Syntaxe et sémantique de la logique propositionnelle Tero Tulenheimo 1 Syntaxe : expressions bien formées Pour représenter et étudier des schémas d argumentation, on utilisera la logique propositionnelle. C est un langage formel ; la signification de tous les expressions non logiques est laissée complètement ouverte. On s intéresse seulement aux expressions logiques, c-à-d aux expressions dont la signification est pertinente pour la validité ou non validité des arguments. La syntaxe spécifie quelles suites des graphèmes sont des expressions de la langue considerée. On spécifie un ensemble des atomes propositionnels (ou en bref : atomes) ; ils sont utilisés pour représenter de façon abstrait des énoncés dont la structure interne ne nous interesse pas. On va les noter p, q, r, p 1, p 2, etc. Pour spécifier la syntaxe, on commence avec certains symboles qui peuvent être utilisés pour formuler des énoncés. Ici les symboles sont d une part les atomes propositionnels, et d autre part les connecteurs,,, et les parenthèses : ) et (. Ensuite il faut indiquer quelles suites de ces symboles sont grammaticales et quelles ne le sont pas. (Pour la spécification de la syntaxe, voir la section Syntaxe ci-dessous.) On note que les parentheses sont indispensables pour désambiguïsation : par ex., l éxpression p q r («Obama a été élu ou McCain a été élu et rien n a changé»)
2 aurait ces deux lectures (on ne pourrait pas savoir laquelle est visée sur la base de cette expression formelle, ce qui est une raison pour ne pas accepter une telle expression dans notre langage) : (1) p (q r) («Obama a été élu, ou McCain a été élu et rien n a changé») (2) (p q) r («Obama a été élu ou McCain a été élu, et rien n a changé») La lecture (2) mais non pas la lecture (1) suggère que le choix entre Obama ou McCain a été sans importance : en tout cas rien n a changé. 2 Syntaxe de la logique propositionnelle On a noté que la tâche de la syntaxe est d indiquer comment construire des énoncés de façon correcte, c-à-d de façon à résulter en des suites des symboles considerées bien formées. Comme on pourra construire des énoncés de plus en plus longues et compliqués, il est évident qu on ne peut pas donner une simple liste des expressions bien formées. On va procéder de façon suivante. La totalité des expressions bien formées (ou : formules, énoncés) de la logique propositionnelle est specifiée comme suit : (i) Les atomes propositionnelles sont des formules (ii) Si A est une formule, alors A est une formule (iii) Si A et B sont des formules, alors (A B), (A B) et (A B) sont des formules. (iv) Rien n est une formule de la logique propositionnelle qui n est pas obtenu par les règles (i) (iii) dans un nombre fini d étapes. [On pourrait ne pas ajouter la condition (iv), mais dans ce cas il serait sousentendu que les règles spécifient toutes les expressions bien formées, et non pas seulement quelques expressions bien formées.] À proprement parler, pour différents choix des atomes propositionnels on obtient avec les règles (i) (iv) de différents langages de la logique propositionnelle. (Le langage construit à partir des atoms p, q, r,..., disons, est
3 différent du langage construit à partir des atoms p 1, p 2, p 3,....) Normalement ces distinctions ne sont pas pertinentes pour notre discussions pendant ce cours, et on va parler tout simplement de la logique propositionnelle avec l idée sous-jacente qu un ensemble des atomes a été spécifié. Prenons des exemples des expressions bien formées ainsi que des expressions mal formées. Ensuite on discute la question comment contrôler si une expression est en effet bien formée. Après on va retourner à une discussion du caractère spécifique de la définition de la syntaxe presentée. 3 Exemples des formules et des non-formules Voilà des expressions bien formées = des formules = des énoncés : p (( p q) r) (( (p q) q) r). Et les expressions suivantes sont mal formées = des non-formules = des nonénoncés : pq ( p) p q ((p q r)). 4 Arbre syntaxique Grâce à la définition de la syntaxe, on peut dessiner pour toute formule A de la logique propositionnelle un arbre de construction = un arbre de formation = un arbre syntaxique. Les nœuds de cet arbre sont des formules. La racine de l arbre va correspondre à la formule A. Les feuilles de l abre correspondront aux atomes propositionnelles. Tout nœud (à l exception des feuilles) a des successeurs ; plus spécifiquement tout nœud a un successeur ou deux successeurs. Et tout nœud (à l exception des feuilles)
