PROPRIETE GONNET_2003 COURS DE RDM PAGE 1 SUR 21 RESISTANCE DES MATERIAUX FLEXION. Gravure montrant l essai d une poutre en flexion

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1 GONNET_00 COURS DE RD PGE 1 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX RESISTNCE DES TERIUX FLEXION Gravure montrant l essai d une poutre en leion

2 GONNET_00 COURS DE RD PGE SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX (Etrait de «Discorsi e dimostraioni mathematiche» de Galilée)

3 GONNET_00 COURS DE RD PGE SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX SOIRE 1. SCHETISTION DES LIISONS...4. EFFORTS INTERIEURS...6. DIGRES ESSI DE FLEXION... 7 CORRESPONDNCE ENTRE LES DIGRES POUTRE ENCSTREE CHRGES REP RTIES CHRGE REPRTIE UNIFORE CHRGE REPRTIE LINEIREENT VRILE CONTRINTES DE FLEXION CONTRINTES NORLES EN FLEXION CLCUL DES CONSTRUCTIONS CONCENTRTION DE CONTRINTES EN FLEXION CONTRINTES DE CISILLEENT EN FLEXION ise en évidence Cas des poutres rectangulaires Cas des poutres circulaires Eemple DEFORTIONS EN FLEXION NOTION DE DEFOREE ETHODE PR INTEGRTION Principe Eemple...0

4 GONNET_00 COURS DE RD PGE 4 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 1. Schématisation des liaisons Dans le cas des problèmes plans (sstèmes de orces coplanaires), la schématisation des liaisons et des eorts eercés se ramène à trois cas tpes : appui simple (ponctuel ou plan sans rottement), articulation (pivot) et encastrement. TYPE EXEPLES SCHETISTION CTIONS EXERCEES ppui simple F Pivot F F Encastrement F F Eemple : planche de plongeoir La poutre 1 est schématisée par sa ligne moenne C. La liaison en (pivot 1/0) est une articulation et la liaison 0 1 en entre 1 et se ramène à un appui simple. P r (900 N) schématise l action du nageur. C 1.5 m m 900 N

5 GONNET_00 COURS DE RD PGE 5 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX l équilibre (Principe Fondamental de la Statique), si on isole 1 : r 0/ 1 r + r r + P 0 r r r ( ) + ( ) + ( P) 0 /1 / 1 /1 0 r /1 P r 900 N 0/ 1 + 0/ / / (1) () r 0/1 C L équation () donne 700 N / 1 (et orientée eectivement comme sur le schéma, vers le haut). En injectant schéma, vers le bas). / N dans (1), on trouve / N 0 (orientée eectivement comme sur le Remarque 1 : dans la plupart des schématisations, la poutre est modélisée par sa ligne moenne. Remarque : les poutres sont identiiées à partir des charges etérieures appliquées : Poutre simple sur deu appuis avec charges concentrées F 1 et F F 1 F Poutre simple sur deu appuis avec charges réparties q 1 et q q 1 q q() Poutre encastrée avec charge répartie q() linéairement croissante

6 GONNET_00 COURS DE RD PGE 6 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX. Eorts intérieurs Dans le cas de la leion, les eorts intérieurs dans n importe quelle section droite se réduisent à un eort tranchant T (perpendiculaire à la ligne moenne) et à un moment léchissant (perpendiculaire à la ligne moenne et à T). 1 F r F r 1 G F r Coupure ictive 1 F r F r 1 G T r Pour aire apparaître les eorts intérieurs, on eectue une coupure ictive à la distance de l origine. En isolant le tronçon 1, on obtient l eort tranchant T et le moment léchissant (on obtient en ait respectivement T et, voir Cours «Torseur de Cohésion»). T r somme vectorielle de toutes les orces etérieures transversales situées à gauche de la section ictive r r ( F 1 + F ) moment résultant en G de toutes les actions etérieures situées à gauche de la section ictive G r + r ( F ) ( ) 1 G F Remarque : le cas 0 correspond à de la leion simple. avec T 0 correspond à de la leion pure, alors que le cas 0 avec T 0. Diagrammes Les valeurs de l eort tranchant T et du moment léchissant varient avec la position de la coupure ictive. Les diagrammes de t et (graphes mathématiques de tpe (, )) permettent de décrire les variations de ces deu grandeurs et ainsi repérer les maimums à prendre en compte lors des claculs des contraintes.

