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1 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009 Evaluato des certtudes de mesure sur ue mache à mesurer trdmesoelle: Nouvelle méthode d estmato des paramètres de surface et certtudes assocées.jlid a, c, S.HRIRI b, J. P.SENELER a,.el GHRD c a. Ecole Supéreure de étrologe, Ecole des es de Doua b. Départemet Techologe des Polmères et Compostes & Igéere écaque Ecole des es de Doua, 94 rue Charles Bourseul Doua Frace (jald, harr, seelaer)@esm-doua.fr c.départemet Gée écaque, Ecole Normale Supéreure d'esegemet Techque (ENSET) de Rabat, veue de l'rmée Roale, adat l Irfae, 000 Rabat aroc Résumé : L estmato de l certtude de mesure sur ue mache à mesurer trdmesoelle est ue procédure assez délcate compte teu de la dversté des paramètres ms e jeu. partr d u uage de pots prélevé sur ue surface apparteat à ue pèce mécaque, les logcels de ces maches procèdet à ue detfcato de l élémet palpé. Les paramètres de cet élémet detfé servet das la phase de calcul à estmer le défaut de forme de l élémet mesuré. Notre artcle présete ue ouvelle méthode d detfcato des élémets, cette méthode tègre l certtude sur les coordoées des pots sass, et peut être applqué das mporte quel repère. La valdato de cette méthode a été effectuée avec succès selo la orme ISO , et cofrmé par ue compage d essas epérmetau. bstract: The evaluato of the measure ucertat o a coordate measurg mache s a delcate eough procedure cosderg the dverst of the parameters bet game. From a cloud of pots take from a surface belogg to a mechacal parts, the software of these maches proceed to a detfcato of the measured elemet, the parameters of ths elemet detfed serve the phase of calculato to estmate the defect of shape of the measured elemet. Our artcle presets a ew method of detfcato of the elemets, ths detfcato tegrates the ucertat o the coordates of the measured pots ad ca be appled a referece placemark The valdato of ths method was carred out successfull accordg to the stadard ISO , ad cofrmed b epermetal tests ots clefs: ache à esurer Trdmesoelle, certtude T, Régresso dstace orthogoale. Kewords: Coordate easurg ache, ucertat C, Orthogoal dstace regresso

2 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009. Itroducto E métrologe trdmesoelle, l outl prvlégé de cotrôle est actuellemet la mache à mesurer trdmesoelle (T). partr d u uage de pots prélevé sur ue courbe (ou surface) réelle, le logcel de la mache procède à ue detfcato de l élémet palpé. Cette opérato cosste à assocer ue courbe (ou surface) théorque au uage de pots palpés, les crtères d assocato les plus utlsés sot : le crtère des modres carrés ou le crtère de Tchebchev. Les géométres les plus recotrées das ce domae sot la drote, le pla, le cercle, le cldre, la sphère et le côe. De ombreu travau [5] [] [] ot porté sur ce problème et les algorthmes stadards des modres carrés supposet que les coordoées des pots palpés sot o etachées d erreurs (leur dstrbuto est supposée à varace ulle), et se lmte le plus souvet à l estmato des paramètres des élémets géométrques assocés. Cet artcle présete u ouvelle méthode d estmato des paramètres des courbes (ou surfaces) et leurs certtudes, e teat compte des certtudes sur les coordoées des pots palpées, le crtére d assocato utlsé est celu des modres carrés. Cette estmato des paramètres se fat sas l hpothése des petts déplacemets et peut être applquée das mporte quel