REPONSE DES STRUCTURES GLISSANTES A UNE EXCITATION SISMIQUE : ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE

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1 REPONSE DES STRUCTURES GLSSANTES A UNE EXCTATON SSMQUE : ETUDE BBLOGRAPHQUE RESPONSE OF SLDNG STRUCTURES TO SESMC EXCTATON : BBLOGRAPHCAL STUDY

2 EDF Electcté de Fance Decton des Etudes et Recheches SERVCE ENSEMBLES DE PRODUCTON Dépatement Acoustque et Mécanque Vbatoe < * '! V Novembe 1992 SARHK. DUVALC. ( > REPONSE DES STRUCTURES GLSSANTES A UNE EXCTATON SSMQUE : ETUDE BBLOGRAPHQUE RESPONSE OF SLDNG STRUCTURES TO SESMC EXCTATON : BBLOGRAPHCAL STUDY Pages : 46 93NB00120 Dffuson : J.-M. Lecœuve EDF-DER Sevce PN. Dépatement SD 1, avenue du Généal-de-Gaulle Clamat Cedex Copyght EDF1993 SSN

3 SYNTHESE : M p. Le calcul de la éponse ssmque de stuctues su appus glssants est un double poblème de compotement dynamque 'non-lnéae' et 'aléatoe'. Apès une evue des non-lnéatés couantes en dynamque, le glssement est compaé à un phénomène hystéétque. On pésente ensute su des exemples smples l'équaton de Fokke-Planck et la méthode de lnéasaton équvalente. On appelle enfn les méthodes de modfcaton du specte d'exctaton destnées aux calculs d'ngénee. f." 4 JE.: * 93NBM12*

4 n '? * EXECUTVE SUMMARY : \%.. ; Calculaton of the sesmc esponse of stuctues on sldng suppots nvolves the dual poblem of "non-lnea" and "andom" dynamc behavou. Afte a evew of the non-lneates common n dynamcs, slppng s compaed wth a hysteess phenomenon. Smple examples ae then used to pesent the Fokke-Planck equaton and the equvalent lneazaton method. Fnally, de methods fo modfcaton of the exctaton spectum ntended fo the engneeng calculatons ae ecalled. * f ' ' { > "* "l W, 9NBM1M

5 # SOMMARE 1. NTRODUCTON 5 2. LES NON LNEARTES MECANQUES COURANTES 7 * 3. SYSTEMES DYNAMQUES AVEC NON LNEARTE DE TYPE FROTTEMENT SEC Amotssement hystéétque Amotssement héédtae REPONSE D'UNE STRUCTURE GLSSANTE A UNE EXCTATON ALEATORE Cas d'une masse glssante Applcaton de l'équaton de Fokke-Planck Technque de lnéasaton équvalente Méthodes de modfcaton de specte de éponse Méthode du specte édut 20. t Appoche stochastque du specte de glssement Méthode du specte de glssement 24 S. CONCLUSON 27 ' jf. REFERENCES 28 ''.4 *" FGURES 31

6 1. NTRODUCTON Ce taval fat sute à la note HP-61/ laquelle posat le poblème de l'évaluaton coecte de la éponse ssmque des ponts-oulants, fasat une synthèse des solutons 1. successvement appotées pa EDF et en dégageat un axe de echeche nttulé : S 5 " COMPORTEMENT D'UNE STRUCTURE MULT-MODALE GLSSANTE SOUS EXCTATON ALEATORE ". Ce appot consttue une pemèe étape su cet axe de echeche. L'étude bblogaphque que nous poposons consdèe le poblème généal des non-lnéatés en calcul dynamque et fat une evue des méthodes exstantes pou les calculs de éponse. Sute au classement de cetans ponts oulants de centales nucléaes dans la catégoe de matéels mpotants pou la sécuté, la tenue de ces engns à un éventuel sésme dot ête! véfée []. Un calcul lnéae consdéant le pont fxé su ses appus, monteat que les ctèes de ; dmensonnement (contante maxmale, flambement,...) ne seaent pas espectés. En fat, s l'on tent compte du glssement possble des galets de oulement su leu al, ' les accéléatons absolues du pont seont écêtées et les ctèes de dmensonnement auont une : 5 fote chance d'ête espectés. \ : f La Fg. 1.1 monte un exemple de ces ponts oulants. Le poblème généal de la éponse des systèmes dynamques non lnéaes à des f exctatons aléatoes, a été abodé dans la lttéatue à taves pluseus tavaux. Auss nous nous poposons, dans le chapte 2, de passe en evue les pncpales non lnéatés encontées -* ' en dynamque des stuctues. "l v Dans les chaptes 3 et suvants, on s'ntéesse plus patculèement à la non lnéaté de type fottement sec. Celle-c peut ête tatée dans cetans cas comme une non lnéaté ; hystéétque.,v,4 tl Le chapte 4 pésente les dfféentes méthodes d'estmaton de la éponse aléatoe d'une stuctue glssant su son suppot. Le 4.1 tate le cas d'une stuctue nfnment gde (assmlée à une masse) soumse à une exctaton but blanc. Une pocédue de lnéasaton équvalente est applquée pou pouvo utlse l'analyse pobablste lnéae. Cette pocédue nécesste la connassance de la pobablté exacte du pocessus aléatoe étudé. Cette pobablté, ou plus exactement la densté de pobablté tanstonnelle, peut ête obtenue en ntégant une équaton de dffuson de pobablté: l'équaton de Fokke-Planck. 5

