Partie I. ² Sur [0;¼=2] la restriction de µ est C 1 et de dérivée 2x : µ décroît de ¼2

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1 Partie I Questio La foctio µ est dé ie deux fois e = mais o véri e que les deux fois µ (=) =. L étude des graphes demade ue étude partielle des dérivées. La suite demade, pour les théorèmes de Dirichlet, ue étude plus précise des classes des foctios. Je fais les deux études esemble. ² Sur [;=] la restrictio de µ est C 1 et de dérivée x : µ décroît de à ² Sur [=;] la restrictio de µ est C 1 et de dérivée (x ) : µ décroît de à ² O remarque que e = la dérivée à gauche est égale à la dérivée à droite (elle vaut ) : la restrictio de µ à [;] est doc C 1 (et C 1 pm ) ² par imparité la restrictio de µ à [ ;] est C 1 et C 1 pm et comme µ ( + ) = µ ( ) = la restrictio de µ à [ ;] est C 1 et C 1 pm: ² par périodicité µ est doc C 1 pm sur R, mais µ ( ) = et µ ( + ) = µ ( + ) (par périodicité) et doc µ ( + ) = µ ( ) = par imparité de µ. Doc µ est C 1 sur R. ² E o peut remarquer que µ"(= + ) = alors que µ"(= ) = : µ est pas C : ² la classe de µ s e déduit par dérivatio. voir les graphes e aexe. Les calculs précédets doet le calcul de µ 1 µ C 1 (R) ;µ C 1 pm (R) ;µ 1 C (R) ;µ 1 C 1 pm (R) ½ 8x [;=], µ1 (x) = x 8x [=;], µ 1 (x) = (x ) de plus : µ état paire µ 1 est impaire. µ état périodique µ 1 l est aussi. 1.. La foctio µ 1 état impaire, o a ² a (µ 1 ) = pour tout N, ² b (µ 1 ) = R µ 1(x) si (x) dx pour tout N. Calculos : b (µ 1 ) = Ã = Z! ( x) si(x) dx + (x ) si(x) dx = par itégratio par parties avec les focios C 1 sur le segmet [;=] : u(x) = x et v(x) = cos(x) = x si (x ) dx = = = x cos (x) cos (=) = + + si(=) o a cos(x) dx = x cos(x) + si(x) = de même = (x ) si(x)dx = (x ) cos (x) + si(x) = = cos(=)) si (=) doc b (µ 1 ) = 8 :si(=) ² si = k est pair o a b k (µ 1 ) = pour tout k N ² si = k + 1 est impair b k+1 (µ 1 ) = 8 ( 1)k (k+1) pour tout k N. ² La série de Fourier de µ 1 est doc 8 +1 k= si(k + 1)x. (k+1)

2 La foctio µ 1 est cotiue, C 1 par morceaux, doc µ 1 est somme de sa série de Fourier : : 8x R, µ 1 (x) = 8 +1 k= (k+1) si((k + 1)x) et il y a covergece ormale de cette série sur R. Questio Etude de µ ² La foctio µ est paire, doc b (µ) = pour tout N. ² pour > si o itègre par parties avec u = µ o a a (µ) = 1 Z a (µ) = 1 Z µ 1 (t) si(t) dt = b (µ 1 ) = µ(t) cos(t)dt ( 8 si = k est pair si = k + 1 impair (k+1) 3 (même si o e la coaît pas par coeur o sait qu il existe ue relatio etre les coe ciets de Fourier de f et ceux de f ) ² et pour = a (µ) = µ(x) dx = Ã = µ x dx + =! µx x + 3 dt O peut alors calculer ces itégrales ou utiliser la symétrie du graphe : Si o pose u = x = Z µx x + 3 dt = = µu du = k= ² La série de Fourier associée à la foctio µ est doc 8 -périodique, cette série coverge ormalemet sur R vers la foctio µ : : = µ x (k+1) 3 cos(k + 1)x. Comme µ est cotiue, C 1 pm dx 8x