Cous n 5 Optique géométique Réfaction La tansmission de l infomation dans les fibes optiques à haut débit et le guidage des ayons lumineux dans ces denièes est une conséquence du phénomène de éfaction analysé pa les savants aabes à pati de la fin du pemie millénaie et fomalisé au 17 ème siècle pa Snell et Descates. Les implications de ce phénomène dans les lois natuelles miages ac en ciel, et les analogies ai sismiques sont nombeuses et la efomulation en teme de tajet coespondant au minimum du temps de pacous (pincipe de Femat) est fuctueuse, y compis dans les sciences actuelles. I) Appoximation de l optique géométique Elle consiste à néglige tout phénomène de diffaction. L ode de gandeu de l ouvetue totale du faisceau povoqué pa le passage d une onde à taves une pupille de diamète a étant /a, a doit ête gand devant. C est facilement éalisable en optique ou est de l ode de.5 m. (Cela l est moins en acoustique, domaine pou lequel la diffaction est inévitable et heueusement souhaitée). Alos dans un milieu homogène isotope la lumièe se popage en ligne doite. II) Lois de Snell-Descates - L indice d un milieu n est défini pa le fait que la vitesse de la lumièe dans ce milieu c qui est plus petite que celle dans le vide c lui est lié pa la fomule c = c / n. Plus n est gand plus le milieu est dit éfingent. Cela a pou conséquence la déviation de la lumièe à la tavesée d un diopte sépaant deux milieux homogènes isotopes difféents. Un pisme dévie la lumièe à cause de deux éfactions successives ai vee puis vee ai. L indice n dépend de la longueu d onde de la adiation, c est le phénomène de dispesion de la lumièe. 1) Lois de Descates Plan d incidence : c est le plan défini pa la nomale au diopte inteface ente les deux milieux où se popage le ayon lumineux Lois de Descates pou la éflexion - Le ayon éfléchi appatient au plan d incidence n 1 n >n 1 - L angle de éflexion est égal à l angle d incidence i i 1 N 1 N 1 Avec les oientations ci-conte. i Lois de Descates pou la éfaction - Le ayon éfacté appatient au plan d incidence - L angle de éfaction i est lié à l angle d incidence i1 pa la fomule : n 1 sin i 1 = n sin i
Avec les oientations ci-dessus Les angles sont oientés du ayon qu ils epèent ves la nomale du milieu dans lequel le ayon se popage. - Pou pende conscience du fait qu un ayon qui va d un milieu moins éfingent à un milieu plus éfingent se appoche de la nomale on peut se limite aux petits angles n 1 i=n doit ête plus petit que i pou compense la gandeu de n ) execices d application A la pêche 1) Le diopte plan est-il une suface igoueusement stigmatique? ) Monte que dans le cas d une obsevation quasi à l aplomb, on peut obseve une image appochée c est à die que pou un angle d incidence faible la position de l image d un objet ponctuel dépend peu de i 3) Caactéise la position de l image d un poisson et gossissement en fonction des paamètes petinents n = 1 n 1 = 1.33 i Bâton dans l eau B B Les ayons de appochent bien de la nomale en passant de l ai à l eau, mais le bâton est bisé dans l aute sens ca se sont des ayons lumineux qui se popagent de l eau ves l ai.le ceveau imagine que la position de l objet ponctuel émetteu B bout du bâton est à l intesection des émegeants collectés pa l œil donc à l intesection des éfactés en B (que l on appelle image de B pa le diopte plan). En effet le ceveau qui ne connaît pas la éfaction calcule les positions d objet en supposant que la mache des ayons lumineux est une ligne doite Le bâton semble donc ête cassé, c est une illusion d optique.
