Examen Gestion de portefeuille

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1 ESC Toulouse 2011 D. Herlemont Mastère BIF+IMF Examen Gestion de portefeuille ˆ Durée: 2 heures ˆ Les calculatrices (simples) sont autorisés. ˆ Les documents ne sont pas autorisés. ˆ Sujet commun pour BIF et IMF, certains exercices sont communs, d autres sont spécifiques. Veuillez indiquer clairement votre option BIF ou IMF au début de votre copie. 1. BIF et IMF Attribution des performances On considère un portefeuille et son benchmark dont les caractéristiques sont les suivantes Portefeuille Benchmark x Poids Return Poids Return Actions Obligations Il s agit de performance annuelle. Le cash est valorisé au taux sans risque de 1% ˆ Calculer les performances du portefeuille et celles du benchmark. ˆ Décomposer la sur performance du portefeuille vis a vis a du benchmark en terme d allocation d actifs ( market timing ) et de sélection d actifs ( asset picking ) pour chaque classe d actifs (actions et obligations). Corrigé: réponse C La performance globale du portefeuille est de 7 La performance du benchmark est de 3.8 La sur performance du portefeuille est de 3.2 Elle se décompose comme suit: Portefeuille Benchmark Ponderations Benchmark Contribution Poids Poids Excès Return Performance Actions Obligation Cash e Soit une contribution attribuée à l allocation d actifs (market timing) de : 1.4 Portefeuille Benchmark Return Poids Contribution Return Return Excès portefeuille Performance Actions Obligation Cash e-17 0 Soit une contribution attribuée à la sélection d actifs (asset picking) de : 1.8 Daniel Herlemont 1

2 2. BIF et IMF On considère un fonds alternatif dont les valeurs (NAV) mensuelles sont les suivantes (en million d euros): Janvier Févier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Déc ˆ Quel est la perte maximale historique (maximum drawdown) sur l année. ˆ calculer les High Water Mark mensuels. ˆ La commission de sur-performance est de 20%, calculer les commissions mensuelles et totale sur l année. ˆ Quels sont les effets négatifs de la commission de sur-performance. Citer des méthodes afin de limiter ces effets. Corrigé: La perte maximale historique est la perte qu aurait subie un investisseur malachanceux, qui serait rentré à un plus haut et sorti à un plus bas. Le Maximum Drawdown est la perte maximale historique depuis pic vers un creux (peak to valley). De manière formelle, soit V (t) la valeur de l actif au temps t, M(t) le maximum depuis t = 0 M(t) = max 0 s t V (s) Le drawdown courant D(t) est défini par D(t) = M(t)/V (t) et le maximum drawdown et MDD(t) = max 0 s t D(s) Si on mesure le drawdown en %, D p (t) = (M(t) V (t))/m(t) et MDD p (t) = max 0 s t D p (s) En terme de P&L, on peut avoir une autre définition: D(t) = M(t) V (t) et MDD(t) = max 0 s t D(s) Le MDD est 6.6%. En terme de NAV, le MDD est 7 Millions d euros. Le High Water Mark est le maximum cumulé et la commission de sur perfornance est calculée sur la différence entre deux high water mark (M(t) M(t 1)) 20%. Le tableau ci dessous indique les high water mark et la comission en milliers d euros Janvier Févier Mars Avril Mai Juin Juillet Aout Sept. Oct. Nov. Déc. HWM Commission Le total de la commission de sur performance est 120 K euros. la rémunération a la performance peut conduire le gérant a prendre trop de risques lorsque le fond se trouve éloigné de son plus haut. Afin de réduire cet effet on peut demander au gestionnaire d investir une part significative de sa propre richesse. Ce faisant, le gestionnaire se comportera comme un investisseur. 3. BIF et IMF Le track record d un trader sur T = 4 ans fait apparaitre une performance annuelle de µ = 10% par an en exces du taux sans risque et une volatilité annuelle de σ = 10%. Les mesures sont effectuées tous les mois. Quelle est la probabilité pour que cette performance soit due a de la chance? (on testera l hypothèse nulle d une performance égale au taux sans risque). Corrigé: La performance mensuelle est µ/12 et la volatilité mensuelle est σ/ 12 Sous l hypothèse nulle H0, la statistique t = sqrtt 12µ/12/(σ/ 12) = sqrtt µ/σ = 1 suit une loi de student de degré de liberté T 12, que l on pourra assimiler à une loi normale N(0,1). La probabilité d observer cette valeur t ou une valeur plus grande est % On peut aussi supposer que la performance sur la periode T suit une loi normale de moyenne µt et variance σ 2 T. La probabilité que le taux de rendement soit inferieur à 0 est P [R T < 0] = P [(R T µt )/(σ T ) < T µ/σ] = P [z < 1 = 15.9% Daniel Herlemont 2

