Act. 1 : P : UN INSRUMEN A CORDES : LA GUIARE Mots-clés : instrument à cordes, acoustique musicale Une guitare est un instrument à cordes pincées. Pour produire une note, le guitariste déplace la corde pour la faire vibrer. Il peut réduire la longueur de la corde en appuyant sur des cases situées entre deux frettes du manche de la guitare, et ainsi, jouer différentes notes de musique. Il existe d autres types d instruments à cordes, frappées (piano) ou pincées (violons). Doc 1. : Instruments acoustiques : Le violon comme la guitare sont des instruments de musique dits «acoustiques» : ils reposent sur un principe de fonctionnement commun. La vibration d une partie de l instrument, appelée excitateur donne naissance à un son. Pour que le son ainsi créé soit audible, la vibration doit être transmise au milieu environnant (l air le plus souvent) puis doit se propager jusqu à atteindre l oreille. On parle de couplage entre l instrument et l air. Ce couplage est généralement assuré par une autre partie de l instrument, appelé résonateur, qui est mis en vibration forcée par l excitateur. Un instrument de musique assure donc deux fonctions : vibrer et émettre. Doc 2. : Différentes cordes d une guitare : Les diamètres et la matière de chaque corde sont variables. Chaque corde, de longueur L= 64,4 cm à vide, peut jouer une seule note. Les cordes, pincées à vide, jouent les notes ci-dessous. Pour jouer les différentes notes possibles sur une corde, on pose le doigt sur une case. La corde est alors raccourcie à une longueur L, distance entre la frette située plus bas sur le manche et le chevalet. La guitare joue alors une note plus aigüe. Dans le tableau ci-dessous, la corde n 1 est la plus épaisse, la n 6 la plus fine : Doc 3. : Accorder une guitare : L accordage est le réglage de la tension de chaque corde pour qu elle produise, lorsqu elle vibre sur toute sa longueur, une note de fréquence précise. Quand on appuie sur la cinquième case de la corde Mi1 bien accordée, la corde, en vibrant, joue un La1. Si la corde du dessus, jouée à vide, est bien accordée, elle doit donc aussi jouer un La1. Sinon, le guitariste tournera la clé de la deuxième corde jusqu à ce que cette corde joue bien un La1. En pratique, un guitariste commencera en général par accorder la corde la plus fine par comparaison du son joué par la guitare lorsqu un doigt est positionné sur la cinquième case, et un diapason La 3 de fréquence f = 440 Hz. Par comparaison, il accordera ensuite les différentes autres cordes une par une. Doc 4. : Vibration d une corde : Lorsqu une corde tendue entre deux points fixe est excitée, elle n entre en résonance, c est-à-dire ne vibre de manière importante que pour certaines fréquences f n appelées harmoniques de rang n ou encore fréquences propres :f n = n* f 1 avec f 1, fréquence fondamentale de la corde et n, un entier non nul. Pour chaque fréquence f n, la corde présente des nœuds et des ventres de vibration qui dessinent n fuseaux. Ce mode de vibration, dit de rang n, résulte de l onde mécanique incidente et l onde réfléchie qui se superposent pour former une onde stationnaire le long de la corde. L λ n Chaque fuseau a pour longueur, ou encore avec λn, la longueur n 2 Doc 5. : La force de Laplace: d onde associée au mode de vibration de rang n. On a ainsi : λ n L 2 n La fréquence fondamentale d une corde peut être déterminée de 2 façons : Par oscillations libres : la corde est pincée ou frappée. La corde vibre avec ses différents modes propres Le spectre en fréquence de la tension aux bornes d un micro situé au-dessus de la corde fait apparaître le fondamental et les harmoniques, c est-à-dire les fréquences propres de la corde. Par oscillations forcées : on relie la corde métallique à un GBF qui fait circuler dans la corde un courant alternatif de fréquence variable. Placée au voisinage d un aimant, la corde va alors vibrer à la même fréquence que celle du courant appliqué. Mais la corde ne vibre de manière visible que pour ses fréquences propres (ou de résonance). P La guitare - 1/10