Execice de modélisation : vee d eau Quelle hauteu d eau h dans le vee de hauteu H et de ayon doit-on vese pou voi appaaîte le cente de la pièce alos que l œil visait initialement le bod du vee losqu il était vide? x B i i I Di H h i 1 n =1.33 O A d Mioi plan : mioi plan se voi en pied Quelle doit ête la hauteu h d un mioi plan pou qu un homme de hauteu H puisse s y voi de la tête aux pieds? Comment ce mioi doit-il ête accoché au mu? Remaque : pou un mioi plan et un objet éel, l image est toujous vituelle h=h/ H i
3) Réflexion totale Ce phénomène a lieu losque la lumièe se popage d un milieu plus éfingent ves un milieu moins éfingent n <n 1 en effet la éfaction coespond dans le cas où n < n 1 à i > i 1 et pou une valeu de i dite angle de éflexion totale i RT l angle de éfaction devient égal à / valeu maximale possible La valeu de l angle est donnée pa n 1 sini RT =n sin( /)=n soit i RT =ac sin(n /n 1 ) lequel existe bien puisque n /n 1 <1 Si on cheche une solution en i à l équation n 1 sin i 1 = n sin i avec i 1 >i RT soit sini 1 >sini RT =n /n1 sin i = n 1 sin i 1 / n > 1 on en touve pas /4 il n y a donc pas de éfacté toute l intensité est éfléchie Execice d application pisme enveseu Monte que dans les jumelles le Pisme est un dispositif enveseu d image l'indice du vee étant 1.5 celui de l'ai voisin de 1 pou touve l'angle de éfaction on a l'équation suivante 1.5 sin 3 soit sin i ui n'a pas de solution il y a éflexion totale 4 1sin i Execice d application Eclaiement d un bassin Soit un gand bassin empli d eau (indice 1.33) de hauteu h = 8 cm, sumonté d ai Une souce ponctuelle placée au fond du bassin éclaie la suface libe sous un cône d angle total au sommet 1. L axe du cône est vetical. Décie l éclaiement du fond du bassin et dessine su une figue les ayons éfléchis et éfactés. éclaiée sombe éclaiée Dans le cas d une popagation d un milieu plus éfingent ves un milieu moins éfingent, eau ves ai pa exemple, un phénomène de éflexion totale se poduit. n 1 sin i 1 = n sin i pou sin i 1t = 1/1.33 qui coespond à i =9
Document : Ça bille les billants Indice d un vee 1.5 indice d un vee cistal 1.7 indice du diamant.4 Compenez-vous pouquoi le diamant bille? http://www.je-compends-enfin.f/index.php?/eau-ondes-et-lumiees/pouquoi-un-diamant-bille-til-tant/id-menu-1.html Le diamant a un coefficient de éflexion élevé (,4) ce qui lui donne un angle citique de éflexion elativement petit (4 ). Tout ayon lumineux qui se touve dans le diamant et qui aive su une suface de ce diamant ne tavesea ce plan que si l angle qu il fait avec la nomale est plus petit que 4. Dans le cas contaie il sea éfléchi à l intéieu du diamant. Coectement taillé, le diamant va envoye un maximum de lumièe ves le haut de la piee. L obsevateu placé au-dessus vea pa conséquent la lumièe qui : sea éfléchie spéculaiement (éflexion de la lumièe à la suface) aua pénété dans le diamant et pa éflexions intenes successives, atteinda la suface du haut du diamant avec un angle inféieu à 4 qui lui pemetta de quitte le diamant aua pénété pa le bas du diamant et essotia pa le haut Ces dives modes de éflexion vont cée plusieus effets qui endent les diamants si uniques : Beaucoup de lumièe évacuée ves le haut du diamant qui le end tès lumineux Des éclats lumineux blancs tès maqués céés pa la supeposition constuctive des ondes lumineuses Des acs en ciel céés pa la dispesion chomatique de la lumièe (sépaation des longueus d ondes en fonction de leu taille) los des difféentes éflexions intenes Un diamant mal taillé aua des angles intenes top faibles. La pemièe éfaction envea une gande patie des ayons lumineux ves la face opposée mais avec un angle inféieu à 4. La majoité de la lumièe qui pénètea le diamant sotia pa le bas ou pa les côtés et le diamant sea moins éclatant qu un diamant bien taillé. La plupat des piees pécieuses ont des index de éfaction élevés ce qui explique la quantité de lumièe qu elles diffusent.
