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- Léon Mathieu
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1 ÆÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ä Ò ½ Å ËË ¹ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ë Ø Ò Î Ö Ð Ú Ö Ð ºÙÒ º Ö ÛÛÛº ºÙÒ º Ö» Ú Ö Ð ÕÙ Ô ËÓ ¹ ÍÒ Ú Ö Ø Æ ËÓÔ ¹ ÒØ ÔÓÐ ½½ ÚÖ Ð ¾¼¼
2 Ç Ø Ð Ò ½¾ ÈÖ Ò Ö Ù Ö ÙÐ ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ Ö ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ Ö Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ Ù ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ Ø ÓÒ ÔÖ Ò Ô Ð Ù ÓÙÖ ÓÑÑ ÒØ ÚÓ Ö ÕÙ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÓÑÔÐ Ü
3 ÈÐ Ò ½ ¾
4 Ò ¼½ г Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ÓÒÒ ØÖ ÙÒ Ò Ø ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ÕÙ ÓÒÒ ØÖ Ð ÑÓØ Ð ³ÙÒ Ð Ò ÑÔ Ö Ø ÑÔÐ ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ñ ÔÐ Á ÒØ Ö Ø ÙØ Ð Ö Ð ØÝÔ Ñ ÔÐ Ø Ö Ø ÓÑÑ ÒØ Ö ÙÒ Ó Ñ ÔÐ Ê Ð Ö ÙÒ ÐÙРг Ú Ö Ð
5 Ò Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ø ÓÒ ÍÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ÙÒ Ò Ñ Ð Ò ³ Ò ØÖÙØ ÓÒ ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ Ò Ò ÙÒ Ð Ò ÓÖÑ ÐÐ µ ÕÙ ÔÓÙÖ ÙØ Ð Ö ÓÐÙØ ÓÒ ³ÙÒ Ø Ô ÖØ Ö ³ÙÒ Ø Ø Ò Ø Ð Ø Ø ÖÑ Ò ÒØ ÙÖ ÙÒ Ø Ø Ò Ð Ò Ò º
6 Ð ÓÖ Ø Ñ ØÓÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ ÙÐ Ð Ñ ÒØ ÎÁÁ ¹ ¾»¹¾ Úº  µ ÐÙÐ Ù È Ö Ð ³ Ö ØÓØ Ò ÁÁÁ Ú ÒØ Âº¹ ºµ ÅÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ ÝÔØ ÒÒ ØÓÙÖ Ñ µ Ê Ö ³ÙÒ ÑÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒÒ Ö Ø Ö Ø ÓØ ÓÑ ÕÙ ÁÒ Ñ ÓÖÔÓÖ ÐÐ ÓÒ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÙ ÐÐÓ Ö ÔÓÙÖ Ö ÓÙ ÐÐ Ö Ð³ Ù Ê ØØ Ù Ò
7 Ò ¼¾ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ð Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ø Ø ÓÒ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ò Ð Ú Ð ÙÖ ÙÜ Ú Ö Ð Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ø Ø ÑÔÐ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÙÒ Ø Ø ÑÙÐØ ÔÐ
8 Ò ¼¾ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ Ø ÓÒÒ Ð ÔÖ Ò Ô ÒÐÙ ÓÒ» ÜÐÙ ÓÒ Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ÓÒÒ Ð Ò Ú Ù ØÖ Ò ÓÒØ ÓÒ Ù ÒÓÑ Ö ÓÙÖ Ú ÒØ Ð³ Ü Ñ Òº
9 Ò ¼ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÙÒ Ø Ö Ø ÓÒ ØÝÔ ÔÓÙÖ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ø Ö Ø ÓÒ Ñ Ó Ø ØÝÔ ÔÓÙÖ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ú Ð³ Ø Ö Ø ÓÒ ØÝÔ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÖÖ Ø ³ Ù ÑÓ Ò Ð Ò