4 résulte de l application d un des deux règles (ii) ou (iii) à ses successeurs ; si le nœud a un seul successeur, il s agit de la règle (ii) tandis que si le nœud a deux successeurs, il s agit de la règle (iii). Voilà un exemple très simple, l arbre syntaxique de la formule ( p q) ; on l a dessiné, selon une convention habituelle, à l envers. ( p q) / \ p q p Prenons un autre exemple. L arbre syntaxique de la formule ((( p q) r) (s t)) est dessiné comme suit : ((( p q) r) (s t)) / \ (( p q) r) (s t) / \ / \ ( p q) r s t / \ p q r p r r Tout essai de dessiner un arbre syntaxique pour une non-formule va échouer, simplement parce que tôt ou tard il faudrait déterminer comment il est possible de construire une expression à partir de ses composants immédiats tandis que la forme de cette expression laisse ouverte quelle règle pourrait être appliquée ; cela peut arriver parce que la forme de l expression est ambiguë ou
5 parce qu elle manque de forme du point de vue de la syntaxe [ex. (p q r), (p q r), pq, p q], 1 ou parce que l expression n a pas des composants immédiats appropriés [ex. (p ), ((p q) ( r))]. Une expression telle que manque de forme et elle manque des composantes. Voilà un exemple d un essai désespéré de dessiner un arbre syntaxique pour la non-formule (q (p )) : ((p ) q) / \ (p ) q / \ p Ici on finit par avoir une feuille qui n est associée avec aucun atome propositionnelle ; cela signifie que l expression ((p ) q) est une non-formule. Ou on pourrait décrire la même chose en disant que simplement l expression (p ) ne peut pas être analysée en termes de la syntaxe de la logique propositionnelle ; pour cela il faudrait qu il y ait deux composants auxquels est appliqué, mais ici on a un seul, le composant p à gauche. Autrement dit : dire que l expression (p ) peut être analysée (tout en respectant les règles syntaxiques dans la mésure où possible) de façon non-grammaticale representée par l arbre ci-dessus ou dire qu elle ne peut absolument pas être analysée selon la syntaxe sont deux manières équivalentes de dire que l expression considerée n est pas grammaticale, c-à-d ne peut pas être produite selon la syntaxe. Il n est pas difficile de se convaincre que pour toute formule toute expression bien formée il existe un et en seul arbre syntaxique : la manière de formation d une formule est uniquement determinée par sa syntaxe. 1 L expression manque de forme : la syntaxe ne permet pas de disjonction sans des parenthèses : (p q).
5 La forme d une formule, connecteur principal La formule ( p q) est pour sa forme une implication matérielle, comme aussi, par exemple, la formule (( r (s t)) (q u)). Une autre manière d exprimer la même chose est de dire que le connecteur principal de cette formule est. La forme de la formule (p (q r)) est conjonctive, et celle de la formule ( p q) disjonctive. Ses connecteurs principales sont et, respectivement. La formule (p q) est pour sa forme une négation ; son connecteur principale est. Les formules p et q sont atomiques pour leur forme ; ils n ont pas de connecteur principal. On voit que la forme d une formule est déterminée par le connecteur (s il y a un tel connecteur, cf le cas des formules atomiques) qui était le dernier à être appliqué quand on a construit la formule en question selon les règles syntaxiques. C est cet connecteur qui est appelé le connecteur principal de la formule. 6 6 Sous-formule Les sous-formules de la formule (p q) sont p, q, (p q) et la formule (p q) elle-même, et celles de la formule ( (p q) r) sont p, q, r, r, r, r, (p q), (p q) et la formule ( (p q) r) elle-même. Pour définir le concept de sous-formule de façon générale, on a plusieurs possibilités. On peut dire qu une sous-formule d une formule A est une suite des symboles qui apparaît dans A et qui est elle-même une formule selon les critères syntaxiques. 2 Une autre caractérisation : les sous-formules d une 2 Notez bien qu on pourrait en principe finir par définir le concept de sous-formule de façon moins fortunée ; le résultat pourrait être qu il y a des sous-formules dans cet sens qui ne sont pas de formules. Le fait simple qu on utilise le mot sous-formule ne guarantit pas que tous les objets appelés sous-formules sont aussi des formules! Une analogie : Il y a des diables de Tasmanie (latin Sarcophilus harrisii). Il ne s ensuit pas qu il y a aussi des diables : les diables de Tasmanie ne sont pas des diables. Si par exemple on adopterait la définition que toute suite des symboles consécutifs dans une formule constitue une sousformule, on aurait des sous-formules qui ne sont pas des formules : dans ce cas par exemple