1. Fonctionnement de l instrument ( ( CCoomppéét teennccee AAPPPP) ) A l aide des documents 1 et 2, compléter le schéma et la remarque ci-dessous avec les mots suivants: «excite ; entre en résonance ; couplage ; frettes ; clés ; sillet ; chevalet» Doigt ou Médiator excite Corde de.. excite Caisse de guitare. couplage guitare + air intérieur Vibration de l air extérieur : EMISSION D UN SON AUDIBLE entre en résonnance Entre en résonnance Remarque : NB. La longueur L de la corde est fixée entre le sillet.. et le chevalet. de la guitare. Elle peut être réduite si le guitariste pose son doigt sur la corde entre deux frettes. La tension de la corde peut être modifiée à l aide des clés. 2. Quelles sont les caractéristiques du son émis par pincement d une corde de guitare? a) (AANAA) ( ) A l aide des documents et de la guitare du labo, mettre en évidence plusieurs paramètres influant sur la hauteur de la note produite par une corde. Préciser «à l oreille» dans quel sens ils interviennent. Rassembler les observations dans un tableau. Attention ne pas utiliser la corde la plus fine. (Elle est accordée) Les paramètres influant sur la hauteur de la note Matériau Diamètre Longueur ension Plus la densité du matériau dont est faite la corde est élevée, plus le son est grave. Plus le diamètre de la corde augmente, plus le son est grave. Plus la corde est longue, plus le son est grave Plus la tension est élevée, plus le son est aigu. En effet, plus la corde est tendue, plus l amplitude de la corde est grande et plus sa période est courte donc fréquence élevée. On s intéresse maintenant à la corde la plus fine de la guitare : b) (AANAA) ( ) Proposer un protocole permettant de répondre aux deux questions suivantes : - Le son émis est-il complexe ou pur? Matériel : Une guitare, un microphone, une interface Orphylab, un ordinateur Acquisition : Brancher, avec précaution le micro au boîtier d acquisition OrphyLab sur C1 et relier l interface à l ordinateur. Ouvrir le logiciel OrphyLab présent sur l ordinateur et le paramétrer selon les indications suivantes : 1. Choisir : Durée = 20 ms ; Nombre (de mesures) = 4 000 ou plus ; Déclenchement : Clavier (cocher Loupe automatique) ; 2. Placer le micro près de l ouverture de la caisse de résonance et faire vibrer (doucement) la corde de la guitare : L enregistrement débute en appuyant sur la barre d espace : Visualiser le signal. Remarque : si le nombre de points est trop petit, le signal n est pas terrible : il n y a pas assez de points d acquisition donc choisir 4000 ou 8000. 3. Cliquer sur l icône Regressi (commentaires : nom de l instrument étudié) et enregistrer le fichier. P La guitare - 2/10
4. Choisir : Durée = 20 ms ; 5. Nombre (de mesures) = 4 000 ou plus ; 6. Déclenchement : Clavier (cocher Loupe automatique) ; 1. Placer le micro au dessus de la rosace afin d avoir le son le plus amplifié ; 2. Pincer la corde de guitare ; 3. Simultanément appuyer sur la barre d espace afin de débuter l enregistrement. On passe dans «regressi» P La guitare - 3/10
Noter un commentaire On affiche la transformée de Fourier L icône «emps» permet d afficher le signal temporel et la transformée de Fourier P La guitare - 4/10
Afin de lire la valeur de la fréquence fondamentale du signal (1 er pic de la transformée de Fourier), la transformée de Fourier doit être faite sur une seule période du signal temporel. L icône «Limite» permet de choisir les bornes du signal temporel choisi : la période choisie doit être la plus fidèle au signal. Cf. Bornes grises. A l aide du curseur, on peut déterminer la valeur de la fréquence fondamentale. L outil «Loupe» permet de sélectionner la 1 ère partie de la transformée de Fourier. La fréquence fondamentale : f 1 = 0,3317 khz soit f 1 = 332 Hz (en théorie f = 329,5 Hz) P La guitare - 5/10
