Conférence Vers les mathématiques. Aspect historique : Des nombres au fil des siècles, au fil des arts

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1 Conférence Vers les mathématiques Gaëtan Duprey Qu est que faire des mathématiques à la maternelle? 1- Conscience numérale 2- Des formes et des grandeurs 1) Qu est-ce que faire des mathématiques à la maternelle? Peut-on résumer les mathématiques au verbe «Compter». Mathématiques pour la plaisir de chercher Mathématiques appliquées Aspect historique : Des nombres au fil des siècles, au fil des arts - Pythagore : relation entre les nombres et les sons - Piero Della Francesca Les lignes de fuites - Les cubistes - L architecture le Corbusier les courbes

2 Les verbes pour le geste professionnel pendant les séquences (aussi en mathématiques) Agir, penser, parler, représenter, mémoriser, réinvestir LA COLLECTION : regroupement d objets selon un critère défini. Concevoir une collection, c est accepter de voir un rassemblement d objets comme un tout. Cette connaissance prépare à l aspect cardinal du nombre. L ORDRE : position des objets d une collection selon un critère (sens, repérage spatio-temporel,...). Cette notion prépare à l aspect ordinal du nombre. L ENUMERATION : exploration exhaustive orale de tous les objets d une collection en une seule fois. Elle fait appel à l ordre. Cette connaissance prépare au comptage (qui entre dans le dénombrement). LA DESIGNATION : utilisation d un symbole pour identifier un objet ou une collection d objets. La désignation doit permettre de conserver une connaissance / une trace de l objet. L aptitude à désigner prépare à l aspect nominal du nombre. A partir du CP, on fait des mathématiques parce qu il y a utilisation de symbole (+, -) Ce qui est important en maternelle, c est comprendre le monde par l action, le jeu, le langage et l exercice de tous les sens Apprendre comment? - Par résolution de problème - Par imitation Définition de la situation problème : c est une situation initiale avec un but à atteindre demandant à un sujet d élaborer une suite pour atteindre ce but. Exemple de situation problème : Les boîtes à encastrer Situation 1 : Translation et rotation. Suite de séances pour trouver la bonne face à encastrer Situation 2 : Apprendre à chercher et apprendre à s organiser. Les tours. Après une phase d appropriation, demander aux élèves de chercher le plus de solutions possibles pour construire des tours différentes avec 3 éléments en PS voire 4 en GS de couleurs différentes. Il est difficile de demander toutes les solutions car les élèves ne pourront pas vérifier.

3 Dans chaque séquence de mathématique, il est important de veiller à ce que toutes les phases suivantes apparaissent : - Phase d appropriation de la consigne, du matériel - Phase d action, - Phase de mise en commun, - Phase de structuration, - Phase de consolidation et de réinvestissement Le nombre : Trois aspects du nombre : - Cardinal : nombre d éléments d un ensemble. Ex : 11 coureurs à pied - Ordinal : rang / position d un élément dans un ensemble. Ex : le onzième coureur - Nominal : désignation / identification d un élément dans un ensemble Ex : le dossard 11 En maternelle, il faut travailler beaucoup dans les quantités. La quantité c est la notion de collection. Le point commun d une collection c est le nombre : trois cochons, c est pareil que 3 éléphants. On peut utiliser les symboles ou les collections témoins. En maternelle, il faut travailler surtout les collections témoins (collection équipotente, appariement) avant de travailler la symbolisation. Les groupements, et la valeur positionnelle. Denis Guedj «Zéro» Les élèves doivent comprendre les différentes fonctions du nombre qui sont : - mémoriser les quantités pour s en souvenir - comparer des quantités - anticiper un résultat (ajout, retrait, partage) - communiquer - repérer une position Les nombres comme mémoire de la quantité: - Comprendre que le dénombrement est un moyen expert pour construire une collection équipotente à une collection donnée, hors de la présence de celle-ci. Ce genre de problèmes développe également: - la coordination entre les actions de correspondance objet / nombre (associer un mot nombre à chaque objet); - la gestion de la collection (séparer ce qui est compté de ce qui reste à compter); - la prise en compte de la collection entière (tous les objets doivent être comptés); - l identification du dernier mot énoncé comme l expression de la mesure de la quantité.