10 Ò ¼ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø Ö Ø Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ð Ò Ñ ³ÙÒ Ù Ø Ò Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò º Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ ÐÙРг Ò Ù ÔÖ Ñ Ö Ø ÖÑ Ð Ù Ø ÔÐÙ Ö Ò ÕÙ³ÙÒ Ú Ð ÙÖ ÓÒÒ º
11 Ò ¼ Ë Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÒØ ÓÒ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ö Ö ÓÖÖ Ø Ñ ÒØ ÙÒ ÓÒØ ÓÒ Ñ ÔÐ ÓÑÔÖ Ò Ö Ø ÐÙÐ Ö Ð Ö ÙÐØ Ø ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ ÅÓ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ ÍØ Ð Ö ÙÒ Ô ÖØ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ ÓÖÖ Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ
12 Ò ¼ ËØÖÙØÙÖ ÓÒÒ Ò Ü Ä Ö Ø ÒÖ ØÖ Ö ÙÒ Ú Ð ÙÖ Ò ÙÒ Ø Ð Ù Ê Ö Ú Ð ÙÖ ÜØÖ Ñ Ð ³ÙÒ Ø Ð Ù ÍØ Ð Ø ÓÒ ³ÙÒ ÙÑÙÐ Ø ÙÖ ÔÓÙÖ Ö Ð Ö ÙÒ ÐÙÐ Ò ÙÒ Ø Ð Ù Ë ÚÓ Ö ÓÒ ÚÓ Ö ÙÒ Ù Ø Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ë ÚÓ Ö Ò Ô Ø Ö Ð Ú Ð ÙÖ ÖØ Ò ÓÒÒ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ
13 È Ø Ø ÜÓ Ò Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ö Ô ÖØ Ö ³ÙÒ Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ø ÐÐ Ò/ ÓÒØ Ò ÒØ Ð Ñ Ü ÑÙÑ ØÖÓ ÒÓÑ Ö ÓÒ ÙØ ÚÓ Ö Ü ÑÔÐ Ø Ð Ùµº
14 Ò ¼ Ë ÑÙÐ Ö Ð³ Ð ØÓ Ö ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖÓÔÖ Ø ³ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ Ô Ù Ó¹ Ð ØÓ Ö Ë ÑÙÐ Ö ÙÒ ÒÓÑ Ö Ð ØÓ Ö ÒØ Ö ÓÙ ÓØØ ÒØ ÒØÖ ¾ ÓÖÒ ÓÒÒ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÙØ Ð ÒØ ÙÒ Ò Ö Ø ÙÖ Ô Ù Ó¹ Ð ØÓ Ö Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÕÙ Ò Ö Ö Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ù ØÝÔ Ù Ø+½ = Ù Ø + + ǫ Ø Ù Ø+½ = ( + ǫ)ù Ø +
15 Ò ¼ Ë ÑÙÐ Ö Ð³ Ð ØÓ Ö ÎÓ Ö ÓÖÖ Ø ÓÒ Ù ÚÓ Ö Ò Ð ÔÖÓ Ò Ì ººº
16 Ò ¼ Ê Ö Ø ÒÓÑ Ö Ñ ÒØ Ò Ø Ð ÙÜ Ê Ö Ø Ö Ø Ú ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ø Ð Ù Ê Ö ÓØÓÑ ÕÙ ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÜ Ø Ð ÙÜ Ò Ô Ö ÐÐ Ð
17 Ê Ö ÓØÓÑ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ÒØ Öµ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö ¼ Ò ½ Ö Ö ÓØÓÑ ÕÙ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ( + )/¾ Ø ÒØ ÕÙ Ø Ø[] Ü Ö Ø[] < Ü ÐÓÖ + ½ ÒÓÒ ½ Ò ( + )/¾ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ò
