MECANIQUE QUANTIQUE Chapitre 1: Bases de la mécanique quantique

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1 MECANIQUE QUANTIQUE Chapitr 1: Bass d la mécaniqu quantiqu Pr. M. ABD-LEFDIL Univrsité Mohammd V-V Agdal Faculté ds Scincs Départmnt d Physiqu, LPM Anné univrsitair Filièrs SM 3-SMI Introduction général A la fin du 19èm siècl, ls objts physiqus qui constitunt l'univrs étaint classés n dux catégoris : la matièr t l rayonnmnt a- La matièr st fait d particuls assimilabls à ds points matérils doués d'un mass, auxquls s'appliqunt ls lois d la mécaniqu classiqu. Ctt mécaniqu s'appliqu corrctmnt aux corps célsts, aux solids d dimnsions macroscopiqus (voir cours d SMI 1 t 3) ainsi qu'à la théori cinétiqu ds gaz (cours d thrmodynamiqu). b- L rayonnmnt st constitué par ds onds élctromagnétiqus qui s propagnt slon ls équations d Maxwll. Tous ls phénomèns physiqus, comm par xmpl l'optiqu géométriqu t ls intrférncs, connus à l'époqu trouvaint lurs xplications dans ctt théori d Maxwll. Ls onds radioélctriqus, découvrts par Hrtz, montr la parfait concordanc ntr l'optiqu t l'élctricité.

2 Vrs l début du 0èm siècl (vrs 190 périod d préparation d la thès d Einstin) dux grands problèms s posèrnt : 1- Commnt déduir d la théori élctromagnétiqu ls lois du mouvmnt ds particuls chargés? - Ls xpérimntaturs s trouvaint confrontés à un crtain nombr d'énigms (rayonnmnt du corps noir, fft photoélctriqu...) qu ls théoris présnts à l'époqu n prmttaint pas d résoudr. PERSONNE n'était capabl d'xpliqur cs phénomèns. Cs xpérincs révèlnt indirctmnt ls propriétés t la structur d la matièr, lorsqu'on la scrut sur ds dimnsions xtrêmmnt ptits, baucoup plus ptits qu n l prmttaint ls obsrvations dircts. 3 C fût l physicin Max Planck, l , 1900, qui jta ls bass d la théori quantiqu. Avant Planck, ls physicins voyaint l mond t la natur sous form d continuum: Ls grandurs physiqus tlls qu (l'énrgi, la quantité d mouvmnt, l momnt cinétiqu...) étaint ds grandurs continus pouvant prndr n'import qull valur. Fondamntalmnt, l'hypothès d Planck rvint à substitur à ctt vision continu du mond un vision discontinu. Mais la discrétisation ds quantités physiqus s fait par sauts si minims qu l caractèr continu du mond n put êtr prçu par nos sns. 4

3 Exmpl: Lorsqu'on obsrv d loin un tas d blé, nous pnsons qu'il s'agit d un monticul liss t continu. Si nous nous n approchons, nous rconnaissons notr rrur t distinguons ls minusculs grains qui l composnt. Cs grains discrts sont ls quantas du tas d blé. Ct xmpl bin qu simpl, put êtr étndu à la matièr lorsqu'on la scrut à l'échll corpusculair où l'énrgi st aussi quantifié (xtrait( du livr d Hinz Pagls «L univrs quantiqu»). 5 Rayonnmnt du corps noir Par définition un corps noir st un objt qui absorb intégralmnt nt ls radiations rçus. Un cavité frmé prcé d'un très ptit ouvrtur constitu un réalisation pratiqu d'un corps noir. Ls radiations qui ntrnt dans la cavité s réfléchissnt sur ls parois t s'absorbnt plus ou moins à chaqu réflxion. L'énrgi qui put rssortir st négligabl. Un corps noir n équilibr thrmiqu émt autant d'énrgi qu'il n rçoit. EX: -Un four frmé t isolé thrmiqumnt constitu un corps noir n équilibr. - Prnons un objt solid, par xmpl un barr métalliqu, t plaçons la dans un pièc obscur. C métal constitu un corps noir car il sra invisibl. Par contr, si nous chauffons c métal t l portons à un tmpératur assz élvé, il css d'êtr noir t émt un coulur roug (ou mêm blanch) slon la tmpératur du chauffag. L rayonnmnt émis par un corps chauffé nfrmé dans un pièc obscur corrspond à un crtain répartition d coulur qu l'on put obsrvr: On parl ainsi d la courb du rayonnmnt du corps noir. 6