7 formule A sont les formules qui apparaissent dans son arbre syntaxique. Et une troisième caractérisation (cette fois-ci une caractérisation qui utilise une définition récursive 3 du concept auxiliaire de la «sous-formule immédiate») : Si (C D) est une formule, C et D sont ses sous-formules immédiates (ici peut être, ou ) ; si C est une formule, C est sa sous-formule immédiate ; les atomes comme p n ont pas des sous-formules immédiates. Puis les sous-formules simpliciter d une formule A peuvent être définies comme suit : A est sa propre sous-formule ; les sous-formules immédiates de A sont de ses sous-formules ; et les sous-formules immédiates des sous-formules de A sont toujours des sous-formules de A. 7 Une note sur la règle (iv) de la syntaxe On retourne aux règles utilisées pour définir la syntaxe. Les définitions de ce type sont appelées récursives ou inductives. À première vue il peut sembler que cette définition est circulaire de quelque manière. Quelle est la différence entre notre définition de la syntaxe et la définition suivante en effet circulaire de «chien» : (1) Les petits des chiens sont des chiens. (2) Rien n est un chien qui n est pas reconnu comme chien par (1). Ou autrement dit : Un chien est ce qui est un petit des chiens. Si on ne connaît pas encore la signification de «chien», cette définition ne nous aidera pas à l apprendre. Pourquoi la définition de la syntaxe de la logique propositionnelle n est pas circulaire de même façon? Parce que cette définition procède des formules plus simples au début, des atomes propositionnelles vers des formules plus complexes. Par exemple, pour appliquer la règle (ii), (ii) Si A est une formule, alors A est une formule, p serait une sous-formule de la formule (p q). Mais manifestement p n est pas une formule de la logique propositionnelle. 3 Pour les définitions récursives, voir la Section 7 ci-dessous.
8 la formule A à laquelle on applique la règle est plus simple que la formule A qui résulte de l application de la règle la première est obtenue à partir des atomes propositionnelles dans un nombre d étapes strictement plus petit que la dernière. Par exemple, si A = (p q), alors A = (p q) et A est obtenu des atomes dans une seule étape tandis que A est obtenu des atomes dans deux étapes. La définition serait circulaire s il n y aurait pas de différence quelconque de type entre les formules auxquelles les règles s appliquent et les formules qui sont obtenues par ces applications. Avec les chiens on avait cette situation ; les règles ne spécifient pas de différence entre les chiens auxquels les règles s appliquent et les chiens qui résultent de ces applications. On pourrait faire disparaître la circularité de la définition de «chien» en la modifiant comme suit : (1) Aaron, Bonnie, César et Dina sont des chiens. (2) Les petits des chiens sont des chiens. (3) Rien n est un chien qui n est pas un chien selon les règles (1) et (2). Dans ce cas les chiens auxquelles la règle (2) est appliquée sont plus proches des chiens ancestrals c-à-d Aaron, Bonnie, César et Dina dont le statut canin est simplement stipulé par la règle (1) que l animal qui est reconnu comme chien par l application de la règle (2). Par exemple, si on applique (2) à Médor et Mona qui sont des petits de César et Bonnie et de Aaron et Dina, respectivement, le statut canin de ces deux animaux Médor et Mona est guaranti dans une seule étape. Si Médor et Mona ont un petit, Napoléon disons, alors il faut deux étapes à guarantir son statut. L arbre de construction d un chien selon la définition ci-dessus consiste à spécifier son pedigree ou son arbre généalogique. Les définitions récursives ou inductives comme celle de la syntaxe de la logique propositonnelle ou celle de «chien» ci-dessus consistent à attribuer une propriété 4 à un objet si cet objet peut être construit à partir des objets plus simples avec la même propriété, en fin de compte à partir des 4 Des exemples des telles propriétés sont être une formule, ou bien être un chien dans notre exemple introduit pour illustrer et non pas pour réellement capturer la classe des chiens qui existent ou ont existé ou vont exister.
