18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 1 Rallye mathématique transalpin EPREUVE D ESSAI 2009/2010 (Extraits de la 16 e édition du RMT) 1. OLGA LA BALEINE (Cat. 3) Olga la baleine se demande : «Combien d hommes faudrait-il pour obtenir mon poids?» Vous pouvez l'aider avec les indications suivantes : 5 vaches font le poids d'un éléphant ; 10 hommes font le poids d'une vache ; 30 éléphants font le poids d'une baleine. Combien d hommes faut-il pour obtenir le poids d Olga? Expliquez comment vous avez fait pour trouver la réponse. - Arithmétique : nombres naturels, multiplication, équivalences - Organisation d une recherche - Se rendre compte que les données ne sont pas communiquées dans l'ordre chronologique nécessaire à la résolution. - Procéder à l'organisation des données en remontant progressivement des hommes jusqu'à la baleine (homme vache éléphant baleine), ou l inverse. - Multiplier le nombre d'animaux à chaque étape, puis faire le produit final du nombre d'hommes (30 x 5 x 10 = 1500). - Formuler la réponse en exprimant le poids de la baleine en respectant l'unité de mesure choisie (le poids de l homme). Ou : opérer au fur et à mesure de la lecture des informations, 5 vaches = 1 éléphant ; 10 hommes = 1 vache ; donc 1 éléphant = 50 hommes ; et comme 30 éléphants = 1 baleine, alors 1 baleine = 30 x 50 hommes, 1500 hommes. 4 La solution (1500 hommes) avec explications valides (calculs, diagrammes, texte )
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 2 2. MAISONS A COLORIER (Cat. 3, 4) Dimitri a dessiné 7 maisons et les a reliées par des chemins, comme le montre le dessin ci-contre. Il demande à Corinne de colorier les maisons en respectant les règles suivantes : - utiliser des couleurs différentes pour les maisons reliées par un chemin, - utiliser le moins possible de couleurs. Corinne réussit à satisfaire la demande de Dimitri en utilisant seulement 4 couleurs. Pourriez-vous colorier les maisons, selon les mêmes règles, en utilisant moins de 4 couleurs? Si vous réussissez, montrez votre solution en coloriant les maisons. - Logique et raisonnement : déduction, combinatoire - Commencer en coloriant, avec des couleurs différentes, deux maisons reliées entre elles et continuer à procéder pas à pas en tâchant de respecter les règles. Par exemple si 1 est colorié en rouge et 2 en bleu, 3 ne peut être bleu car reliée à 2, mais peut être rouge parce qu elle n est pas reliée à 1 ; 4 ne peut être ni rouge ni bleu car elle est reliée à 1 et 2 : elle peut être verte par exemple. Alors 5 ne peut être ni bleue ni verte Etc. Ou bien colorier une maison et repérer celles qui peuvent être éventuellement coloriées de la même couleur ou celles qui sont nécessairement d une autre couleur. Continuer de la même manière en vérifiant à chaque étape que la contrainte est vérifiée. Par exemple : colorier en premier la maison numéro 3 en rouge. Dans ce cas, les maisons 1 et 5 peuvent aussi être rouges; le maison 2 ne peut pas être rouge : elle peut être bleue par exemple; alors la maison 7 peut aussi être bleue. À ce stade, les maisons 4 et 6 doivent être d'une autre couleur, nécessairement vertes. Ou : se rendre compte que trois couleurs au moins sont nécessaires parce qu'il y a des triplets de maisons reliées entre elles, ex. 1-2-4; 2-3-4; 2-5-6;...). Considérer par exemple le triangle 2-5-6 et attribuer une couleur différente à chaque sommet. Déduire les couleurs possibles pour les autres maisons en respectant les règles. Ou : procéder par essais plus ou moins organisés avec contrôle de la contrainte et réajustements - Réponse : 1, 3 et 5 d'une même couleur 4 et 6 d'une deuxième couleur Maisons 1 3 5 4 6 2 7 2 et 7 de la troisième couleur, Réponse 1 B B B V V R R Par exemple : Réponse 2 B B B R R V V Réponse 3 V V V B B R R Réponse 4 V V V R R B B Réponse 5 R R R B B V V Réponse 6 R R R V V B B 4 Une solution correcte qui montre un coloriage avec trois couleurs bien distinctes