repére.. odélsato du problème Le problème d assocato de courbes ou de surfaces déales à u uage de pots, est u problème très courat das les dscples scetfques et d géere. partr d u relevé de pots o cherche u modèle qu s écrt sous la forme : - Das le cas classque o suppose que les observatos sot etachées d erreurs, le modèle est alors de la forme : = f ( ; β ) ε = () Où : varable dte eplcatve : varable eplquée ou observée β : paramètres Le crtère des modres carrés ordares OLS (Ordar Least Squares) cosste à résoudre le problème suvat : m ( ; ) = β [ ] f β Cec tradut la mmsato des sommes des carrées des dstaces vertcales etre les pots mesurés et les pots apparteats au modèle recherché. - as lorsque les varables eplcatves sot auss aléatores, o fat appel à la méthode de régresso de la dstace orthogoale (ODR : Orthogoal Dstace Regresso). E métrologe o cosdère que toutes les varables et sot affectées respectvemet d ue erreur δ R et ε R. Le modèle représetatf s écrt : = f ( + δ; β ) ε (3) Le problème cosste alors à chercher les paramètres β qu permettet de mmser la somme des carrés des dstaces orthogoales etre les pots mesurés et le modèle théorque. () * k, k *, odèle théorque vec ε δ r *, * j, j Fgure. Regresso e dstace orthogoale r la dstace du pot mesuré de coordoées (, ) au modèle recherché. Le problème peut se mettre sous m (4) = β, δ, ε la forme : ( ω ε ε ) + ωδ δ vec les cotrates : + ε = f ( + δ ; β ) =,,

3 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009 Où ω = ue podérato trodute pour compeser le cas où la précso de mesure est pas la même pour σ tous les pots. Das le cas d u modèle mplcte toutes les varables sot cosdérées comme des varables eplcatves, le problème se met sous la forme suvate : m β, δ ( ω δ δ ) = vec les cotrates : f ( + δ; β ) = 0 =,, m Gééralsos la formulato (5) au cas de pluseurs varables eplcatves R, avec m, et pluseurs focto p+ m q de sortes modélsées par : f : R R vec p : le ombre de paramètres β. Le problème à résoudre est alors eprmé par : m β, δ = T δ ω δ δ vec les cotrates : f ( + δ; β ) = 0 f ( + δ ; β ) = 0 =, (5) (6) fq ( + δ ; β ) = 0 vec : [ δ ] : Le vecteur dot les élémets représetet les écarts suvat etre les pots mesurés et les pots apparteat au modèle. ω ] : La matrce des podératos d ordre (m, m) des varables eplcatves. [ δ [ fq ] : La valeur doée par l équato de sorte q à la eme observato. O ote par G( η) le vecteur des résdus dot le eme élémet est déf par : f ( + δ ; β ) =... G ( η) = δ = +... La matrce de varace covarace des paramètres estmés est doée par : T V = σ G ( η) Ω G ( η) (7) Où Ω est ue matrce des podératos. T Et la varace résduelle est estmée par σ = G ( η) Ω G ( η) /( p) (8) Vβ Vβδ La matrce des varaces et covaraces se met falemet sous la forme V = Vδβ V δ (9) vec V β la matrce la plus utle das la pratque, cette matrce d ordre (p, p) dot les termes dagoau représetet les varaces des paramètres β, et les termes o dagoau représetet les covaraces etre les paramètres. L algorthme de cette méthode est mplaté das la lbrare ODRPCK [4] [6]. La soluto du problème est cherchée par calcul tératf selo ue méthode d optmsato dte de Leveberg arquard (régo de coface) [9] [3]. 3. pplcato e métrologe trdmesoelle Le paramétrage des élémets géométrques de base : la drote le pla, le cercle, le cldre, la sphère et le côe, ous a codut à trater u problème d optmsato o léare à varables stochastques sauf pour la drote et le pla où le modèle est léare.