HEME 2 : SON E MUSIQUE INSRUMENS DE MUSIQUE (LIVRE CHAP. 4) - Cette corde de guitare est-elle bien accordée? Le doc.2 indique que la hauteur du mi est de 329,5 Hz ; l expérience nous permet de trouver f1 = 332 Hz. On considère que la corde de guitare est bien accordée. Faire valider par votre professeur c) ((RREEAA)) Exploiter l enregistrement «mi juste» avec les logiciels Regavi Regressi pour répondre aux questions précédentes. (AENION logiciels du répertoire Ressources Physique Spé SpéMPROO et ouvrir Regressi avant Regavi) Faire valider par votre professeur. NB. On notera f1 la fréquence fondamentale du son étudié. Remarque importante : après une excitation initiale, la corde (= système étudié) vibre librement : on parle de mode de vibration libre de la corde. 3. Pourquoi ce son là et pas un autre? Pour étudier le comportement d une corde métallique de guitare, il est possible de lui faire subir des oscillations forcées. Sur la photo ci-contre, la corde parcourue par un courant alternatif au voisinage d un aimant en U vibre dans le plan vertical. Au labo, nous souhaitons reproduire la même situation mais en utilisant un aimant plat (fig. 2) ((AAPPPP)) A l aide du doc. 5 et de la fig.2, Fig.2 compléter les schémas de la figure 1 en indiquant le vecteur champ magnétique 𝑩 créé par l aimant. En déduire comment orienter l aimant au voisinage de la corde. On peut faire vibrer une corde de guitare parcourue par un courant alternatif sinusoïdal, en plaçant un aimant droit vertical sur cette corde. P La guitare - 6/10
La corde est alors soumise à une force qui provoque des oscillations transversales de même fréquence que celle du courant électrique délivré par le GBF (fig.1) RReemaarrqquuee : La valeur de la résistance (rhéostat : résistance variable de 0 à 100 Ohms) est d environ de 50 Ω afin de limiter l effet Joule ; I 0,25 A. Un générateur de courant continu ne permet pas de voir le déplacement de la corde sous l effet de la force de Laplace. (RREEAA) ( ) Situation 1 : Réaliser le montage correspondant à la photo (U 8V), en plaçant l aimant droit selon l orientation précédemment choisie. Augmenter très progressivement la fréquence du GBF à partir d environ 270 Hz. Rester très silencieux et tendre l oreille : cesser de faire varier la fréquence lorsqu un son devient perceptible. Affiner la valeur de la fréquence permettant d obtenir une intensité maximale pour ce son. Relever dans le tableau ci-après la valeur de la fréquence correspondante et la comparer à la valeur f 1 précédente. Situation 2 : Recommencer en changeant la position de l aimant (voir tableau). Observer ce qui se passe pour une fréquence proche du double de f 1. Position de l aimant Valeur de la fréquence associée à l émission d un son d intensité maximale Situation 1 Situation 2 A peu près au milieu de la corde A peu près au quart de la longueur de la corde, du côté de la caisse de résonance 320 Hz f 1 640 Hz 2 x f 1 Allure de la corde (cf doc.4) Remarque importante : dans ce cas, la corde est «forcée» à vibrer par la force de Laplace : on parle de mode de vibration forcée de la corde. (VVAALL) ( ) Conclusion : La corde de guitare en vibration forcée émet-elle un son d intensité convenable pour n importe quelle fréquence? La corde de guitare en vibration forcée émet un son d intensité convenable pour des fréquences bien déterminées. Pourquoi dit-on que les modes de vibration d une corde sont quantifiés? La corde de guitare en vibration forcée émet un son d intensité convenable pour des fréquences bien déterminées : f n = n x f 1 Les fréquences de vibration de la corde ne pouvant pas prendre n importe quelles valeurs, on dit que les fréquences des modes propres de vibration sont quantifiées. Faire le lien avec les fréquences du son émis par la corde vibrant librement. Les fréquences de vibration de la corde qui produisent un son d intensité convenable correspondent aux fondamentale et aux harmoniques du son émis par la corde vibrant librement P La guitare - 7/10