4) Réfaction limite Pêche au lampao Dans le cas au contaie d une popagation d un milieu moins éfingent ves un milieu plus éfingent ai ves eau un phénomène de éfaction limite se poduit. Cetains poissons ne sont pas visibles. lampe n i n sin i n n i i 1 1 sin 1 ( ) 1 sin sin( RL ) RL acsin( ) n les ayons se appochent de la nomale en allant de l'ai n =1.9 dans l'eau n =1.33 n 1 irl est ateint quand l'incidence est maximum
5) Réfaction et vitesse de la lumièe Réfaction et mache d un font Mache des fantassins, diection de popagation pependiculaie au font On considèe une angée de fantassins en mache ; la vitesse de popagation su le teain à gauche de l inteface qui est une oute bien entetenue est c, mais elle est seulement de c / à doite su un teain qui s avèe ête boueux et moins paticable. La constuction suivante pemet de compende le phénomène de éfaction : La diection de popagation étant nomale au font on compend ainsi le phénomène de éfaction
6) Lentille Convegente (notation CV) pemièe appoche On éclaie une lentille convegente pa un faisceau paallèle en incidence nomale. On compend que les soldats du font su les bods ont moins de tajet à pacoui dans le milieu qui alentit ils pennent moins de etad que celui qui passe au cente, le font d onde émegeant est ceusé et focalise les ayons su un foye image éel F Vous pouez faie un aisonnement analogue pou une lentille divegente ( lentille plus épaisse aux bods qu au cente)
7) Réfaction et pincipe de Femat Si l incidence n est pas nomale su l inteface on a éfaction (changement de diection du ayon) La situation du ayon lumineux qui va de A en B est analogue à la suivante A un maite nageu sauveteu A doit sauve un baigneu B, le sauveteu cous à la vitesse c et nage à la vitesse c/3 Il adopte la tajectoie optimisée suivante qui pemet de minimise le temps du sauvetage: B Sauvetage en me. Minimisation de l action. Pincipe de Femat Un maîte nageu se déplace su le sable à la vitesse V 1 et nage à la vitesse v < V 1. Un baigneu en détesse attend son aide. Pose sans la ésoude l équation qui donne l abscisse x du point I où le sauveteu doit ente dans l eau pou optimise le temps du sauvetage. T 1 1 ² ² x ( b x) a² x² c b x dt V v dx a² x² V c² b x ² v 1 1 Réexpime l équation touvée en faisant inteveni l angle d incidence défini pa la vitesse du sauveteu su le sable et l axe y et l angle de éflexion défini pa la vitesse du sauveteu dans l eau et l axe y. x ( b x) a² x² V c² b x ² v 1 V v On note c la vitesse de Usain Bolt et on définit les indices des deux milieux 1 et pa : n = n = 1 1 c c on econnait n sin i n sin i 1 1 Dans quels domaines de la physique etouve-t-on ce type de loi? C est le pincipe de Femat qui dit que la lumièe empunte la tajectoie qui coespond au temps de pacous minimum plage y A a x b i 1 I me c i B
8) Intepétation ondulatoie de la éfaction, difficile mais impotant On considèe que le milieu 1 est le vide n 1 =1, le milieu possédant un indice n =n>1 c c c k c ck k n n n n AJ IB on doit avoi = ca on este su le meme plan d'onde c'est que les duées de popagation sont identiques c c 1 AJ n IB = cos cos sin sin sin sin c c n1 AJ nib n1 i1 IJ n i IJ n1 i1 IJ n i IJ n1 i1 n i i 1 A J I B i
9) An amazing wate tick A B https://www.youtube.com/watch?v=g33o8pjzls#t=65 B A Explication le cylinde d eau envese les images L image est à l intesection des émegents
III) TD Poblèmes d optique géométique Les poblèmes 1 ac en ciel et 3 fibe optique sont souvent demandés en concous, le pb fomule de conjugaison établi la fomule de conjugaison des lentilles minces à pati des lois de Descates Le pb 4 s intéesse aux miages. Le pb 5 à une eeu de paallaxe Dans l obsevation des étoiles due à la otondité de l atmosphèe Le poblème 3 qui suit constitue le DM5 est à ende pou le madi 14 octobe La patie A est nécessaie la patie B n est pas exigée on la touve su le net On le complètea avec la ésolution de poblème Halo pou laquelle il faut pense à une stuctue hexagonale des cistaux de glace Une fibe optique est généalement constituée d un cœu ou âme de ayon a dont l indice n() vaie avec la distance à l axe et d une gaine d indice constant n. L indice de l âme n(), quelque soit la valeu de vaiant donc de à a, est dans la patique tès voisin de l indice constant de la gaine n ; n < n() A) Fibes à saut d indice : n() = n 1 = cste > n i i 1 a 1) Monte que si i este inféieu à un angle a, un ayon peut ête guidé dans le cœu gâce au phénomène de éflexion totale. Calcule a littéalement. ) Application numéique : n 1 = 1,5 ; n = 1,5 avec =,1 calcule a numéiquement 3) Une impulsion lumineuse aive à t =, au point O ( = ) sous la fome d un faisceau conique convegent, de demi-angle au sommet i avec i < a Pou une fibe de longueu l, calcule l élagissement tempoel t en fonction de l, n 1, c et i Application numéique Données : l = 1 m ; i = 8 et n 1 = 1.5
Poblème 1) Ac en ciel Un ac en ciel et un halo, ce n est pas la même chose! Enoncé du poblème ac en ciel CCP 5 Poblème tès intéessant popose une patie optique géométique et une question optique physique inteféence à laquelle le nouveau pogamme nous autoise à éfléchi.