4 - Exemple : avec un jeu du commerce le Coloredo. - Séance 1 : Laisser manipuler et explorer le jeu (plusieurs séances sont peut-être nécessaires). - Séance 2 : Prendre dans des boîtes le nombre de jetons par couleur. - Séance 3 : Aller chercher les jetons de couleur dans un lieu éloigné. - Séance 4 : Aller chercher les jetons de couleur dans un lieu éloigné mais limiter les déplacements. - Séance 5 : Jeu de la marchande : trouver un moyen pour mémoriser le nombre de jetons à aller chercher (ex : en MS, utiliser différentes représentations du nombre, en GS utiliser la symbolisation). Approche des quantités et des nombres : 1) dénombrer : dire combien il y a par perception globale, par organisation ou par groupement (utiliser ces connaissances). 2) compter : réciter la comptine. 3) comptage : utiliser la suite numérique pour compter. 4) calculer à la maternelle ex : il y a 4 absents : 3 filles et 1 garçon ; Dans les programmes / calculer ou compter? En maternelle travailler les 2 aspects ; -Savoir à quoi correspond l unité (on compte les rhinocéros ou les éléphants) ; - Savoir énumérer : Ne pas compter 2 fois / ne pas en oublier. Les Principes de Gelman :

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6 Difficultés et obstacles : - Confusion entre la numération et noms des nombres. - Le pointage du doigt d un objet pour le désigner. - L idée de quantité. Aides possibles : séparation, mise en ligne, mise en paquet. Si les objets sont non déplaçables faire trouver une stratégie : marquage, chemin. Le langage : Parler des nombres en les décomposant, utiliser des collections témoins (position différentes des doigts).

7 3, c est 1, 1 et encore 1 (en PS) Pas forcement d écriture chiffrée des nombres. On décompose le nombre. Meilleure situation : «Donne-moi en 3..» «Va en chercher 4». La représentation du nombre : varier les différentes représentations du nombre. Passer de la reconnaissance géométrique à la décomposition du nombre. Les cartes à points : Passer de la reconnaissance géométrique à la décomposition du nombre.

8 Comment faire deux avec les doigts, comment faire 3, comment faire 4 : Exemple chez les TPS/PS : Les noix 1) Laisser temps d appropriation des objets (noix). 2) Gros tas de noix. Comment les ranger? Proposer des boîtes. --> travailler sur les quantités «beaucoup» pas beaucoup, un petit peu. Exemple chez les TPS/PS : Le menu La mascotte de la classe invite ses copains. Il avait fait son menu. (une pomme, une banane, une orange). Pour valider, utiliser des sets plastifiés. Il faut reconstituer la même collection que celle représentée sur le set. Laisser les élèves tâtonner. Ils peuvent soit passer par l appariement et ou par la verbalisation. Autres exemples : - la valise de pipo : la boîte à trésor Enumérer les objets dans une boîte. Demander aux élèves de se souvenir des objets de la boîte. Si le groupe classe trouve tous les objets en ajouter 1. - Les assiettes décorées. Le nombre passe aussi par le corps chez les jeunes enfants. On pourra leur demander de coller les yeux. Pour cela ils devront aller chercher autant de boule d yeux à coller, autant d oreilles

9 - Les galettes. Il faut aller chercher autant de fèves que de galettes. Se déplacer. Aller chercher au magasin. Mémoriser, utiliser le nombre pour compter. Procédure différentes avec un langage mathématique. Proposer des exercices différents adaptés aux élèves. Variables sur l espace (se déplacer pour aller chercher du matériel) mais aussi sur le temps (pour après la récréation, pour l après-midi). La nécessité de passer par une commande écrite se fait sentir quand on travaille sur ces variables. Dénombrer des quantités à partir des comptines : - La comptine des éléphants + mettre un éléphant sur une cordelette. Mettre Deux éléphants sur une cordelette Autre situation : utiliser Deux cordelettes pour arriver à décomposer le quatre - La comptine du hérisson avec des piquants, d une couleur, puis avec des piquants d autres couleurs pour aussi décomposer des petits nombres. - Halli galli de Gigamic Les petits lapins : 1) Faire apprendre la comptine des petits lapins : Un petit lapin, rencontre un autre petit lapin, deux petits lapins sont dans le jardin. Et on poursuit la numération jusqu à 5. On finit : «Dans ma main j ai 5 doigts pour compter les petits lapins» 2) Situation problème : les lapins et les salades. La règle c est une salade, un lapin. Dans une caisse, on colle 5 salades. Dans la boîte, on cache des lapins. Combien de lapins sont cachés dans la boîte? C est un jeu pour travailler les décompositions du nombre.

