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1 EXERCICE 1 (u n ) est une suite arithmétique de raison a, déterminer l entier k dans chacun des cas suivants : 1. u 21 = 34, a=1,5 et u k = 1 2. u 10 = 64, u 5 = 14 et u k = 114. EXERCICE 2 (u n ) est une suite géométrique de raison q strictement positive, déterminer l entier p dans chacun des cas suivants : 1. u 6 = 4, q= 1 2 et u p = u 3 = 16, u 7 = 1 et u p = 1 8. EXERCICE 3 Soit (u n ) la suite définie par : u 0 = 16 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 0,75 u n. 1. a) Quelle est la nature de la suite (u n )? b) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. c) Étudier la monotonie de la suite(u n ). d) On note S n la somme des n+1 premiers termes de la suite u n. Calculer S On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé, la courbe représentative de la fonction f définie pour tout réel x par f(x)=0,75x et la droite D d équation y=x. y D A1 M u 1 u 0 x A. YALLOUZ Page 1 sur 10

2 a) Construire sur le graphique les termes de la suite u 2, u 3,,u 11. b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n 0,1. 4. Montrer que pour tout entier n, S n = 64 ( 1 0,75 n+1). Vers quel réel tend S n quand n tend vers+? EXERCICE 4 Soit (u n ) la suite géométrique définie par : u 0 = 1 2 et pour tout entier naturel n, u n+1 = 8 5 u n. 1. a) Exprimer, pour tout entier naturel n, u n en fonction de n. b) Étudier le sens de variation de la suite(u n ). 2. a) Utiliser les droites d équations y=x et y=1,6x pour construire les huit premiers termes de la suite(u n ). y x b) Que peut-on conjecturer à propos de la limite de la suite (u n )? 3. À l aide de la calculatrice, déterminer le plus petit entier n tel que u n On note S la somme des n premiers termes de la suite u n. a) Montrer que pour tout entier n, S= 5(1,6n 1). 6 b) Vers quel réel tend S quand n tend vers+? A. YALLOUZ Page 2 sur 10

3 I SUITES GÉOMÉTRIQUES 1 DÉFINITION Dire qu une suite(u n ) est géométrique signifie qu il existe un nombre réel q non nul tel que, pour tout entier n, u n+1 = qu n Le réel q est appelé la raison de la suite géométrique. 2 PROPRIÉTÉ 1 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u n = u 0 q n 3 PROPRIÉTÉ 2 Si(u n ) une suite géométrique de raison q alors pour tout entier n et pour tout entier p, u n = u p q n p 4 MONOTONIE Soit (u n ) une suite géométrique de raison q et de premier terme u 0 donc : u n+1 u n = u 0 q n+1 u 0 q n = u 0 q n (q 1) La monotonie de la suite dépend du signe de u 0, q n et(q 1) Si q<0 alors q n est positif pour n pair, négatif pour n impair donc la suite n est pas monotone. Si q>0 alors la suite est monotone, croissante ou décroissante selon le signe du produit u 0 (q 1). Nous pouvons en déduire les deux théorèmes suivants THÉORÈME 1 Soit q un réel non nul. Si q<0 alors la suite(q n ) n est pas monotone. Si q>1 alors la suite(q n ) est strictement croissante. Si 0<q<1 alors la suite(q n ) est strictement décroissante. Si q=1 alors la suite(q n ) est constante. THÉORÈME 2 Soit (u n ) une suite géométrique de raison q non nulle et de premier terme u 0 non nul Si q<0 alors la suite(u n ) n est pas monotone. Si q>0 et u 0 > 0 alors la suite(u n ) a le même sens de variation que la suite(q n ). Si q>0 et u 0 < 0 alors la suite(u n ) a le sens de variation contraire de celui de la suite(q n ). 5 SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS Soit (u n ) une suite géométrique de raison q 1 et de premier terme u 0 alors pour tout entier n, u 0 + u 1 + +u n = n i=0 ( ) 1 q n+1 u i = u 0 1 q A. YALLOUZ Page 3 sur 10