4 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009 Le paramétrage chos pour les élémets géométrques assocés (EG) est le même que celu décrt das la orme ISO [8]. O doe sur la fgure les etrées sortes du modèle traté : Tpe d élémet géométrque Nuage de pots Icerttude sur,, z odèle d estmato des paramètres et certtudes Paramètres de l EG Icerttudes sur les paramètres 3.. Paramétrage d u élémet : cas du cercle Fgure. Etrées- Sortes du odèle Sot u cercle C, de cetre (,, ) T z et de rao R, apparteat à u pla de ormale le vecteur utare (fgure 3). X* * Z* O Y* * Fgure 3. Paramétrage d u cercle = R L esemble des pots de coordoées (,, ) T z apparteat à ce cercle vérfe : = 0 Ce qu doe : ( ) ( ) ( ) z z. z = 0 ( ) ( ) ( ) + + z z R = 0 a vec + + z = 0 (0) Où,, et z représetet les cosus drecteurs du vecteur ormal. Le vecteur des paramètres à chercher est β = (,, z,,, z, R), Le sstème d équatos (0) a été trodut das l algorthme sous sa forme mplcte. 3.. Icerttude tpe sur les coordoées des pots L certtude d acqusto d u pot est e gééral o costate et déped de la posto du pot das le volume du traval, l évaluato de cette certtude écesste des essas de répétablté et de reproductblté ce qu est ue procédure complquée et demade ue boe coassace de sa mache, des smplfcatos peuvet être fates ( a + ( b. L) das u premer temps, ue des relatos commuémet utlsées d après [7] est de la forme : u = k Où a et b sot des costates doées par le costructeur, et k le fractle déf par la lo de dstrbuto chose. Cette certtude tpe est défe pour chaque ae de la mache, et e fasat l hpothèse que la dstrbuto de ces erreurs sut ue lo ormale de moee ulle et d écart tpe σ = u o aura : σ comme écart tpe de la dstrbuto suvat l ae, σ pour l ae et σ pour l ae z. Cec est schématsé sur la fgure 4. z e Z Volume d certtude d u pot sas e Y σ e X Fgure 4. Volume d certtude assocé à u pot sas

5 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009 La podérato est trodute pour compeser le cas où la précso de mesure est pas la même pour tous les pots, c est be le cas sur ue T pusque l certtude sur les coordoées déped de la valeur lue sur les règles de la mache. Pour chaque pot mesuré de coordoée (,, ) T z o applque ue podérato ω, et pour chaque observato o aura ue matrce de podérato d ordre (3,3) de la forme : 0 0 σ 0 0 σ 0 0 σ z 4. lgorthme proposé près ue modélsato des dfféretes géométres de base, u programme formatque a été développé e vsual C++ permettat l terfaçage avec la lbrare ODRPCK. O propose c-dessous l algorthme qu tradut la démarche suve. Début Lecture du fcher de doés Détermato des paramètres de départ Détermato des podératos des pots sass ffchage des paramètres et de leurs certtudes F ppel des routes ODRPCK (Estmato des paramètres et de leurs certtudes) Fgure 5. lgorthme développé La premère phase de cet algorthme (fgure 5) cosste à lre le fcher de doées, ce fcher cotedra les coordoées des pots palpés. Ue étape de détermato des paramètres de départ permet de se rapprocher de la soluto af d évter les optmums locau. près o assoce ue podérato au coordoées, et z, et ef o fat appel au routes de la régresso e dstace orthogoale, ce qu permet d estmer les paramètres de l élémet géométrque assocé et leurs certtudes. 5. Valdato du modèle selo la orme ISO La orme ISO [8] précose pour la valdato de logcel ue méthode d essa de logcels utlsés pour le calcul des élémets assocés (EG) à partr des mesures par coordoées. Cette démarche peut être résumée comme sut : Esemble de doées de référece Logcel soums à l essa Valeurs des paramètres d essa Valeurs de paramètres de référece Valeurs covertes de paramètres d essa Comparaso Fgure 6. Démarche de valdato selo la Norme ISO partr d u esemble de doées de référece, o estme les paramètres des EG par le logcel soums à l essa. O obtet as u esemble de valeurs de paramètres, ces paramètres serot coverts pour être au même ordre