4 -Radiatur (grill) à un tmpératur T, - Il émt un variété d λ avc ds intnsités différnts ls uns/ autrs, - Onds avc différnts λ disprsnt différmmnt avc l prism, -Enrgistrmnt avc un détctur, -Tracé d la courb d la dnsité d énrgi n fonction d λ. Détctur 7 Obsrvations xpérimntals Plus la tmpératur croit, plus l maximum s déplac vrs ls faibls longuurs d onds. La longuur d ond à laqull l maximum d énrgi st émis st donné par la loi d déplacmnt d Win λ max T 1 8

5 Intrprétation classiqu d Rayligh- Jans: Rayligh- Jans ont postulé qu l rayonnmnt élctromagnétiqu émis par l corps noir provint d'un nsmbl d'oscillaturs harmoniqus qui l formnt t qui n sont autrs qu ls atoms t moléculs formant t c corps noir. Sachant qu la dnsité d'énrgi st donné par : µ = n <E> avc n : nombr d'oscillations harmoniqus d fréqunc ν par unité d volum. <E> : valur moynn d l'énrgi d'un oscillatur d fréqunc ν. On montr qu : 8 µ ( ν,t) = π kbt 3 c ν ν étant la fréqunc ν =C/ λ, λ st la longuur d'ond du rayonnmnt, C st la vitss d la lumièr dans l vid, T st la tmpératur t K B st la constant d Boltzmann. 9 Catastroph d l Ultra- Violt Loi d Rayligh-Jans Théori classiqu 8π 1 µ ( λ,t) = kbt C λ 10

6 Efft Photoélctriqu Soit un ampoul n vrr, vidé d'air, dont un côté d la surfac intrn st tapissé d'un couch d'un métal. L'ampoul contint aussi un annau circulair qui joura l rôl d'anod (point d récption ds élctrons). En l'absnc d'éclairmnt, l courant I= 0. Sous éclairmnt monochromatiqu d λ bin défini,, LE COURANT I st non nul. L courant I st cré par la lumièr qui, n tombant sur l métal, arrach ds élctrons qui appartinnnt au métal n lur fournissant l'énrgi nécssair pour franchir la barrièr d potntil qui, normalmnt, ls rtinnnt à l'intériur. Cs élctrons, chargés négativmnt, sont captés par l'annau (anod) t circulnt dans l circuit. Lumièr 11 Courant photoélctriqu I Photo-courant I Fréqunc=constant Voltag appliqué Voltag appliqué Pnt égal à h Fréqunc - L courant st proportionnl à l intnsité t satur pour ds tnsions d polarisation V positivs. Intrcpt - Φ - Pour V=V s : I=0, V s applé potntil d arrêt t il dépnd du métal 1

7 Qulqus notions d élctromagnétism Equations d Maxwll: B E = t B = µ 0 ρ divρ v + = t j + µ 0 0 ε 0 E t dive = divb = 0 ρ ε équation d consrvation ds chargs 0 13 Eq.. d maxwll donnnt: Prméabilité Prmittivité Vctur d Poyting: Intnsité d la lumièr: 14