6 ou 7 couleus dans l ac en ciel : ouge, oange, jaune, vet, bleu, indigo, violet
6 ou 7 couleus dans l ac en ciel : ouge, oange, jaune, vet, bleu, indigo, violet Elles sont difficiles à distingue pou moi su l ac en ciel
Coigé ac en ciel ccp PC 5 Editions H et K
ARC EN CIEL Isaac Newton découpa abitaiement l'ac-en-ciel en sept couleus : ouge, oange, jaune, vet, bleu, indigo et violet. Un ac-en-ciel se situe toujous à l'opposé du soleil : le soleil, l'obsevateu et le cente du cecle dont fait patie l'ac-en-ciel sont su la même ligne On compend dès los pouquoi des contes de fée affiment qu'il y a un téso au pied de l'ac-en-ciel. l'ac étant un phénomène optique dont la position dépend de celle de l'obsevateu, il est impossible de se voi soi-même au pied de l'ac, et donc il est impossible de contedie cette légende.. D'un avion on peut voi le cecle entie de l'ac-en-ciel avec l'ombe de l'avion (donnant la diection opposée au Soleil) en son cente. Pafois, un second ac-en-ciel moins lumineux peut ête apeçu au-dessus de l'ac pimaie. Il est povoqué pa une double éflexion de la lumièe du soleil à l'intéieu des gouttes de pluie et appaaît sous un angle de 5-53 dans la diection opposée au Soleil. En aison de la éflexion supplémentaie, les couleus de ce second ac sont invesées pa appot à l'ac pimaie, avec le bleu à l'extéieu et le ouge à l'intéieu, et l'ac est moins lumineux. C'est la aison pou laquelle il est plus difficile à obseve. Ente le pemie et le deuxième ac-en-ciel, une bande plus sombe appaaît. Cela coespond à la zone de la goutte d'eau compise ente l'angle de 4 caactéisant la fin du pemie et l'angle de 5 caactéisant le début du second. Cette bande intemédiaie où il y a déficit de lumièe a été appelée la "bande sombe d'alexande", en l'honneu d'alexande d'aphodise qui la décivit le pemie.
Un aute est celui des acs dits sunuméaies, qui se taduisent pa le fait que le pemie ac appaaît en fait comme une séie d'acs de ayon, d'épaisseu et d'intensité décoissants accolés les uns aux autes. Visuellement, on obseve une copie du pemie ac située juste à l'intéieu de celui-ci : à côté de la bande violette du pemie ac, on obseve la bande vete puis la bande violette de sa copie, ainsi pafois qu'une seconde copie (voi photo ci-conte). Ce phénomène ésulte d'inteféences subies pa la lumièe los de ses éflexions successives dans les gouttes d'eau. Ils ne peuvent ête expliqués pa la seule optique géométique, d'où leu nom.
Poblème : Démonstation de la fomule de conjugaison des lentilles minces à pati des lois de Descates ou des lois elatives aux dioptes sphéiques (non exigible, mais comme on peut se pose la question de elie paamètes géométiques de la lentille et de son indice...) Le vee possède un indice n, les faces de la lentille sont des dioptes sphéiques. On utilise le schéma suivant : Avec des angles non oientés pis positifs. I 1 i i 1 i I 1 i 1 A A C O C 1 J I 1 i 1 i I i 1 et i sont les angles du ayon dans la lentille avec les nomales aux deux dioptes I 1 et I sont les points d intesection du ayon avec les dioptes, on a pas eu la place de les epésente
1) en considéant le tiangle AC 1 I 1 = + - i 1-1 en considéant le tiangle C I A = + + i - en considéant le tiangle JI I 1 + i 1 - i = en considéant le tiangle JC1C = - 1 + les lois de Descates donnent de plus i 1 = n i 1 et i = n i ) On poua considée que S 1 S et O sont confondus On considèea que I 1 I et J ont quasiment la même côte Expime les tangentes soit les angles 3) monte que 1 1 1 1 ( n 1)( ) OA' OA OC1 OC 4) En déduie la vegence de la lentille 5) En pocédant de même pou un diopte convexe avec le vee à doite et l ai à gauche monte que n 1 1 (1 n)( ) A' S AS SC1 ou S est le sommet du diopte i I A A n=1 n>1 C