4 Lycée JANSON DE SAILLY Cette formule peut se retenir de la façon suivante : La somme S de termes consécutifs d une suite géométrique de raison q 1 est : S=premier terme 1 qnombre de termes 1 q II LIMITE D UNE SUITE 1 LIMITE FINIE DÉFINITION Soit (u n ) une suite définie surnetlun réel. 1. Dire que la suite (u n ) admet pour limite le réel l signifie que tout intervalle ouvert de la forme ]l r;l+r[ contient tous les termes de la suite à partir d un certain rang n 0. On écrit : lim u n =l n + 2. Une suite qui admet pour limite un réel l est dite convergente. Autrement dit, une suite (u n ) est convergente vers un réel l si tous les termes de la suite à partir d un certain rang peuvent être aussi proches que voulu del. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE Si on représente la suite convergente par un nuage de points dans un repère, à partir d un certain rang n 0, tous les points sont dans la bande délimitée par les droites d équation y=l r et y=l+r. u n l+r l l r n 0 n PROPRIÉTÉ La suite(u n ) converge vers un réellsi, et selement si, la suite(u n ) l est convergente vers un 0. A. YALLOUZ Page 4 sur 10

5 Lycée JANSON DE SAILLY 2 LIMITE INFINIE DÉFINITION On dit qu une suite (u n ) admet une limite égale à + quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement positif, tous les termes de la suite sont supérieurs à A à partir d un certain rang n 0. On écrit : lim u n =+ n + Concrètement, une suite (u n ) tend vers + si u n est aussi grand que l on veut dès que n est suffisamment grand. INTERPRÉTATION GRAPHIQUE On a représenté ci-dessous une suite(u n ) ayant une limite égale à+ u n A n 0 n Pour tout entier nn 0, u n > A REMARQUES 1. De la même façon, on définit une limite égale à quand n tend vers + si pour tout nombre réel A strictement négatif, tous les termes de la suite sont inférieurs à A à partir d un certain rang n 0. On écrit : lim u n = n + 2. Une suite peut ne pas admettre de limite. Par exemple la suite de terme général( 1) n prend alternativement les valeurs 1 et 1. Elle n admet pas de limite. 3 LIMITES D UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE THÉORÈME (admis) Soit q un réel strictement positif : Si 0<q<1 alors la suite géométrique de terme général q n converge vers 0 : lim n + qn = 0. Si q=1 alors la suite géométrique de terme général q n est constante et sa limite est 1. Si q>1 alors la suite géométrique de terme général q n a pour limite+ : lim n + qn =+. A. YALLOUZ Page 5 sur 10

6 COROLLAIRE Soit (u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 non nul et de raison q strictement positive. Si 0<q<1 alors la suite(u n ) converge et lim n + u n = 0. Si q=1 alors la suite(u n ) est constante et égale à u 0. Si q>1 alors la suite(u n ) admet une limite infinie avec : lim u n = si u 0 < 0 et lim u n =+ si u 0 > 0 n + n + RECHERCHE D UN SEUIL À L AIDE D UN ALGORITHME EXEMPLE 1 Soit (u n ) la suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme u 0 = 500 Comme 0<0,95<1 la suite(u n ) converge vers 0 : lim n ,95n = 0. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à C est à dire déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout entier nn 0, 500 0,95 n INITIALISATION : A=500 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A>10 12 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 0,95 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I PROGRAMME TEXAS CASIO PROGRAM : SEUIL ===== SEUIL ===== : 500 A 500 A : 0 I 0 I : While A > 10ˆ (-6) While A > 10ˆ(-6) : I + 1 I I + 1 I : 0.95*A A 0.95*A A : End WhileEnd : Disp I I La calculatrice affiche 660. Donc pour tout entier n600, 500 0,95 n EXEMPLE 1 Soit (u n ) la suite géométrique de raison 1,2 et de premier terme u 0 = 0,01 01,2>1 et u 0 < 0 donc la suite(u n ) est décroissante et lim n + 0,01 1,2n =. L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite est inférieur à C est à dire déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout entier nn 0, 0,01 1,2 n < 10 9 INITIALISATION : A= 0,01 ; I = 0; TRAITEMENT : TANT_QUE A 10 9 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,2 A ; FIN TANT_QUE SORTIE : Afficher I La calculatrice affiche 139. Donc pour tout entier n139, 0,01 1,2 n < A. YALLOUZ Page 6 sur 10

