introduction Chapitre 5 Récursivité Exemples mathématiques Fonction factorielle ø est un arbre (vide) Images récursives

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Ange Cousineau
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1 introduction Chapitre 5 Images récursives http ://univ-tln.fr/~papini/sources/flocon.htm Récursivité Image qui se contient elle-même 1 Exemples mathématiques Nombres entiers 0 est un entier Le successeur d un entier est un entier 0! = 1 Fonction factorielle Arbres ø est un arbre (vide) t 1 et t 2 : des arbres, structure de nœud avec 2 fils t 1 et t 2 : arbre pour n > 0, n! = n * (n -1)!

html Image qui se contient elle-même 1 Exemples mathématiques Nombres entiers 0 est un entier Le successeur

2 Fonction factorielle itérative fonction fact ( n : entier ) : entier données : i, f : entier i 1 f 1 tant que ( i n) faire f f*i i i+ 1 tq retourner (f) 0! = 1 1! = 1 2! = 1 *2 3! = 1 * 2 * 3 Factorielle récursive si n = 0 alors n! = 1 si n > 0 alors n! = 1 * 2 * * (n-1)*n n! = (n-1)! * n 5 Fonction factorielle récursive Appels récursifs de fact (3) fonction fact ( n : entier ) : entier données : vide si ( n = 0 ) alors retourner ( 1 ) retourner ( n * fact (n-1) ) n = 3 3 * fact (2) n = 2 2 * fact (1) n = 1 3 * 2 1 * fact (0) n = 0 2 * 1 1 * 1 1

3 Structure d une fonction récursive fonction REC (.. ) : type_val données :.. si ( ) alors condition d arrêt.. REC (.. ) appel récursif retourner ( val ) REC ( n) Fonction récursive Condition d arrêt sur n Appel récursif de REC avec n plus petit par ex REC ( n-1) 9 Indécidabilité de la récursivité Puissance de la récursivité Gödel et Turing (1930) : Impossibilité de trouver un programme capable de tester si une fonction récursive termine son calcul Possibilité de déir un ensemble ini d objets à partir d un nombre i d instructions Tout algorithme récursif a un équivalent itératif Algorithmes récursifs : succints et plus simples

. ) appel récursif retourner ( val ) REC ( n) Fonction récursive Condition d arrêt sur n Appel récursif de REC avec n plus petit par ex REC ( n-1) 9

4 Fonction somme récursive fonction somrec(t : tab, n : entier) : réel données : S : réel si (n = 0) alors S 0 S somrec ( t, n-1) + t [n] retourner ( S ) Somme récursive S(t, 4) S(t, 3) + t[4] S(t, 3) S(t, 2) + t[3] 1 2 S(t, 2) S(t, 1) + t[2] 1 S(t, 1) S(t, 0) + t[1] S(t, 0) 0 13 Somme itérative 1 S 0 Somme itérative fonction somit (t : tab, n : entier) : réel données : S : réel, i : entier S 0 i 1 tantque (i n) faire S S + t[i] i i+ 1 tq retourner ( S ) S S + t[1] 1 2 S S + t [2] S S + t [3] S S + t [4]

S(t, 0) + t[1] S(t, 0) 0 13 Somme itérative 1 S 0 Somme itérative fonction somit (t : tab, n : entier) : réel données : S : réel, i :

5 Complexité : T P = 2 * n + 1 Récursivité vs itération fonction somrec (t : tab, n : entier) : réel données : S réel si (n = 0) alors 1 opérations S 0 2 * n opérations S somrec (t, n-1) + t [n] retourner ( S ) fonction iteration (...) : tantque (condition) faire instructions. tq 17 Récursivité vs itération onction recursion (...) :. ébut si (condition) alors instructions. recursion ( ) in Appel récursif 1 fonction afficherec (n : entier) données : vide si (n = 0) alors ecrire(n) ecrire(n) afficherec (n-1)

..) : tantque (condition) faire instructions. tq 17 Récursivité vs itération onction recursion (...) :. ébut si (condition) alors instructions.