3 4. BIF et IMF Vous gérez un portefeuille composé d actions A à hauteur de π a = 80% (core) et d un investissement dans un hedge fund B à hauteur de π h = 20%. Le rendement des actions est de r a = 30% avec une volatilité de σ a = 30%, Le fond est benchmarké sur un indice d actions, la volatilité de l indice est identique a celle des actions dans le portefeuille, le beta des actions du portefeuille avec l indice actions est de β a = 0.8. Le fond alternatif n est pas corrélé aux marchés actions (actions du portefeuille ou benchmark). Son rendement est de r h = 20% avec une volatilité de σ h = 10%. Le taux sans risque est de r 0 = 3%. Calculez (en explicitant les calculs) 1. La performance du fond r 1 2. La volatilité du fond σ 1 3. Le beta du fond par rapport à l indice d actions 4. L erreur de tracking 5. En supposant le CAPM vérifié, calculer le rendement du benchmark (supposé représenter le marché). 6. Le ratio d information du fond vis à vis du benchmark. Corrigé: 1. E[r 1 ] = π a E[r a ] + π h E[r h ] = 28% 2. σ 1 = π 2 aσ 2 a + π 2 h σ2 h = Le beta du fond par rapport à l indice d actions est β 1 = π a β a + π h β h, or le hedge fund n est pas corrélé avec le benchmark, son beta est nul, d ou β 1 = π a β a = L erreur de tracking est la racine carré de la variance de la différence des rendements entre le fond et le benchmark variance(π a r a + π h r h r bench ) = variance(π a r a r bench ) + variance(π h r h ) (1) = πaσ 2 a 2 + σbench 2 2π a β a σbench 2 + πhσ 2 h 2 (2) D ou l erreur de tracking 18.1% 5. En supposant le CAPM vérifié: E[r a ] r 0 = β a (E[r bench ] r 0 ) d ou E[r bench ] = r 0 + E[r a] r 0 β a = 36.8% 6. Le ratio d information du fond vis à vis du benchmark est le rapport entre l alpha et l erreur résiduelle: E[r 1 ] r 0 = β 1 (E[r bench ] r 0 ) + α 1 On peut aussi utliser le fait que les alpha sont additifs. L alpha des actions est nul, l alpah vient donc ce celui hedge fund. Or l alpha du HF n est autre que l excès de rendement du hedge fund (car le beta est nul). D ou l alpha du fond est α 1 = π h (E[r h ] r 0 ) = 3.4% Daniel Herlemont 3

4 L erreur résiduelle (ou risque spécifique par rapport au benchmark) est σ 2 ɛ,1 = π 2 aσ 2 ɛ,a + π 2 hσ 2 ɛ,h Avec σ ɛ,a le risque spécifique des actions, a savoir σ ɛ,a = σ 2 a β 2 aσ 2 bench = 18% et σ ɛ,h le risque spécifique du hedge fund, qui n est autre que la volatilité du HF, celui ci n étant pas corrélé au benchmark. D ou et σ ɛ,1 = 14.5% I = α 1 σ ɛ,1 = BIF et IMF Commentez cette allocation en terme de: 1. Performance et volatilité, d erreur de tracking, 2. Ratio d information? Est il meilleur que celui d un investissement dans les actions seulement? Pourquoi? 3. D allocation? s agissait il de la meilleure allocation possible entre les actions et le hedge fund? sinon quelle aurait du être cette allocation optimale, à calculer en terme de proportions 4. Quels sont les facteurs qui peuvent limiter la mise en oeuvre de cette allocation optimale? 5. Validité de l approche classique s agissant d investissements dans des hedge funds. Citez des méthodes alternatives? 6. Gestion du risque vis à vis du client, 7. D intérêt du gérant d investir dans un hedge fund, dans le cas ou ce dernier est également rémunéré par des commissions de performance. Ajoutez tout autre commentaire qui vous parait utile. Corrigé: Le ration d information dans les actions est nul, car l alpha est nul. Le ratio d information du fond, positif, est donc meilleur que celui des actions, et ce, en raison de la presence du hedge fund. Les actions et le hedge fund ne sont pas corrélés. L allocation optimale consisterait donc à allouer de manière proportionnelle à µ i /σi 2, avec µ i, σ i le rendement en excès et volatilité des actions et du HF πa (r a r 0 )/σa 2 = (r a r 0 )/σa 2 + (r h r 0 )/σh 2 πh (r h r 0 )/σh 2 = (r a r 0 )/σa 2 + (r h r 0 )/σh 2 = 0.15% = 0.85% 6. BIF seulement Un client décide d investir une proportion de 80% dans votre fond et 20% dans le taux sans risque. 1. Quels sont les caractéristiques de cet investissement en terme de ˆ volatilité ˆ espérance de rendement. Daniel Herlemont 4