pou une lentille biconvexe le diopte convexe ai vee est le pemie attaqué loi de descates pou les petits angles i=n expession des angles identifiés aux tangentes IS h h h = ' SC R AS A' S 1 ' i i ' i i ' i(1 1 ) n i 1 1 1 ' ( )(1 ) ' ( ) ' ( ) n n n n 1 1 n ' ' n (1 n) n n A' S AS R 1 6) En pocédant de même pou un diopte concave avec le vee à gauche et l ai à doite monte que 1 n 1 (1 n)( ) A' S AS C S ou S est le sommet du diopte 7) etouve la fomule 3 pou une lentille mince
Poblème 3 : Fibes optiques Fibe optique DM5 à ende pou le madi 14 octobe La patie A est nécessaie la patie B n est pas exigée Une fibe optique est généalement constituée d un cœu ou âme de ayon a dont l indice n() vaie avec la distance à l axe et d une gaine d indice constant n. L indice de l âme n(), quelque soit la valeu de vaiant donc de à a, est dans la patique tès voisin de l indice constant de la gaine n ; n < n()
A) Fibes à saut d indice : n() = n 1 = cste > n i i 1 a 1) Monte que si i este inféieu à un angle a, un ayon peut ête guidé dans le cœu gâce au phénomène de éflexion totale. Calcule a littéalement. ) Application numéique : n 1 = 1,5 ; n = 1,5 avec =,1 calcule a numéiquement 3) Une impulsion lumineuse aive à t =, au point O ( = ) sous la fome d un faisceau conique convegent, de demi-angle au sommet i avec i < a Pou une fibe de longueu l, calcule l élagissement tempoel t en fonction de l, n 1, c et i Application numéique Données : l = 1 m ; i = 8 et n 1 = 1.5
B) Fibes à gadient d indice On considèe maintenant que l indice de l âme possède une dépendance en. Une impulsion lumineuse aive encoe à t =, au point O ( = ) sous la fome d un faisceau conique convegent, de demi-angle au sommet i n( ) n 1 1 a avec a = 5 m et toujous =,1 n 1 = 1,5 1) En considéant un ayon initial incliné de i monte que sa mache obéit à d équation difféentielle d n() 1 dz A où A est une constante que l on expimea en fonction de n 1 et de = acsin (sin i/n 1 ) sin ² A n ²(1 ) n cos i 1 1 n1 ² ) application numéique : i = 8 calcule A 3) Intége l équation difféentielle et donne l équation de la tajectoie d un ayon en fonction de a, et i. Quelle est la natue de cette tajectoie? Monte que le ayon coupe l axe Oz en des points égulièement espacés d une longueu en fonction de a, et i que l on expimea Application numéique 4) Dans les conditions pécédentes quelle est la condition su i pou que le ayon se popage au cœu de la fibe? Donne a Application numéique a 5) On considèe qu une impulsion lumineuse aive à t =, au point O ( = ) sous la fome d un faisceau conique convegent, de demi-angle au sommet i avec i < a comme dans la patie A. Calcule l élagissement t de cette impulsion à la sotie de la fibe à gadient d indice de longueu l. On supposea i suffisamment petit et a << 1 pou pouvoi faie toutes les appoximations utiles dans le calcul. Application numéique i = 8 i i i a
d² 1 di d ² 1 di d ² 1 di n( ) n 1 dz² sin ²( i( )) dz dz² sin ²( i( )) dz dz² sin ²( i( )) dz a dn() di dn() di dn d di n( )sin( i( )) nsin i sin( i( )) n( )cos( i( )) n( )cot( i( )) n( ) dz dz dz dz dz dz dz d cot i ( ) 1 d 1 d 1 d dz n ( ) n dn ( ) n ( ) a² dz dn a² dz dn a² dz dz dz dz 1 1 1 a a a d ² 1 di d ² 1 di d ² 1 di d ² 1 di dz² sin ²( i( )) dz dz² sin ²( i( )) dz dz² sin ²( i( )) dz dz² sin ²( i( )) dz 1 d 1 n ( ) n ( ) 1 d di ( ) a² dz di n n n( ) a² ( ) di ² n ² dz dz dz n () a di ² () a dz n 1 1 dz n²( ) a a n n ² n ² ² ² ² dz² sin ²( i( )) n²( ) sin ² i n ² sin ² i d ² 1 1 a a a d ² dz² a²sin ² i z d Ccos( ) en z cot i a sin i dz C cos( ) z z C cos( ) C sin a sin i asin i d cosi a cosi ( z ) C cot i C dz a sin i sin i acosi z sin a sin i a sin cos sin cos sin i i i i sin a sin sin ² n ² sin ² n z ² ² sin ² a n i i 1 i 1 sin i n1 sin sin cos 1 sin n1 n1 n1 n1 z sin a cos 1 i