10 Quelques repères de progressivité : - TPS / PS : Décomposer les nombres de 1 à 5 - MS : Dénombrer ou construire une collection 8 à 10. Décomposer les nombres de 1 à 5. - GS : le nombre : outil de contrôle des quantités. Dénombrer ou construire une collection de 10 à 15. Décomposer 5,6, 7 mais par forcément 8, 9. Utiliser le repère à 5. En général, les élèves peuvent dénombrer la moitié de qu ils sont capables de connaître la comptine numérique. Comparer des quantités par appariement : Procédure non numérique Procédure numérique (variable de l espace, variable du temps) les nombres pour comparer: o comprendre que deux quantités sont comparables par une double relation: plus que / moins que, plus petit que / plus grand que; o comprendre qu étant donné un nombre, on peut situer tous les autres par rapport à o celui-là; comprendre que pour comparer deux collections on peut utiliser la comparaison des nombres. Jeu de bataille (ce n est pas la taille qui compte c est le nombre). Exemple le Bata-waf de chez Djeko.

11 Résoudre des problèmes : AUGMENTER OU DIMINUER DES QUANTITES Procédures non numériques. A partir d éléments déplaçables. L utilisation du nombre pour résoudre des problèmes contribue à donner du sens. Les élèves doivent se confronter à des situations variées pour construire des représentations (actions sur des quantités réelles) qui seront un point d appui pour le calcul et la résolution de problèmes numériques. Elles peuvent être résolues en n utilisant que des procédures non numériques (correspondance terme à terme, distribution 1 à 1 d objets), des procédures de comptage (recompter la collection) ou des procédures basées sur des compétences numériques (résultats mémorisés comme des doubles ou des compléments). Progressivement, les élèves vont comparer les quantités. Ajouter ou retirer pour que chaque gâteau ait le même nombre de bougies. Exemples : - Avec des collections peu éloignées (15 fleurs, 13 tiges) puis de plus en plus éloignées. - Des Jeux de batailles, où les collections sont représentées. LES PARTAGES : Distribuer ou partager Partage non équitable : les camions, dans chaque camion il faut mettre au moins 3 caisses mais pas plus de 5 caisses. Il y a 17 caisses. Avec des bulbes par analogie (un jeton représente un bulbe). Un bulbe par pot mais les bulbes sont fragiles, on ne les manipule pas. Les élèves passeront ainsi par la représentation. Les pirates : les partages équitables. Dans la séquence arriver à l abstraction (en GS). Penser dans les séances d apprentissage à mettre en place des : Situations concrètes. Situations analogiques. Situations de représentation.

12 La comptine numérique : Jusqu à combien les élèves de maternelle doivent-ils apprendre à compter? - En PS jusqu à 6 - En MS jusqu à 10 / 12 - En GS jusqu à 30 L e problème en maternelle, c est le système linguistique de la numération. Les élèves perçoivent une chaîne en chapelet, une chaîne non sécable. Comment faire pour qu ils puissent percevoir une chaîne sécable? S appuyer sur des comptines : exemple «Le petit cochon pendu au plafond» Associer le nom des nombres à la quantité. Ranger des boîtes ensembles qui ont autant (même quantité). Dénombrer, construire une collection. Arriver à l écriture chiffrée. Les livres des nombres pour représenter et mémoriser les nombres. Ces livres peuvent alors devenir des outils «Passerelles» vers le CP.

13 La frise numérique en maternelle pour: - Savoir combien il y a d objets dans une boite. - Aller chercher un nombre d objet identique au nombre montré sur la bande Sur la frise numérique proposée pour aider les élèves à compter, évitez de mettre le zéro. Lors du comptage, les élèves risqueraient de se tromper. L écriture des nombres L écriture des nombres ne doit pas se faire en atelier mais face au tableau. Pour éviter les effets «miroirs». Commencer à construire des nombres écrits en pâte à modeler. Les élèves ont besoin de manipuler, tordre, faire un bâton, courber pour s approprier la gestuelle du nombre. Avec de la pâte à modeler