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 3 3. LES VERRES D ALBERT (Cat. 3, 4) Albert a reçu une caisse de 42 verres de cristal qu il va ranger dans la vitrine de sa boutique. Il dispose tous les verres sur 7 rayons, et sur chaque rayon il met un verre de moins que sur le rayon précédent. Combien y a-t-il de verres sur chaque rayon? Expliquez votre raisonnement. - Arithmétique : addition, succession de nombres naturels - Comprendre qu il s agit de trouver 7 nombres naturels consécutifs dont la somme est 42. Procéder par essais : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 non 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 35 non 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 42 oui! Ou : dessiner la répartition sur 7 rangs jusqu à pouvoir disposer les 42 verres. Ou : partir de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28, soustraire 28 de 42, pour savoir combien qu il reste 14 verres avec lesquels on peut encore former sept groupes de deux verres à ajouter sur chaque rayon. Ou : diviser 42 par 7 pour trouver le nombre «moyen» et arriver à la solution par adaptations successives. 4 Réponse correcte avec la séquence des 7 nombres (9, 8, 7, 6, 5, 4, 3) ou dessin du rangement indiquant le nombre de verres par rang, avec explication de la procédure ou description des essais ou : dessin du rangement avec indication du nombre de verres dans chaque rang et explication ou explicitation des essais
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 4 4 CLASSES INTERNATIONALES (Cat. 3, 4) Pour former les classes de 5 e primaire, le directeur d une école internationale consulte la liste des élèves inscrits et constate qu il y a : 13 Italiens 11 Français 10 Américains 1 Chinois 8 Suisses 7 Allemands 9 Marocains 4 Hollandais Le directeur veut former trois classes ayant le même nombre d élèves, tout en laissant les enfants d une même nationalité dans la même classe. Décrivez toutes les manières possibles de former les trois classes. Expliquez votre raisonnement. : - Arithmétique : décomposition additive de nombres, addition, division - Combinatoire - Calculer la somme de tous les élèves, 63 et en déduire que chaque classe aura un effectif de 21 (63 : 3) - Trouver toutes les décompositions de 21 en sommes de deux termes ou plus qui tiennent compte des nombres d élèves des différentes nationalités : en deux termes 21 = 13 + 8 ou 21 = 11 + 10; en trois termes: 21 = 13 + 7 + 1 = 11 + 9 + 1 = 10 + 7 + 4 = 9 + 8 + 4 ; en quatre termes: 21 = 9 + 7 + 4 + 1 - Combiner entre elles les décompositions précédentes de manière à ne pas répéter les mêmes nombres dans une même combinaison, obtenir les trois répartitions possibles des élèves dans les classes Solutions Classe A Classe B Classe C 1 11,10 13, 7, 1 9, 8, 4 2 11,10 13, 8 9, 7, 4, 1 3 13, 8 10, 7, 4 11, 9, 1 Ou: penser que dans la classe des 13 Italiens les 8 autres élèves ne peuvent être que les 7 Allemands et le Chinois ou les 8 Suisses. Dans le premier cas, dans la classe des 11 Français, on ne peut ajouter que les 10 Américains pour arriver à 21, ce qui conduit à la solution 1 (la troisième classe ne peut être formée que de 8 + 9 + 4). Dans le second cas (21 = 13 + 8), la classe des 11 Français peut être complétée par les 9 Marocains et le Chinois (solution 3) ou avec les 10 Américains (et l on arrive à la solution 2). Puisqu il n y a pas d autres cas possibles, on peut conclure qu il n y a que ces trois solutions. 4 Les trois solutions (voir tableau ci-dessus) avec vérification du fait que ces solutions conviennent (calculs ou explications du genre : 63 élèves, 21 par classe et vérifications pour chaque cas)