9 objets dont on a simplement stipulé qu ils possèdent cette propriété. 8 Représentation logique des énoncés de la langue naturelle Pour pouvoir discuter des arguments exprimés, disons, en français, il faut pouvoir discerner les aspects des énoncés utilisés qui sont pertinentes pour la question si l argument est valide : faire la distinction entre les composants logiques et les composants non logiques. Quand on utilise la logique propositionnelle pour discuter des arguments, il s agit de discerner la «structure logique» de l énoncé en termes de connecteurs,, et (ou en termes de connecteurs qui peuvent être définis en utilisant ces quatre connecteurs). 5 Pour représenter un énoncé de la langue naturelle en logique propositionnelle pour le traduire dans la logique propositionnelle il faut commencer par discerner quels composantes de l énoncé peuvent être traités comme atomiques ; il s agit des composantes dont la structure n est pas pertinente pour la question de la validité. On va établir un lien entre ces composantes et ses représentations dans la logique propositionnelle. Parce que les composantes sont considerés non-analysés, on peut utiliser des atomes propositionnels pour les représenter. (Rappelons que les atomes propositionnels sont les expressions du langage de la logique propositionnelle qui manquent de structure.) Pour exprimer un tel lien on utilise une clé de traduction. Par exemple, pour traduire l énoncé «Si Jean a fait un exposé et assisté à une réunion, il est fatigué», 5 Par exemple la disjonction exclusive peut être définie en utilisant la disjonction inclusive ( ), la conjonction ( ) et la négation ( ) comme suit : pour tous les énoncés A et B, on peut stipuler que (A B) est une abbreviation de ((A B) ( A B)). Cela est possible parce qu en effet (A B) avec sa sémantique spécifiée est équivalent à ((A B) ( A B)), pour tout énoncé A et B. Puisqu une telle définition est possible, on peut éviter d avoir la disjonction exclusive parmi les connecteurs primitifs de notre langage. (Effectivement on n avait pas inclus parmi les connecteurs explicitement donnés par la syntaxe de la logique propositionnelle.) La question de l interdéfinissabilité des connecteurs sera discutée systématiquement plus tard pendant ce cours.
10 on note que les composantes qui peuvent être vus comme non-analysés sont «Jean a fait un exposé», «Jean a assisté à une réunion» et «Jean est fatigué». On commence alors par introduire une clé de traduction : p : Jean a fait un exposé q : Jean a assisté à une réunion r : Jean est fatigué (On pourrait bien sûr, sans aucun problème, utiliser des autres atomes propositionnels au lieu de p, q et r par ex. p 1, p 5 et p 127 et on pourrait aussi utiliser des autres types de lettres, disons A, B et C. Si on utilise les atomes propositionnelles [écrits en bas de casse], il devient complètement clair qu on traite les énoncés français en question comme non-analysés). Une fois que la clé de traduction est établie, on peut exprimer la forme logique de l énoncé «Si Jean a fait un exposé et assisté à une réunion, il est fatigué» en termes de cette clé de traduction comme suit : ((p q) r). En cherchant une représentation appropriée on s intéresse aux conditions de vérité de ces phrases, ce qu elles expriment ; on n exige pas que la syntaxe de la représentation reflète la syntaxe de la phrase représentée. Par exemple ici, à proprement parler la formule ((p q) r) est la traduction de l énoncé français «Si Jean a fait un exposé et (si) Jean a assisté à une réunion, alors Jean est fatigué». Cet dernier diffère de l énoncé original : ici on a répeté «Jean» trois fois tandis que l énoncé original utilise une convention qui permet à raccourcir le texte «Jean a fait un exposé et Jean a assisté» devient «Jean a fait un exposé et assisté» ; l original utilise également le pronom «il» dans le conséquent ; et évite le mot inutile «alors». Cependant la formule ((p q) r) est conçue comme une traduction de tous les deux énoncés «Si Jean a fait un exposé et assisté à une réunion, il est fatigué» et «Si Jean a fait un exposé et (si) Jean a assisté à une réunion, alors Jean est