4. Comment obtenir une hauteur de note particulière? Existe-t-il une relation entre la fréquence fondamentale f 1 du son obtenu et les caractéristiques de la corde? On utilise le dispositif de la corde de Melde : une corde en coton est reliée à un vibreur alimenté par un GBF. a) Détermination des fréquences propres de vibration de la corde : (RREEAA) ( ) On a vu que dans le cas d oscillations forcées, les modes de vibration sont quantifiés. On cherche ici à déterminer les fréquences correspondant à ces modes, appelées fréquences propres de vibration. Protocole : - endre la corde (1 brin) avec une masse m = 25 g. - Fixer sa longueur à L = 58 cm. - Augmenter progressivement la fréquence du GBF aux bornes du vibreur à partir de 20 Hz. On règlera l amplitude de la tension à environ 3 V. - Pour les 3 premiers modes de vibration (1 fuseau, puis 2, puis 3), schématiser l allure de la corde et relever les fréquences f 1, f 2, f 3. - Conclure. Résultats expérimentaux Corde : 1 brin m = 25 g L = 58 cm Allure de la corde Fréquence (Hz) 21 42 63 Calculer le rapport f 2 / f 1 et f 3 / f 1 f 2 / f 1 = 42 / 21 = 2 et f 3 / f 1 = 63 / 21 = 3 Les fréquences de vibration de la corde ne pouvant pas prendre n importe quelles valeurs, on dit que les fréquences des modes propres de vibration sont quantifiées. Une corde pincée ou frappée émet un son (complexe) composé de fréquences qui sont celles des modes propres de la corde (mode fondamental additionné de quelques uns de ses harmoniques). fn = n x f1 P La guitare - 8/10
b) Vérification des caractéristiques de la corde influant sur la fréquence fondamentale f 1 du son émis : (AANAA) ( ) (RREEAA) ( ) Proposer un protocole, à l aide du matériel disponible, pour répondre à chacune des questions suivantes. Faire valider par le professeur puis compléter le tableau. AENION!! - En accrochant des masses de plus en plus importantes, il faudra veiller à ce que le système ne bouge pas (il faudra probablement tenir le vibreur et la potence avec poulie). - Il sera parfois nécessaire d augmenter l amplitude de la tension électrique fournie par le GBF (jusqu à environ 6 V) pour mieux voir le fuseau recherché. Influence de la longueur Corde : 1 brin m = 25 g L = 58 cm Fréquence (Hz) 21 42 63 Corde : 1 brin m = 25 g L = 58 / 2 =29 cm Fréquence (Hz) 43 86 130 Influence de la masse Corde : 1 brin m = 100 g L = 58 cm Fréquence (Hz) 42 82 130 Corde : 1 brin m = 25 g L = 58 cm Fréquence (Hz) 21 42 63 Corde : 1 brin m = 100 g L = 29 cm Fréquence (Hz) 87 1810 Corde : 1 brin m = 100 g L = 29 cm Fréquence (Hz) 87 1810 Influence de l épaisseur de la corde Corde : 4 brins m = 100 g L = 58 cm Fréquence (Hz) Corde : 4 brins m = 25 g L = 58 cm Fréquence (Hz) P La guitare - 9/10
Bilan Question Comment varie la valeur de f 1 lorsque la longueur L de la corde est divisée par 2? Comment varie la valeur de f 1 lorsque la valeur de la tension de la corde est multipliée par 4? Paramètre d influence testé Longueur de la corde Masse suspendue au fil Paramètres fixés Masse et épaisseur Longueur et épaisseur Observation Si L diminue alors f augmente Si est divisée par 4 alors f est divisée par 2 Lien avec la guitare Plus la corde est courte, plus le son est aigu. Plus la tension est faible, plus le son est grave. Comment varie la valeur de f 1 lorsque la masse linéique (masse par unité de longueur de corde) est multipliée par 4? Masse linéique de la corde Longueur et tension Si est multipliée par 4 alors f est divisée par 2 Plus la corde est épaisse, plus le son est grave. (VVAALL) ( ) Conclusion : Quel est le modèle mathématique qui correspond le mieux à ces résultats? f 1 2L f 1 1 2L f 1 2L Si L diminue alors f augmente donc L est au dénominateur donc on peut supposer que le modèle mathématique qui correspond le mieux est le second. Si est divisée par 4 alors f est divisée par 2 donc est situé au numérateur est semble être sous une racine carrée. Le modèle mathématique est : f 1 = 1 2L Vérifier le modèle mathématique choisi par analyse dimensionnelle. [ f ] = 1 2L = 1 L x = m -1 x m.kg.s 2 kg.m 1 = m-1 x m 2. s 2 = s -1 La dimension de la fréquence est donc s -1 qui correspond bien au Hertz (f = 1 / ). La formule donnant la fréquence du fondamentale du son émis par une corde de guitare est bien homogène. Analyse dimentionnelle en vidéo : https://www.youtube.com/watch?v=wjq7x33kxf4 Animations : http://www.sciences.univ-nantes.fr/sites/genevieve_tulloue/menu/menu_gene.php?menu=ondes P La guitare - 10/10