7 III SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES DÉFINITION Soit a et b deux réels. La suite (u n ) définie pour tout entier n, par la relation de récurrence u n+1 = au n + b et de terme initial u 0 est une suite arithmético-géométrique REMARQUE Si a=1 la suite est arithmétique. Si b=0 la suite est géométrique. Dans les autres cas, la suite n est ni arithmétique ni géométrique. ÉTUDIER UNE SUITE ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUE Soit a et b deux réels tels que a 1 et b 0.(u n ) la suite définie par u 0 et pour tout entier n, u n+1 = au n + b. REPRÉSENTATION GRAPHIQUE On trace la courbe représentative de la fonction affine f : x ax+b et la droite d équation y=x a<0 a>0 y y y=ax+b 1 y=ax+b 0 1 u 1 u 3 u 5 u 7 α u 8 u 6 u 4 u 2 u 0 x u 0 u 1 u 2 u 3 u 4 u 5 u 6 α x Le graphique permet d obtenir un certain nombre de conjectures à propos de la monotonie ou de la convergence de la suite. UNE SUITE AUXILIAIRE Si une suite arithmético-géométrique définie par une relation de récurrence du type u n+1 = au n +b est convergente, alors sa limite est l unique solution de l équation ax+b=x. Soit x= b avec a 1. Soit (v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n b. Montrons que la suite (v n) est une suite géométrique. En effet, pour tout entier n, v n+1 = u n+1 b = au n + b b = au n ab ( = a u n b ) Ainsi, pour tout entier n, v n = a v n donc(v n ) est une suite géométrique de raison a. A. YALLOUZ Page 7 sur 10

8 Par conséquent, pour tout entier n, v n = v 0 a n avec v 0 = u 0 b. On en déduit que pour tout entier n, u n = v 0 a n + b EXEMPLE Chloé dépose 1000 C sur un compte d épargne rémunéré au taux mensuel de 0,2% et choisit d y ajouter à la fin de chaque mois la somme de 250 C. On note u n le montant, en euros, du capital acquis au bout de n mois. 1. Exprimer u n+1 en fonction de u n. Le coefficient multiplicateur associé à un taux d intérêt de 0,2% est 1,002. Donc pour tout entier n, u n+1 = 1,002 u n Soit(v n ) la suite définie pour tout entier n, par v n = u n Montrer que v n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Pour tout entier n, v n+1 = u n = 1,002 u n = 1,002 (u n ) = 1,002 v n Ainsi,(v n ) est une suite géométrique de raison 1,002 et de premier terme v 0 = = Exprimer u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison 1,002 et de premier terme v 0 = donc pour tout entier n, v n = ,002 n. Donc pour tout entier n, u n = ,002 n Étude de la suite(u n ). a) Variation Pour tout entier n, u n = ,002 n Donc pour tout entier n, u n+1 u n = ( ,002 n ) ( ,002 n ) = ,002 n ,002 n = ,002 n (1,002 1) = 252 1,002 n D où u n+1 u n > 0. Par conséquent, la suite(u n ) est strictement croissante. b) Limite Comme 1,002 > 1, lim n + 1,002n =+ donc lim n ,002n =+. c) Combien de mois sont nécessaires pour que le montant du capital disponible dépasse C? On cherche à déterminer le plus petit entier n 0 tel que pour tout entier nn 0, u n > L algorithme suivant permet d obtenir le seuil à partir duquel le terme général de la suite (u n ) est supérieur à A=1000 ; I = 0; TANT_QUE A15000 FAIRE I prend la valeur I+ 1 ; A prend la valeur 1,002 A+250 ; FIN TANT_QUE Afficher I La calculatrice affiche 53. Donc le capital disponible dépassera C au bout de 53 mois. A. YALLOUZ Page 8 sur 10