7 Compaée à l'appoche féquentelle qu est exclusvement ésevée aux systèmes lnéaes, l'appoche de Fokke-Planck, pou l'étude de la éponse d'un pocessus makoven, V offe un outl mathématque qu est applcable aux systèmes non lnéaes.. Le 4.2 pésente deux méthodes de modfcaton du specte d'exctaton pa effet de glssement., ; La pemèe méthode, exposée au 4.2.1, est la méthode du specte édut. Comme son f >, nom l'ndque, elle consste à édue le specte de éponse d'oscllateu (SRO) à base fxe en le ' ' multplant pa un facteu de éducton qu dépend du coeffcent de fottement de Coulomb. Le pésente l'appoche stochastque du specte de glssement. Celle-c appote ;. une explcaton au phénomène d'amplfcaton des accéléatons ves les hautes féquences, ' obsevé los d'un calcul dynamque tanstoe su une masse glssante. f La seconde méthode pésentée au 4.2.3, est la méthode du specte de glssement. C'est : une méthode numéque d'ntégaton tempoelle des équatons du mouvement d'un oscllateu glssant. Le specte de glssement est calculé à pat de cette éponse tempoelle. Le pont fot de ces deux méthodes est le fat qu'elles gadent la même démache de, : calcul de stuctues lnéaes. Elles consttuent donc un outl patque de calcul de la éponse des j ' stuctues ndustelles glssantes sous exctaton aléatoe., '4 1 ; j! J - f ' 4 ft

8 " & 2. TES NON LNEARTES MECANQUES COURANTES De nombeux poblèmes de vbatons non lnéaes sous exctaton aléatoe sont encontés dans l'nduste. Les solutons appotées dans la plupat des cas sont satsfasantes. Nous sgnalons c-apès les non lnéatés les plus féquemment encontées en, dynamque des stuctues. ; ; Pete de lnéaté : ;* ' Cette non lnéaté, dont l'allue généale est llustée pa la Fg.2.1, peut touve son : ogne dans les caactéstques des matéaux. Elle peut ête également d'ogne géométque (équaton du pendule pesant). «L'oscllateu de Duffng qu a fat l'objet de nombeuses études en pésence d'exctaton aléatoe [2,3,...] fat pate de cette catégoe. L'équaton de mouvement de cet oscllateu est de la fome : x+ax(l+ex 2 ) = F (2.1) ; E étant un paamète d'ajustement de la non lnéaté.! Non lnéaté hystéétque :, > Ce type de non lnéaté englobe des compotements dont la elaton Entée/Sote est $f ' 3* donnée pa la Fg.2.2. f^ TJ En foncton de l'mpotance de la boucle, le système pésente une fable ou fote non V lnéaté. \. t _ Un cas patcule de ce type de non lnéaté est le compotement élasto-plastque d'un! matéau. Un modèle de vbaton aléatoe compenant ce compotement a été développé pa ' * Bouc [4] et généalsé pa Wen [5]. 1 1 Non lnéaté de choc :, ( La pésence de jeux mécanques ente les dfféents composants d'un mécansme est? ', \ ' souvent à l'ogne de ce type de non lnéaté.». "* "^? ^ Dan s le cas où l'ntensté des chocs est fable, ce phénomène est ps en compte dans le 0^~ compotement vbatoe du mécansme pa un amotssement équvalent supplémentae. Dans le cas contae, le ecous à un modèle sophstqué, tenant compte de la $ " / popagaton des ondes de choc, est nécessae pou meux epésente le compotement de la! s \ \

9 :à ^y*-n 11 stuctue. Cependant, ce modèle se évèle tès coûteux dès que la fome de la stuctue devent 1 ', complexe. \ Un modèle smplfé est souvent satsfasant et pemet d'avo une assez bonne dée du ^J 'à compotement vbatoe de la stuctue. GUHOT [6] a pa exemple étudé le compotement vbatoe des lgnes de tuyautee ; J sous l'effet d'un sésme. Les chocs sont localsés au nveau des appus et sont dûs à la pésence de jeux ente le tuyau et ses appus. / -" ' Le modèle adopté pou ce poblème non lnéae est celu d'un oscllateu à choc (vo ---t > Fg.2.3.a). La foce de adeu sube pa la masse M en foncton du déplacement elatf de cellec, est gaphquement epésentée su la fg.2.3.b. La adeu K c est obtenue pa la elaton: ' OÙ K b epésente la adeu de la butée. : Les phénomènes de seul : La denèe non lnéaté qu'on pésente c est celle qu englobe les phénomènes dt de seul. Un exemple typque d'un tel phénomène est celu du fottement sec ou fottement de W Coulomb. Cette lo, schématsée pa la coube de la Fg.2.4.b, s'expme pa la elaton:,' 4 F = jnsgn(v) (2.2), % ' où " v est la vtesse de glssement. u, est le coeffcent de fottement de Coulomb. -, f * «j S cette fome smple du fottement elate assez ben les constatatons physques, elle pésente en l'occuence un séeux nconvénent : sa dscontnuté à l'ogne; et pa ce fat, consttue une fote non lnéaté. Ce modèle héologque consttue en fat le cas déal du fottement sec. En éalté, l»*', t exste un effet d'adhéence statque [7] (vo Fg.2.4.d). ' ' "L : ', ' ' ÏÏ - ' ' ^ Un modèle mathématque s'appuyant su des constatatons expémentales est poposé»* P^ Belokobylsk et Pokopov ([7]). H se pésente fomellement pa la elaton : 7^? 2 '^" F(v) = A e Bv +CActg(Rv) vso (2.3) 1

10 m p : ^. Les paamètes A, B, C et R dépendent de la natue des sufaces en contact.., \ Le peme teme du second membe de (2.3) caactése l'effet de fcton statque. Sa \ coube de vaaton a l'allue de la fg.2.5 a.,. j J Î Le second teme est une appoxmaton contnue de la foncton sgn (vo fg.2.5.b). Le ' paamète R est à chos tès gand de façon que F(v) convege apdement ves l'asymptote ', hozontale -C = F 0. : J *> 4