R, µ(x) = 8 k= (k+1) 3 cos(k + 1)x autre pla possible : justi er qu o peut itégrer termes à termes la série doat µ 1, sas oublier la costate. Le calcul de a (f) doe la costate. Etude de ² La foctio est ue primitive de µ est doc C ;C 1 pm sur R; ² La foctio est -périodique : ² La foctio est impaire (x + ) (x) = ( x) = doc a ( ) = pour tout N. Z x+ x = a (µ) = Z x µ(t)dt = µ(t)dt = Z x Z µ(t)dt ( µ est périodique de période ) µ( u)( du) = (x) par parité de µ ² Ue itégratio par parties comme pour µ doe b ( ) = 1 a (µ) pour tout N, ² La série de Fourier de est 8 k= (k+1) si(k + 1)x. ² Ici ecore,comme la foctio est cotiue C 1 pm périodique il y a covergece ormale de cette série vers la foctio 8x R, (x) = 8 k= (k+1) si(k + 1)x

3 Au secours, je ai pas su faire les calculs. Les remarques de parité doivet vous doer (x) = k= b k si(kx) et vous exprimer la suite e foctio des b k ( ). O e sera même limité das les justi catios théoriques car l hypothèse b k ( ) borée su ra das toutes les questios sauf ue ;et ecore das cette questio C 1 ;C pm doc b k = o 1 k su ra.a défaut Il faudra plusieurs fois doer u éocé clair du théorème et admettre que ça marche ou admettre les hypothèses sur les b k e le rédigeat très clairemet.. Partie. Remarque : le sujet e respecte pas le programme de PSI (i celui de PC) puisque o utilise des foctios C sur u domaie du pla qui est pas u ouvert. Questio Si g est C sur [;] alors (x;t) > g(x) est C sur [;] R +, de même pour h, et doc V est aussi C sur [;] R + par produit de foctios C. O a alors par hypothèses sur g et h :pour (x;t) [;] R V (x;t) = g (x) h(t) = ¹ g(x) h(t) doc la relatio (1) est satisfaite sur [;] R ² Pour h o a ue équatio di éretielle liéaire du premier ordre à résoudre : h (t) ¹ h(t) = () h(t) = C e ¹t avec C costate réelle ; (x;t) = g(x) h (t) = ¹ g(x) h(t) ² Pour g o a ue 8 équatio di éretielle du secod ordre à coe ciets costats. L équatio caractéristique est r ¹ = < racie double si ¹ = de racies : i p ¹ racies o réels si ¹ < : p ¹, racies réelles ¹ > 8 < Ax + B si ¹ = g(x) = Acos( p ¹x) + B si( p ¹x) si ¹ < : g (x) ¹ g(x) = () Ach p p ¹x + B sh ¹x si ¹ > A et B état deux costates réelles. même si toute la suite supposera ¹ <, e pas oublier les autres cas. das le cas égatif il est possible de commecer le calcul avec les solutios sous forme d expoetielles complexes. Il faudra alors reveir à la trigo au cours de la questio. ² O a g k (x) = A k coskx + B k si kx et h k(t) = C k e kt, doc : e posat Ak = A kc k et Bk = B kc k V k (x;t) = (A k cos kx + B k sikx) e k t ² Les foctios V k sot alors toutes cotiues sur, C sur [;] R + véri at la coditio (1) ² Les coditios () imposet :8t R + : A k e kt = doc A k =, ² La coditio (3) est toujours véri ée car : jv k (x;t)j (ja k j + jb k j) e kt de limite ulle car k < doc V k (x;t) = B k si kx e k t Questio Rappel : avec les séries le calcul va vite, le