14 Les cartons rugueux (papier de verre fin). On peut utiliser aussi des matières différentes. Les boîtes à nombres. Faire des sachets avec des quantités identiques. On va faire des boîtes. Il faut construire des collections. Ensuite, on ferme les boîtes et on ne peut plus les ouvrir. On invente des codes pour savoir ce qu il y a dedans. On finit par faire la boîte du 8. On arrive, ainsi, à des traces écrites qu on va passer au CP. Cela devient un outil «passerelle». Quels nombres écrire en maternelle? - En MS : Lire les nombres jusqu à 6. Ecrire par exemple quelques nombres : 1, 4, 3. - En GS : Lire les nombres au moins jusqu à 10 et écrire les nombres de 1 à 10. Des albums à compter : Dix petits amis déménagent Les lapins savent compter

15 Découvrir les formes Reconnaître des formes par l haptique (avec les sens). Définition de wikipedia : L haptique, du grec ἅπτομαι (haptomai) qui signifie «je touche», désigne la science du toucher, par analogie avec l'acoustique ou l'optique. Au sens strict, l haptique englobe le toucher et les phénomènes kinesthésiques, c'est-à-dire la perception du corps dans l environnement. Gentaz & Hatwell, 2000 «En ce qui concerne le sens haptique, il est à noter que la main est le seul organe doté à la fois d une fonction perceptive et d une fonction motrice générale. Cette double fonction est une spécificité essentielle de la modalité haptique par rapport aux autres modalités sensorielles qui ont uniquement une fonction perceptive. Dès lors, cette double fonction fait que, plus que dans toutes autres modalités sensorielles, perception et action sont indissociablement liées dans la modalité haptique. En conséquence, il est légitime de penser que les caractéristiques anatomo-physiologiques propres au système haptique, qui imposent des conditions particulières d exploration et d action sur l environnement, pourraient avoir des conséquences spécifiques quant à la nature des processus à l œuvre dans la perception haptique de l espace. De nombreuses recherches soulignent l efficience du système perceptif haptique, qui peut appréhender presque toutes les propriétés auxquelles accède la vision.» Une étude montre que lors d une expérience de reproduction de figures géométriques, les élèves qui avaient utilisé le sens haptique et visuel pour travailler les carrés n avaient pas de meilleurs résultats. Mais sur le rectangle et le triangle, on double les performances en ajoutant le toucher. Exercices : A la maternelle trouver déjà ce qui n est pas pareil. Leur montrer des formes dans différentes positions pour éviter des dispositions stéréotypes comme des rectangles, horizontaux. Idem pour les triangles. Fréquenter d autres polygones, des trapèzes, des losanges, sans les apprendre mais leur montrer, jouer à trouver les mêmes (jeu de KIM), ou des jeux de loto. Site sur lequel vous trouverez un matériel très intéressant sur les différentes formes. Il faudra simplement veiller à donner la forme référence dans une disposition non prototypique. En C1 et début C2, on est dans la géométrie de l œil, de la perception. En C2 et 3 on est dans une géométrie instrumentée.

16 Au collège, c est la géométrie déductive (démonstration), à partir des propriétés. Les notions spatiales en maternelle : Topologie : entre, intérieur, extérieur, fermé, ouvert, à côté, haut, bas, gauche droite, devant derrière, sur, sous Ce sont des chemins, des parcours. Ce sont des déplacements sur quadrillage, des repérages de cases. En peinture, en EPS travailler les notions spatiales comme outil de l activité. 1) Prendre conscience du concept de formes. 2) Classer et nommer. 3) Structurer les catégories. 4) Reproduire des formes. Grandes opérations en maternelle sur les formes: Reconnaître reproduire construire, Résoudre des problèmes à partir des formes : Définition de Jean BRUN : Un problème se caractérise par : une situation initiale avec un but à atteindre, une suite d actions ou d opérations nécessaires pour atteindre ce but, un rapport sujet/situation: la solution n est pas disponible d emblée mais possible à construire. Exemples : À partir de la compétence : Différencier des objets en fonction des formes. - Avec des boîtes à chaussures avec une manche de chemise agrafée. Retrouver les mêmes formes que le modèle, (nommer l objet) : travailler avec 1 boîte, puis 2 boîtes.. Autre dispositif : Appariement de formes en 3 D. Avec des boîtes de lait maternel (ou sacs) avec les couvercles coupés pour passer la main. Aller chercher des formes. Trouver à chaque fois les deux mêmes. Une boîte pour chaque main.