11 -1. SYSTEMES DYNAMQUES AVEC NON TJNEARTTE DE TYPE FROTTEMENT SEC ï h 3.1. Amotssement hvstéétque La non lnéaté de type fottement sec peut ête amenée dans cetans cas à un modèle k ; de non lnéaté hystéétque. jt. Afn d'lluste cec, examnons l'exemple smple té de [7]: s'agt, comme le monte la fg.3.1.a, d'un essot de adeu cck en paallèle avec une unté dsspatve compenant un essot de adeu (l-a)k en sée avec un élément de fottement sec de seul de glssement F k. La vaaton de l'effot F 1 en foncton du déplacement q de la masse m est epésentée su a fg.3.1.b. Celle de l'effot ésstant total (h = F 1 + F k. ) est potée su la fg.3.1.c. Pou un chagement cyclque, on obtent une boucle d'hystééss d'un compotement non lnéae (fg.3.1.d et fg.3.1.e) (dans le cas lnéae, la boucle a l'allue d'une ellpse). S oc=o, le compotement est semblable à celu d'un matéau élasto-plasûque pafat 3.2. Amotssement héédtae Dans le cas où l'on emplace le fottement pa un amotssement vsqueux de constante c l'unté dsspatve devent une unté de Maxwell. On obtent donc un système lnéae ég pa l'équaton ntégo-dffeentelle suvante: [8] *. mq +akq + y(t--c) q(t) dx = f(t) q(t) = 0 pou t<0 (3.1) ou ben =f(t) (3>2) L'amotssement est alos dt héédtae. La foncton d'héédté est : t '?,4 (3<3) On notea qu'en vetu d'une fome lmte de la foncton de Dac 6(x), \ /(t)-> c 5(t) quand (l-a)k-» o. L'équaton (3.1) devent alos celle d'un oscllateu smple. 1 0

12 J La foncton de tansfet assocée à l'équaton (3.2) s'éct : -l H(co) = -co m + G) \ /(co) + ak (3.4) 2. (l-a)kc -co m +1 co coc+(l-a)k 1- <xk - (3.5) K- v ; Dans le cas d'un système à pluseus d.d.1, la matce de tansfet s'éct : H(cû)= -co M + coy(co)+ K (3.6) M, K Ct 1 F(Q)) epésentent espectvement les matces de masse, de adeu et d'amotssement. étant non dagonale, les équatons du mouvement sont couplées pa les temes non dagonaux de la matce d'amotssement. Mas s l'on consdèe que l'essentel de la éponse est centée autou des féquences de ésonance, l e** avantageux d'expme les équatons du mouvement dans la base des modes popes Q du système. La foncton de tansfet modale pend alos a fome : 4 -co m n + k n + co (Q (3.7) où m (Q n, Q n Y(CO) Q m dv Dans l'nduste aéonautque, l est couant de consdée, au leu d'un amotssement vsqueux, un amotssement stuctual ou hystéétîque. ïï coespond à :»v coy(co) = Gsgnfa) f- Moyennant l'hypothèse G = yk (y constante), la matce de tansfet {3.6) se dagonalse et les modes sont à nouveau découplés. 11 'V b

13 4. REPONSE D'UNE STRUCTURE GLTSSANTE A UNE EXCTATON ALEATORE 4.L_ Cas d'une masse glssante Consdéons une stuctue gde assmlée à une masse posée su une fondaton anmée d'un mouvement ssmque Xo(t) (vofg.4.1). Coulomb: La foce de fottement ente la fondaton et la masse est gouvenée pa la lo de F(x)= -(X m g sgn(x) JJ. étant le coeffcent de fottement et x la vtesse elatve de la masse pa appot à la fondaton. Les équatons du mouvement de la masse m s'écvent: x + gsgn(x) = -x o s x +x 0 > M-g (4.1) x(t) = 0 s x +x Q < (4.2) Hypothèses: * L'exctaton x 0 est modélsée pa un but blanc gaussen de moyenne nulle: w(t) = x 0 * X(t) est un pocessus de Makov à moyenne nulle * On suppose en plus que le cas (4.2),.e. la masse ne glsse pas, epésente un événement ae donc de pobablté néglgeable. Cette denèe hypothèse est justfée s le nveau d'exctaton est tès supéeu au seul de glssement. 12

14 ^ t > % Applcaton de l'équaton de Fokke-Planck v Un pocessus Makoven est entèement caactésé pa sa pobablté de tanston., s jf Celle-c est gouvenée pa une équaton aux dévées patelles du type paabolque connue sous le nom d'équaton de Fokke-Planck (FPK). J f\ La densté de pobablté tanstonnelle du pocessus X(t) défn pa l'équaton (4.1),. est détemnée pa l'équaton dfféentelle de FPK undmensonnelle suvante: J- -, f' ' 0 (4.3) Où X(t) est un pocessus de Makov; q = q(x,t X 0 ) est la densté de pobablté de tanston; A n (X) n~l, 2 sont les moments ncémentaux et sont défns comme sut : FJ(X-z)1 A n (Z) = lm^o" " J = m x^01 ol (x-z) q(x/ q(x,x z) dx x En utlsant l'équaton (4.1), on touve : = S 0 ; A n (x) = 0 poun>2 :l A On emaque que les coeffcents A x (x) et A 2 (x) ne dépendent pas du temps quand le temps augmente. La dstbuton q = q(x,t X 0 ) appoche donc une dstbuton statonnae p(x) qu ne dépend n de la condton ntale x 0 n du temps t [8, p.222]. La soluton statonnae de l'équaton (4.3) avec p(x) =0 est : 4 t _ -- 3 Sot apès ntégaton : f 13

