CSMA e Colloque National en Calcul des Structures Mai 2013

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1 CSMA e Colloque Naional en Calcul des Srucures Mai 2013 Simulaion 3D du soudage par roemen malaxage (FSW) à l aide d une ormulaion Arbirairemen Lagrangienne ou Eulérienne (ALE) Sabrina GASTEBOIS 1 *, Lionel FOURMENT 2 1 MINES ParisTech, CEMEF, sabrina.gasebois@mines-parisech.r 2 MINES ParisTech, CEMEF, lionel.ourmen@mines-parisech.r * Aueur correspondan Résumé Le procédé FSW es un procédé de soudage par roemen e malaxage don la complexié résule d un rès or couplage hermomécanique. Nous présenons une nouvelle ormulaion Arbirairemen Lagrangienne ou Eulérienne (ALE) en vue de le modéliser avec précision. Son uilisaion monre qu elle es paraiemen adapée à la simulaion du FSW en 3D. Elle perme noammen de simuler des soudures de qualié ou la ormaion de déaus els que les bavures ou les rous unnels qui peuven apparaîre en arrière du pion. Des amélioraions on éé apporées au logiciel ain d augmener la précision de la simulaion. Un ileage numérique a ainsi éé modélisé sur l ouil pour augmener le malaxage du maériau. Le ranspor des champs coninus a éé perecionné pour gérer des insabiliés de surace. Mos clés soudage par roemen e malaxage, FSW, ormulaion ALE, r lage, ranspor de champ 1. Inroducion L indusrie aéronauique cherche à remplacer l assemblage par riveage des ôles par le procédé de soudage par roemen malaxage (FSW) (c Fig. 1) [1] ain d alléger les srucures. Un ouil cylindrique en roaion, consiué d un pion e d un épaulemen, enre en conac avec les plaques à souder e se déplace le long du cordon de soudure. Le roemen de l épaulemen, avec les ôles assemblées selon la coniguraion de soudage voulue, génère de la chaleur qui amène le maériau à un éa pâeux. Le pion assure le malaxage en proondeur des ôles en conac. Le maériau n éan pas poré à son poin de usion, il voi ses propriéés hermomécaniques peu dégradées (peu de porosié, de issuraions à chaud, moins de conraines résiduelles). Fig. 1. Eapes du procédé de soudage par roemen e malaxage (FSW) La simulaion numérique perme une éude en proondeur de ce procédé complexe. Elle a pour objeci à la ois d évaluer l inluence de diérenes géoméries d ouils e d opimiser le procédé. La complexié de l écoulemen auour de l ouillage, ainsi que la grande sensibilié du procédé à la aille de la zone de conac, plaiden pour l uilisaion d une ormulaion Arbirairemen Lagrangienne ou Eulérienne (ALE) comme uilisée dans [2, 3, 4]. Cee approche a clairemen démonré sa aisabilié dans [2]. Son aou principal es de modéliser précisémen le conac ouil / maière. Pour cela un conac unilaéral es généralemen uilisé [2, 3] résulan en un lux de maière réalise auour du pion. La méhode de régularisaion de maillage proposée dans [2] n auorisai pas le calcul parallèle e ne convenai pas à ous les procédés de mise en orme. Une nouvelle méhode de régularisaion de maillage a donc éé développée dans [5, 6] pour le laminage de ôles e a éé parallélisée dans [6, 8]. 1

