Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 1

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1 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o Corrigé exercices8et9 8. On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B,S) à trois étapes. On suppose que S = C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u =, etd =,9. Le rendement non-risqué sur chaque période est r = %. a. Décrire la dynamique de S à l aide d un arbre et donner la probabilité de martingale. b. Un trader vend un put européen de prix d exercice K = C et commence ses opérations de couverture delta-neutre. Déterminer le prix du put à la date t =. c. On suppose que l actif sous-acent subit deux baisses consécutives puis une hausse : détailler les opérations e ectuées par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S il s agissait d un put américain, l acheteur aurait-il intérêt à exercer son put de manière anticipée? a. et b. On reproduit dans la figure ci-dessous la dynamique du sous-acent et les prix du put européen aux di érents nœuds de l arbre CRR. Ces prix peuvent s obtenir comme les espérances actualisées du pay-o. Les espérances sont calculées avec la probabilité de martingale q : et la prime à t =est q =,,9,,9 = 3 5 p =,985 C. 6,6 4,,985,3353 8,8393 9,8,8549 6, 3,478,78 7,8,8 4,58 5,4 Précisons un peu les calculs pour le put. Les probabilités des di érents chemins issus des nœuds de l arbre et aboutissant au pay-o sont données par des lois binomiales B(n, q) avecn =, ou 3. Àladatet =: p = Àladatet =, en cas de hausse (nœud S = ) : et en cas de baisse (nœud S = 8) : p d = (,) 3 3q( q),8 + ( q) 3 5,4 =,985 C. p u = (,) ( q),8 =,3353 C (,) q( q),8 + ( q) 5,4 =,8393 C - michel miniconi version du 5 février

2 Àladatet = et en cas de double hausse (au nœud S = 4,), le prix du put est évidemment nul. En cas d un mouvement hausse-baisse ou baisse-hausse (au nœud S = 9,8), le put vaut p ud = ( q),8 =,8549 C, et en cas de double baisse (nœud S = 6,) la valeur du put est : p dd =, q,8 + ( q) 5,4 =3,478 C c. Le trader est vendeur, il couvre donc sa position en achetant le portefeuille de réplication. À t =:ledeltaduputest,3353,8393 ' = =, Le trader vend (short),376 parts de sous-acent qui vaut à cette date C. Il encaisse donc la prime du put, p =,985 C, augmentée de,376 C, soit au total 8,4387 C qu il place sur le marché monétaire au taux r. À t = : le sous-acent a subi une baisse, il vaut maintenant 8 C ;ledeltaduputest ' =,8549 3,478 9,8 6, =,79. Le trader vend donc à nouveau (à découvert),79,376 =,333 parts de sous-acent ; il encaisse pour cette vente,333 8 = 5,9965 C qu il raoute à la somme déà investie à t = et actualisée à t =. Il possède désormais sur son compte monétaire 8,4387 ( + r)+ 5,9965 = 4,64 C. À t = : le sous-acent a subi une nouvelle baisse, il vaut maintenant 6, C ;ledeltaduputest ' 3 =,8 5,4 7,8 4,58 =. Le trader vend encore,79 =,98 parts de sous-acent au prix du marché, ce qui lui permet d encaisser,98 6, = 4,78 C qu il raoute à la somme totale actualisée investie à la date précédente. Il a maintenant sur son compte monétaire 4,64 ( + r)+ 4,78 = 9,678 C À t = 3 : le sous-acent est remonté, il vaut maintenant 7,8 C et il est dans la monnaie, l acheteur exerce le put. Le trader liquide son portefeuille qui vaut maintenant 9,678 ( + r)+( ) 7,8 =,8 C ce qui représente exactement le pay-o qu il doit verser à l acheteur. d. Examinons le cas du put américain, résumé sur la figure ci-dessous :,985 4,,3353 9,8 B, A (,993) 6, 3,8 (3,478) 6,6,78 7,8,8 4,58 5,4