15 La constante C est détemnée pa la condton de nomalsaton de la pobablté: On obtent C = g. Fnalement la densté de pobablté statonnae de la vtesse de glssement de la masse m s'éct : > M K- s, (4.4) Notons au passage que cette soluton statonnae du poblème en vtesse ne donne pas toute l'nfomaton. Elle ne pemet pas de savo s la vtesse obsevée povent de la féquence elatvement haute ou de l'ampltude de la éponse Technque de lnéasaton équvalente Les systèmes non lnéaes sont généalement dffcles à ésoude. Des méthodes numéques de ésoluton de tels poblèmes sont souvent employées. Des méthodes appochées sont cependant patquées dans le cas d'exctatons aléatoes. Ce sont les méthodes de lnéasaton équvalente ou stochastque dont on peut touve un bon exposé dans le lve de J.B. Robets et P.D. Spanos [7]. L'applcaton aux poblèmes de stuctues glssantes sous exctaton aléatoe a été abodée dans la lttéatue pa dfféents auteus: Candall et Lee [10]; Âhmad [H]; Constantnou et Tadjbakhsh [12]; Noguch [13]... <! Cette technque a été applquée pa exemple pou détemne la éponse d'une masse glssante sous exctaton aléatoe [9]. Un ésumé de cette pocédue de lnéasaton est exposé c-apès. Repenons le poblème de la masse glssante du paagaphe pécédent. Le système lnéae équvalent à celu de la Fg.4.1 est poté su la Fg.4.2. Dans ce système on a emplacé le fottement de Coulomb pa un amotssement vsqueux. L'équaton du mouvement de la masse m s'éct mantenant : t. *L +\ x= - W (t) 14 (4.5)

16 ' u ^ L'équaton non lnéae (4.1) ne véfe pas exactement l'équaton lnéae (4.5), En \ appelant $ l'eeu commse pa cette tansfomaton, l'équaton (4.5) peut ête éécte sous la f fome : ï dx h ^-+Xx = -w(t) +(b(0 dt Où (J)(O= Xx - gsgn(x) (4.6) (4.7) f - ' { <t>(t) est un pocessus aléatoe à moyenne nulle qu pemet de mesue la dfféence ente les deux équatons (4.6) et (4.7). Le coeffcent X est détemné de telle sote que le teme d'eeu <(> sot le plus pett possble au sens des caés moyens : Sot OA 2 ax D'où 2 x sgn(x) p(x) dx! S. V- (4.8) x p(x) dx En utlsant la densté de pobablté "exacte" défne pa (4.4), l'expesson pécédente se smplfe en : ' 1= 2 2 "^" (4 * 9) s, lî ' Cette valeu epésente la valeu optmale du coeffcent d'amotssement équvalent A ' j ^ En emplaçant ce coeffcent dans l'équaton lnéae équvalente (4.5), la éponse du ^ 4^ système, ntalement au epos, à l'exctaton -w(t) est donnée pa : 15

17 x(t) = - f 1h(x)w(t-t)dx Ja Où h(t) est la foncton de Geen (éponse mpulsonnelle) de (4.5). (4.10) '*! é La foncton de coélaton de la vtesse de glssement, Rx x ( 1 * t2>=e \x(ï) X^2)J, s'écù: x ( 1,1 2 ) f ' f h(e)h(9 2 )E[W( 1 -O 1 )W( 2 -O 2 ) < -Xt 1 Sachant que h(t) = e' H(t) et E[w(t)w(t+)] = So 8(t), où H(t) et 5(t) epésentent espectvement la foncton de Heavysde et la foncton de Dac, (4.11) ss smplfe en: (4.12) De cette expesson, on peut dédue la foncton de coélaton du déplacement x(t) 1, ta) R xx (9 lf G 2 ) d6! d6 2 (4.13) La valeu RMS du déplacement x(t) est 0] M (4.14)» ''' La elaton (4.14) est epésentée, dans une fome admensonnelle, pa la coube E de la Fg.4.3. Le coeffcent d'amotssement X est ps égal à sa valeu optmale (4.9). 16.» -V-" * ' ' ' ' * '-" 1 ^ * - * "J*'"" '

18 j* % Une soluton exacte de C x (O est en pncpe possble s on connaît la densté de pobablté de tanston nstatonnae (q(x) *0 ). Celle-c peut ête obtenue en chechant la soluton nstatonnae de l'équaton de FPK (4.3). Elle s'éct [14] Où Les calculs des moments statstques et de la vaance de la vtesse de glssement à l'ade de l'expesson (4.15) appaassent tès vte complqués [10,11]. Cependant, l est possble d'obten les lmtes exactes de o x (t) quand t-»0 et t-*». Ces deux lmtes s'écvent [10] : s?" -^- pou t-»0 (4.16) J- T-J P ou t"* 00 (4.17) 4 A g Elles sont epésentées su la Fg.4.3 pa les asymptotes A et B. t J L'appoxmaton pa lnéasaton équvalente donne une valeu lmte «... / Sot pou qu est 10.6% plus pette que (4.17). AHMAD [11] appote une améloaton aux ésultats obtenus pa CRANDALL [10] en consdéant le coeffcent d'amotssement équvalent X, non pas constant mas foncton du temps M

19 P (4.12) : Patant du fat que dans le cas où l'on tate X comme une constante, on obtent d'apès (4.19, L'expesson de X s'évalue pa la fomule (4.8) et vaut, pou une densté de pobablté gaussenne(p(x) ) x = Vp77 (4-20) avec V * <T x (tf 1 fïïo * ' (4.21) 2 2a: On vot claement d'apès (4.20), que X dépend du temps pusque O^ en dépend auss. Patant de ce fat, AHMAD a cheché à détemne une melleue estmaton de G *(t). A pat de l'équaton lnéae (4.5), l éct l'équaton de FPK ; ' ' dt UA Où q = q(x,t x 0 ) est la densté de pobablté de tanston du pocessus aléatoe X. (4.22) S.2.J 1 En multplant (4.22) pa x et en ntégant pa appot à x, on touve : 3 dï *--2to x +S 0 (4-23) Pou X constant, l est facle de vo que (4.19) est soluton de l'équaton lnéae (4.23) avec ', K la condton ntale : ; ' A 0^(0) = O (4.24) Mas quand X(l) est donné pa (4.20), l'équaton (4.23) devent une équaton dfféentelle non lnéae 18

20 da- T S 0 ^ +T (4.25) La soluton de cette équaton est : t = -O- Ou encoe O= 1-e' (4.26) (4.27) 2 2 avec (4.28) Su la Fg.4.4 est tacée la vaaton de C^ en foncton de t. Elle est compaée à la vaaton de l'écat type de la soluton statonnae (4.19). L'expesson de cette denèe en foncton des paamètes admensonnels (4.28) s'éct (4.29) On vot que pou des fables valeus de t, la soluton statonnae suestme d'envon 15% la soluton nstatonnae. Jl "1 ' ; >, AHMAD détemne ensute la vaance du déplacement x(t) dans le cas nstatonnae où X dépend du temps : Où 6 6 _ -4 _2 g-3 2 (4.30) (4.31) Le ésultat statonnae coespondant ([1O]) donné pa l'équaton (4.14), s'éct en foncton des paamètes admensonnels (4.28) : h 19 (4.32) K.

