1 / 2 β 1 4 Équations x. TODO Déterminer cosx connaissant sin x et un intervalle auquel appartient

48 48 CHAPITRE 11. TRIGONOMÉTRIE

49 Chapitre 12 Fonction inverse 1 Fonction inverse Définition. La fonction définie sur R par f(x) = 1 x est appelée fonction inverse. Propriété (Variations). Le tableau de variations de la fonction inverse est : 1 x x Propriété. Soient a et b deux réels non nuls. Si a et b sont négatifs, et a b, alors 0 > 1 a 1 b. Si a et b sont positifs, et a b, alors 1 a 1 b > 0. Propriété (Équation). TODO 1 x = a Propriété (Inéquation). TODO 1 x < a TODO 1 x > a 49

50 50 CHAPITRE 12. FONCTION INVERSE 2 Fonctions homographiques Définition. Étant donnés des réels a, b, c, d, où c 0, on appelle fonction homographique la fonction définie sur son ensemble de définition par f(x) = ax+b. cx+d Propriété. Une fonction homographique f(x) = ax+b est définie sur R\ d cx+d c Méthode. Pour déterminer le signe d une fonction homographique, on détermine le signe du numérateur et du dénomirateur, puis on fait un tableau de signe. Exemple. Déterminons le signe de la fonction définie sur R\ 1 par f(x) = 5x 3 2x 1. 2 x x 3 2x 1 5x 3 2x Donc f est positive sur î 3 5 ; 1 2 î ó ó ó, et négative sur ; ; 2 + î 3 Équation et inéquation quotient TODO pas dans la progression commune? Propriété. Soit une fonction homographique f(x) = ax+b cx+d est nulle si et seulement si ax + b = 0 et cx + d 0. (c 0). La fonction f Propriété. Soit une fonction homographique f(x) = ax+b (c 0). La fonction f cx+d est positive si et seulement si ax + b et cx + d sont de mêmes signes, et cx + d 0.