justi er théoriquemet est la partie la plus logue du travail..1. Si o cherche H sous la forme H(x;t) = d k si kx e kt (somme d ue série trigoométrique supposée covergete), o a H(x;) = d k si kx. La relatio () impose H(x;) = (x) = +1X b k ( )si (kx) elle est doc véri ée e preat d k = b k ( ), soit d p = et d p+1 = 8:( 1)p :(p+1). O a ue solutio. Rie e garati à ce stade qu elle est uique (le cours e dit pas que si deux séries trigoométriques sot égales leurs coe ciets sot égaux, c est vrai seulemet pour les séries de Fourier, et le sujet e suppose pas x > H(x;t) D.S.F.). l uicité sera l objet de la troisième partie... Posos doc H(x;t) = b k ( )si (kx) e kt, 3

4 ² La foctio H est bie dé ie sur et il y a covergece absolue de la série dé issat H puisque : b k ( )si (kx) e k t jb k ( )je kt 8 e k t et la série P ³ e kt covergete (série à termes positifs telle que lim k e k t = car t > ) Si le calcul de la questio 1 a échoué, il su t de savoir que les coe ciets de Fourier sot borés (limite ulle). ² travaillos à t > xé pour dériver par rapport à x. Soit H 1 (x) la foctio partielle. O souhaite H (x;t) = H 1"(x) = il faut doc dériver deux fois sous le sige P : la foctio x > b k ( ) si(kx)e kt est C sur [;] X+1 d k k si(kx) e k t la série P b k ( ) si(kx)e kt coverge absolumet doc simplemet sur [;] la série des dérivées P b k ( ) ksi(kx)e kt coverge aussi simplemet : b k ( )k si(kx)e k t 8 ke kt et lim ³k 3 e t k = la série des dérivées secodes P b k ( )k si(kx)e kt coverge ormalemet doc uiformémet sur [;] : b k ( )k si(kx)e k t 8 ³ k e kt idépedat de x et lim k e k t = O peut dériver termes à termes la série doat H" 1 doc H (x;t) = b k ( ) k si(kx) e k t L importat est de bie rédiger la dérivatio termes à termes par rapport à x, Parler de H 1 est pas obligatoire Ici aussi l hypothèse que les coe ciets de Fourier sot borés su t. ² travaillos à x [;] xé pour dériver par rapport à t : O souhaite écrire et doc dériver sous le sige P par rapport à t. (x;t) = X d k (si(kx))( k e kt ) la foctio t > b k ( )si(kx)e kt est C surr + la série P b k ( ) si(kx)e kt coverge absolumet doc simplemet sur R + la série des dérivées P k b k ( )si(kx)e kt coverge uiformémet sur tout segmet [a;b] iclus das R + b k ( )si(kx)k e k t 8 k e k t 8 k e k a idépedat de t et lim³k e a k = o peut dériver terme à terme par rapport à la variable t t (x;t) = b k ( )si(kx) Ici aussi l hypothèse que les coe ciets de Fourier sot borés su t. Questio 3. Soit la foctio H : H(x;t) = 8 p= ³ k e k t ( 1) p (p+1) si(p + 1)x e (p+1)t. La foctio H est dé ie sur ² H est alors cotiue sur : O peut e e et domier ( 1)p si(p+ 1)x e (p+1) (p+1) t 1 par terme gééral d ue série covergete idépedate (p+1) de x et t. si o a pas le résultat du calcul o a besoi de savoir que P jb k ( )j coverge. Il faut réussir à motrer que b k ( ) = o 1 k, possible sas calcul avec la classe de la foctio.