21 Les équatons (4.30) et (4.32) tendent ves les mêmes lmtes j O x = Vt quand quand t-»0 (4.33),*\j (4.34) La compaason ente les deux pédctons nstaûonnae et statonnae est pésentée pa les coubes des Fg.4.5 et Fg.4.6. > Les expessons (4.33) et (4.34) amenées sous leu fome dmensonnelle s'écvent: 2 2 quand t->< (4.35) a JA = 2S \2 quand t -» O (4.36) :l 4.2. Méthodes de modfcaton du specte d'exctaton Méthode du specte édut l BETBEDER-MATBET [15] popose de modfe le specte d'exctaton à la base d'une stuctue glssante en multplant celu-c pa un facteu de éducton R qu dépend du coeffcent de fottement \. Ce facteu est détemné de la façon suvante : Consdéant un oscllateu smple de pulsaton a> et d'amotssement Tj, soums à sa base à une accéléaton F(t). Sa éponse en déplacement elatf est donnée pa : 4 (4.37). <u f>. avec CD' = Vl -TJ Cet oscllateu epésente un mode pope quelconque de vbaton d'une stuctue glssante. 20

22 s J ft,-t ~. L'accéléaton V(X) à applque à cet oscllateu est celle essente pa une masse glssante su une fondaton soumse à l'accéléaton y(x) de type but blanc statonnae: = X(X) + = X fy(9) e Mx4S) d6 (4.38) Jo X étant un coeffcent d'amotssement obtenu pa lnéasaton équvalente et donné pa (4.9). f' En emplaçant (4.38) dans (4.37) la éponse de l'oscllateu est : x(t) = Ty(X)/(t-x)dx»0 (4.39) avec /(a) = -X 2 2 X-TlCO,,, sn ace - cos aco co' étant de type but blanc statonnae, la vaance de x(t) est donc donnée pa la fomule : 2 / /Vx) dx (4.40) (sous éseve que /(t-x) so lentement vaable à l'échelle des fluctuatons du but blanc). Tout calcul fat, on obtent l'expesson de la vaance : 2 _ TcS T]CuA C * 2~ 4TJCO 1+2TCOA + COA. pou t -» < (4.41) S l'on fat tende X ves l'nfn, on touve : t.( f; t ; --,4 A, 3 4\(ù (4.42) Ce qu coespond à la vaance de la éponse d'un oscllateu smple à base fxe, à une exctaton but blanc de DSP 27tSo. 21 f

23 # La éducton du specte de éponse d'oscllateu (SRO, [16]) pa effet de glssement s'obtent donc pa le coeffcent : v è V: k La méthode nouvelle de calcul qu ésulte de cette appoche consste donc à fae une..*, f analyse modale lnéae de la stuctue en fxant ses appus glssants. On applque ensute à cette! denèe une exctaton édute obtenue en multplant l'exctaton ntale pa le facteu de :, ; éducton R.,, La fgue 4.7 monte un exemple de specte édut supeposé au specte ntal (R=). <? -"" M Dans la zone des hautes féquences, et pa analoge avec la éponse d'oscllateu à base \ fxe, on dot s'attende à ce que la éducton du SRO en pseudo-accéléaton sot écêtée à la, valeu maxmale de l'accéléaton du suppot (c égale à g); l'applcaton du facteu R condut ; à des valeus nféeues à p.g. Ce défaut, explque BETBEDER-MATEBET, vent du fat que la! fomule (4.40) n'est valable que s /(t-x) est lentement vaable à l'échelle des fluctuatons du. -' but blanc; cette hypothèse n'est pas véfée pa les oscllateus à haute féquence. ; \ ' f, > Des calculs non lnéaes tanstoes de la éponse d'une masse glssante ([20], vo ; ^ p. * ""? Fg. 4.7) ont cependant monté qu'l peut y avo amplfcaton des accéléatons même dans les... ^.»? î hautes féquences. Afn d'explque ce phénomène, LABBE [19] popose une aute appoche pou calcule la éponse d'une stuctue glssante. Un ésumé de cette méthode est pésenté c- \l apès. :j : v - ' < ; Appoche stochastque de la noton de specte de glssement S'appuyant su les éféences [18,20] et d'apès les smulatons numéques de la Fgue.4.11 qu epésentent l'accéléaton essente pa une stuctue gde glssante los d'un ^. mouvement ssmque de la fondaton, LABBE [19] popose de modélse cette accéléaton pa ''! " j ; ' ^1! \< ' une successon de céneaux d'ampltudes ± y 0 (vo Fg.4.12) dont les nstants d'nveson de». sgne sont dstbués pa une lo de Posson de péode moyenne de etou to :! 22

24 -.;"*( * 1^c,,. *" détemne ensute la foncton d'autocoélaton de ce sgnal : - 2 V R 1 (X) = E [7(0 7<t+x)] = Y e 0 A * > 0 2 (4.44) avec La densté spectale de pussance (DSP) s'éct : TC /2 2 / 2 2 (û («specte de Dyden») (4.45) applque ensute cette exctaton à un oscllateu smple de pulsaton coo et d'amotssement édut Ço x + 2 ^0(O 0 X + W 0 X = - (4.46) de a(t) s'éct : En désgnant pa a(t) = O) 0 x(t) la pseudo-accéléaton absolue de cet oscllateu, la DSP = h(co)h*((û) (4.47) 1 ft avec h(cù) = 2 2 -CO +2 ^0CDu) 0 +Cu 0 La vaance de a(t) est :»_ a = Gco) dco (4.48) 23