8 Conclusions ds obsrvations xpérimntals - La lumièr st un ond élctromagnétiqu. L champ élctriqu st n msur d chassr hors du métal ls élctrons s trouvant près s d la surfac. Crtains vont attindr l anod. La probabilité d collction augmnt quand la tnsion appliqué croit t finit par tndr vrs l unité. L courant attint la valur d saturation I max. - Dans l imag classiqu, l champ élctriqu d l ond croit avc l intnsité d la lumièr. Donc E Cin.Max doit croîtr aussi avc l intnsité. Or E Cin.Max st indépndant d l intnsité pour un mêm longuur d ond λ.. Sul I max dépnd d l intnsité. - Si la longuur d ond st supériur à un λ suil, l fft photoélctriqu st absnt. λ suil st caractéristiqu du métal (photocathod) La physiqu classiqu st incapabl d intrprétr quantitativmnt l fft photoélctriqu. 15 Exrcic: Un rayonnmnt lasr d intnsité 10 W/m éclair l métal alcalin Na. On suppos qu l élctron st confiné dans l atom Na d un taill d 0.1 nm. On a: l énrgi pour xtrair un élctron d Na=,3 V Combin d tmps nécssit l éjction d l élctron? Commntr l résultat obtnu. Répons: la puissanc moynn délivré st P moy = I x πr Si tout l énrgi st absorbé : E= P moy T T=,3 x 1, / (10 W/m ) x ( m )= 0,10 s La physiqu classiqu prévoit un tmps msurabl avant l déclnchmnt d l fft photoélctriqu. Par contr, l xpérinc montr qu l phénomèn st instantané. C st là un désaccord t un autr limit d la physiqu classiqu à intrprétr l fft photoélctriqu. 16

9 Intrprétation Quantiqu d Planck - Planck a rmarqué la catastroph U.V. du RCN. - Calcul avc d nouvlls idés a conduit à: µ(λ,τ) a co -Cavité n équilibr. -Echang d énrgi ntr Rayt EM t ls oscillaturs présnts sur ls murs d la cavité 17 Hypothès fondamntal: la quantification d l'énrgi n'st pas un propriété spécifiqu du modèl ds résonaturs d Planck, mais un propriété univrsll du champ élctromagnétiqu lui-mêm. Ls oscillaturs puvnt avoir n import qull fréqunc, MAIS l échang d énrgi ntr l oscillatur t la radiation n st pas continu t arbitrair. Il st discrt t s fait par ptits paquts d mêm énrgi: On dit qu i y a quantification d l énrgi. 18

10 Planck rprésnta la valur du "quantum" slon lqul s'ffctu la quantification par la lttr h à laqull on donna par la suit son nom (h: constant d Planck) L'énrgi d chaqu oscillatur st donné par: E = hν t E n put pas prndr n'import qull valur. Slon ctt hypothès, on montr qu : 8 π µ ( ν, T ) = ν h ν C 3 xp( 1 h ν k T B ) 1 C st la Loi d Planck 19 Rmarqus : -Si hν << K B T : 8π µ ( ν, T ) = k BT 3ν C On rtrouv la loi d Rayligh-Jans. -Si hν >> K B T : 8hπh 3 µ ( ν, T ) = 3 ν C st la Loi d Win C xp(- hν ) k T B 0

11 Il y a quantification d l énrgi: L énrgi n put pas prndr n import qull valur. 1 Loi d Stfan- Boltzmann - La thrmodynamiqu nous prmt d montrr qu l'émittanc d'un sourc thrmiqu st proportionnll à la puissanc quatr d la tmpératur. Ctt démarch n prmt cpndant pas d trouvr d façon théoriqu l cofficint d proportionnalité, ni d dir commnt s répartit l'énrgi du rayonnmnt avc la fréqunc. - Avc l'hypothès d Planck, l'émittanc total du corps noir st défini par: + σ ( T ) = µ ( υ, T ) d υ 0 Avc µ ( ν, T ) = 8 π 3 ν c h ν xp( 1 ν k h B T ) 1