7 GONNET_00.1 Essai de leion COURS DE RD PGE 7 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX Un dispositi de mise en charge eerce une poussée de N qui se répartit en C et D, alors que le bâti de la machine supporte la poutre en et. La smétrie du chargement et des appuis entraîne C D P N, le poids de la poutre étant négligé. P r C P r P r D 1 m 1 m 1 m P r Etude du tronçon C : section ictive d abscisse 0 1 m Une seule orce à gauche de la section ictive : P r au point Eort tranchant T C P N pour tout 0 1 m oment léchissant C P Nm Etude du tronçon CD : section ictive d abscisse 1 m Deu orces à gauche de la section ictive : P r au point, et Eort tranchant T CD P P 0 N pour tout 1 m P r au point C oment léchissant CD P + P ( 1) P Nm Remarque : sur ce tronçon 0 et T 0 Etude du tronçon D : section ictive d abscisse, on est dans un cas de leion pure. m Trois orces à gauche de la section ictive : P r en, et P r Eort tranchant T D P P P N pour tout m au points C et D oment léchissant D P + P ( 1) + P ( ) P ( ) Nm

8 GONNET_00 COURS DE RD PGE 8 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX Diagrammes : rassemblons les trois résultats précédents sur un même graphe : Diagramme des eorts tranchants : T C N pour 0 1 m T CD 0 N pour 1 m T D N pour m P r C P r P r D 1 m 1 m 1 m P r Diagramme des moments léchissants : T TC C Nm pour 0 1 m CD Nm pour 1 m T CD ( ) Nm D pour m T D C CD D. Correspondance entre les diagrammes F r q ( ) T F r q ( ) -( +d ) -(T+dT) d d L étude de l équilibre du tronçon de largeur d appartenant à la poutre, compte tenu des charges indiquées, donne : dt d d q ( ) et T d

9 GONNET_00. Poutre encastrée COURS DE RD PGE 9 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX On considère une poutre encastrée de longueur L m soumise à un eort concentré F N (vers le bas) au point et à un couple pur Nm (sens antitrigonométrique) autour du point C. F C L/ L/ ctions eercées par l encastrement sur la poutre : le Principe Fondamental de la Statique donne : r r r F + 0 r r ( F ) + ( ) + 0 F C Etude du tronçon C : Eort tranchant : T C F 1000 N oment léchissant : C F 1000 Nm Etude du tronçon C : N 1000 Nm 0 1 m 1 m T F L/ L/ C L/ L/ Eort tranchant : T C F 1000 N N oment léchissant : ( ) Nm C F Nm Nm Diagrammes : ci-contre.

10 GONNET_00 COURS DE RD PGE 10 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 4. Charges réparties Les charges réparties ont pour origine les actions de pesanteur et des actions de contact diverses (vent, neige, pression d un luide ). Elles peuvent être uniormes ou variables. 4.1 Charge répartie uniorme Traitons ce cas à partir d un eemple. Considérons une poutre (longueur L 4 m) réalisée à partir d un proilé IPE dont le r r poids est de 40 dan par mètre ( q 400 ou 1 q 400 N. m ). ctions au appuis en et : Le Principe Fondamental de la Statique donne : r r r + + q 0 r L 4 m En projection sur : + q L 0 avec de la smétrie. du ait D où q L N L 4 m Eort tranchant : T q 400 ( ) 400 N.m -1 oment léchissant : + q 00 ( 4) T 800 N Diagrammes : ci-contre. Remarque : calcul de l etrémum -800 N d d [ 00 ( 4) ] d 400 d ( ) s annule pour 400 ( ) 0 soit et la valeur mai du moment léchissant est alors (pour ) : -800 Nm ( 4) Nm ai

11 GONNET_00 COURS DE RD PGE 11 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 4. Charge répartie linéairement variable Nous allons également traiter ce cas à partir d un eemple. Prenons le cas d une poutre (longueur L m) encastrée en, supportant la charge linéairement croissante q() de la igure ci-contre. q() q N Charge répartie : ( ) q q L q 0 q L d où q ( ) 500 Nm L m ction à l encastrement : Principe Fondamental de la Statique : r r r R + 0 r r ( R) + ( ) + 0 q 0 q() q N où R r est la résultante de la charge répartie q() sur toute la longueur L : L m 1500 R 50 N (aire du triangle) q() q N Cette résultante s applique au «centre de gravité du triangle», c'est-à-dire à la distance L/ du point. On a donc R 0 L R + 0 q 0 T L m R 50 N L R Nm T -50 Eort tranchant : N (triangle) T - 50 N 50 Nm oment léchissant :