25 !?* K'., où u = et Q = - CO 0 (O 0 Le specte de éponse s'obtent alos pa le podut a m ax=pa<* a (4.50) où P a = 3 est le facteu de pc. c. a max ' Su la Fgue 4.13 sont epésentées les coubes de vaaton de - et de- 2^ en > t.t Y 0 Y 0 : f ' : B O) 0 (O 0 :% foncton de la pulsaton admensonnelle v = = Q o H Ao '-"' '*" f\ Le specte de glssement ans obtenu a une asymptote hozontale ves les hautes féquences. Celle-c peut ête détemnée de façon analytque et vaut : 'l ' ; '. v Méthode du specte de glssement - '., NOE [17] emaque que les ponts oulants épondent en généal su leu 1 e mode de,, ' vbaton et que la masse modale effectve coespondante est élevée (65% à 85% de la masse ^ totale). l popose donc de modélse le pont oulant pa un oscllateu smple glssant ayant les ( j,,., mêmes caactéstques modales que le 1 e mode (Vo Fg.4.8). l s'agt d'un système à deux * 24 : *

26 \'- masses m et m2 elées pa un essot de adeu k et un amotssement vsq t ux c. La masse 2 posée su un suppot hozontal gde, subt. 1' effot T dû au fottement sec. En utlsant les notatons de la Fg.4.8, les équatons du mouvement de la masse m s'écvent? >' - en phase de non-glssement, assuée pa la condton ,-- ^-z-y--;.-- --; _- - -f''\ x + z <Hg (4.52) :' /, x + 2 ^0Cu 0 X +O) 0 X = -Z(t) (453) avec: lù _. a = appot de la masse m et de là masse totale (TCA m+n2 ' n 10 O = V pulsaton pope de l'oscllateu quand m2 est fxée amotssement édut ^ ( - en phase de glssement, la condton (4.52) n'est pas véfée et se met sous la ;>. fome- *f a x +Y = -U sgnly-z) (4.54) ; 3 " ; Dans ce cas, l'équaton d'équlbe de la masse m s'éct. - A, < v W '; x + 2 C 0 CO 0 X + CO 0 X = - Y(t) (4.55) j L'ntoducton de (4.54) dans (4.55) condut fnalement à l'équaton dynamque de \ \, l'oscllateu en phase de glssement : f ' M> X + ZÇ CO X+ CO X a 25 ; Jf,

27 '* ; Dans cette équaton les paamètes û) et ^ epésentent espectvement la pulsaton pope et l'amotssement édut de l'oscllateu glssant, fls sont défns pa : to s 03 Q Vl-oc Vl-a 1 ' Un pogamme nfomatque baptsé SPEGL (SPEcte de GLssement) a été conçu pou ésoude les équatons (4.53) et (4.56). Ce pogamme pemet donc de calcule la éponse x(t) pou chaque pas de temps en tenant compte de la condton de glssement (4.52). l pemet auss de détemne le specte de glssement (a g = Cu 0 2 x max ) assocé à un accéléogamme donné. La valdaton de ce pogamme est fate en compaant les ésultats obtenus los d'une exctaton snusoïdale, aux ésultats obtenus pa Westemo et Udwada [18]. On touvea su la Fg.4.9 un exemple d'accéléogamme flté à 3Hz et 5% d'amotssement d'un mouvement typque du sol, obtenu à pat d'un enegstement de la composante Nod-Sud du sésme de Long Beach (LBNS). Su la Fg.4.10 sont epésentés le specte d'oscllateu à base fxe et le specte de glssement assocé. Cette fgue met ben en évdence l'écêtement pa le glssement des fotes accéléatons. On emaque notamment la pésence d'une asymptote hozontale ves les hautes féquences; sa valeu peut ête détemnée analytquement et vaut [17] : Tfâ 3- (4.57),.'/'1.«'?' 26

28 .»'» a. CONCLUSON Ce appot fat e pont des méthodes patques de calcul de la éponse dynamque des stuctues à une sollctaton aléatoe. Nous avons passé en evue les dfféents types de non-lnéatés ntevenant dans le compotement dynamque des stuctues. Nous avons ensute centé note attenton su la nonlnéaté fottement sec qu concene plus patculèement les pont oulants. La lo de fottement de Coulomb y est généalement adoptée pou modélse cette non-lnéaté. Celle-c peut dans cetans cas ête tatée comme une non-lnéaté hystéétque. 7 Nous avons ensute exposé les dfféentes méthodes analytques d'estmaton de la éponse aléatoe d'une stuctue glssant su son suppot. ' ', ~ j Dans le cas d'une stuctue nfnment gde, l'appoche de Fokke-Planck pemet l'obtenton de la densté de pobablté tansn'onnelle du pocessus éponse et pa sute son écat type. Cette densté de pobablté est utlsée ensute dans une pocédue de lnéasaton équvalente qu pemet de emplace le poblème non-lnéae pa un poblème lnéae équvalent. Cette démache peut ête dffclement étendue à des systèmes à pluseus degés de lbeté. La dffculté ésde dans l'obtenton des solutons analytques de l'équaton de Fokke- Planck. Celles-c ne sont connues que pou des systèmes non-lnéaes tès smples, pncpalement à un degé de lbeté, et seulement pou une exctaton but blanc gaussen (ou plus généalement, but blanc gaussen flté lnéaement) qu justfe l'hypothèse du pocessus éponse Makoven. Cependant des solutons numéques de l'équaton de Fokke-Planck peuvent ête obtenues pou des systèmes à quelques degés de lbeté. Losque le nombe de degés de lbeté augmente, l faut apdement développe d'mpotants moyens numéques. -t. Pou le calcul ndustel de la éponse, à une exctaton ssmque, des stuctues glssantes de type pont oulant, les méthodes du specte édut et du specte de glssement ont été développées tout en consevant les patques couamment utlsées en ngénee ssmque; à savo les notons de specte de éponse d'oscllateu (SRO). Ces méthodes ndustelles ont été essentellement valdées pa des calculs numéques tanstoes non-lnéaes.»'*. l'a «.< f 27