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 5 5. TOURS BICOLORES (Cat. 3, 4, 5) Robin possède une boîte qui contient des cubes gris et des cubes blancs. Il construit plusieurs tours en respectant le modèle suivant : Première tour : 1 cube gris. Deuxième tour : 5 cubes : 1 gris et 4 blancs Troisième tour : 14 cubes : 10 gris et 4 blancs Robin continue à construire des tours en changeant de couleur pour chaque étage. En continuant de la même manière, combien de cubes de chaque couleur Robin utilisera-til pour construire la sixième tour? Expliquez votre réponse. - Arithmétique : addition, multiplication, carrés des premiers nombres naturels - Géométrie : représentation plane d un objet en trois dimensions - Comprendre que tous les cubes ne sont pas visibles sur la représentation. - Comprendre les règles de construction des tours : alternance des couleurs ; chaque étage a la forme d un carré dont le côté comporte un cube de plus que celui de l étage immédiatement supérieur (à partir du haut de la tour, les côtés des carrés sont de 1, 2, 3,... cubes). - Déterminer le nombre de cubes de chaque tour et leur couleur, par construction effective à l aide de matériel et comptage un à un, ou étage par étage par addition ou multiplication (carrés) puis par addition du nombre de cubes des différents étages,... Ou : calculer les nombres de cubes de la 4 e tour en ajoutant 16 blancs : 30 cubes (14 + 16) dont 10 gris et 20 (4 + 16) blancs ; puis de la 5 e tour : 55 cubes (30 + 25) dont 35 gris (10 + 25) et 20 blancs, puis de la 6 e tour : 91 cubes dont 35 gris et 56 (20 + 36) blancs (les résultats peuvent être organisés en tableaux). Ou : remarquer que les nombres de cubes par étage sont donnés par la suite des carrés des nombres naturels et utiliser cette suite, (passage du géométrique au numérique), pour déterminer le nombre de cubes de chaque couleur : gris (1 + 9 + 25 = 35) et blancs (4 + 16 + 36 = 56). 4 Solution correcte (35 gris et 56 blancs) avec explications
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 6 6. LA CHAMBRE DE MON COUSIN (Cat. 4, 5) Mon oncle Jean a acheté une longue bande avec des étoiles pour décorer les murs de la chambre de mon cousin François. Il est en train de coller cette bande. Il a commencé par le côté gauche d un mur. François regarde les étoiles déjà collées : certaines sont quadrillées, d autres pointillées. En observant attentivement, il voit que ces dessins se répètent régulièrement. Il dit alors à son père : je peux savoir quel sera le dessin de la 2008 e étoile, sans voir toute la bande. Dites, vous aussi, quel sera le dessin de la 2008 e étoile, sans dessiner toute la bande? Expliquez votre réponse. - Arithmétique : suite numérique périodique, groupements par 5 et par 10, division avec reste - Comprendre que la succession des dessins se répète avec régularité par groupes de 5 éléments et éventuellement, que deux groupes de 5 éléments forment un groupe de 10 étoiles. - Trouver les liens entre la suite des étoiles et notre numération : en numérotant chaque étoile des premiers groupes (ou celles qui sont déjà dessinées, ou encore en dessinant de nouvelles étoiles à la suite), découvrir que les étoiles dont les derniers chiffres sont 1, 2, 6 et 7 sont pointillées et que celles dont les derniers chiffres sont 3, 4, 5, 8, 9 et 0 sont quadrillées, (c est-à-dire que les étoiles des positions 11, 12, 16, 17 sont pointillées et celles des positions 13, 14, 15, 18, 19, 20 sont quadrillées,...). Comprendre que cette règle s étend aux nombres suivants, au-delà des centaines et des milliers, (qu elle correspond aux groupements de base 10 de notre numération) ; en déduire que l étoile numéro 2008 sera donc quadrillée puisque son rang est un nombre qui se termine par 8. Ou : grouper les étoiles constituant le motif répétitif par 5 et effectuer la division 2008 : 5 = 401 reste 3. En conclure que la 2008 ème étoile est quadrillée. Ou : effectuer une division 2008 :10 pour obtenir 200 groupes de 10 et un reste de 8, et en déduire que l étoile 2008 est quadrillée. 4 Solution correcte (l étoile 2008 est quadrillée) avec explications ou dessins, schémas,... montrant clairement le lien entre les motifs et le dernier chiffres du numéro de l étoile