2 Cee approche repose sur la projecion de la nouvelle surace régularisée sur l ancienne surace résulan de la réacualisaion lagrangienne du domaine e lissée par une méhode locale de Nagaa [5, 6, 7]. Ce algorihme de lissage perme la déecion auomaique des singulariés els que les coins ou les arrêes. L objeci de ce ravail es d évaluer cee nouvelle ormulaion ALE sur la simulaion numérique du FSW, d améliorer la précision de l algorihme de ranspor uilisé e d enrichir le modèle mécanique pour prendre en compe le ileage des ouils. Après la présenaion de la ormulaion ALE uilisée, cerains poins relais à la précision du ranspor des champs son discués avan de décrire le modèle de ileage. Ce papier expose ensuie les résulas de l évaluaion de cee ormulaion, sur un problème de soudage FSW. 2. La ormulaion ALE Nous déaillons ci après la ormulaion Arbirairemen Lagrangienne Eulérienne (ALE) éudiée [2, 5, 6, 8]. Elle repose sur une approche découplée. A chaque incrémen de calcul, au emps, les rois éapes suivanes son réalisées : - la première éape es un calcul Forge habiuel ou les champs de pression p e de viesse maérielle V son calculés, - la seconde éape concerne le calcul de la viesse de maillage basé sur une régularisaion du maillage, - la roisième éape repose sur les méhodes de ranser de champ présenées dans [5] La seconde éape es la plus délicae pour la simulaion des procédés de mise en orme, elle cenralise nore aenion dans ce papier. Le calcul de la viesse de maillage se ai en deux éapes : - une simple opéraion de barycenrage des nœuds du maillage, - la projecion des nœuds de surace sur le domaine à l insan +, Cee seconde éape es pariculièremen criique. De sa précision dépend la conservaion du domaine au cours du emps e donc la précision de la ormulaion ALE. L approche suivie consise à calculer la surace du domaine à l insan + par une simple réacualisaion lagrangienne x + = x + v. Toueois, cee méhode s avère rop simple e rop diusive, enraînan des peres de volume e de précision rop imporanes [2,6]. Cee opéraion de projecion peu êre améliorée en augmenan l ordre d inerpolaion de la surace du domaine grâce à une méhode de lissage [6] qui consiue le cœur de l éape de régularisaion. Les algorihmes de cee ormulaion permeen des calculs en parallèle suivan une approche par pariionnemen de domaines où chaque processeur ne connaî qu une parie du domaine de calcul [9] Le calcul de la viesse de maillage Le calcul de la viesse de maillage uilise un algorihme iérai de Jacobi. A chaque iéraion, un barycenrage des nœuds à parir des posiions des nœuds voisins (apparenan à un même élémen) es réalisé sur le maillage ALE au emps +. Ceci perme de conserver une bonne qualié de maillage. Ain de conserver égalemen le volume, les nœuds ronières du maillage régularisé son projeés sur la surace du maillage lagrangien réacualisé [2, 5] : On ière l algorihme jusqu à ce que les variaions sur prescrie ou qu un nombre maximal d iéraions nbier soi aein : i i X p = X m, b (1) i X p soien inérieures à une olérance 2

3 max( V m Ω i i 1 may, m Vmay, m ) < max V n Ω i n convlim (2) La viesse de maillage es calculée à parir des coordonnées projeées, e uilisée à chaque pas de emps pour acualiser le maillage ALE : V i may 2.2. La méhode de Nagaa i X p X m +, m =, X = X + Vmay + (3) Lors de la projecion des nœuds de la surace ALE au emps sur la surace lagrangienne réacualisée au emps +, une variaion de volume due à une pere de précision a lieu. Ain de réduire cee imprécision, une soluion es d augmener l inerpolaion de la surace lagrangienne ain 0 1 de ransormer la surace C en une surace C. Des élémens quadraiques son uilisés à la place des élémens linéaires, une oncion de orme hiérarchique de degré 2 es ajouée aux oncions de ormes linéaires habiuelles pour inerpoler deux nœuds par une arêe courbe [6, 7] (c Fig. 2). Arêe droie Arêe courbe Fig. 2. Surace de Nagaa La précision de la consrucion de ces arêes courbes repose en grande parie sur la précision du calcul des normales à la surace. Pour cela le calcul de normales voées [6, 10] s avère rès eicace. Une marice de corrélaion en chaque nœud k es calculée à parir des aces conenan le nœud : Où A es la surace de la ace, = T M ω n n A 3 KC ω = exp max A max KC C son barycenre e n sa normale exérieure. Les valeurs propres de cee marice son ensuie calculées pour déerminer les singulariés géomériques (arêe ou coin) du noeud k. En FSW, ceci perme de repérer auomaiquemen les arêes e les coins qui peuven se ormer au cours du procédé lors de l appariion de déaus ou de bavures. Puis le calcul des normales es eecué par pach e voé en moyennan les normales n d un ensemble E déini au préalable e don les aces respecen un angle minimal avec la ace du nœud considéré : k n = ω n (5) E (4) 2.3. Le ranspor des champs nodaux Une éape imporane de la ormulaion ALE concerne le ranspor des champs de l ancien maillage ALE sur le nouveau, à chaque pas de emps. Nous déaillons le ranspor des champs P1 déinis aux 3

