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1 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 1 sur 7 Exercice 1 : sur 2 points 1. (1 pt) A = , A = A = 20 4 A = A = Activité numérique 2. (1 pt) En l absence de parenthèses, la multiplication et la division sont prioritaires par rapport à l addition ou la soustraction. La calculatrice doit effectuer en premier le calcul : Ce qui correspond au calcul suivant : , = = = 23 Il aurait fallut mettre entre parenthèses le numérateur et le dénominateur. Exercice 2 : Sur 3 points 1. (1 pt) Soit R l évènement : «la bille tirée est rouge». nombre de billes rouge p(r) = nombre de billes au total dans le sac La probabilité pour Alice de tirer une bille rouge est : = 1 10 La probabilité pour Bernard de tirer une bille rouge est : = = 0,2 100 La probabilité pour Claude de tirer une bille rouge est = ,971 C est donc Aline qui a la plus grande probabilité de tirer une bille rouge. 2. (2 pt) On souhaite qu Aline ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge, soit 0,2 Soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d Aline Donc + x = 0,2 0,2 ( + x) = 1,2 + 0,2x = 0,2x = 1,2 x = 3,7 0,2 = 1 Avant le tirage, il faut ajouter 1 billes noires dans le sac d Aline pour qu elle ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge

2 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 2 sur 7 Exercice 3 : Sur 7 points 1. (1 pt) Les coordonnées de B sont : B( 4 ; 4,6) 2. (1 pt) Les abscisses des points d intersection de la courbe C 3 avec l axe des abscisses sont : 1 ; 2 et 4 3. (1 pt) Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax. Sa représentation graphique est une droite passant par l origine du repère Graphiquement, cela correspond à C 1 4. (1 pt) f(x) = 0,4x + 3 La représentation graphique d une fonction affine est une droite ne passant pas par l origine du repère. De plus le coefficient directeur est 0,4 c'est-à-dire qu il est négatif, ce qui signifie que la courbe représentative de f va «descendre» Graphiquement, cela correspond à C 2. (1, pt) Graphiquement l antécédent de 1 par f est Par le calcul : on résout f(x) = 1 soit : 0,4x + 3 = 1 0,4x = 1 3 x = 2 0,4 = f(x) = 1 pour x = 6. (1, pt) Graphiquement A n appartient pas à C 2 Par le calcul, on calcule f (4,6) f(4,6) = 0,4 4,6 + 3 f(4,6) = 1, f(4,6) = 1,16 1,2 Le point A (4,6 ; 1,2) n appartient pas à C 2

3 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 3 sur 7 Activités géométriques Exercice 1 : Sur points 1. a. (1 pt) C A B b. (2 pt) Dans le triangle ABC : AB = 16 donc AB 2 = 26 BC = 8 donc BC 2 = 64 AC = 14 donc AC 2 = 196 On a AC 2 + BC 2 = = 260 Donc AC 2 + BC 2 AB 2 Donc le triangle ABC n est pas rectangle. 2. (2 pt) Le périmètre p du triangle ABC vaut : p = AB + BC + AC = = 38 Donc en utilisant la formule, l aire du triangle ABC vaut : A = A = 19(19 16)(19 8)(19 14) A = A = 313 A = 6 cm 2 au cm 2 près.

4 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 4 sur 7 Exercice 2 : Sur 7 points Partie 1 : On se place dans le cas particulier où la mesure ABC est (2 pt) E A 2. (2 pt) On sait que : E est le symétrique de B par rapport à A, donc AB = AE AB = AC Donc : AB = AC = AE. Les points B, C et E sont donc sur le cercle de centre A. Comme E est le symétrique de B par rapport à A alors A est le milieu du segment [BE]. Donc les points B, C et E sont sur le cercle de centre A et de diamètre [BE]. Le triangle BCE est donc inscrit dans un cercle dont un des diamètres est un des côtés du triangle. Le triangle BCE est donc rectangle en C. 3. (2 pt) Dans le cercle de centre A et de diamètre [BE] : L angle EAC est un angle au centre interceptant l arc c EC L angle ABC = EBC est un angle inscrit interceptant l arc c EC Donc EAC = 2 ABC EAC = 2 43 EAC = 86 Partie 2 : (1 pt) Dans cette partie, on se place dans le cas général où la mesure de ABC n'est pas donnée. Comme dans la partie 1 : Dans le cercle de centre A et de diamètre [BE] : L angle EAC est un angle au centre interceptant l arc c EC L angle ABC est un angle inscrit interceptant l arc c EC Donc EAC = 2 ABC Jean a donc raison. B C