12 GONNET_00 COURS DE RD PGE 1 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX Nm Diagrammes : a qu à chercher, ils doivent bien traîner par là 5. Contraintes de leion En leion, les contraintes normales σ sont généralement prépondérantes devant les contraintes de cisaillement τ. 5.1 Contraintes normales en leion Les contraintes normales résultent du moment léchissant (les eorts tranchants n ont aucun eet sur leur valeur). Dans le cas de leion pure ( 0 ), les poutres se déorment suivant des arcs de cercles. et T 0 La ligne moenne GG ne subit ni allongement ni raccourcissement (contraintes σ nulles). Pour la igure proposée, les ibres situées au-dessus de la ligne neutre sont comprimées et supportent des contraintes de compression ; celles situées au-dessous ( ) sont tendues et supportent des contraintes de traction. En eprimant l allongement de la ibre, en utilisant la loi de Hooke ( σ E ε ) et en aisant intervenir le moment léchissant, on montre la relation suivante : avec σ I σ la contrainte normale en (en Pa) le moment léchissant dans la section droite S (en Nmm) la distance du point par rapport à la ligne neutre (en mm) Ligne neutre I le moment quadratique de la section droite S par rapport à l ae (G, ) (en mm 4 ) G s (S)

13 GONNET_00 COURS DE RD PGE 1 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX Eemple : déterminons les contraintes normales dans une poutre rectangulaire (50 mm / 10 mm), soumise à un moment léchissant de 14.4 knm constant sur toute sa longueur. oment quadratique : h 10 G + 10 Pa b h I mm 4 b Pa Contraintes : σ I Pa Les contraintes augmentent donc linéairement avec la distance à la ligne neutre. (mm) s (mm) Calcul des constructions Pour des questions de sécurité liées à l usage des machines, la contrainte normale σ ai dans la section droite la plus chargée doit rester inérieure à une contrainte limite admissible liée au matériau et iée par le constructeur ou par des normes : Rpe. Dans le cas précis de la leion, il aut donc procéder ainsi : commencer par déterminer la section la plus chargée (en général celle où le moment léchissant est maimum) ; puis vériier que la contrainte maimale dans cette section est inérieure à la contrainte admissible Rpe imposée par le constructeur. σ ai ai ( I V ) Rpe avec V ai I V le module de leion Rpe la résistance pratique (rappel : sécurité adopté) Rpe Re s avec Re la limite élastique et s le coeicient d Eemple : une poutre de pont roulant (proilé IPE) est soumise au charges indiquées sur la igure ci-dessous (cas le plus déavorables). Le moment léchissant maimum est obtenu au milieu de la poutre et a pour valeur 110 knm (vous aurie pu le déterminer acilement, mais là n est pas le problème). Si on impose une contrainte admissible de 100 Pa, déterminons le proilé pouvant convenir pour construire l appareil.

14 GONNET_00 COURS DE RD PGE 14 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 500 dan C 500 dan e m m a h dan b Proilé IPE ai 10 knm On doit avoir σ ai ai 100 ( I V ) ( I V ) Pa I V mm 100 cm D où ( ) (mm) h b a e S m I V 109 cm. Le tableau de dimensions nous donne le proilé IPE de 160 pour lequel ( ) vec ce proilé, la contrainte maimale sera alors de : σ ai ' Pa

15 GONNET_00 COURS DE RD PGE 15 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 5. Concentration de contraintes en leion Lorsque les solides étudiés présentent de brusques variations de section, les relations précédentes ne s appliquent plus. u voisinage du changement de section, la répartition des contraintes n est plus proportionnelle à la distance et σ ai est supérieure à la valeur ( ) 0 de contraintes. I ai V σ : on dit qu il a concentration On a alors pour la contrainte maimale : σ ai K. σ 0 Les valeurs de K (coeicient de concentration de contraintes) étant déterminées epérimentalement (voir abaques suivants).

16 GONNET_00 COURS DE RD PGE 16 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX Eemple trivial : déterminons la contrainte maimale dans l arbre suivant, soumis à un moment de leion de 1 7 Nm : d 60 d 50 r d D d et 1. Le tableau qui va bien indique K Or I 4 π d 64 π d π 50 V d 17 mm r 5 σ 1700 mm 0 10 dan. ( I V ) 17 On a donc pour la contrainte maimale σ ai. σ mm K dan. s Pa s ai 165 Pa Sans concentration vec concentration