17 - Apparier un solide avec une ou plusieurs de ses faces. - Travailler avec des puzzles, des encastrements : faire une progression en fonction des difficultés des puzzles Plus les élèves sont petits, plus il faut travailler sur des grandes formes en salle de motricité. Des chemins, des classements, des reproductions. La notion de «frontière» peut être abordée avec des cartons dans la salle de motricité. Ouvrir ou fermer les cartons, quand ils sont ouverts on peut rentrer dans sa maison. Mais quand ils sont fermés, il faut aller chercher d autres maisons ouvertes. Après avoir vécu avec son corps, on peut passer à du matériel plus petit (maquettes) puis à des représentations (photos). - En GS, travailler les bords courbes, bords droits. Isoler des propriétés dans les figures. On peut aussi relancer la séquence avec la notion : côté. Combien de côtés? - Reproduire des formes avec un modèle en 3 D ou un modèle en photo, ou en représentation. Avec des modèles en grandeur nature où les élèves n ont plus qu à poser après avoir trouvé la bonne pièce. La validation se fait immédiatement. Les modèles peuvent devenir de plus en plus petits. - Dénombrer les côtés et commander le nombre d objets nécessaires pour reproduire la figure. - Construire ensuite des figures fermées avec 5 objets, de taille identique. - Repérer des propriétés : taille identique, taille non identique mais on ne peut pas valider. - Reproduire des assemblages figuratifs avec des formes (jeu). D abord des éléments figuratifs. On assemble les formes pour en faire une autre. Ensuite, des assemblages plus abstraits, des blocs logiques, empilements, cheminements. Petit à petit, des assemblages à plat. On amène les élèves à reproduire des assemblages à plat.

18 - Avec des blocs logistiques manipulation et ensuite partir de ce qu ils font pour reproduire des assemblages vers le non figuratif. - Le méli-mélo (tangram plus simple) pour les maternelles. Proposer des assemblages par les sommets, les côtés etc. Il faut utiliser le vocabulaire. Chez les plus grands : travailler sur des pavages. Progressivité pour un problème de géométrie à partir du tangram : 1) Recouvrir une forme. 2) Mettre des formes en place. 3) Utiliser une représentation en modèle réduit. 4) Représentation des formes en modèle réduit qu il faudra recouvrir.

19 - Construire des solides : avec des plaques à emboîter, les polydrons. Problème de techno : demander aux élèves de fermer la boite. Dessiner des formes simples : - Faire des empreintes avec des emportes pièces. Découper des formes. Utiliser des gabarits (Les normographes). Utiliser une règle. Exemple de problème : dessiner un triangle avec une règle.

20 Représenter un assemblage de formes. Utiliser une règle pour apprendre à manipuler. Dessiner un triangle avec une règle. Obstacles pour les élèves de maternelle : voir des figures dans une autre figure. Une forme composée par d autres formes. - Lien avec des productions plastiques - Faire des pliages simples en fin de MS. C est une activité mathématique fondamentale. Faire un chien, faire des maisons en GS. (Tavernier, Bordas) - Reconnaître, trier, nommer des formes planes Reconnaître, trier et nommer des formes planes. 1. Laisser les élèves manipuler avec des pinces à linges. 2. Donner des couvercles, des boîtes et on fait ce qu on veut. On laisse les élèves manipuler des objets avec les pinces à linge. 3. Recherche : on amène des formes sans les nommer. On joue avec les formes et les pinces à linge. 4. Relance : un côté, une couleur de pince à linge. Travail sur TBi. Conclusion : - Réflexion sur les fiches des élèves: on photographie les élèves en activité, et les enfants ramènent ces fiches à la maison. On y ajoute bien entendu les objectifs. Les enfants racontent. - Ce qui compte à la maternelle, c est valoriser la réussite par les carnets de réussite. Donnezleur des fiches de réussite. Il y a moyen de faire autrement pour valoriser la manipulation.

21 - Apprendre à chercher : On donne des problèmes de grands mais il faut les mettre en situation de réussite. Nos élèves savent mais ils ne répondent pas. Il y a des problèmes pour apprendre des notions, des problèmes pour apprendre à chercher.