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 7 7. LES SURFACES DE M. MINIPOT (Cat. 4, 5) M. Minipot veut peindre les surfaces dessinées ci-contre en mettant toujours la même épaisseur de peinture. Il possède trois pots de peinture identiques. Il en utilise un, complètement, pour peindre la surface carrée. Avec les deux pots qui restent, et en mettant la même épaisseur de peinture partout, pourra-t-il peindre entièrement les deux autres surfaces? Expliquez comment vous avez fait pour trouver votre réponse. - Géométrie : figures planes, carré, rectangle, trapèze, triangle, décomposition d une figure - Grandeurs et mesures : mesure de l aire d une surface avec une unité d aire appropriée, comparaison d aires - S approprier la situation : voir qu on ne peut pas simplement attribuer un pot à chaque figure et qu il faut analyser plus attentivement le problème, qu il s agit de s intéresser à ce qu on peint (la surface) et non à la forme ou la grandeur apparente des figures. - Entamer une procédure de comparaison des aires des figures en remarquant tout d abord que le rectangle semble plus grand que le carré, mais que pour en être sûr il faut diviser les figures selon le quadrillage donné (en prolongeant le quadrillage à l intérieur des figures) pour trouver, en comptant les carreaux (unités d aire) que le carré vaut 25 carreaux, et le rectangle 28. - Mesurer le bateau, en le reproduisant et en le découpant en 4 parties: la voile et trois parties pour la coque : le rectangle 7 x 2 (carreaux) et les deux triangles latéraux qui, réunis, forment un carré 2 x 2 (carreaux) - calculer le nombre de carreaux de la coque: 14 c pour le rectangle ; 4 c pour le carré. - le triangle-voile constitue la difficulté du problème. Elle se résout facilement si on considère le triangle en tant que la moitié d un rectangle de 2 c de largeur et 3 c de longueur (en coté de carreaux), donc d aire 3 carreaux. Autrement voir le triangle, recoupé en petits morceaux, comme un rectangle 3 x 1. On peut aussi arriver à un rectangle de 1,5 x 2!!, - Trouver alors que l aire totale du navire mesure 21 carreaux : 14 c + 4 c + 3c. Ou bien, par calcul du nombre de carreaux de la coque : - trouver la mesure de l aire en carreaux, en calculant l aire du trapèze (coque) de bases (en coté de carreaux) 7 c, et 11c, et de hauteur (en coté de carreaux) 2 c, soit 18 carreaux et celle du triangle de côtés 3 c et 2 c, soit 3 carreaux. - Pour répondre à la demande du problème: déduire qu un pot de peinture permet de recouvrir 25 carreaux et 2 pots permettent d en recouvrir 50. - Ajouter les mesures d aires des deux surfaces (28 + 21 = 49, en c) pour trouver que les pots restants suffisent et qu il subsiste l équivalent d un carreau de peinture. Ou comprendre qu avec un pot complet de peinture et un peu (l équivalent de 3 carreaux) de l autre, on peut peindre le rectangle, et qu avec la peinture restante (l équivalent de 22 carreaux) on peut peindre complètement le bateau, et qu il reste non utilisé l équivalent d un carreau de peinture. Ou bien: chercher à recouvrir deux carrés avec des morceaux provenant du redécoupage du rectangle et du bateau (méthode un peu plus complexe). - Rédiger les explications demandées et la réponse. 4 Réponse correcte «oui» avec explications claires et complètes, même à l aide de dessin (indication des mesures des aires des différentes parties et de leur somme et manière de les trouver par comptage, découpages et recollements, etc.) de la démarche suivie pour trouver la réponse.