18 Ò ¼ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ ÓÒÒ ØÖ Ð ÔÖ Ò Ô Ø Ð³ ÒØ Ö Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ô Ö Ð Ø ÓÒ Ø Ô ÖÑÙØ Ø ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ô Ö Ò ÖØ ÓÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ØÖ Ö Ô
19 Ò ¼ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ú ÙÒ ÙÐ Ø Ø Ø Ð Ö Ð Ð Ò ÒØÖ ÔÖ ÙÚ Ô Ö Ö ÙÖÖ Ò Ø Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ Ê Ö ÓØÓÑ ÕÙ ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ø Ð Ù
20 Ò ¼ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ ÐÙÐ Ù Ô ÐÙÐ Ù Ø ÒÙÑ Ö ÕÙ ÐÙÐ Ð ÔÙ Ò ÐÙÐ Ð ØÓÖ ÐÐ ÌÓÙÖ À ÒÓ
21 Ê Ö ÓØÓÑ ÕÙ Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ò ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö ÒØ Öµ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö > ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÙÜ ÒÓÒ ( + )/¾ Ø[] = Ò ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÎÖ ÒÓÒ Ø[] < Ò ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ò Ø ½ µ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ò Ø ¹½µ Ò Ò Ò Ò
22 Ò ½¼ ËØÖÙØÙÖ ÓÒÒ Ð Ò Ö ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ð Ø ÐÙÐ Ö Ð ÐÓÒ Ù ÙÖ ³ÙÒ Ð Ø ÜØÖ Ø ÓÒ ÓÙ ¹Ð Ø ³ÙÒ Ð Ø ÍØ Ð Ö ÙÒ ÙÑÙÐ Ø ÙÖ Ú ÙÒ Ð Ø
23 Ü ÑÔÐ Ö Ö ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö ÙÖ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ ÕÙ ÔÖ Ò Ò Ô Ö Ñ ØÖ ÙÒ ÒØ Ö ÔÓ Ø Ò Ø ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ ÙÒ Ð Ø Ø ÐÐ Ò ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö ¼ Ò Ø Ô Ö Ø ÕÙ ÓÑÑ Ò Ô Ö ½ Ò Ø ÑÔ Öº È Ö Ü ÑÔÐ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ µ Ö ØÓÙÖÒ Ð Ð Ø (½, ¼, ½, ¼, ½) Ø ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ µ Ö ØÓÙÖÒ Ð Ð Ø (¼, ½, ¼, ½, ¼, ½) Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ÒØ Öµ Ð Ø ÙØ Ò = ¼ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø Î µ ÒÓÒ ÑÓ ÙÐÓ(Ò, ¾) = ¼ ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ¼ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ½µµ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ø ÓÒ ½ ÓÒ ØÖÙØ ÓÒ Ò ½µµ Ò
24 Ò ½½ ËØÖÙØÙÖ ÓÒÒ Ö ÓÖ ÒØ ÓÒÒ ØÖ Ð ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÙÖ Ð Ö Ö È ÖÓÙÖ ÔÖ Ü Ò Ü ÔÓ Ø Ü Ò ÙÒ Ö Ö Ê Ö ³ÙÒ Ð Ñ ÒØ Ò ÙÒ Ö Ö