5 2. Quelles sont les proportions détenues par le client dans les actions A et le Hedge Fund B, y compris la proportion dans le taux sans risque. 3. Quels sont les ratios de Sharpe du fond, ainsi que celui du client? 4. Votre client a une aversion au risque de γ = 3.5. Quels sont: ˆ la proportion investie dans le fond ˆ l espérance et la volatilité de cet investissement? Corrigé: On note r 0 le taux sans risque et r 1 la variable aléatoire représentant l investissement. Soit π 1 la fraction investie dans le fonds (π 1 = 80%), la variance de l investissement est variance((1 π 1 )r 0 + π 1 r 1 ) = π 2 1σ 2 1 Pour l espérance, on aura σ = π 1 σ 1 = 19.3% E[(1 π 1 )r 0 + π 1 r 1 ] = (1 π 1 )r 0 + π 1 E[r 1 ] == 23% 7. IMF seulement En reprenant les données de l exercice précédent, on s intéresse aux contributions en pourcentage au risque: ˆ Rappeler la définition, ainsi que l expression des contributions ˆ Calculer les contributions en pourcentage des actions et du Hedge Fund. somme de ces contributions est bien égale à 1. Vérifier que la Corrigé: La contribution en pourcentage au risque de l actif i est P CT R i = π i sigma p = π i β i σ p π i avec β i = j π jσ ij /σ 2 p le beta de la position i par rapport au portefeuille. la contribution au risque de la position en action est P CT R a = π 2 aσ 2 a/σ 2 p = et celle du Hedge Fund la somme est bien égale à 1. P CT R h = π 2 hσ 2 h/σ 2 p = BIF et IMF On considère deux portefeuilles de 1 Million d euros à la date t = 0. Le premier portefeuille (BH) est géré de manière passive en Buy and Hold avec une proportion initiale de 50% en actif risqué. L autre portefeuille est géré par une gestion active à proportion constante (CRP) π(t) = 0.5 investie dans l actif risqué. Le taux sans risque est supposé être nul, si ce n est pas le cas, on effectue un changement de numéraire. On considère deux périodes: à t = 1, l actif monte de u = 40%, à t = 2, l actif risqué baisse de d = 30% ˆ Les portefeuilles sont auto financés - rappeler la définition ˆ Quelles sont les valeurs des portefeuilles BH et CRP, à l issue des périodes 1 et 2. ˆ Commentaires. ˆ De manière a garder la proportion initiale de 50%, doit on acheter ou vendre l actif risqué et en quelle quantité? Daniel Herlemont 5