6 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août 009 que ceu de référece. L étape fale cosste à comparer les résultats obteus et ceu de référece. Cette démarche est smbolsée par la fgure 6. Pour chaque élémet géométrque étudé le PTB [5] doe u uage de pots prélevé sur cet élémet et les paramètres correspodats. Ces doées (uage, paramètres) sot cosdérées comme des valeurs de référece. Le cho de ces doées met e évdece les problèmes les plus souvet recotrés e optmsato (covergece, optmum local, temps de calcul etc ). Les écarts par rapport au valeurs de référece peuvet être classés e 4 catégores, le logcel est cosdéré apte à ue certfcato s tous les écarts observés se stuet das la catégore, s o se trouve das les catégores à 4 le logcel dot fare l objet d ue amélorato. partr des uages de pots fours par le PTB [5] et pour chaque géométre étudée ous avos applqué la démarche de l ISO [8]. La fgure 7 repred les résultats obteus : Résultats de référece PTB Résultats obteus Ecart Drote b pot moe 38, , ,468 38, , , cosus drecteurs 0, , , , , , ,9E-09,4E-09 E-0 Pla b5 pot moe 87, ,4699-4, , ,4699-4, cosus drecteurs 0, , , , , , E-0 E-0 0 Cercle b9 pot: cetre, , ,586, , , Cosus drecteurs -0, , , , , , E-0 E-0 E-0 rao 8,0864 8,0863 E-05 Cldre b6 pot moe 074, , , , , ,55877 E cosus drecteurs -0, , , , , , E-0,3E-09,3E-09 rao 43, , Sphère b38 pot: cetre 377, ,0664 8, , ,0664 8, rao 5, , Côe b36 pot -55, ,84, E-05 E-05 E-05 cosus drecteurs ,77E-06 8,37E E-08 pe 0,0505 0, E-05 rao 6,067 6,067 E-05 Fgure 7. Comparaso etre les résultats trouvés et ceu du PTB La premère coloe (fgure 7) correspod au paramètres de chaque etté géométrque, qu sot : le pot moe du uage, les cosus drecteurs d u vecteur, le rao ou u agle (cas du côe oté ape). Les résultats du PTB sot doés sur les coloes, 3, 4. Das les coloes 5, 6, 7 o affche les résultats trouvés par otre logcel, pus les coloes suvates doet les écarts observés etre les deu résultats. Nous avos traté les 44 fchers test du PTB, les écarts mamums costatés par rapport au valeurs de référece ous classet das la catégore. Pour les côes mesurés partellemet, o se classe das la catégore. Cet écart provet prcpalemet du cho du vecteur de départ, lorsque ce vecteur est pas be chos, la soluto coverge vers u optmum local. U ouveau algorthme de calcul est e cours de développemet pour paller cet écart. 6. Valdato epérmetale Cette valdato cosste à réalser ue sére de mesure de pèces étalos ou des pèces dustrelles sur ue mache à mesurer trdmesoelle. Les uages de pots prélevés serot tratés par otre logcel et les résultats obteus comparés à ceu foure par les fches d étaloage des dfférets étalos, et au résultats calculés par le logcel etrolog dspoble sur la mache. ache et codtos d essas : - T à portque moble SEIV (fgure 8). Capacté X= 000 mm, Y=600 mm, Z= 400 mm avec Tête PH9. Ecart mamal toléré sur les logueurs = ± (4.5 +L/00) avec L e mm. - Pèces mesurées : Cale étalo, bague étalo, sphère d étaloage, pèces dustrelles.

7 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août Tpe de palpeur : Palpeur TP - leu : La mache est stuée das u local clmatsé, la température est régulée à 0 ± C. z Pla P Fgure 8. ache utlsée Fgure 9. Bague mesurée Ue courbe crculare mesurée sur ue bague étalo de damètre 88,00088 mm, la bague a été postoée sur le marbre dot la ormale est appromatvemet parallèle à l ae z. O a prélevé 6 pots sur la courbe omalemet crculare coteue das le pla P (fgure 9). Le tratemet du uage de pots préleves par otre logcel doe les résultats sur la tableau suvat : Cercle de rao R= 44 mm Paramètres e mm (+/-)Icerttudes e µm c c zc z Rao alse des résultats : O costate que les coordoées du pot cetre (c, c, zc) et la valeur du rao R obteus correspodet au résultats théorques attedus défssat u cercle de rao R=44 mm, cetré sur