12 Loi d Stfan- Boltzmann (Suit) Sachant qu: Alors: Où + I = x x 0 σ ( T ) = Ct T π 15 c 4 k B 3 Ct = 3 h 3 1 dx π 4 = 15 Loi d Stfan- Boltzmann 3 Explication d Einstin d l fft photoélctriqu A. Einstin: Prix Nobl n 1915 Lumièr st formé d paquts d photons, L énrgi st concntré dans cs photons, L énrgi st échangé immédiatmnt, L énrgi st égal à E= h ν. 4

13 La lumièr st formé d photons. C quantum d énrgi st utilisé pour frappr l métal Lorsqu'un photon incidnt d fréqunc ν vint frappr un photocathod (un métal), son énrgi st utilisé pour xtrair l'élctron du métal t lui communiqur un forc viv (c à d un énrgi cinétiqu) L'xtraction d'un élctron à un métal n put êtr possibl qu si l photon incidnt à un énrgi supériur ou égal à W E (W E st l'énrgi nécssair pour arrachr l'élctron du métal). w E = h ν 0 = hc λ 0 ν 0 : fréqunc suil λ 0 : longuur d'ond suil, dépnd du métal utilisé D'où on obsrv l'fft photoélctriqu si ν inc > ν 0 ; λ inc < λ 0. 5 Si l photon incidnt communiqu tout son énrgi à l'élctron du métal : h ν = w + E 1 mv Equation d consrvation d l'énrgi Si on appliqu un tnsion d polarité t d valur bin définis, on put mpêchr l arrivé ds élctrons à l anod (on bloqu ls élctrons à la surfac du métal) : I=0. On put alors écrir: V s = E cin. Max V s st applé potntil d arrêt 6

14 Enrgi Etats élctroniqus rmplis Dans l métal Hors du métal 7 Qulqus valurs du travail d xtraction W E (ou Φ) n V 8

15 Réintrprétation d l fft photoélctriqu dans l hypothès du photon. Exrcic: On vut étudir l fft photoélctriqu avc un cathod n fr d 1 cm d surfac. L intnsité d la lumièr incidnt st d 1.0 µw/cm. Supposons qu l fr réfléchiss 96 % d la lumièr incidnt t qu sulmnt 3 % soit dans la zon UV (λ=50 nm) tout just au dssus d la longuur d ond suil. a- Combin d photoélctrons sont émis par scond? b- Qul st l courant élctriqu msuré? Réponss: a- N= photoélctrons b- I= A 9 Exrcic: Un rayonnmnt d longuur d ond λ égal à 00 nm éclair la surfac d un métal. Ds élctrons d énrgi cinétiqu 3 V sont éjctés. Qul st l travail d sorti du métal? On a : h υ = W s + E C où WS st l travail d sorti W hc = λ S E C A.N.: W S =3.1 V 30

16 Expérinc d Franck- Hrtz: Excitation d atoms par ds élctrons Un autr façon d échang quantifié d énrgi: Transfrt d énrgi ds élctrons aux atoms d Hg après collisions inélastiqus. 31 Espacs égaux ntr maxi t minimums Atoms accptnt sulmnt un part discrèt d l énrgi: E= hυ υ st la fréqunc du rayonnmnt émis par ls atoms Hg (rayonnmnt UV) 3

17 Efft Compton Noyau d un atom cibl Déflxion d l élctron avc Un énrgi plus faibl Elctron incidnt Photon émis 33 Efft Compton Partant du princip qu la lumièr st constitué d véritabls particuls (hypothès d'einstin) possédant un énrgi t un quantité d mouvmnt bin définis, Compton (physicin atomist américain, Prix Nobl 197) t Dby (physicin hollandais) établirnt chacun d son côté la loi théoriqu d la diffusion d photon par l'élctron. En plus, Compton réalisa l'xpérinc t confirma ls prédictions ffctués sur la bas d'un hypothès corpusculair d la lumièr. 34