6 Appel récursif 2 fonction afficherec (n : entier) données : vide si (n = 0) alors ecrire (n) afficherec (n-1) ecrire (n) Algorithme de tri rapide C. A. R. Hoare 1960 algorithme de tri récursif performant stratégie : diviser pour résoudre Tri rapide d un tableau : partition en 2 sous-tableaux tri indépendant des 2 sous-tableaux 21 Partition en 2 sous-tableaux partition du tableau t selon 3 conditions : 1) il existe i tel que t[i] est bien positionné 2) tous les éléments t[g],, t[i-1] sont inférieurs ou égaux à t[i] 3) tous les éléments t[i+1],, t[d] sont supérieurs ou égaux à t[i] Algorithme de tri rapide Tri d un tableau d entiers t par ordre croissant indice inf : g indice sup : d On considère un pivot p t < p p p g m d 2 appels récursifs de tri rapide

2 sous-tableaux partition du tableau t selon 3 conditions : 1) il existe i tel que t[i] est bien positionné 2) tous les éléments t[g],, t[i-1] sont inférieurs ou égaux à t[i] 3) tous les

7 t Version : 1 sentinelle indice inf : g g indice sup : d On considère un pivot p < p p p m d Algorithme : version 1 fonction trirapide ( t : tab, g, d : entier) données: m, i, p : entier si (g < d ) alors p t[g] m partition (t, g, d, p) trirapide ( g, m-1) trirapide ( m+1, d) 25 version 1 : Algorithme de la fonction partition fonction partition (t: tab, g, d, p : entier) : entier données : i, m, x : entier m g i g+1 tantque (i d) faire si (t[i] < p) alors m m+1 echanger (t[m], t[i]) i i+1 tq echanger (t[m], t[g]) fonction partition (t : tab, g, d, p : entier) : entier données: i, m, x : entier m g i g+1 tantque (i d) faire si (t [i] < p) alors m m+1 x t[m] échange de t[m] et de t[i] t [m] t [i] t [i] x i i+1 tq x t[m] t [m] t[g] échange de t[m] et de t[g] t [g] x

données : i, m, x : entier m g i g+1 tantque (i d) faire si (t[i] < p) alors m m+1 echanger (t[m], t[i]) i i+1 tq echanger (t[m], t[g]) fonction partition (t : tab, g, d, p : entier) : entier

8 t Version : 2 sentinelles g i indice inf : g indice sup : d On considère un pivot p < p p p i=j d j fonction trirapide ( t : tab, g, d : entier) données : i, j, p, x : entier si (g < d ) alors p t[g] i g j d tant que ( i < j ) faire tant que ( t [i] < p ) faire i i+1 tq tant que ( t [j] > p ) faire j j-1 tq si (i < j) alors echanger(t[i], t[j]) tq echanger(p, t[j]) trirapide ( g, j-1) trirapide ( j+1, d) 29 fonction trirapide ( t : tab, g, d : entiers) données : i, j, p, x : entiers si (g < d ) alors p t[g] i g j d tant que ( i < j ) faire tant que ( t [i] < p ) faire i i+1 tq tant que ( t [j] > p ) faire j j-1 tq si (i < j) alors x t[i] t[i] t[j] t[j] x tq x t[j] t[j] p p x trirapide ( g, j-1) trirapide ( j+1, d) Objets récursifs Objets faisant référence à eux mêmes Structure de données récursives Spécifications: nœud : < valeur, gauche : nœud, droit : nœud> Exemple : Construction du type Noeud Structure(valeur : T, gauche : Ref(Structure), droit : Ref(Structure)) Donner le nom Noeud à Structure(valeur : T, gauche : Ref(Structure), droit : Ref(Structure))

j+1, d) 29 fonction trirapide ( t : tab, g, d : entiers) données : i, j, p, x : entiers si (g < d ) alors p t[g] i g j d tant que ( i < j ) faire tant que ( t [i] < p ) faire i i+1 tq tant que ( t

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