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 8 8. LE PARQUET DECORE (Cat. 5, 6) Le sol de la chambre d Alice a la forme d un rectangle dont les côtés mesurent exactement 360 cm et 480 cm. Alice veut recouvrir le sol d un parquet composé de carreaux carrés de 20 cm de côté qui forment le dessin suivant : B A BB C 480 360 - La partie A (en gris clair) sera formée de 3 rangs de carreaux de chêne, posés le long des bords de la chambre. - La partie B (en gris foncé) sera constituée d un seul rang de carreaux décorés, posés à côté de ceux de la partie A. - La partie C (en blanc), au centre, sera un rectangle constitué de carreaux en pin, plus clairs que les précédents. Combien de carreaux de chêne, combien de carreaux décorés et combien de carreaux de pin seront nécessaires pour paver la chambre d'alice? Expliquez votre raisonnement. Domaine de connaissance - Géométrie : rectangle ; pavage - Grandeurs et mesures : périmètre et aire - Arithmétique : les quatre opérations - Imaginer que la chambre sera entièrement et exactement quadrillée par les carreaux de parquet, c est-à-dire qu il y aura un nombre entier de carreaux dans la longueur et la largeur. - Calculer le nombre de carreaux dans la longueur et dans la largeur de la pièce : 480 : 20 = 24, 360 : 20 = 18. - Construire un modèle de la chambre sur une feuille de papier quadrillé ou pointé, de 18 x 24 carrés et dessiner les rangs successifs et les distinguer, puis compter les carrés de chaque type : au centre 10 x 16 = 160, la cadre par exemple : 2(10 + 16) + 4 = 56, le bord par exemple : 12 x 18 + 4 x 9 = 216 Bien que ce ne soit pas indispensable, on peut terminer en vérifiant que la somme de tous les carreaux (216 + 56 + 160 = 432) est égale au nombre de carreaux dans la chambre (aire du rectangle : 24 x 18= 432). Ou, sans recourir au dessin sur papier quadrillé, - déduire les dimensions du rectangle central en côtés de carreaux (ou en cm, ce qui est plus difficile) en retranchant les huit rangs des zones A et B : 24 8 = 16 et 18 8 = 10. Puis calculer le nombre de carreaux correspondants : 160, puis procéder comme précédemment ou par rectangles successifs 12 x 18 = 216 et 18 x 24 = 432 puis par soustractions : 216 160 = 56 ; 432-160 - 56 = 216 Ou, sans envisager les carreaux et côtés de carreaux comme unités, mais en restant en cm 2 et cm, utiliser la démarche précédente, utilisant de grands nombres et de nombreuses multiplications et divisions par 20. Par exemple, calculer qu un carreau a une aire de 400 cm 2, calculer que l aire totale est 172800 cm 2, trouver que les dimensions du rectangle intérieur sont 480 (8 x 20) = 320 et 380 -(8 x 20) = 200, etc... 4 Solution correcte et complète (160 carreaux en pin, 56 carreaux décorés, 216 carreaux en chêne) avec explications du comptage ou des opérations
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 9 9. DES ŒUFS EN CHOCOLAT TROP LÉGERS (Cat. 5, 6, 7) Monsieur Michel, propriétaire d une fabrique de chocolat, s aperçoit qu une de ses 12 machines qui produisent des oeufs en chocolat est mal réglée. Les oeufs qui sortent de cette machine ne pèsent que 24 grammes chacun alors que toutes les autres machines produisent des oeufs de 25 grammes. Monsieur Michel, qui aime beaucoup les devinettes, demande à son épouse de découvrir quelle est la machine mal réglée, mais en une seule pesée. Madame Michel, très futée, numérote les machines de 1 à 12, et met sur la balance : 1 oeuf fabriqué par la machine n 1, 2 oeufs de la machine n 2, 3 œufs de la machine n 3, et, ainsi de suite jusqu à 12 œufs de la machine n 12. Ces œufs pèsent ensemble 1942 grammes et Madame Michel peut savoir, avec cette unique pesée, quelle est la machine mal réglée. Selon vous, quelle machine est mal réglée? Expliquez le raisonnement qui vous a permis de trouver la réponse. - Arithmétique : addition, multiplication,... - Logique et raisonnement : déductions - Faire une hypothèse sur le numéro de la machine qui est mal réglée ; calculer le poids de l ensemble des œufs pesés dans ce cas ; le comparer à 1942 grammes. Si les deux poids sont les mêmes, valider l hypothèse. Sinon, formuler une autre hypothèse cohérente avec