le pot de coordoées (0, 0,-0) et apparteat au pla de ormale parallèle à l ae z. L certtude élarge des paramètres est doée avec u facteur d élargssemet k=. X mesure _ X mesure pplcato du crtère de l écart ormalsé pour la mesure du rao def par E = U + U La fche d étaloage de la bague ous doe : Etaloage d ue bague lsse par comparaso terférométre N Sere Damètre omal e mm d(mm) d(mm) Icerttude(µm) P , Le calcul de l écart ormalsé doe E = Cette méthode cosdère que s E <, l écart est jugé o sgfcatf. O peut coclure que l écart etre la valeur du rao estmé par otre démarche, et la valeur du rao doé par le certfcat d étaloage est jugée o sgfcatf. Et par comparaso au résultats fours par le logcel etrolog (fgure 0), o costate que les paramètres de l élémet géométrque assocé sot correctemet estmés. Le damètre DI 87,9980 Le rao RY 43,9990 Posto du pot cetre X -0,0060 Y -0,000 Z -0,0000 Fgure 0. Résultats du logcel etrolog

8 9 ème Cogrès Fraças de écaque arselle, 4-8 août Cocluso Das cet artcle, ous avos préseté ue ouvelle méthode d detfcato des surfaces, qu ous permet à partr d u uage de pots apparteaat à ue péce mécaque, prélevé sur ue mache à mesurer trdmesoelle d estmer les paramètres de l élémet géométrque assocé et leurs certtudes. Le crtère d assocato utlsé est celu des modres carrées. Cette estmato tet e compte des certtudes sur les coordoées des pots palpés, et peut se fare das mporte quel repère. f de respecter les drectves ormatves [4] qu ege que chaque mesure dove être accompagée de so certtude, l estmato des certtudes sur les paramètres des élémets géométrques assocés est ue phase dspesable pour remoter va la lo de propagato des certtudes à l'certtude sur la spécfcato mesurée, qu elle sot de forme, d oretato ou de posto. Réfereces [] h Sug Joo., Rauh Wolfgag., ad Has-., Least squares orthogoal dstace fttg of cercle sphere, hperbola, ad parabola, rtcle Pergamo 00. [] h Sug Joo., Least Squares Orthogoal Dstace Fttg of Curves ad Surfaces Space, lvre, Edto Sprger, 004. [3] Boggs Paul T., Brd Rchard H., Jaet E.Rogers ad Schabel Robert B., Users Referece Gude for ODRPCK verso.0, Software for Weghtes Orthogoal Dstace Regresso, 99. [4] Boggs Paul T., Brd Rchard H., Schabel Robert B., stable d Effcet lgorthm for Nolear Orthogoal Dstace Regresso, SI Joural of Scetfc ad Statstcal Computg, 987, p [5] Bourdet Perre., Cotrbuto à la mesure trdmesoelle : modèle d detfcato géométrque ; correcto des maches à mesurer ; métrologe foctoelle des pèces mécaques, Thèse d état, 988. [6] Barker R., G.Co, B.Forbes ad P Harrs, Dscrete odellg ad Eperemetal Data alss, Software sopport for etrol Best Practce Gude N 4, 004. [7] Iteratoal Stadard Developmet of Vrtual C, Fal Research Report, the Uverst of Toko, JPN, ma 00, page 7. [8] ISO , Geometrcal Product Specfcato (GPS) - cceptace ad reverfcato tests for coordate measurg maches (C) - Part 6: Estmato of errors computg Gaussa assocated features, 00. [9] Leveberg K., method for the soluto of certa problems least squares, Quart. ppl. ath., 944, Vol., pp [0] atheu Luc., Castag la., Cotrôle des spécfcatos par zoe de tolérace (ISO 0): Quatfcato des erreurs causées par les méthodes de tratemet des pots mesurés, Commucato, Cogrès Iteratoale de étrologe 995. [] atheu Luc., Nouveau algorthme pour la vérfcato sur T des spécfcatos géométrques ormalsées, rtcle 8 Cogres Iteratoale de étrologe, Besaco, 997. [] ouvemet Fraças pour la Qualté FQ., Fches d évaluato de l certtude de mesure, Norme NFX 07 00, 998 [3] arquardt D., algorthm for least-squares estmato of olear parameters, SI J. ppl. ath., 963, Vol., p [4] Norme NFX 07 00, Gude pour l epresso de l certtude de mesure, ju 996 [5] PTB., Phskalsch Techsche Budesastalt, Ste teret [6] Zwolak Jaso W., Boggs Paul T., Watso Lae T., ODRPCK95: weghted Orthogoal Dstace Regresso, rtcle 7, C TOS Vol. 33, No. 4,, ugust 007.