25 Ò ½¾ ÆÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒÒ ØÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÒÓÑ Ö Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ Ö ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÒÒ Ö Ð³ÓÖ Ö Ö Ò ÙÖ Ù ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ü ÙØ ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ
26 Ê Ô ÖÐÓÒ Ù Ò ÈÖÓ Ð Ñ ÓÒÚ ÚÓ Ö ÙÒ ÓÒ Ø Ù ÙÜ ØÖÓÒ ÈÖ Ô Ö Ø ÓÒ ÁÒ Ö ÒØ ÔÓÙÖ Ô Ö ÓÒÒ µ ¹ ½ ÔØ Ö ¹ ½ ¼ ÙÖ ¹ ½¼¼ ÙÖÖ ÓÒ Ù ¹ Ó Ù ¹ Ð Ù ÙÜ ØÖÓÒ º ÈÖ Ù Ö Ð ÓÙÖ ¾¼¼ º º Ö Ð ÔØ Ö º º ØØÖ Ð Ó Ù Ú Ð ÙÖ Ò ÔÓÙ Ö Ù ÕÙ³ Ð³Ó Ø ÒØ ÓÒ ³ÙÒ Ñ Ð Ò ÑÓÙ Ùܺ º ÓÙØ Ö Ð Ù ØÖÓÒº º ÓÙØ Ö Ð ÙÖÖ ÓÒ Ùº º Ò ÓÙÖÒ Ö Ø Ð Ö Ù Ö ÒÚ ÖÓÒ ¼ ÑÒº º Ä ÔÖ Ô Ö Ø ÓÒ Ó Ø ÓÖ Öº
27 Ê Ô ÖÐÓÒ Ù Ò ÉÙ Ò ÓÒ Ø ÑÓ Ø Ñ ÒØ ÙÒ Ô Ù Ù Ò ÔÐÙ ÙÖ ÕÙ Ø ÓÒ ÔÓ ÒØ ÓÑ Ò Ø ÑÔ Ùع Ð ÔÓÙÖ ÔÖ Ô Ö Ö ØØ Ö ØØ Ø¹ ÕÙ ³ Ð Ñ Ø Ö Ð Ø Ð ÔÐ ÔÓÙÖ Ö Ð Ö Ð Ö ØØ ÇÒ Ô ÙØ Ñ Ñ ÐÐ Ö ÔÐÙ ÐÓ Ò Ø¹ Ð Ö ØØ Ñ ÖÑ ØÓÒ Ø ÔÐÙ Ö Ô ÕÙ Ð Ö ØØ Ö Ò ¹Ñ Ö ÉÙ³ ع ÕÙ Ô ÙÜ Ö ÓÑÑ Ö ØØ Ú ÙÒ ÖÓÐÐ Ø ÙÒ ÔÓ ÐРع ÕÙ ³ Þ ÔÐ Ø ÔÓÙÖ Ö Ð Ö Ð Ö ØØ ÔÓÙÖ ½ Ô Ö ÓÒÒ Å Ñ Ö Ú ÒØ Ò ÙÒ ÙÖ Ø¹ ÕÙ ³ Þ Ø ÑÔ ÔÓÙÖ Ö ½¼¼ ÓÙÜ Ð Ö Ñ Ø¹ ÕÙ Ð Ö ØØ Ø ÓÒÒ ººº
28 ÉÙ Ø ÓÒ Ù Ò Ò Ù Ò ÙÜ Ø ÙÖ Ò ÙØÖ ºººµ ÓÒØ ÔÖ Ò Ö Ò ÓÒ Ö Ø ÓÒ Ä Ø ÑÔ ÓÒ ÔØ ÓÒ Ä³ Ô Ò Ö Ð ÓÒ ÔØ ÓÒ Ò Ö Ð Ø ÑÔ Ø Ð³ Ô Ô Ò ÒØ Ù ÒÓÑ Ö Ô Ö ÓÒÒ º Ê Ö ÓÒ Ð ÔÖÓ Ð Ñ Ò Ò ÓÖÑ Ø ÕÙ Ó Ð ÓÒÒ ÓÒØ ÙÒ ÙØÖ Ú ÙÖººº
29 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ö Ö ½ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ < Ò ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ØÖÙ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ð Ò Ò
30 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö Ö Ö ½ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ Ö < Ò Ò Ù Ø ÔÓÙÖÕÙÓ Ò Ô ÚÓ Ö Ø Ø Ö Ø[ ] = Ü
31 Ê Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÑ Ö ÒØ Ö ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö ¾ Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö ÒØ Öµ ÓÓÐ Ò Ú Ö Ð ÒØ Ö ÙØ > ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÙÜ ÒÓÒ ( + )/¾ Ø[] = Ü ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö ÎÖ ÒÓÒ Ø[] < Ü ÐÓÖ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ü Ø ½ µ ÒÓÒ Ö ØÓÙÖÒ Ö Ö Ö Ü Ø ¹½µ Ò Ò Ò Ò