4 nœuds els que la empéraure, les viesses ou les pressions. Soi ξ une variable s écri au emps + : + ξ ALE = ξ re + d gξ, d gξ = dξ c ξ 1 C à ransporer, elle Où d g ξ = d ξ c ξ es la dérivée de grille au emps e c = V ma Vmay es la viesse convecive. La linéarisaion de la dérivée pariculaire d e de la dérivée de grille d ξ au premier ordre avec la méhode des diérences inies s écri : ξ g (6) + ξlag ξ dξ =, Ainsi, l expression de la variable ALE au emps d g + ξale ξ ξ = (7) + es la suivane : ξ + ALE = ξ + LAG ( V ma V may ) ξ + (8) où le gradien du champ ξ es consan par élémen e calculé sur l élémen amon à la direcion de la viesse convecive (c Fig.3) [2,5]: c = Vma -Vmay Fig. 3. Elémen amon e viesse convecive L opéraeur de ranspor repose donc sur la localisaion d un élémen amon à la direcion de la viesse convecive pour y calculer le gradien du champ ξ. Compe enu de la complexié de l écoulemen éudié, il exise un ensemble de nœuds don le déplacemen amon peu sorir du domaine. L élémen amon de ces nœuds es obenu en projean l anécéden au nœud dans la direcion normale à la ace. Ainsi ce élémen amon peu subir une variaion de empéraure dans les direcions normales e angenielles. Ce gradien dans la direcion normale à la ace du nœud condui, par inégraion, à des valeurs aberranes au cours des calculs. Cela s explique par le ai que le gradien n es pas connu dans cee direcion, e qu il es donc préérable de le considérer comme nul. Pour cela, seules les composanes du gradien dans la direcion angene son considérées : T = T T n r r n = T ( Txn x + Ty n y + Tz n z ) n (9) 3. Amélioraions du modèle e applicaion au soudage FSW 3.1. Modélisaion du ileage Le malaxage du maériau produi par le pion de soudage joue un rôle rès imporan sur la qualié de la soudure. Ain d augmener son ee, le pion es souven ileé. Ce ileage es modélisé suivan la méhode uilisée dans [2, 11] ; elle consise à ajouer une composane vericale à la viesse de l ouil, dans le calcul du roemen. Cee viesse addiionnelle dépend du pas de vis e de la viesse de roaion de l ouil : 4

5 V = V + V n, ileé ouil ouil vis ro V vis 2 Ω p = π 60 (10) Où V vis ( mm / s) es la viesse de vis, Ω (pm) es la viesse de roaion de l ouil, p es le pas de vis. L équaion du roemen de Noron es alors modiiée selon les équaions suivanes : τ = α K v v = ( v v ileé ouil p 1 v ) ( v v ileé ouil ) n (11) 3.2. Simulaion du procédé FSW Le cas de soudage considéré es celui d un aluminium en pleine ôle, sans calcul hermique dans les ouils (c Fig. 4). La phase du procédé éudiée es celle de soudage, ainsi le proil de empéraure de la plaque es iniialisé à parir d un proil de empéraure issu d un calcul de plongée. Le maériau es modélisé par une loi de Noron-Ho, don le coeicien de sensibilié à la viesse de déormaion m e la consisance K, évoluen en oncion de la empéraure [2] : m ( )( 3 ) ( T ε ) σ = K T & (12) Une loi de Noron (11) modélise le roemen enre l ouil e la plaque [2]. Une ormulaion eulérienne es uilisée aux bords du domaine e une ormulaion ALE à l inérieur. Les calculs son réalisés en parallèles sur 4 processeurs. La plaque conien environ nœuds. Ouil rigide en roaion consiué d un épaulemen concave e d un pion lisse Plaque à souder (AA6061) Plaque suppor rigide permean d absorber la chaleur Fig. 4. Descripion du cas de soudage L échauemen du maériau, généré par le roemen de l ouil, inlue sur les propriéés mécaniques du maériau. L uilisaion d un coeicien de ranser hermique inadapé enre les ouils e le maériau peu engendrer un reroidissemen rop imporan du maériau. Sa viscosié augmene ce qui provoque la pere de conac avec le pion, orman ainsi une cavié à l arrière (c Fig. 5). Fig. 5. Cavié en arrière de l ouil Le logiciel es capable de simuler la pere de conac enre l ouil e la plaque car les nœuds à l inerace son représenés par un conac unilaéral. Ils peuven donc se décoller dans la direcion normale à l ouil. Si le maériau n a pas de raisons physiques de quier le conac, on observe alors 5