29 REFERENCES [1] C. DUVAL "La pse en compte du glssement dans les calculs de tenue au sésme des ponts oulants de centales nucléaes : Synthèse et défnton d'un pogamme de echeche." Note technque EDF HP-61/ B (1991) [2] R. BOUC "DSP d'une oscllaton aléatoe fotement non lnéae et méthode de centage." LMA -Maselle, Octobe 1991 * *-' ' { [3] C. SOZE "Su le calcul des denstés spectales des éponses statonnâmes pou des systèmes dynamques stochastques non-lnéaes." LMA -Maselle, Octobe 1991 t [4] R. BOUC "Modèle mathématque d'hystééss." Acoustca, Vol. 24, pp (1971) 4 *"" "* [5] Y.K. WEN "Method fo andom vbaton of hysteetc systems." Jounal of the Engneeng Mechancs Dvson. (1976) [6] P. GUHOT "Analyse de la éponse de stuctues non lnéaes sollctées pa des souces d'exctaton aléatoes. Applcaton au compotement des lgnes de tuyautees sous l'effet d'un sésme." Thèse de Doctoat de l'unvesté Pas V (1990) A [7] J.B. ROBERTS & P.D. SPANOS "Random Vbaton And Statstcal Lneazaton." JOHN WLEY & SONS Chchste - New Yok - Toonto - Sngapoe. (1990), _ 1 [8] A. PREUMONT "Vbatons Aléatoes et Analyse Spectale." Pesses Polytechnques et Unvestaes Romandes 28 (1990)

30 '!, [9] S.H. CRANDALL, S.S. LEE, LH. WLLAMS (1974) \ "Accumulated slp of a fcton-contolled mass." Jounal of Appled Mechancs. Tansactons of the ASME Vol. 41, pp ' *"*> [10] S.H. CRANDALL, S.S. LEE : ; "Baxal slp of a mass on a fondaton subject to eathquake moton." j. v ngéneus et Achtectes Susses. Vol. 45, pp (1976) '* \ [11] G. AHMAD "Stochastc eathquake esponse of a stuctue on a sldng fondaton." ntenatonal Jounal of Engneeng Scence Vol. 21, pp (1983) t [12] M.C. CONSTANTNOU, LG. TADJBAKHSH "Response of a sldng stuctue to flted andom exctaton." Jounal of Stuctual Mechancs Vol. 12, pp (1984) [13] T. NOGUCH "The esponse of a buldng on sldng pads to two eathquake models." Jounal of Sound and Vbaton Vol. 103, pp (1985) [14] T. CAUGHEY, J.K. DENES "Analyss of a nonlnea fst-ode system wth a whte nose nput." Jounal of Appled Physcs Vol. 32, pp (1961) [15] J. BETBEDER-MATBET "Calcul ssmque des engns de manutenton." 1 Peme colloque de géne paassmque, S 1 Rémy les Chéveuses 29 à 31/01/1986. [16] RJ. GBERT "Vbatons des Stuctues. nteactons avec les fludes. Souces d'exctaton aléatoes" Edton Eyolles, Pas [17] H. NOE "Spegl - Pogamme de calcul du specte de glssement d'oscllateus smples." Note technque EDF E.N.T.MS A. (1990) \,'A \Ï " <> }: f. g" 29

31 UT ^t^ *; [18] B. WESTERMO, F. UDWADA ' "Peodc esponse of sldng oscllato system to hamonc exctaton." V Eathquake Engneeng and Stuctual Dynamcs Vol. 11, pp (1983) j [19] P. LABBE ' K "Appoche stochastque de la noton de specte de glssement." Note technque EDF E.N.T.MS A. (1990) -* [20] K. CHRSTODOULOU "Valdaton de la méthode de éducton de specte ssmque pou le calcul de la éponse ssmque d'une stuctue glssant su son suppot." Note technque EDF E.SE.MS A. (1987) :.' [21] J. GULLOU. "Etude du compotement vbatoe de stuctues glssant avec fottement" ' Mémoe CNAM Pas ;Note technque EDF HP-61/ (1989) [22] A. KOMOR, T. FUKUDA "Study on eathquake esponses of ovehead tavelng canes." \ \\ Note technque EDFENM/RE A. (1991), >'<* [23] H. NOE ' "Méthode du specte de glssement. Applcaton aux ponts oulants." Note technque EDF E.N.T.MS A (1990). 1 30

32 - -- -:*.,_;.-.->J= ^8 Fgue 1.1 Exemple de pont oulant polae d'une centale nucléae (d'apès [23]). ;?.. a ;L ' f A. C : Cobeau Tl, T2 : Taveses Pl, P2 : Poutes maîtesses 31 3/1

33 Kt t Entee foce \ contante Sote f déplacement \ defomaton Fgue 2.1 Pete de lnéaté l ' "4 Entée (foce). m /1 A Sote (déplacement] t te: C. - Fgue 2.2 Non lnéaté hystéétque * 32

34 \J N \ \ \ N Jeu M Jeu «t X (a) Oscllateu à choc J \ J-. '?, ' '!..'. -. (b) Foce de adeu Fgue 2.3 Non lnéaté de choc (d'apès [6]) 33 1

35 --wa. F O Mg (a) b f.: f J--'t (C) d) Fgue 2.4 Fctonal dampng chaactestcs, (a) Block sldng on a ptone suface. Cb) dealzed dynamc fcton law. (c) Effect of statc mcton. (d) Actual fcton law (Ul). & F ' 1 nc. 2 n? (a) Fgue 2.5 Components of the fctonal law gven by equaton (2.3). (a) Fst tem, (b) Second tem ([7]). (b) 34

36 3l -, l-m slppng a) slppng slppng --F. d)!* A «t.- U le' Fgue 3.1 Mass spng system wth Coulomb dampng, (a) Schematc dagam of system, (b) Vaaton of F wth dsplacement, (c) Vaaton of Fj wth dsplacement dung cyclc moton, (d) Vaaton of total estong foce wth dsplacement dung cyclc moton, (e) Closed loop attaned unde cyclc loadng ([7]). Jk 4 1*"' : \ % v 35

37 ''.,j,». X 1 m! J -/ttng X," /.. O O O (o), (b) Fgue 4.1 (a) Fcton-contoUed mass on movng foundaton; (b) Fcton foce F as a functon of the slp velocty ([9J). X O p Xl F 1 X -ahm O Û O ' V. WMW////WMW//////ÛW' (a) (b) M» Fgue 4.2 (a) Mass on a movng foundaton dven by a lnea dashpot; (b) Dashpot foce F as a functon of the slp velocty ([9]).