32 ÓÑÔ Ö ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ÉÙ Ø ÓÒ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ò Ù ÒÓÑ Ö ÓÒÒ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ºººº ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÉÙ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ñ Ð ÔÓ Ð Ô Ò Ñ Ò ÙÖ Ð ÕÙ Ð ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ ³ Ü ÙØ ºººº ÉÙ Ð Ø Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ð ÔÐÙ Ö Ô ³ Ü ÙØ ÒØ ÙÖ ÙÒ Ñ Ñ Ñ Ò Ö Ö Ò µ ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÉÙ Ø ÓÒ ÒÓÖ Ñ Ð ÔÓ ÓÒ Ô ÙØ Ñ Ò Ö Ø Ð ÙÜ ÙÖ Ð ÕÙ Ð ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ø ØÖ Ö Ô Ô Ö Ö ÔÔÓÖØ Ð³ ÙØÖ º ÓÑÔ Ö ÓÒ Ø ÑÔ ³ Ü ÙØ ÓÒ Ò ÑÓÝ ÒÒ Ò Ð Ô Ö ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÔÓÙÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ø Ñ
33 ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ ÁÐ Ü Ø ÙÜ Ñ ÙÖ Ð³ Ø ³ÙÒ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ô Ñ ÑÓ Ö Ò Ö ÔÓÙÖ Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ø ÑÔ Ò Ö ÔÓÙÖ Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÇÒ Ò ³ ÒØ Ö Ö ÙÐ Ñ ÒØ ÕÙ³ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ô Ø Ð Ø ÒØ Ò Ò Ö Ð ÑÓ Ò Ö Ø ÕÙ º ÈÓÙÖØ ÒØ ÓÙÚ ÒØ ÜÔ Ö Ñ ÒØ Ð Ñ ÒØ ÓÒ Ô Ò ÒÖ Ö Ð Ø ÓÒ Ô Ø Ð Ø ÑÔÓÖ ÐÐ = ÓÒ Ø ÒØ
34 Å ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ º ÃÒÙØ µ ÈÓÙÖ Ö Ò Ö Ò Ô Ò ÒØ Ð Ñ ÙÖ Ð Ú Ø Ð Ñ Ò Ò ÙØÖ µ Ð ÙØ Ò Ö ÙÒ ÙÒ Ø ÓÑÔ Ö ÓÒ Ä³ Ø Ò Ö Ð ÒÓÑ Ö ³ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ò ÓÒØ ÓÒ Ð Ø ÐÐ ÓÒÒ ÁÒØ Ö Ø Ø Ñ Ö Ð ÓÙØ Ò Ü ÙØ Ö Ð³ Ð ÓÖ Ø Ñ ÓÑÔ Ö ÓÒ ³ Ð ÓÖ Ø Ñ Ò Ð Ü ÙØ Ö
35 Å ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ º ÃÒÙØ Ò ½ ¼µ Ä Ø ÐÐ ÓÒÒ Ô ÙØ ØÖ Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ø Ð Ù Ð Ö Ò ÙÖ ÒÓÑ Ö Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ð Ø Ä ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö Ô ÙÚ ÒØ ØÖ Ø Ø ÓÒ Ð ØÙÖ Ñ ÑÓ Ö Ø ÓÒ ÓÙØÖ Ø ÓÒ Øº Ø Ø ÐÓ ÕÙ Ä Ò ØÖÙØ ÓÒ Ð Ñ ÒØ Ö ÓÒØ ÓÙÚ ÒØ Ó Ø ½ ÙÒ Ø º
36 Î Ø ÔÖÓ ÙÖ ÓÙÖ Û Ô Ø ÆÓÑ ÌÖ Ò ØÓÖ Ö Õº ÅÁÈË ½ ½ ¼¼ ¾ ¼¼ ½ ¼ ¼ ¼¼¼ ¾ÅÀÞ ¼ ½ ¼ ¾ ¼¼¼ ÅÀÞ ¼ ½ ¾ ¼¾ ½ ¼¼¼ ÅÀÞ ½ ½ ¼ ¾ ¼¼¼ ½ ÅÀÞ ½ ¼ ½¾¼¼¼¼¼ ¾ ÅÀÞ ¾¼ ½ È ÒØ ÙÑ ½¼¼¼¼¼ ¼ÅÀÞ ½¼¼ ½ È ÒØ ÙÑÁÁ ¼¼¼¼¼ ¾ ÅÀÞ ¼¼ ½ È ÒØ ÙÑÁÁÁ ¼¼¼¼¼ ¼ÅÀÞ ½¼ ¾¼¼¼ È ÒØ ÙÑ ¾¼¼¼¼¼¼ ½ ÀÞ ½ ¼¼ ¾¼¼ È ÒØ ÙÑ ÈÖ ÓØØ ½¾ ¼¼¼¼¼¼ ÀÞ ¼¼¼ ¾¼¼ ÓÖ ¾ ÙÓ ¾ ½¼¼¼¼¼¼ ¾ ÀÞ ¾¾¼¼¼ ÅÁÈË Å ÐÐ ÓÒ ³ Ò ØÖÙØ ÓÒ Ô Ö ÓÒ
37 Ò Ø ÓÒ ËÓ ÒØ Ø ÙÜ ÓÒØ ÓÒ ÁÆ Ò Áʺ ÓÖÒ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ (Ò) ³ Ð Ü Ø ÙÜ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú ½ Ø ¾ Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò Þ Ö Ò ¼ ½ (Ò) (Ò) ¾ (Ò) ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = Θ( (Ò)) c2 g(n) f(n) c1 g(n)