le résultat obtenu (augmenter le numéro de la machine si le poids obtenu est supérieur à 1942, le diminuer sinon). Ou : se rendre compte que la différence entre le poids total trouvé (1942) et le poids total des œufs si tous étaient bien calibrés (c est-à-dire le nombre de grammes qui manquent) correspond au nombre d oeufs qui ont un gramme de moins et, au vu du mode d échantillonnage choisi par Madame Michel, au numéro de la machine qui les a fabriqués. Trouver alors le nombre d oeufs pesés 1 + 2 +... + 12 = 78 (à la main, à la calculatrice, ou par associativité et multiplication (12 + 1) x 12/ 2 = 78) et calculer que ces 78 œufs devraient peser 78 x 25 = 1950 g. (On peut aussi directement faire la somme de 25 x 1 + 25 x 2 + 25 x 3 et trouver un poids total de1950 g) Constater qu il manque 1950-1942 = 8 g ; en déduire que 8 œufs pèsent 1 g de moins que prévu et qu ils proviennent de la machine n 8, puisqu il n y en a qu une de mal réglée. Ou : diviser le poids total par le nombre d oeufs (1942 : 78 donne 24 reste 70); constater qu il manque 8 grammes pour que chaque oeuf soit de 25 grammes et déduire que la machine défectueuse est la machine no 8. Ou : procéder par essais en excluant à chaque fois les oeufs d une machine, supposée défectueuse) et en calculant le poids des oeufs (supposés de 25 grammes) de toutes les autres, pour vérifier si le poids total est un multiple de 25 : 1942 (1 x 24) = 1918 ; 1942 (2 x 24) = 1884 ;... ; 1942 (8 x 24) = 1750!!... 4 Réponse correcte (machine n 8) avec explications claires
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 10 10. NOMBRES A TROUVER (Cat. 5, 6, 7) Julien observe le nombre 1313 et remarque que : - lorsqu il additionne ses quatre chiffres, il obtient 8 (1 + 3 + 1 + 3 = 8), - lorsqu il multiplie ses quatre chiffres, il obtient un nombre impair, (1 x 3 x 1 x 3 = 9). Il se demande quels autres nombres de quatre chiffres ont 8 comme somme de leurs chiffres et un nombre impair comme produit de leurs chiffres. Aidez Julien à trouver les autres nombres! Donnez la liste de tous les nombres que vous avez trouvés. - Arithmétique : addition, soustraction et multiplication - Logique : organisation d'un raisonnement qui tient compte de plus de deux conditions - Comprendre que Susy et Lilly dépensent entièrement leur argent : 32,40 (en euros). - Établir la somme dont elles peuvent disposer pour l'achat de livres et DVD : 32,40 6,10 = 26,30 (en euros). - Faire une hypothèse sur le nombre de DVD achetés et examiner si la totalité de la somme restante peut être dépensée en n achetant que des livres ou le contraire. Ou déterminer, de manière organisée, les achats possibles selon les offres spéciales (qu il faut savoir interpréter correctement!). Nb. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 DVD 3,60 7,20 10,80 12,60 16,20 19,80 23,40 24,20 27,80 - - - - livres 2,50 4 6,50 8 10,50 12 14,50 16 18,50 20 22,50 24 26,50 et se rendre compte que pour obtenir 26,30 euro (partie décimale : 30) on peut, par exemple, constater que les parties décimales des prix des DVD et des livres ne peuvent être respectivement que 80 et 50 et trouver la seule possibilité : 19,80 et 6,50, ce qui correspond à 6 DVD et 3 livres. Ou : procéder par essais non organisés et vérifier ensuite la réponse. 4 Réponse correcte (6 DVD et 3 livres) avec explication adéquate
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 11 11. DES ROSES ET DES IRIS (Cat. 6, 7) Isidore, le fleuriste, a des roses et des iris. Il en fait 6 bouquets, sans mélanger les deux sortes de fleurs : certains avec des roses seulement, les autres avec des iris seulement. À la fin, il a utilisé toutes ses fleurs et a constitué ces bouquets : un bouquet de 3 fleurs, un de 5 fleurs, un de 7 fleurs, un de 10 fleurs, un de 15 fleurs et le dernier de 20 fleurs. Isidore regarde l un de ses bouquets et se dit : «Si je vends celui-ci, le nombre de roses qui me resteront sera le double de celui des iris qui me resteront». Quel bouquet Isidore regarde-t-il? Expliquez comment vous avez trouvé et dites de quelles fleurs pourraient être composés chacun des cinq bouquets qui restent. : - Arithmétique : addition de