ou sin i sin( i ( )) n( ) n 1 a 1 sin( i( )) sin i 1 n( )sin( i( )) nsin i a a d cos i( ) d cos i( ) d cos i( ) dz sin i( ) dz sin i( ) dz sin i( ) sin i sin i 1 1 1 1 1 d a d a a dz sin i dz sin ² i 1 a d dz 1 1 a 1 sin ² i sin i d sin i d a sin i 1 cos ² i 1 a cos ² i a changement de vaiable cos R tan i ( asin R dr ) dz cosi sin ² i tan i d d cosi sin R dr d a sin R dr cosi a a a R z cst compte tenu de ce que en = z = cos R R a dz dz a cst a R z a z a R z R a R z a R R cosi cosi 1 dz a tan i ( dr ) dz asin i dr dz sin R sin i sin i sin i sin i sin i asin i asin i sin i ( ) ( ) sin i ( ) z asin i z z cos R cos( ) sin asin i asin i z sin cosi a asin i acosi z sin a sin i 1
Poblème 4) Miages I) Couche de soleil et éfaction atmosphéique. Pouquoi voit-on encoe le soleil alos qu il devait ête caché pa la otondité de la tee. Pouquoi le denie ayon du soleil est-il vet? L atmosphèe en altitude est moins dense que l atmosphèe poche de la suface ainsi la vitesse de la lumièe est plus gande en haut qu en bas et ceci explique pouquoi on voit encoe le soleil le soi alos qu il devait ête caché pa la otondité de la tee. La éfaction est d autant plus impotante que l atmosphèe est tavesée de façon asante et que le ayon pacout un long tajet dans cette denièe. II) Miages inféieus, ils sont les plus couants Le sol est chaud. Les couches d ai poche du sol sont donc échauffées ; l ai est plus chaud en bas qu en haut l ai est donc moins dense en bas qu en haut, l ai du bas se appoche plus du vide que celui en hauteu la vitesse de la lumièe est plus poche de la vitesse de la lumièe dans le vide en bas qu en haut donc la vitesse de la lumièe est plus gande en bas qu en haut et d apès le pincipe de Femat les ayons lumineux vont se coube ves le bas tout se passe comme si il y avait un mioi pa tee ( ou de l eau ) dans laquelle se eflète le ciel. L eau est bleue pace que le ciel s y eflète on voit le ciel su la oute et on a l illusion d y voi une flaque d eau Sol se compotant comme un mioi
Dans ce cas les ayons se coisent
Miages supéieus C est le phénomène invese l ai en bas est plus foid que l ai en haut et les ayons sont coubés ves le haut. L image est plus haute que la souce. Ciel se compotant comme un mioi
Miages doits lointains Comme nous venons de le voi les miages les plus couants coespondent à des images invesées ca ils ésultent d un effet mioi. Toutefois il existe des cas de miage où l image est doite. Ces cas coespondent aussi bien à des miages supéieus qu à des miages inféieus. On monte (Peez d optique aux éditions Masson ex chapite 17) qu un miage doit existe en effet concomitamment au miage invesé et pafois les ayons coespondant au miage invesé sont aêtés pa un obstacle de sote que seul le miage doit est visible. Miage supéieu me foide même chose mais un nuage masque l image invesée En me du nod on appelait hollandais volants ces bateaux fantômes que l on voyait dans le ciel ( en fait bien sû des miages des nombeux bateaux de la flotte hollandaise ). L image doite bien que moins élevée su l hoizon que l image envesée semble flotte dans les ais. En fait on voit pafois des miages sans le savoi ca un bateau peut ête visible alos qu il devait ête caché pa la otondité de la tee. On a conscience qu il s agit d un miage seulement si le bateau paaît flotte au dessus de l eau dans les ais Miage inféieu sol chaud les ayons coespondant à l image invesée sont aêtés pa le sol
Miage calculs Soient milieux epéés pa un axe x pou x< l indice n est constant, on le note n pou x> l indice n dépend de y selon n(y) = n (1+ y) avec > On considèe un ayon incident en O sous un angle i compis ente et / Détemine la tajectoie du ayon à taves le milieu x> On appelle qu une pimitive de 1/ (u²-1) est ag ch u ( pou le pouve faie (fof -1 ) =1 avec f(x) = ch x ) y > < O x i Comment vaie l indice pou un miage foid, pou un miage chaud?