17 GONNET_00 COURS DE RD PGE 17 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 5.4 Contraintes de cisaillement en leion ise en évidence Pour l eemple ci-dessus, les contraintes de cisaillement τ qui s eercent dans les joints collés assurent le maintien (évitent le glissement) entre les poutres respectives et limitent ainsi les déormations. La igure ci-contre donne la distribution des contraintes de cisaillement dans une section droite (S) supportant un eort tranchant T. Si les contraintes τ conservent une valeur constante suivant l ae, en revanche elles varient suivant, avec un maimum près du plan neutre (inverse des contraintes normales s) Cas des poutres rectangulaires Dans ce cas, la contrainte de cisaillement τ, à la distance du plan neutre, est donnée par : ire S G τ T Q b h I b avec Q S 4 et τ la contrainte de cisaillement à la distance (Pa) Q le moment statique de l aire hachurée S (mm ) T l eort tranchant (N) I le moment quadratique de la section S par rapport à (G, ) (mm 4 ) h/ h/ G b t ai llure des contraintes t Remarque : la contrainte est maimale au niveau du plan neutre ( 0) : τ ai T S T h 8 I Elle est de 50% plus grande que la contrainte moenne de cisaillement T/S déinie dans le cas du cisaillement pur.

18 GONNET_00 COURS DE RD PGE 18 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 5.4. Cas des poutres circulaires Section circulaire pleine : S π r Q ( r ) 4 T π r τ r ; τ ai 4 T S Section circulaire creuse : S π ( R r ) r Q τ ai ( r ) 4 T R S + R r + r R + r r R Pour un tube mince : τ ai T S Eemple Un proilé est réalisé à partir de trois plats rectangulaires d épaisseur 0 mm, collés ensembles en et. Si l eort tranchant est T 1.5 kn, déterminer les contraintes de cisaillement dans les joints collés. On donne I 4, mm 4. Contraintes en : distance entre (G, ) et le barcentre de la surace S G ( 150 0) mm Q S 90 τ T Q I b , Pa S 150 Contraintes en : distance entre (G, ) et le barcentre de la surace S. ( 90 0) mm Q S 6.55 G b 0 0

19 GONNET_00 COURS DE RD PGE 19 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX τ T Q I b , Pa I I + I + I Remarque : I ( 150 0) ,95. mm G b b I ( 90 0) ,85. mm S I ( 0 90) ,88. mm 6. Déormations en leion Dans ce qui précède, on s est intéressé au poutres léchies et à leur dimensionnement d un point de vue de résistance sous charge. Nous allons voir à présent l aspect déormation. En particulier, la détermination de la lèche maimale (et de sa valeur admissible) est l un des éléments ondamentau de la conception des poutres. 6.1 Notion de déormée Pour la poutre ci-contre, la ligne moenne ICJD a pour direction l ae des avant déormation et la courbe () après déormation. Cette courbe est appelée déormée. () est l équation mathématique de la déormée dans le sstème d aes (, ). Conditions au limites : les conditions 0, 0 et I 0, appelées conditions au limites, sont des éléments connus de la déormée. Ces éléments sont imposés par les appuis et ou par la orme de la déormée. I F r 1 F r J C D Flèches : la déormée présente des valeurs maimales en I (entre et ) et à l etrémité D. Pour ces points particuliers, la déormation est souvent appelée lèche () : I I et D D I Déormée () J Conditions au limites : 0 I 0 0 D D

20 GONNET_00 COURS DE RD PGE 0 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX 6. éthode par intégration 6..1 Principe Connaissant l équation des moments léchissants en onction de (position le long de la poutre), la pente et la déormée sont obtenues par intégrations successives à partir de : E I '' avec le moment léchissant (équation en ) E le module d élasticité longitudinale (Pa) I I le moment quadratique de la section par rapport à l ae (G, ) (mm 4 ) Y la dérivée seconde de la déormée Remarque : les constantes d intégration successives sont calculées à partir des conditions au limites imposées par la position et la nature des appuis, ou encore par la orme générale de la déormée. EXEPLES USUELS DE CONDITIONS UX LIITES ENCSTREENT RTICULTION PPUI SIPLE Eemple Considérons la poutre ci-contre, de longueur L 4 m, soumise à une charge ponctuelle en son milieu. L étude statique permet de déterminer les actions des appuis sur la poutre : P dan C P 500 dan m m oments léchissants : pour 0 m P 500 C pour 4 m ai -10 knm C

21 GONNET_00 COURS DE RD PGE 1 SUR 1 RESISTNCE DES TERIUX C P L + P 500 ( 4) Equation de la déormée : E C I C ' ' On a donc P P E I C '' ou encore E I C '' P 4 La première intégration donne : E I C ' + C1 (1) P 1 La seconde intégration donne : E I C + C1 + C () Conditions au limites : on a 0 au point ( 0) : l équation () donne C 0 et C 0 au point C ( L/) : l équation (1) donne P C1 4 ( L ) P L 16 Finalement : P L ' C 4 E I 4 et P L C 4 E I 4 Flèche : la lèche maimale est obtenue pour L/ : ai C P L 48 E I Voilà, c est tout pour aujourd hui