nombres naturels et partage en deux parties dont l une est le double de l autre - S approprier la situation : bouquets composés soit d iris, soit de roses, sans bouquets mixtes ; les fleurs qui resteront après la vente d un bouquet seront celles qui composent les cinq autres bouquets, toujours des roses ou des iris. - Travailler par essais sans organisation : vente du premier bouquet de 3 fleurs ; il reste 5 + 7 + 10 + 15 + 20 = 57 fleurs ; recherche d une répartition «nombre de roses est le double du nombre d iris» : impossible avec un seul bouquet d iris, impossible avec 2 bouquets d iris, impossible avec 3 bouquets, etc... et se rendre compte qu on ne pourra pas arriver avec les nombres à disposition à une somme de 19 pour les iris et 38 pour les roses ; même démarche pour la vente du deuxième bouquet, etc. découverte que avec le cinquième bouquet de 15 fleurs, il reste 3 + 5 + 7 + 10 + 20 = 45 fleurs qu on peut répartir entre 5 + 10 iris et 3 + 7 + 20 = 30 roses, ou entre 3 + 5 + 7 iris et 10 + 20 roses ; vérifier que, avec le sixième bouquet il reste 40 fleurs et que la répartition est impossible. Ou : calculer le nombre total de fleurs : 3 + 5 + 7 + 10 + 15 + 20 = 60 ; se rendre compte qu il faudra essayer toutes les possibilités pour les restes après la vente d un bouquet : 60 3 = 57 ; 60 5 = 55 ; 60-7 = 53 ; 60 10 = 50 ; 60 15 = 45 ; 60 20 = 40 ; et se rendre compte en outre que si le nombre de roses qui restent est le double de celui des iris, le nombre total de fleurs restant sera le triple de celui des iris et ne considérer par conséquent que les multiples de 3 : 57 et 45. Voir, comme précédemment, que pour le premier cas la répartition 19-38 n est pas possible et que seule la répartition 15-30 permet d arriver aux solutions : vente du bouquet de 15 fleurs, il reste 2 bouquets de 5 et 10 iris et 3 bouquets de 3, 7 et 20 roses ou bien il reste 3 bouquets de 3, 5 et 7 iris et 2 bouquets de 10 et 20 roses. 4 Réponse correcte et complète (vente du bouquet de 15 fleurs, il reste 2 bouquets de 5 et 10 iris et 3 bouquets de 3, 7 et 20 roses ; ou bien il reste 3 bouquets de 3, 5 et 7 iris et 2 bouquets de 10 et 20 roses) avec explication de la démarche et vérification qu il n y a que le bouquet de 15 fleurs qui convient (que celui-ci n a pas été trouvé par hasard et que les autres cas ont été envisagés)
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 12 12. POINTS DE VUE (Cat. 6, 7) André a fait une construction en collant des cubes. Voici comment elle se présente, vue de face : Parmi les dessins (a, b, c, d, e, f) ci-dessous, repérez ceux qui représentent la construction d André et précisez si elle est vue de l arrière, de la droite ou de la gauche. a b c d e f - Géométrie dans l espace : vision spatiale, «polycube», rotation d un solide, perspective cavalière - Tourner mentalement la construction d un quart ou d un demi-tour par rapport à l observateur, dans le sens inverse de celui que l observateur prendrait pour observer la construction sous un autre point de vue. - Décomposer la construction en éléments plus simples à visualiser mentalement. En particulier le té couché et le té debout. - Comparer l image mentale de la construction tournée avec chaque dessin. - Rejeter les trois dessins correspondant à une position symétrique incorrecte des deux tés : a, e et f. - Indiquer les vues : b = vue de gauche, c = vue de derrière, d = vue de droite. 4 Solution complète : les trois dessins corrects (b, c et d) et les trois points de vue identifiés et bien indiqués
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 13 13. LA STATION D ESSENCE (Cat. 6, 7, 8) En passant devant une station d essence, Claude lit le prix du litre d essence. Ce prix est affiché par six panneaux alignés : quatre de ces panneaux sont mobiles et affichent chacun un chiffre (1, 2, 5 et 7), un panneau fixe affiche la virgule «,» (en gris) et un autre la monnaie (aussi en gris) : 1, 2 5 7 Claude voit que le pompiste est en train d afficher le nouveau prix en apportant un nouveau panneau mobile avec un «8». Il se souvient alors que hier soir, la radio annonçait que le prix de l essence allait augmenter aujourd