n (1 y)sin i n sin i sin i dx dx sin i soit cosi dy dy 1 sin ² i dx 1 1 y dy On pose Y= dy 1 y sin 1 sin i dy i sin i sin i dy dx x ag chy cste Y ² 1 sin i 1 y sin i x ag ch cste en x y ag ch sin i sin i sin i 1 sin i x( y) ag ch ag ch ag ch ag ch 1 ( y) 1 y sin i 1 1 sin i sin i 1 ( y) x 1 avec ag ch ag ch sin i x 1 1 y ch( ag ch ) cste qui devait donne :y= 1 1 x ch tan i x sh
Poblème 5) Eeu de paallaxe los de l obsevation d une étoile i i O R h n() A n intemédiaie 1 C n(+d) D i(+d) i() B d O L exploitation du dessin de doite pemet de touve la loi de Bouge : n() sin i()= cste qui emplace la loi de Descates quand on considèe un milieu à symétie sphéique tel que l atmosphèe teeste n( )sin( i( )) n sin( ) n sin( ) n( d)sin( i( d)) int 1 int n( d)sin( i( d)) n( )sin( i( )) sin( 1) sin( ) CD d AB sin( 1) d sin( 1) sin( ) AD AD AD AD sin( ) d n( )sin( i( )) n( d)sin( i( d)). n( )sin( i( )) cst Difféentie la loi pécédente en déduie di = i-i on touvea deux contibutions une due à la géométie l aute due à la éfaction et qui fea inteveni dn = 1.9-1 vaiation d indice ente le sol et le vide.. n( ).sin( i( )) cst Ln Ln n( ) Lnsin( i( ) cst d dn d sin( i) d dn cos( i) cos( i) d dn n di n di di n cos( i ) di h.9 R 1
Poblème 6) Une aute instance du poblème ac en ciel 1) a)enonce les lois de Snell-Descates elatives à la éflexion en pécisant la définition des notions utilisées. b)explique ce qu est le phénomène de éflexion totale. c)calcule l angle limite de éflexion totale, dans le cas d un plan de sépaation eau-vide, sachant que l indice de l eau est 1.333 ) On considèe une sphèe tanspaente d indice n, de cente O de ayon R baignant dans l ai (d indice patiquement égal à 1). Cette sphèe est éclaiée pa un faisceau de lumièe paallèle dont un ayon atteint la sphèe en A. En A se poduit une éfaction. On choisit pou plan de figue le plan défini pa O et le ayon i A O B x C Soit B le point ou le ayon éfacté ecoupe la sphèe. En B la lumièe peut ête soit éfactée soit éfléchie, mais on ne considéea que le ayon éfléchi. Soit C le point où le ayon éfléchi en B ecoupe la sphèe. En C, on ne considéea que le ayon éfacté Cy. Les angles sont définis et oientés su la figue.a) Pouquoi le ayon éfacté en A est-il dans le plan de la figue?.b) Peut-il y avoi éflexion totale en B?.c) Monte que = 4-i.d) Expime ensuite en fonction de i et de n uniquement 3)Etude des vaiations de avec i 3.a) Monte que l on peut esteinde cette étude à l intevalle [, /] 3.b) Calcule la déivée de pa appot à i 3.c) Calcule les coodonnées de l extemum, puis pou les valeus suivantes de i
; /1 ; /6 ; /4 ; /3 ; 5 /1 ; / avec une pécision de 1-3.d) constuie la coube epésentative des vaiations de avec i en odonnée en abscisse i 1cm pou 1 su les deux axes 4) Le faisceau d éclaiage est unifome et une suface placée pependiculaiement eçoit une puissance lumineuse pa unité de suface 4.a) Expime en fonction de, i et R la puissance lumineuse d aivant su la sphèe ente les incidences i et i+di 4.b) Véifie ce ésultat en calculant la puissance lumineuse totale incidente su la sphèe 4.c) Tace la coube donnant les vaiations de d /di en fonction de i ; que vaut ce appot pou i = 59 5 puis à son maximum 5) Le faisceau d éclaiage paallèle est founi pa le soleil 5.a) Monte qu il y a accumulation d énegie au voisinage d une cetaine valeu de et que l on peut ainsi explique le phénomène de l ac en ciel. On appelle que l indice de éfaction de l eau est fonction de sa longueu d onde 5.b) Dans des conditions telles que le soleil soit à l ouest incliné de 1 au dessus de l hoizon, de quel côté faut-il egade pou obseve un ac en ciel? Le décie, et pécise sa hauteu angulaie maximale au dessus de l hoizon Pécise les ciconstances météoologiques nécessaies à l obsevation. Faie un coquis montant le soleil, l obsevateu et l ac en ciel 6)On se popose dans cette question de touve un ode de gandeu ciel. de l étalement angulaie de l ac en 6.a) Expime à pati des calculs de la question 3 la valeu de (i) en fonction de n seulement ; en déduie les valeus extêmes de sachant que pou les extémités du specte ouge et violette l indice n vaut espectivement 1.331 et 1.337 6.b) La patie extéieue de l ac en ciel est-elle ouge ou violette?
