II. Les équations de la structure stellaire 1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants 2. Les équations (quasi-statiques) de la structure stellaire 3. Solutions simples 4. Le théor orème du viriel 5. Quelques échelles de temps Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 1
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants Les ingrédients (Mécanique non-relativiste) Les lois de conservation Masse Quantité de mouvement Energie Les forces en présence Gravitation Les lois de la thermodynamique Première loi Equation d état (+ Transfert radiatif, réactions thermonucléaires ) Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 2
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants Rappel: Le théor orème de la divergence (de Gauss) Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 3
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants a) L équation de continuité (conservation de la masse) Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 4
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants a) L équation de continuité (conservation de la masse) Avec, par définition, la dérivée en suivant le mouvement (approche Lagrangienne): Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 5
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants b) L équation de Poisson Potentiel gravitationnel Constante gravitationnelle Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 6
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants b) L équation de Poisson Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 7
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants b) L équation de Poisson Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 8
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants c) La conservation de la quantité de mouvement (équation( de Navier-Stokes) Pression Viscosité Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 9
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants d) La conservation de l él énergie (ν=0;( Φ=cte) - Conservation de la masse + conservation de la quantité de mouvement + 1ere loi de la thermodynamique => E. cinétique E. Interne spécifique Enthalpie Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 10
1. Equations hydrodynamiques des e) Equation d éd état systèmes autogravitants Composition chimique Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 11
1. Equations hydrodynamiques des systèmes autogravitants Ces 6 équations (+équations d état) lient les variations temporelles (t) et spatiales (x) des variables: v, Φ, P, T (ou ρ, s, ou u, h ) Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 12
2. Les équations (quasi-statiques) de la Hypothèses structure stellaire Structure sphérique (rotation négligeable) Viscosité négligeable Vitesses négligeables + Réactions thermonucléaires + Transfert radiatif Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 13
2. Les équations (quasi-statiques) de la Equation de continuité structure stellaire Symétrie sphérique: m(r) r Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 14
2. Les équations (quasi-statiques) de la structure stellaire Conservation de la quantité de mouvement (équilibre( hydrostatique) Symétrie sphérique: m(r) r Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 15
2. Les équations (quasi-statiques) de la Conservation de l él énergie structure stellaire On introduit une quantité essentielle: L(m), la luminosité L(m+dm) L(m) m(r) Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 16
2. Les équations (quasi-statiques) de la Transport de l él énergie Dans un milieu radiatif : structure stellaire Plus généralement : Où on a défini le gradient de température : Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 17
2. Les équations (quasi-statiques) de la structure stellaire Cas hydrodynamique Cas hydrostatique Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 18
2. Les équations (quasi-statiques) de la structure stellaire Les conditions aux limites Exemple: approximation d Eddingtond Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 19
3. Solutions simples Equation hydrostatique «moyennée» Avec loi du gaz parfait: Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 20
4. Le théor orème du viriel En utilisant uniquement l él équation d éd équilibre hydrostatique! Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 21
4. Le théor orème du viriel Energie totale du système: Conservation de l énergie (pas de réactions thermonucléaires etc.): Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 22
5. Quelques échelles de temps Temps de Kelvin-Helmholtz C est le temps maximum pendant lequel une étoile peut rayonner une luminosité L à partir uniquement de l énergie gravitationnelle E g. C est aussi le temps caractéristique de contraction lors de la phase pré-séquence principale, càd avant que les réactions thermonucléaires n apparaissent. τ KH = E g L GM 2 2RL Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 23
5. Quelques échelles de temps Equation du mouvement & temps hydrodynamiques dm g dm 2 r 4πr 2 t = P 2 m dm gdm 4πr 2 Temps de chute libre: τ ff R g 1/ 2 Temps d explosion: τ expl R ρ P 1/ 2 Temps «hydrodynamique»: τ hydro R3 GM 1/ 2 1 ( 2 Gρ ) 1/ 2 Année 2004-2005 II- Les équations de la structure stellaire 24