11 fatigué» puisque les deux disent la même chose, ils expriment le même contenu, ils sont vrais dans les mêmes circonstances et faux dans les mêmes circonstances. 9 Sémantique La sémantique d une logique associe une signification à ses formules et explique les conditions qui rendent les formules vraies ou fausses. Il faut ajouter la sémantique aux expressions linguistiques données par la syntaxe pour pouvoir utiliser la logique pour exprimer quelque chose. La plupart de la sémantique de la logique propositionnelle a déjà été spécifiée : en effet les tables de vérité précisent les significations des connecteurs, en expliquant comment la valeur de verité d une formule avec telle-et-telle forme dépend des valeurs de verité de ses composants immédiats. Si on rappelle que les connecteurs de la logique propositionnelle sont vérifonctionnels c-à-d la valeur de vérité d une formule complexe est déterminée en fonction des valeurs de vérité de ses composants immédiats (dont les valeurs de vérité, à leur tour, sont déterminées en fonction de ses composants immédiats, etc.) il s ensuit que pour déterminer la valeur de vérité d une formule il suffit de connaître les valeurs de vérité de ses composants les plus simples : les valeurs de vérité de ses composants atomiques. Par exemple, si A est une formule de la logique propositionnelle et les seuls atomes propositionnels qui apparaissent dans A sont p et q, alors il est suffisant de connaître les valeurs de vérité de p et q pour connaître aussi la valeur de vérité de A. (Il n est pas difficile de se convaincre, par exemple, qu il est totalement non pertinent de connaître la valeur de vérité de l atome r pour savoir si ou non l énoncé (p q) est vrai ou faux tout ce qui compte est de connaître la valeurs de vérité de p et celle de q.) Ce qu il faut encore faire pour pouvoir spécifier la sémantique de la logique propositionnelle est d expliquer le cadre conceptuel utilisé pour discuter les valeurs de vérité des formules. L idée cruciale est que les formules comme les énoncés de la langue naturelle sont évalués ou considérés dans un contexte ou dans une situation. C est le contexte qui détermine les valeurs
12 de vérité des énoncés atomiques et de ce fait, par vérifonctionnalité, aussi les valeurs de vérité de tous les énoncés construits à partir de ces atomes conformément aux règles syntaxiques. 10 Situations Introduisons le concept de situation comme suit ; j utilise l expression «situation» rélativement explicative pour désigner ce qu on appelle souvent une valuation des atomes propositionnels, et ce qu on pourrait également appeler un scénario ou un monde possible ou un contexte ou un modèle ou une réalisation. Pour identifier une situation, tout ce qu il faut faire est d indiquer, pour tout atome propositionnel (parmi les atomes propositionnels pertinents), une valeur de vérité (vrai, faux). Si par exemple on n a que deux atomes p et q, alors il y a quatre situations possibles en termes de ces atomes : p vrai, q vrai p vrai, q faux p faux, q vrai p faux, q faux. Si un seul atome p nous intéresse, il n y a que deux situations possibles en termes de cet atome : p vrai p faux. Si on a trois atomes p, q et r, alors il y a huit situations pertinentes : p vrai, q vrai, r vrai p vrai, q vrai, r faux p vrai, q faux, r vrai p faux, q vrai, r vrai p vrai, q faux, r faux p faux, q vrai, r faux p faux, q faux, r vrai p faux, q faux, r faux.
13 Généralement, n atoms propositionnels donnent lieu à 2 n situations différents : 4 atomes, 16 situations ; 5 atomes, 32 situations ;... ; 10 atomes, 1024 situations ;... ; 15 atomes, 32768 situations ; etc. (Les exemples qu on discute pendant ce cours utiliseront au plus trois atomes propositionnels.) Dans la logique propositionnelle, nous nous intéressons à la question «Quelle est la valeur de vérité d une formule donnée dans une situation donnée?», c-à-d les formules sont évaluées rélativement aux situations. Autrement dit, la sémantique de la logique propositionnelle sert à spécifier les concepts de «vérité dans une situation» et «fausseté dans une situation». Les énoncés comme les énoncés de la langue naturelle sont toujours évalués dans des contextes particuliers. Pour la logique propositionnelle ce sont les situations qui sont des contextes pertinents. Ou, toute information contextuelle pertinente pour l évaluation d une formule de la logique propositionnelle est celle donnée par une spécification d une situation. On pourrait imaginer qu on était donné contextuellement tout type d information par exemple non seulement l information sur la vérité ou la fausseté des atomes propositionnels mais aussi d information sur les personnes qui utilisent la langue, d information sur les lois physiques qui conditionnent le contexte de l évaluation etc. Une petite partie de toute cette information serait suffisante pour discuter les énoncés de la logique propositionnelle, à savoir la spécification des valeurs de verité des atomes propositionnels mentionnés. Le fait que les connecteurs de la logique propositionnelle sont vériconditionnels implique qu une fois une situation est spécifiée, aussi les valueurs de vérité de tous les formules complexes sont determinées relativement à cette situation. Il suffit de donner une situation fixer les valeurs de vérité des atomes propositionnels pour déterminer quelles formules sont vraies dans cette situation et quelles sont fausses. Pour trouver la valeur de vérité d une formule complexe, on peut tout simplement appliquer les tables de vérité des connecteurs appropriés dans la situation particulière dans laquelle on veut évaluer la formule. Disons qu on veut savoir quelle est la valeur de vérité de la formule ( p q) dans la situation où