Coigé 1) Les lois de Snel-Descates s'énoncent comme suit : 1) les ayons éfléchi et éfacté sont dans le plan d'incidence défini pa le ayon incident et la nomale. ) pou la éflexion, i 1 = i 1 ' ; pou la éfaction n 1 sin i 1 = n sin i en appelant n 1 et n les indices de éfaction des milieux. Si n 1 > n, alos i 1 < i : le ayon venant du milieu 1 s'éloigne de la nomale dans le milieu. L'angle i atteint la valeu / avant i 1 (losque n 1.sin i 1lim = n ). Losque i 1 > i 1lim la éfaction est impossible : seule la éflexion existe : c'est la éflexion totale. III--a 3) A.N. : pou l'inteface eau-ai i lim = acsin 1,333 = 48 36'. Le plan de figue contient au point A le ayon incident et la nomale : c'est le plan d'incidence : le ayon éfacté este dans ce plan et ainsi de suite pou les autes éflexions ou éfactions. A i- B III--b L'angle d'incidence en B est égal à l'angle de éfaction en A ; il est donc inféieu à l'angle limite. (tout ayon qui est enté dans la goutte peut en soti). Il ne peut pas y avoi de éflexion totale ni en B, ni en C. i- C -. III--c On compte algébiquement dans le sens des aiguilles d'une monte les déviations successives en A, en B et en C : en A : i - ; en B : -. ; en C : i -. Au total : +.i - 4. = - soit = 4. -.i. III--d On emplace pa sa valeu calculée pa les lois de Descates : = acsin (sin i / n ). III-3-a La symétie de évolution autou de l'axe x'ox pemet de se limite à l'étude dans le plan de figue. Dans le plan de figue, la symétie pa appot à l'axe x'ox pemet de se limite à l'étude de i positif soit /. i III-3-b On difféencie : d di d cos i 4. 4. di n sin i III-3-c L'extemum est obtenu pou d /di = soit 4.cos i = n - sin i... sin i = (4-n )/3. A.N. : i max = 59,41 (alos = 4,8 )
i (ad) /1 /6 /4 /3 /1 / (ad),58,491,666,734,64,5 i (en ) 15 3 45 6 75 9 (en ) 14,78 8,1 38,15 4,7 35,75 14,43 III-3-d voi coube. III-4-a Les ayons qui aivent su la sphèe ente les angles i et i + di sont situés dans un cylinde de généatices paallèles à x'ox et de ayon moyen R.sin i. L'épaisseu de ce cylinde vaut d(r.sin i) = R.cos i.di. La puissance tanspotée pa ces ayons vaut : i R d =...R.sin i.r.cos i.di III-4-b On peut véifie ce ésultat en calculant la puissance totale eçue pa la sphèe :..R :. sin.cos... sin / / i R.. i i di R. R. III-4-c d di =..R..sin i.cos i A.N. : pou i = 59 5' d di =,876...R. Le maximum est obtenu pou i = 45 : d di =..R. III-5-a
L'obsevateu est placé loin de la goutte. i = i max i i max Les ayons aivant avec un angle i tès difféent de i max essotent de la goutte non paallèles ente eux et donnent donc un faisceau divegent : la puissance sufacique tanspotée est donc faible (elle diminue losqu'on s'éloigne de la goutte). Les ayons aivant su la goutte avec un angle i voisin de i max sont tous déviés d'un même angle et essotent paallèles ente-eux : ils tanspotent donc une puissance sufacique constante, ce qui donne, pou l'obsevateu un phénomène lumineux. Pou un obsevateu donné, seules les gouttes véifiant i = i max donnent cette impession visuelle. Ce sont les gouttes qui sont su le cône d'axe (obsevateu - diection des ayons povenant du soleil) et de demi-angle au sommet III-5-b (i max ). Généalement l'hoizon empêche de voi entièement le cône. Le soleil doit ête deièe l'obsevateu. Si le soleil est incliné de 1 au-dessus de l'hoizon, la hauteu angulaie maximale de l'ac en ciel sea de 3 ( max - 1 ). Il faut qu'il y ait des gouttes d'eau (pluie ou bouillad). Comme l'indice de l'eau dépend de la longueu d'onde, (i max ) en dépend aussi : le phénomène obsevé est en couleus, chaque couleu coespond à une inclinaison. III-6-a On ecalcule plus pécisément les valeus de max pou les longueus d'onde extêmes du specte visible. ouge : n = 1,331 i max = 59,57 = 4,37 bleu : n = 1,337 i max = 59,178 = 41,5 =,87
III-6-b L'angle augmente du bleu au ouge donc le ouge est à l'extéieu de l'ac en ciel Pou l'ac en ciel du deuxième ode (une éflexion supplémentaie dans la goutte), c'est l'invese : l'angle est plus gand et les couleus sont invesées. Bleu Pou l analyse histoique de l ac en ciel, on poua consulte l ouvage : Rouge Rainbows, Halos and Gloies pa Robet Geenle (Cambidge Univesity Pess).