38 Ò Ø ÓÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÝÑÔØÓØ ÕÙ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÔÔÖÓ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ (Ò) ³ Ð Ü Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ØÖ Ø Ñ ÒØ ÔÓ Ø Ú Ø ÐÐ ÕÙ ÔÓÙÖ Ò Þ Ö Ò ¼ (Ò) (Ò) ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) c g(n) f(n)
39 Ò Ø ÓÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÒÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÔÖÓ Ò Ð Ð µ (Ò) Ø ÙÒ ÓÖÒ ÙÔ Ö ÙÖ ÒÓÒ ÝÑÔØÓØ ÕÙ Ñ ÒØ ÔÔÖÓ (Ò) ÓÙ ÕÙ Ø Ò Ð Ð Ú ÒØ ÇÒ ÒÓØ ÐÓÖ (Ò) = Ó( (Ò)) (Ò) Ð Ñ Ò (Ò) = ¼
40 ÈÖÓÔÖ Ø (Ò) = Θ( (Ò)) ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) (Ò) = Ó( (Ò)) ÐÓÖ (Ò) = O( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ Ã ÁÊ Θ(Ã + (Ò)) = Θ( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ ÁÊ Θ( (Ò)) = Θ( (Ò)) ÔÓÙÖ ØÓÙØ < Θ(Ò + Ò ) = Θ(Ò )
41 Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÈÓÙÖ Ò ÐÝ Ö Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÙÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ø ÓÖ Ù Ú ÒØ ÓÑÔÐ Ü Ø ÓÒ Ø ÒØ Θ(½) Ü ÐÙÐ Ù Ñ Ü ÑÙÑ ÙÜ ÒÓÑ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø ÐÓ Ö Ø Ñ ÕÙ Θ(ÐÓ (Ò)) Ü Ö Ö ÓØÓÑ ÕÙ Ò ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ö Θ(Ò) Ü Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÒ ÓÖ ÓÒÒ Ø ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø ÕÙ ¹Ð Ò Ö Θ(Ò ÐÓ (Ò)) Ü ØÖ Ö Ô ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Θ(Ò ) Ú > ½ Ü ØÖ Ô Ö Ò ÖØ ÓÒ ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ñ ØÖ ÓÑÔÐ Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ Θ( Ò ) Ú > ½ Ü ØÓÙÖ À ÒÓ
42 Ì ÙÜ ÖÓ Ò Ì(Ò) Ò = ½¼ Ò = ¾¼ Ò = ¼ Ò = ¼ Ò = ¼ ÐÓ (Ò) ½µ ½. µ ½. µ ½. µ ½. µ Ò ½¼µ ¾¼µ ¼µ ¼µ ¼µ Ò ÐÓ (Ò) ½¼µ ¾ µ µ µ ½¼ µ Ò ¾ ½¼¼µ ¼¼µ ¼¼µ ½. Ñ. Ñ Ò ½Ñ Ñ ¾ Ñ Ñ ¾½ Ñ ¾ Ò ½Ñ ½ ½ ÑÒ ½ ÓÙÖ Ð Ò ¼Ñ ½ Ò ¼¼ Ð ½. ½¼ ½ Ð Ú Ø Ö ³ Ö Ö Ð ÓÖ Ø Ñ Ú ÓÑÔÐ Ü Ø ÜÔÓÒ ÒØ ÐÐ ººº
43 Ø ³ÙÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ ËÓ Ø Æ Ð Ø ÐÐ ³ÙÒ Ò Ø Ò ØÖ Ø Ð Ò ÙÒ Ø ÑÔ Ö ÓÒÒ Ð ÉÙ ÐÐ Ø ÐÐ ÔÓÙÖÖ ¹Ø¹ÓÒ ØÖ Ø Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÓÖ Ò Ø ÙÖ ÖÓÒØ ½¼¼ Ø ½¼¼¼ ÔÐÙ Ö Ô Ü ÑÔÐ ½ Ì(Ò) = Θ(Ò ¾ ) Ù ÓÙÖ ³ Ù Ì(Æ) = Æ ¾ Ñ Ò Ì (Æ ) = Ì(Æ ) ½¼¼ Ü ÑÔÐ ¾ Ì(Ò) = Θ(¾ Ò ) Ù ÓÙÖ ³ Ù Ì(Æ) = ¾ Æ Ñ Ò Ì (Æ ) = ¾Æ ½¼¼ = Æ ¾ ½¼¼ ³Ó Æ = ½¼Æ ³Ó Æ = Æ +.