6 que ce dernier es paraiemen conservé sous l épaulemen (c Fig. 6) ainsi qu auour du pion. La maière es bien recollée lorsqu elle passe de la zone d avance à la zone de rerai, ce qui monre la précision de l algorihme de projecion inégré au calcul de la viesse de maillage. Ere capable de prédire correcemen le conac es esseniel, c es en ee un paramère direcemen lié au roemen e donc aux échanges de chaleurs ouil/maière [12]. A = 0 s A = 0.1 s A = 2.5 s Fig. 6. Ea du conac au cours de la simulaion la couleur bleu correspond à des nœuds en conac. Les igures suivanes présenen une iniialisaion pariculière de la simulaion du soudage en paran d une plaque uniormémen chauée à 100 degrés avec un ouil en roaion mais ixe en ranslaion, sans e avec ileage. Le ileage perme d augmener le roemen dans la haueur du pion e de chauer davanage le maériau pour le rendre plus malléable (c Fig. 7). Ainsi lorsque dans un second emps l ouil se me à avancer, la pere de conac à l arrière du pion es diminuée voir annulée (c Fig. 8). Fig. 7. Echauemen avec un pion non ileé (gauche) ou ileé (droie) (échelle = ) Fig. 8.Ea de conac sur le pion avec un pion non ileé (gauche) ou ileé (droie) (empéraure dans le plan) Si la proondeur de pénéraion de l épaulemen es rop élevée, une ceraine quanié de maière es rejeée sur les bords de l ouil ce qui crée des bavures. Avec la méhode de régularisaion de maillage développée [3,4], les coins e les arêes son déecés auomaiquemen, ce qui perme de modéliser la ormaion de ces bavures (c Fig. 9). Fig. 9. Bavures au passage de l ouil Oure la modélisaion des déaus géomériques de soudure, la simulaion rend compe d un bon échauemen de la maière (c Fig. 10). Les résulas présenés on éé obenus en uilisan l algorihme de ranspor amon modiié. Les champs de empéraures se sabilisen au bou de 1s de 6

7 simulaion e les isovaleurs obenues corresponden aux observaions expérimenales. Noons que les emps de calculs pour 8 s de simulaion son de 2 jours. Fig. 10. Champs de empéraure au bou de 8s (zoom auour de l ouil en hau) 5. Conclusion La nouvelle ormulaion ALE développée pour la simulaion du laminage de ôles s avère ou à ai eicace pour simuler le procédé FSW, sans nécessier aucun ajusemen des algorihmes de conac ou de r lage. Sa capacié à prédire avec précision l éa de conac enre l ouil e la plaque lui donne un caracère égalemen prédici pour l appariion de divers déau els que les rous unnels e les bavures ; cela consiue un aou considérable pour opimiser la qualié d une soudure. Du poin de vue de la ormulaion ALE uilisée, la modélisaion de ces déaus e de soudures sans déaus a ainsi mis en évidence la précision de l algorihme de calcul de la viesse de maillage associé à la méhode de lissage de Nagaa. Pour l applicaion au soudage FSW, la modélisaion du roemen a éé enrichie ain de prendre en compe le ileage de l ouil. Du poin de vue de la simulaion, ce ileage perme d évier la ormaion de caviés, comme cela es observé sur le procédé réel. Par ailleurs, la méhode de ranspor amon des champs coninus (empéraure) a éé ainée pour les ermes de surace e donne d excellens résulas. Les perspecives de ce ravail concernen la réducion du emps de calcul en uilisan des pas de emps plus imporans. Une possibilié serai d uiliser un schéma d acualisaion du domaine en coordonnées cylindriques. Remerciemens : Ce ravail a éé réalisé dans le cadre d une Chaire inancée par la sociéé Daher. Réérences [1] The Welding Insiue (TWI). [2] Guerdoux, Fourmen, 3D numerical simulaion o dieren phase o ricion sir welding, Modelling and simulaion in maerials science and engineering, vol. 17, pp. 0 32, 15 mai [3] Schmid, Hael, A local model or he hermo mechanical condiions in ricion sir welding, Modelling and simulaion in maerials science and engineering, vol. 13, pp , [4] Cho, Kang, Han, Oh, Modelling ricion sir welding process aluminium alloys, METALS AND MATERIALS Inernaional, vol. 14, n 2, pp ,

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