38 y'-*-! OOO Wo//«2 Fgue 4 J RMS slp dsplacement as a functon of tme: E -equvalent lneazaton appoxmaton; A-exact shot-tme asymptote; B- exact longtme asymptote ([9]), m o O 8 Kh 06 STATONARY, E 1. ((».29) NONSTATONARY, «-(4.26) OO OS O 01MENS0NLESS TME. Ï Fgue 4.4 Vaaton of the nondmensonal standad devaton of the slp velocty wth tme ([ ]). 37

39 * "J ^~ Fq. (*. 30) juonstatonary Ea. ( ' '. O 100 ooo TME, T Fgue 4.5 Compasons of the tme vaatons of the standad devaton of the slp-dsplace as pedcted by statonay and nonstatonay analyss ([H]). 08 Ul ' t. 0.6 / / / A / / / / / y S \ STATONARY NONSTATONARY O DMENSONLESS TME 1T Fgue 4.6 Vaatons of the standad devaton of the slp-dsplacement wth tme accodng to statonay and nonstatonay analyss ([H]). f

40 .1 ft. 'T ' "WT -, >> ; " - 1 S.QEO; 0.1OEOO. g y = 5 % 1 TTTTT '!!!! : 1 ^ :! t ' ; t! ' ' / 1 1 ;! t ;! À v! / ' 1 m Ul / '! ' sf ' «: ' * :! t / ' : : '!!! /, '!,. t!!! j! J. 'll TTTT.! t Ul, ' ;» ' ' \\ U " \ M, t j V ^ M H NOll» \. V ^ ^ MASSE 1 NON REDUT GLSS ANT P ; ; ' REDUTt)* = 0. 2) t t! }! î ; l t ;!! l î. : t ' ; ClOE-Ol O.ÎOEOO 0.10E E02 FRE 1UÊ Ct S Hz " 1 V Fgue 4.7 Pou une même exctaton ssmque: specte de éponse élastque, specte édut et specte de éponse ssus d'un calcul non-lnéae d'un bloc gde glssant (d'apès [20]). Y'-' 39

41 v- l- m Y NA/A STRUCTURE PORTEUSE Notatons : X Déplacement absolu de la masse mj x Déplacement de la masse m \ elatvement à». "V Déplacement absolu de a masse glssante m Z Déplacement absolu du suppot M = mj + n2 a =a/m Fgue 4.8 Modèle de l'oscllateu smple glssant (d'apès [17]). 40

42 1.00 S C LJ CJ O S0-0.2S- D-OO- -O.SÛ- U -0.7S -l.oa D.Q :.o j.c 3.o.o s.) n.o s.o n.n î.n 12.0 CCELEROGRflMME LOMG-BERCH MORD/SUD "ÎLÎRE fl J HEHT-; flltjrtjssemehï SÏ Fgue 4.9 Accéléogamme LBNS flté à 3Hz - 5% (d'apès [17]). : f. 41

43 »» - -_ f -^ t 3«10 PREOUENCES ' SPEGL : SPECTRE DE REPONSE EN PSEUDO-flCC.. ~:L"HE- 3.0D HZ ; RCCtRX RU CORBERU HLPHfl RORT M s Fgue 4.10 Exemple de specte de glssement. (1) Specte de éponse élastque assocé à LBNS (d'apès [17]).,.«* "V 42

44 Fgue 4.11 Accéléogamme aval-glsseu d'une masse glssante (d'apès [19]). /» '? ; ;>.? 43

45 J ^ Fgue 4.12 Accéléogamme déalsé et cas de l'oscllateu "gde" (d'apès [19]). (' "1 Réponse d'un osclateu "gde" - 1

46 ..» Fgue 4.13 Specte de glssement pou Ç=0,05 (d'apès [19]). t 1 ;!!! ;! ' '! 4.. _! :J ' 1 1_[ :! î j : j!. TO , [ t! t - F - t! 1!! l! 1!! \, 1! ; j sj :! 1!( ; t :.. ;. «s; "~ 1 ; - \ aà«('u J 1!. : : ; j! ; 1 '!! ' ;, j t J m j t. ' L V= QÔ

47 w^^ 1^. /" A 4Éfcjlftï 1^ Fgue 5.1 Pou une même exctaton ssmque: specte de glssement ssu de l'appoche stochastque, specte élastque (sans glssement), specte édut et specte dédut de calculs numéques non-lnéaes (d'apès [19]). f', ' { > UJ Z - S CCE O =1 _ -!! :! ~! " f H! j OEOl 0.1 OEOO f J_ ; j : s* l : f t *! 7 \ : J ;! - f 1! : ' l J; ( lu / B ( m! \ *, < Jj 1 '-V ' s. NJ nv\ N { Soect sac : fssçnjem j ] K! j y j JSpccte LlA dut ea 7Tï '!!! 11! V e 11 ' 1 J-LL-! M t 0.2 j 1 S H UH fcï. 0.1O-O 1 j j FHEO JENCES ES H: ; J 0.10E OEOl 0.10E02 0.!BECJ WORTSSEMîST REDt(T % : ,,-:».,, :. V'' 46 (