44 Ø ³ÙÒ Ñ Ð ÓÖ Ø ÓÒ Ì(Ò) Ù ÓÙÖ ³ Ù ½¼¼ Ó ÔÐÙ Ö Ô ½¼¼¼ Ó ÔÐÙ Ö Ô ÐÓ (Ò) Æ Æ ½¼¼ Æ ½¼¼¼ Ò Æ ½¼¼Æ ½¼¼¼Æ Ò ¾ Æ ½¼Æ ¾Æ Ò Æ. Æ ½¼Æ ¾ Ò Æ Æ + Æ + ½¼ Ò Æ Æ + Æ +
45 ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÓÒ ÈÓÙÖ ÕÙ Ò ØÖÙØ ÓÒ ÓÒ Ô ÙØ Ò Ö ÙÒ Ó Ø Ö ÒØ ½ Ø Ø ÓÒ ½ ½ Ð ØÙÖ ¾ ½ ÓÔ Ö Ø ÓÒ Ö Ø Ñ Ø ÕÙ ½ Ø Ø Å ÓÒ ³ ÒØ Ö ÙÐ Ñ ÒØ Ð Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ³ ع¹ Ö Ù Ó Ø ÙÒ ÓÒ Ø ÒØ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ú ÔÖ º ÇÒ ÔÔÖÓÜ Ñ ÓÒ Ð Ó Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ô Ö ÙÒ Ñ Ñ Ø ÙÒ ÕÙ Ó Ø ÙÒ Ø Ö º ÎÓ Ö Ñ Ñ ÙÒ Ó Ø ÙÒ Ø Ö Ô Ö Ð Ò Ó ººº
46 ÓÒ Ø ÓÒÒ Ð ÐÓÖ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø ½ ÒÓÒ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø ¾ Ò Ä ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ ÓÒ Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ø ÚÖ ½ + ½ Ø Ù ½ + ¾
47 ÁØ Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ ÔÓÙÖ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÔÓÙÖ Ä ÓÑÔÐ Ü Ø ³ÙÒ ÓÙÐ ÔÓÙÖ Ø Ð ÓÑÑ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ØÖÙØ ÓÒ Ö Ô Ø =
48 ÁØ Ö Ø ÓÒ ÔÓÙÖ Ô ÖØ ÙÐ Ö ÔÓÙÖ ½ Ò Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò ÔÓÙÖ ÄÓÖ ÕÙ = Ø ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ø Ò Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø Ò
49 ÁØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÒØ ÕÙ ËÓ Ø Ð Ò Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ð ÓÙÐ Ø ÒØ ÕÙ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÐÓÖ Ò =½
50 ÁØ Ö Ø ÓÒ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ñ ÖÕÙ Ø ÒØ ÕÙ Ö Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ø ÒØ ÕÙ Ä ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ô Ò ÓÙÚ ÒØ ÓÒÒ º ÇÒ ÙØ Ð ÐÓÖ Ð ÒÓØ ÓÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ô Ö ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ñ Ü Ñ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÑÓÝ ÒÒ ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ ÑÓÝ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ò Ð Ñ ÐÐ ÙÖ ÐÓÖ ÕÙ Ð ÒÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ö Ñ Ò Ñ Ð
51 Ü ÑÔÐ ÓÑÔÐ Ø Ö Ö Ò ÙÒ Ø Ð Ù ÒÓÒ ÓÖ ÓÒÒ Ð ÓÖ Ø Ñ Ö Ö Ü ÒØ Ö Ø Ø Ð Ù ³ ÒØ Ö Ò ÒØ Öµ ÓÓÐ Ò ÙØ Ú Ö Ð ÒØ Ö ¼ Ø ÒØ ÕÙ < Ò Ø Ø[ ] Ü Ö + ½ Ò Ø ÒØ ÕÙ Ö ØÓÙÖÒ Ö < Ò Ò
52 ÐÙÐ Ð ÓÑÔÐ Ü Ø Ø ÑÔÓÖ ÐÐ µ ËÓ Ø Ì(Ò) Ð ÓÑÔÐ Ü Ø ÔÓÙÖ ÙÒ Ø Ð Ù Ø ÐÐ Òº ÍÒ Ø Ø ÓÒ Ù ÙØ Ø ÙÒ Ø Ø Ð Ò ¾ ÕÙ Ø Ö Ø ÓÒ ¾ Ø Ø Ø ½ Ø Ø ÓÒ ÆÓÑ Ö ³ Ø Ö Ø ÓÒ Ù Ñ ÙÜ ½ Ù Ô Ö Ò Ò ÑÓÝ ÒÒ Ò/¾
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Vérification d invariants de systèmes paramétrés par superposition
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