9 CORRECTION DU DM N O 1 (D après sujet bac Antilles Septembre 2008) Une association caritative a constaté que, chaque année, 20 % des donateurs de l année précédente ne renouvelaient pas leur don mais que, chaque année, 300 nouveaux donateurs effectuaient un don. On étudie l évolution du nombre de donateurs au fil des années. On note u n le nombre de donateurs lors de la n-ième année. 1. Sachant que u 1 = 1000, calculer u 2 et u 3. Chaque année, 80% des donateurs de l année précédente renouvellent leur don : u 2 = ,80+300=1100 u 3 = ,80+300= Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, on a : u n+1 = 0,8 u n Chaque année, 80 % des donateurs de l année précédente renouvellent leur don et 300 nouveaux donateurs effectuent un don donc : Pour tout entier naturel n1, on a u n+1 = 0,8 u n On introduit la suite(v n ) définie pour tout entier naturel non nul n, par v n = 1500 u n. a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique. Préciser sa raison et son premier terme. Pour tout entier naturel non nul n, v n+1 = 1500 u n+1 = 1500 (0,8 u n + 300) = ,8 u n = 0,8 (1500 u n ) = 0,8 v n Ainsi, pour tout entier naturel n1, on a v n+1 = 0,8 v n donc (v n ) est une suite géométrique de raison 0,8. D autre part, v 1 = 1500 u 1 soit v 1 = =500 (v n ) est la suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v 1 = 500 b) En déduire l expression de v n puis de u n en fonction de n. (v n ) est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme v 1 = 500 donc : pour tout entier naturel n1, on a v n = 500 0,8 n 1 = 625 0,8 n Or pour tout entier naturel non nul n, v n = 1500 u n soit u n = 1500 v n. Donc pour tout entier naturel n1, u n = ,8 n c) Si la tendance se poursuit, combien y aura-t-il de donateurs dans dix ans? Le terme u 11 correspond au nombre de donateurs dix ans. u n = , Si la tendance se poursuit, il y aura environ 1446 donateurs dans dix ans. A. YALLOUZ Page 9 sur 10

10 Lycée JANSON DE SAILLY d) L association peut-elle espérer passer la barre des 1500 donateurs? Justifier. Méthode 1 : pour tout entier n non nul, u n 1500= 625 0,8 n Or pour tout entier n, 0,8 n > 0 d où pour tout entier n non nul, u n 1500<0 L association ne peut pas espérer dépasser la barre des 1500 donateurs. Méthode 2 : 0<0,8<1 donc lim n + 0,8n = 0. Par conséquent, lim n ,8n = Donc la suite(u n ) converge vers D autre part, u n+1 u n = ( ,8 n+1) ( ,8 n ) = 625 0,8 n 625 0,8 n+1 = 625 0,8 n (1 0,8) = 125 0,8 n D où, u n+1 u n > 0 donc la suite(u n ) est croissante. La suite(u n ) est croissante et converge vers 1500 donc pour tout entier n non nul, u n L association ne peut pas espérer dépasser la barre des 1500 donateurs. y Représentation graphique de la suite(u n ) 1500 u M M 10 u 11 9 u 10 9 M 8 8 M 7 u 7 M 6 u 6 M 5 u 5 M 4 u 4 M 11 M 12 M 13 u 3 M 3 u 2 M u 1 M x A. YALLOUZ Page 10 sur 10

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