hui et que, pour faire un plein de 40 litres, il faudra dépenser entre 1 et 1,30 de plus. Quel pourrait être le nouveau prix affiché pour un litre d essence? Indiquez toutes les possibilités et donnez les détails de votre recherche. - Combinatoire - Arithmétique : chiffres et nombres, opérations - Comprendre que si le pompiste a en main un panneau «8» les nouveaux prix possibles doivent respecter les conditions suivantes : Quand on substitue un panneau par un nouveau, l ancien peut encore être utilisé pour former un nouveau prix ; Le «1» ne peut être remplacé par le nouveau panneau «8» ni par un des anciens «2», «5» ou «7» car l augmentation serait beaucoup plus importante que ce qui a été annoncé ; Le «2» ne peut pas non plus être remplacé par «8», «5» ou «7» car l augmentation serait supérieure à 30 centimes par litres ou12 pour 40 litres. Donc le «8» ne peut remplacer que le «5» ou le «7» et il faut envisager les arrangements sans répétitions de ces trois panneaux pris deux à deux pour les deuxième et troisième chiffres après la virgule. On peut établir, par exemple un tableau du genre : Nouveau prix Ancien prix Différence / litre pour 40 litres 1,258 1,257 0,001 0,001 x 40 = 0,04 1,285 1,257 0,028 0,028 x 40 = 1,12 1,278 1,257 0,021 0,021 x 40 = 0,84 1,287 1,257 0,03 0,03 x 40 = 1,2 Ou : établir un tableau analogue mais partant des prix totaux : calculer le coût de 40 litres à l ancien prix (1,257 x 40 = 50,28) y ajouter la fourchette d augmentation (de 51,28 à 51,58) et calculer le nouveau prix du litre qui se situera entre 51,28 :40 = 1,282 et 51,58 : 40 = 1,289. En conclure que le prix pourrait être, avec les chiffres à disposition et selon les informations de la radio 1,287 ou 1,285. Ou : calculer la fourchette d augmentation par litre : entre 1 : 40 = 0,025 et 1,30 : 40 = 0, 0325. Le nouveau prix du litre se situera donc entre 1,285 et 1,2895. Les deux seules possibilités en ne retirant qu un chiffre pour le remplacer par 8 sont 1,285 et 1,287. 4 Les deux solutions (1,287 et 1,285) avec explications claires et détaillées montrant qu il n y en a pas d autres
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 14 14. LES TRIANGLES (Cat. 6, 7, 8) Dans cette figure, il y a beaucoup de triangles. Pierre en a compté 32, mais il ne sait s il les a tous trouvés. Combien de triangles peut-on voir dans cette figure? Expliquez comment vous les avez comptés. - Géométrie : reconnaissance de triangles dans une figure complexe - Logique : organisation d un dénombrement - Identifier les triangles - Se rendre compte qu il n y a pas que les 12 «petits» triangles juxtaposés qui composent le carré, mais qu il y a aussi des triangles plus grands, formés de plusieurs «petits». (Voir dessins page suivante) - Déterminer une démarche de comptage des triangles, par «catégories». Par exemple on peut dénombrer les triangles en fonction du nombre de «petits» triangles qu ils contiennent : nombre de petits triangles contenus : 1 2 3 4 5 6 triangles dénombrés 12 8 12 4 0 4 total : 40 Ou : choisir un segment ; compter tous les triangles qui ont ce segment pour côté. Éliminer ce segment, en choisir un autre et recommencer. Ainsi de suite en faisant attention de ne pas choisir deux fois le même triangle. Ou: choisir un point d intersection de deux segments compter tous les triangles qui ont ce point pour sommet; éliminer ce point et recommencer avec un autre... - Le comptage peut se faire en coloriant sur la figure reproduite en plusieurs exemplaires ou en nommant les points pour désigner les triangles. - Observer une symétrie par rapport à la diagonale dessinée du carré, ce qui permet de rendre le comptage plus économique. 4 Réponse exacte «40 triangles*» avec explications complètes du comptage (dessins des triangles de chaque «catégorie», descriptions et nombre de triangles par catégorie, etc.).
18 e RMT ÉPREUVE d essai Novembre - Janvier 2010 RMTBelgique.2010 15 Les 40 triangles 12 triangles formés de 1 petit triangle 8 (6 + 2) triangles formés de 2 petits triangles 12 (4+4+4) triangles formés de 3 petits triangles 4 (2+ 2) triangles formés de 4 petits triangles 4 (2 + 2) triangles formés de 6 petits triangles