6 9. IMF seulement On suppose que les mêmes hausses et baisses se répètent sur plusieurs périodes, avec une probabilité p = 0.5. La valeur initiale de l actif est S 0 = 1 Sur T périodes, on note T b le nombre de baisses et T h le nombre de hausses, T = T u + T d. Donner l expression de la valeur de l actif S T à la période T en fonction de u,d,p, T u et T d? Quel est la limite du taux de croissance G T = 1 T log S T de cet actif lorsque T tend vers l infini. Est il intéressant d investir dans cet actif? On considère à nouveau les portefeuilles précédents BH et CRP 1. donner l expression de la valeur des portefeuilles V BH et V CRP à la période T en fonction T u et T d? 2. quel est la limite des taux de croissance des deux portefeuilles lorsque T tend vers l infini, à savoir les limites (si elles exitent) de G BH (T ) = 1 T log V BH G CRP (T ) = 1 T log V CRP 3. est il intéressant d investir dans ces portefeuilles, si oui lesquels? 4. quelles auraient été la proportion optimale pour le portefeuille CRP ainsi que le taux de croissance optimal? Corrigé: Pour les deux portefeuilles, à t = 0, on alloue 500K euros en actifs sans risque et 500K euros en actifs risqués. A l issue de la première période, l actif monte de 40%, la valeur de la partie risqué passe donc de 500KE à = 700KE, la valeur des deux portefeuilles devient = 1200KE. Dans le cas du CRP, on doit investir à 50% dans l actif risque, donc vendre 100KE d actif risqué, de manière à repartir les 1200KE en 600KE dans l actif risque et 600KE en actif sans risque. A l issue de la deuxième période, l actif risqué baisse de 30%. Pour le BH, la part en actif risqué passe à 700KE 0.7 = 490KE, la valeur totale du portefeuille est alors = 990KE, on a perdu de l argent. Pour le CRP, la part en actif risqué passe à = 420KE et la valeur du CRP devient = 1020KE, on a gagné 20KE. Sur T = T u +T d périodes, la valeur de l actif est S T = (1+u) Tu (1 d) T d. Le taux de croissance est G T = 1 T log S T = Tu T log(1+u)+ T d T log(1 d). Ce taux de croissance a une limite (loi des grands nombres) G = lim 1 T log S T = 0.5 log( ) log(1 0.4) = , taux de croissance négatif, autrement dit, cette action tend zéro presque surement, assez rapidement. En revanche si on investit une proportion π le taux de croissance devient G(π) = 0.5 log( π)+0.5 log(1 0.4π). Pour π = 0.5, G(0.5) = 1e 17 est très légèrement positif. Dans ce cas on gagne presque surement (tout en étant long dans un actif qui pourtant décline!!!). La proportion optimale est (pu (1 p)d)/ud = ( )/( ) = 0.25 et pour cette proportion le taux de croissance est de G(0.25) = 0.62%, ce qui peut paraitre très faible, cependant sur 250 périodes, la richesse probable sera multipliée par 4.7 = exp(0.62% 250) 10. BIF et IMF On considère un portefeuille investi dans n actifs risqués dans un marché a un facteur, avec les taux de rendements sont représentés par les variables aléatoires R i µ 0 = α i + β i (R M µ 0 ) + ɛ i avec µ 0 le taux sans risque, E(ɛ i ) = 0 cov(ɛ i, ɛ j ) = 0, cov(r M, ɛ i ) = 0 On notera µ i = E[R i ] et σi 2 la variance. Quelles sont les valeurs des α i, si on suppose que le modèle du CAPM (Capital Asset Pricing Model) est vérifié? Dans la suite, on suppose que le CAPM n est pas vérifié. Soient π i la proportion investie dans l actif i. Quelles sont les conditions sur les π i pour réaliser un portefeuille dit dollar neutre et beta neutre Dans le cas d un portefeuille beta neutre, montrer que le taux du rendement du portefeuille ne dépend pas du sens du marché. Daniel Herlemont 6

7 11. IMF seulement En reprenant les données de l exercice précédent, montrer que les proportions qui maximisent le ratio de sharpe du portefeuille beta neutre sont proportionnelles à α i /σɛ 2 i et que ce ratio de Sharpe est S 2 = i α 2 i σ 2 ɛ i 12. IMF seulement On suppose que les taux de rendrements (en excès du taux sans risque) sont IID et normalement distribués de moyenne m et variance σ 2 = v. On estime m et v à partir d un échantillon de taille T. Notons m T et v T ces estimations. On rappèle que T (m T m) et T (vt v) sont asymptotiquement normalement distribués de moyennes nulles et variance v et 2v 2 et que ces deux estimations ne sont pas corrélées. En utilisant la méthode du delta, déterminer le comportement asymptotique de l estimation π T = m T /v T de la proportion optimale π = m/v Application: m = 20% et σ = v = 20%. Calculer ˆ la proportion optimale ˆ l intervalle de confiance à 90% à partir d une estimation effectuée sur 12 mois. ˆ Conclusions? Fin de l énoncé points Daniel Herlemont 7