18 L xpérinc d Compton consist à illuminr la surfac d un métal (où il y a ds élctrons librs) par un faiscau d rayons X Photon x n collision avc un élctron cibl: Φ θ E, p E, p E, p m C, 0 L photon x fait un angl θ avc l horizontal L élctron fait un angl Φ avc l horizontal 35 Equations d consrvation d l énrgi t d la quantité d mouvmnt - Consrvation d l énrgi nous donn: E + mc = E' + E - Consrvation d la quantité d mouvmnt :: - On a : p + 0 = p ' + hc E = hν = λ hc E' = hν' = λ' 4 E = m C + p' p C Rlation d Planck- Einstin Rlativité rstrint 36

19 Suit du calcul En projtant l équation vctorill sur un systèm d axs orthonormés, on obtint facilmnt: p = p'cos θ + p 0 = p' sin θ p cos Φ sinφ En combinant d manièr astucius ls différnts équations (voir TD n 1), on obtint: λ' λ = h (1 cosθ) m C 37 38

20 Diffraction d rayons x par un résau d atoms Intrférncs constructivs quand la différnc d march st un multipl ntir d λ. on obtint: dsinθ = nλ C st la loi d Bragg 39 40

21 Ls onds d matièr (Louis d Brogli) Puisqu ls photons ont un doubl aspct ondulatoir t corpusculair, ls corpusculs (corps d mass m) doivnt avoir aussi c doubl aspct!!! C st la qustion qu s st posé L. d Brogli L photon associé à l ond élctromagnétiqu s déplac à la vitss C. sa mass st alors null. Or la rlativité d Einstin nous dit qu: E =p C +m C 4 D où : E=pC Comm Planck postul qu E=hν, alors : P=h/λ 41 Expérinc d Davisson t Grmr Si aux élctrons, on associ un ond, on put alors obsrvr l phénomèn d intrférncs sur un couch d atoms (diffraction d un résau) avc un distanc intr- atomiqu d (d qulqus angströms): d sinθ = n λ 4

22 Résultats xpérimntaux 43 Comm l élctron st accéléré avc un d.d.p. V acc, alors son énrgi cinétiqu st lié à V acc par la rlation: mv V m 1 = V v acc acc = La longuur d ond d d Brogli st donné par: λ théoriqu h = = mv h mv acc λ théoriqu = nm A partir d la diffraction d Bragg: d Nickl = nm Calcul d λ xp à partir d l angl maximum d diffraction : θ = 50 λ xpér. = x.15x sin On not un xcllnt accord ntr λ théoriqu t λ xpér. -10 nm

23 Exrcic XI du TD 1 : Calculr la longuur d ond associé à cha cas ci-dssous: a- Un élctron accéléré avc un potntil d 100 V. b- Un élctron non rlativist d mass m = kg t d vitss V= 10 - C. C st la vitss d la lumièr. c- Un nutron thrmiqu à T= 300 K. d- Un élctron rlativist d énrgi 10 9 V. - Un bill d mass 10 g t d vitss 10 m/s. Répons:On calculra la longuur d ond à partir d la rlation : h λ = = p h mv a- 1 U= m V λ = h m U λ,13a b- λ = h m V h = m 10 C λ,4a 45 c- 3 K T 1 mn V h 3m K B = λ = n B T λ 1,40 A d- t E P C λ = h p = m C = E 4 P = hc m C 4 E m C C 4 Dans notr cas E= 1GV>> mc 0,5MV λ 1, m - h λ = = p h m bill V bill λ 6, m 46

24 Dualité ond- corpuscul On a vu qu : - l rayonnmnt possèd l doubl aspct ondulatoir- corpusculair. - la matièr possèd l doubl aspct corpusculair- ondulatoir. Ls objts microscopiqus ont pour propriété général d s présntr sous ls dux aspcts ondulatoir t corpusculair : C'st la dualité ond- corpuscul. Entr ls dux aspcts, il xist un rlation univrsll d corrspondanc à savoir cll d Louis d Brogli. 47