14 p est vrai et q est faux. Parce que p est vrai, selon la table de vérité de la négation p est faux. On note que jusqu ici on a vu que p et q sont faux tous les deux, ce qui implique, par la table de vérité de la disjonction (inclusive), que ( p q) est faux. Il s ensuit, par la table de vérité de la négation, que ( p q) est vrai dans la situation en question (c-à-d dans la situation où p est vrai et q est faux). De cette façon les valeurs de verité spécifiques de p et de q ont donné lieu à la valeur de vérité spécifique de la formule ( p q). On peut exposer ces considérations de façon succincte comme suit : p q p ( p q) ( p q) vrai faux faux faux vrai 11 Signification d une formule Les tables de verité des connecteurs permettent donc à déterminer les valeurs de verité des formules complexes dans des situations données. Qui plus est, elles peuvent aussi être utilisées pour spécifier la signification d une formule complexe, c-à-d pour exprimer comment la valeur de vérité d une formule complexe dépend de son contexte d évaluation comment sa valeur de vérité dépend de la situation dans laquelle on évalue la formule. Cela est tout simplement achevé en dessinant une table de vérité de cette formule, 6 de façon indiquée par l exemple suivante. Voilà la table de vérité de la formule ( p q) dont on vient de déterminer (voir les notes pour la séance 5) la valeur de vérité dans une situation particulière. 6 Jusqu ici on a parlé des tables de vérité des connecteurs ; maintenant on généralise cet concept et on explique ce qui est une table de vérité d une formule.
15 p q p ( p q) ( p q) vrai vrai faux vrai faux vrai faux faux faux vrai faux vrai vrai vrai faux faux faux vrai vrai faux Cette table indique comment la valeur de vérité de la formule ( p q) est determinée en fonction de la situation dans la quelle on l évalue. On observe qu une ligne de la table représente les valeurs de vérité des formules considerées dans une seule et même situation ; la situation en question est spécifiée par les valeurs de vérité y associées aux atomes propositionnels. On note que la deuxième ligne représente la situation particulière qu on vient de considérer. Les trois autres lignes représentent les autres situations qui sont possibles en termes des atomes propositionnels p et q. La dépendence de la valeur de vérité de la formule ( p q) des valeurs de vérité de p et de q peut être résumée par la table ci-dessous : p q ( p q) vrai vrai faux vrai faux vrai faux vrai faux faux faux faux La table de vérité d une formule complexe spécifie sa signification : les lignes de la table correspondent aux situations pertinentes (toute situation pertinente est représentée par exactement une ligne) et la valeur, vrai ou faux, associée à la formule complexe à cette ligne exprime sa valeur de vérité dans la situation en question. 12 Vérité On a déjà beaucoup parlé de «vérité» et de «fausseté». Vérité et fausseté sont des attributs des énoncés (ou des propositions, il s agit des caractéristiques de ce qui est exprimé par un énoncé). Dire qu un énoncé est vrai
16 est d exprimer qu une certaine relation obtient entre l énoncé et le monde, et dire qu il est faux est d exprimer que cette relation n obtient pas. Quelle relation? Un certain type de relation de correspondence : que le monde est tel que l énoncé affirme qu il est. La signification d un énoncé est liée à ses conditions de vérité. Connaître la signification d un énoncé consiste de savoir quelles sont les circonstances dans lesquelles il est vrai. Comme l exprime Wittgenstein (Tractatus 4.024), «Comprendre une proposition, c est savoir ce qu il advient si elle est vraie». Les conditions de vérité d un énoncé sont simplement les circonstances ou les situations dans lesquelles cet énoncé est vrai. À l exception des énoncés très particuliers, tout énoncé divise la totalité de toutes les circonstances imaginables en deux parties : celles dans laquelle l énoncé est vrai et celles dans laquelle il est faux. (Les énoncés qui sont toujours faux, comme «Il pleut et il ne pleut pas ici à ce moment-là», et les énoncés qui sont toujours vrais, comme «Il pleut ou il ne pleut pas ici à ce moment-là», sont les exceptions.) La première partie d une telle division consiste en conditions de vérité de l énoncé. 13 Conséquence logique Commençons par définir le concept de la conséquence logique : Conséquence logique : B est une conséquence de A (symboliquement : A B) si B est vrai dans toute situation dans laquelle A est vrai. Remarque 1 : Il est immédiat par cette définition que B est une conséquence logique de A si et seulement si l argument suivant est valide : 1. A 2. Donc : B.