5 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page sur 7 Partie 1 : Sur points Problème (sur 12 points) 1. (1 pt) Dans le triangle ABC : AB = 17, donc AB 2 = 306,2 BC = 14 donc BC 2 = 196 AC = donc AC 2 = 110,2 On a AC 2 + BC 2 = 110, = 306,2 Donc AC 2 + BC 2 = AB 2 Donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C. 2. (1 pt) P est un point du segment [BC]. On sait que : La parallèle à la droite (AC) passant par P coupe le segment [AB] en R. La parallèle à la droite (BC) passant par R coupe le segment [AC] en S. Donc : le segment [PR] est parallèle au segment [SC]. le segment [RS] est parallèle au segment [PC]. Le quadrilatère PRSC à ses côtes opposés parallèles deux à deux, donc PRSC est un parallélogramme. On sait que le triangle ABC est rectangle en C et que la droite (PR) est parallèle à la droite (AC). Or, si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l une est perpendiculaire à l autre, donc la droite (PR) est perpendiculaire à la droite (BC). Comme P appartient au segment [BC], on en déduit que (PR) est perpendiculaire à [PC]. Le parallélogramme PRSC possède donc un angle droit, c est donc un rectangle. 3. Dans cette question, on suppose que le point P est situé à cm du point B. a. (2 pt) Dans le triangle ABC : Les points B, P, C et B, R, A sont alignés dans le même ordre. Les droites (PR) et (AC) sont parallèles. Donc d après le théorème de Thalès : BP BC = BR BA = PR AC Donc 14 = PR La longueur PR vaut 3,7 cm. soit 14 = BR 17, = PR soit PR = 14 = 3,7 b. (1 pt)aire du rectangle PRSC : A = PR PC avec PC = BC BP = 14 = 9 A = 3,7 9 A = 33,7 L'aire du rectangle PRSC vaut 33,7 cm 2.

6 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 6 sur 7 Partie 2 : Sur 4 points 1. (1, pt) Pour BP = cm : Voir partie 1. Aire de PRSC en cm 2 : 33,7 Pour BP = 10 cm : De même que pour la partie 1 : On a : = PR soit PR = = 7, A = PR PC avec PC = BC BP = = 4 A = 7, 4 A = 30 cm 2 Longueur BP en cm Aire de PRSC en cm 2 0 9,7 24,7 33, y x a. (1 pt) Les valeurs de BP pour lesquelles le rectangle PRSC a une aire de 18 cm 2, correspondent aux antécédents de 18. Par lecture graphique on trouve : BP = 2 cm et BP = 12 cm. b. (1 pt) La valeur de BP pour laquelle l'aire du rectangle semble maximale correspond à l antécédent de la valeur maximale de l aire. Par lecture graphique on trouve : BP = 7 cm c. (0, pt) Par lecture graphique l image de 7 vaut 37. Un encadrement à 1 cm 2 près de l'aire maximale du rectangle PRSC est donc : 36 < A max < 37

7 Métropole juin 2009 Brevet Corrigés Page 7 sur 7 Partie 3 : Sur 3 points 1. (1 pt) On a : PC = BC BP soit PC = 14 BP 2. (1 pt) D après la partie 1 on a : BP BC = PR BP soit AC 14 = PR Soit PR = 14 BP Soit PR = 0,7 BP 3. (1 pt) Le rectangle PRSC est-il un carré si : PR = PC PR = PC d où 14 BP = 0,7 BP 14 = 0,7 BP + BP 14 = 1,7 BP 1,7 BP = 14 BP = 14 1,7 BP = 8 Le rectangle PRSC est un carré lorsque BP vaut 8 cm. Présentation : Sur 4 points Les 4 points sont répartis en 4 rubriques chacune notée sur Rubrique Eléments de validation Orthographe Orthographe des mots mathématiques Orthographe d usage Orthographe grammaticale Rédaction Soin Présentation Notations mathématiques Rédaction d une démonstration Une rédaction correcte sur deux des huit questions suivantes suffit pour attribuer le point de rédaction : Partie géométrique : Ex 1 question 1)b) ; Ex 2 partie 1 question 2) et question 3) ; partie 2 Problème : Partie 1 question 1) ; question 2 ) et question 3)a) ; Partie 3 question 2) (une seule de ces question correctement rédigée sera notée 0, pt) Propreté de la copie Tracé (figure et graphique) Respect des unités dans les réponses Organisation de la copie, respect de la numérotation des questions Clarté des réponses