5 ² H est C sur [;] R + Les calculs faits à la questio précédete motret que H admet des dérivées H cotiues sur [;] R +. De la même H (x;t) = P ³ +1 b k ( )si(kx) k e k t et est cotiue par domiatio sur tout segmet de ³ b k ( ) si(kx) k e k t par 8 k e k a O recommece ecore avec les dérivées croisées et domiatio sur tout segmet par k 3 e k H X+1 (x;t) = k 3 b k ( )cos(kx)e k H X+1 (x;t) = k 3 b k ( )cos(kx)e k t ² H véri e (1) : coséquece du calcul des dérivées à la questio. : ² H véri e () : évidet e preat x = et x = o à H(;t) = H(;t) = P = ² H véri e (3) : O doit passer à la limite das ue série. O souhaite écrire pour x xé lim (H(x;t)) = X+1 t >+1 ³ b k ( )si(kx) lim e k t = t >+1 O a doc besoi de la covergece uiforme sur u itervalle du type [a;+1[. or la domiatio par 8 e ka permet de coclure e preat a > : O peut aussi majorer jh(x;t)j P+1 8e kt P+1 8e kt = 8e t : 1 1 e (srie géométrique) de limite ulle. t ² H véri e () par choix des d k H est solutio de (P) remarque :la cotiuité et la classe de H e sot pas clairemet das la propositio (P). Mas si o a bie su dériver au.. la rédactio de cette partie peut-être très rapide. Partie 3 questio Véri os que E est u sous espace vectoriel de C ( ; R),: ² E ½ C ( ; R) ² E 6= ; ² o a stabilité par combiaisos liéaires: si w 1 et w sot deux foctios de E et si 1 et sot deux réels : ( 1w 1 + w ) est C sur [;] R + par produit de foctios ( 1w 1 + w = (w (w (w = ) 1w 1 + w t ( 1w 1 + w ) (;t) = 1w 1 (;t) + w (;t) = ( 1w 1 + w ) (;t) = 1w 1 (;t) + w (;t) = lim t >+1 ( 1w 1 + w )(x;t) = 1 lim t >+1 (w 1 (x;t)) + lim t >+1 (w (x;t)) = (liéarité de la limite) ( 1w 1 + w ) (x;) = 1w 1 (x;) + w (x;) = ² doc E est u sous-espace vectoriel de C( ; R). 1.. C est presque : évidet : 5

6 ² (u v) est cotiue sur, C sur [;] R + par combiaiso liéaires de telles foctios ² (1),() et (3) sot véri és comme au 1.1 ² e w(x;) = u(x;) v(x;) = (x) (x) = Questio.1. ² Pour t =, dager : le sujet e suppose pas! C 1 il faut doc justi er l existece de la dérivée partielle : Or das ce cas o a!(x;) = pour tout x [;], doc la dérivée est dé ie e ces poits et (x;) =, doc l itégrale proposée est ulle. ² Pour t >, la foctio x 7!!(x;t) est de classe C sur [;], (x;t) est C1 aisi (x;t): (!(x;t) (x;t) ) est doc cotiue sur [;] l itégrale existe et (x;t) x= = puisque x=!(;t) =!(;t) =... Pour t R +, o a, e utilisat (1), @! (!(x;t) (x;t) ) (!(x;t) (x;t) )dx = (@! (x;t) ) (x;t) = (x;t) ) (x;t) = (x;t) ) + ) (x;t) ; pour t = je e vois pas commet prouver que la foctio partielle t >! (x;t) est dérivable e t = avec les hypothèses du sujet.si vous coaissez u corrigé qui traite propremet de la questio je suis preeur. 8t >, µ (x;t) ) + ) (x;t) dx = J admet que pour (x;) la existe et est cotiue doc que la relatio est vraie pour t = :.3 La foctio précédete état idetiquemet ulle, so itégrale sur tout segfmet est ulle. La première itégrale est l itégrale d ue foctio positive, doc est positive (les bores état das le bo ses : T, ) La secode itégrale est aussipositive : elle se trasforme grâceau théorèmede Fubii la foctio àitégrer état cotiue. Z T (x;t) dx ) dt = = Ã Z T 1 t=t 1! (x;t) ) (x;t) dt dx = 1 dx! (x;t) dx ; doc Ã(T) est la somme de deux termes positifs. Les deux termes sot uls, e particulier : 8T R + R! (x;t) dx = :.. La foctio x 7!! (x;t) est cotiue et positive sur [;] et so itégrale est ulle ; elle est doc idetiquemet ulle. Doc! = sur..5. Le problème (P) a doc ue solutio uique, qui est la foctio H obteue à laquestio 3. de lapartie. 6