17 Remarque 2 : Il est également clair que l argument 1. A 1 2. A 2. n. A n n + 1. Donc : B. est valide si est seulement si la formule B est une conséquence logique de la formule conjonctive (A 1... A n ), c-à-d si est seulement si (A 1... A n ) B. Remarque 3 : Le concept de la conséquence logique (A B) n est pas à confondre avec celui de l implication matérielle (A B) : est un connecteur de la logique propositionnelle ; ne l est pas. L expression (A B) est évaluée relativement à une situation, et elle sert à effectuer une affirmation sur cette situation, comme toute formule de la logique propositionnelle effectue une affirmation sur la situation par rapport à laquelle on l évalue. (Si la formule est vraie dans la situation, on peut dire qu elle offre une description partielle de la situation.) L expression (A B) n est pas évaluée relativement à une situation. En revanche, elle est une expression «métalogique» qui sert à effectuer une affirmation sur la totalité de toutes les situations. Cette expression affirme que l ensemble des situations qui rendent vrai A est contenu dans l ensemble des situations qui rendent vrai B, c-à-d que tout situation qui rend vrai A est une situation qui rend vrai B. Il existe le lien suivant entre l expression local (A B) et l expression global (A B) : Fait : (A B) si et seulement si (A B) est vrai dans toute situation. 7 7 Si on exprime cet fait en utilisant une terminologie qui sera définie plus tard (pendant la séance prochaine) cela devient : (A B) si et seulement si (A B) est une tautologie.
18 Pourquoi on a cet lien entre et? Voilà un argument. Il faut qu on se convainque de deux choses : [1] (A B) si (A B) est vrai dans toute situation ; et [2] (A B) seulement si (A B) est vrai dans toute situation. Commençons avec [2]. Dire «(A B) seulement si (A B) est vrai dans toute situation» est une autre manière de dire «si (A B), alors (A B) est vrai dans toute situation». Assumons donc que (A B), et on verra si cela suffit pour conclure que la formule (A B) est vrai dans toute situation. Soit s une situation quelconque. Il y a deux possibilités : soit A est vrai dans s ou non. Si A est vrai dans s, alors aussi B est vrai dans s parce qu on avait assumé que B est une conséquence logique de A. Donc, par la signification de l implication matérielle la formule (A B) est vrai dans s. Si, en revanche, A n est pas vrai dans s (c-à-d, si A est faux dans s), alors par la signification de l implication matérielle la formule (A B) est vrai dans s. Il s ensuit que la formule (A B) est vrai dans toute situation (on n avait rien assumé de s sauf qu elle est une situation). On peut conclure que la condition [2] tient. Et [1]? Assumons que la formule (A B) est vrai dans toute situation, et on verra si cela suffit pour conclure que B est une conséquence logique de A. Pour que B soit une conséquence logique de A, il faut que B soit vrai dans toute situation dans laquelle A est vrai. Soit s une situation quelconque dans laquelle A est vrai ; on verra en particulier si B est vrai dans s. On a assumé que (A B) est vrai dans toute situation. Donc (A B) est vrai dans s. Mais aussi A est vrai dans s. Il s ensuit par la table de vérité de que B est vrai dans s. (Une implication matérielle vraie dont l antécedent est vrai ne peut pas avoir un conséquent faux.) Parce qu on n avait rien d autre assumé de s qu il rend A vrai, on peut conclure que B est vrai dans toute situation dans laquelle A est vrai, c-à-d, qu on a (A B). La condition [1] tient.