3 Ces prix sont calculés de manière récursive descendante à partir du pay-o en utilisant à chaque étape [t, t + t] la formule : t = max (K S t ) +, B t E q(p t+ t S t ) où B t désigne le facteur d actualisation sur l intervalle temporel t. On recalcule les prix lorsque l option est dans la monnaie. Au noeud A l exercice anticipé est envisageable puisqu il rapporte 3,8 C alors que le prix risque-neutre du put n est que de 3,478 C. On a donc A = max(3,8; 3,478) = 3,8 C. Cependant, l exercice est aussi envisageable au noeud B. En e et, avec le prix américain en A le prix risqueneutre en B serait maintenant égal à (3/5), (/5) 3,8 /, =,993 C qui est inférieur aux deux euros que rapporterait l exercice. Le prix du put américain en B est donc B = max( ;,993) = C. La stratégie optimale consiste à exercer le put américain à la première occasion où l exercice est favorable. Le put américain sera donc exercé à t = si le sous-acent a subi une baisse, et il rapportera C. La prime du put est = (3/5), (/5) =,985 C., En revanche, si le sous-acent commence par une hausse, le put ne sera amais exercé avant l échéance. 9. Un trader a acheté le put européen précédent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. À la dernière étape la volatilité du sous-acent a soudain augmenté à l insu du marché : le facteur de hausse est maintenant u =,4 et le facteur de baisse d =,6. Ce mouvement de volatilité est-il favorable à l acheteur du put? La couverture a été constituée sous la volatilité initiale, le portefeuille correspondant est vendu. La position du trader à la date t = et selon les di érentes valeurs de S est résumée dans le tableau ci-dessous : À la date t = 3 le bilan est le suivant : S put parts sous-acent position en C 4, 9,8,555 -,7549 6, -9,678 S S 3 put acheté ptf vendu bilan 4, 9,8 6, 33,88 4,5 5,48 5,48 7,7 3,7 3,7,88 8, -5,45,67,68,68,68 9,7,8 -,8 Si la volatilité n avait pas augmenté, le bilan aurait été nul dans toutes les éventualités. Le mouvement de hausse de volatilité est donc favorable au trader. On pourra vérifier que la conclusion aurait été la même pour un call acheté et couvert. En cas de baisse de volatilité, la conclusion est inversée (put ou call). 3

4 Master IMEA Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. n o 3 Dans ces exercices, W désignera touours un processus de Wiener (brownien standard). Montrer que pour tout s>leprocessus(w t+s W s ) t est un brownien standard indépendant du processus (W t ) appletapples. Pour l indépendance, il s agit donc de montrer que pour des ensembles de dates t,t,...,t m > et < s,s,...,s n apple s quelconques, les vecteurs aléatoires (W t+s W s,w t+s W s,...,w tm+s W s ) et (W s,w s,...,w sn ) sont indépendants.. Soit X une variable normale N (; ) et une variable qui prend les deux valeurs et avec probabilité / pour chacune. On suppose que X et sont indépendantes. On pose Y = X. a. Montrer que Y N(; ). b. Montrer que les variables X et Y sont non-corrélées. c. Montrer que X et Y ne sont pas indépendantes. Le vecteur aléatoire (X, Y ) est-il gaussien? a. On cherche à déterminer la fonction de répartition de Y, F Y.Ona F Y (y) =P(Y apple y) =P( =,Y apple y)+p( =,Y apple y) =P( =,X apple y)+p( =, X apple y) et puisque et X sont indépendantes : F Y (y) = P(X apple y)+ P(X y). Par symétrie de la loi normale centrée, P(X y) =P(X apple y) donc F Y (y) =P(X apple y) =F X (y). Ainsi Y et X ont même répartition donc elles suivent la même loi, la loi normale N (; ). b. Comme les variables sont centrées on a Cov(X, Y )=E(XY )=E( X ) donc, en raison de l indépendance de ces deux variables : Cov(X, Y )=E( )E(X )= puisque est centrée. c. Il su t de trouver deux événements, l un associé à X, l autre à Y, qui ne sont pas indépendants. On va montrer que P(X apple,y apple ) 6= P(X apple )P(Y apple ). On conditionne à nouveau par la variable : donc P(X apple,y apple ) = P(X apple,y apple, = ) + P(X apple,y apple, = ) P(X apple,y apple ) = P(X apple,x apple, = )+P(X apple,x, = ) = P(X apple )+ P( apple X apple ). Or P( apple X apple ) = P(X apple ) donc si l égalité d indépendance était vérifiée, on aurait, en notant = P(X apple ) : + ( ) = i.e. 3 +=. - michel miniconi version du février

5 Cependant les solutions de cette dernière équation sont =/ et = : la première racine correspond à = P(X apple ), la seconde à = P(X apple). En particulier, cette égalité n est pas vérifiée par P(X apple ) ce qui entraîne que les variables X et Y ne sont pas indépendantes. Les variables X et Y sont normales, non-corrélées mais non-indépendantes. Si elles formaient un couple gaussien, elles seraient indépendantes. Le vecteur aléatoire (X, Y ) n est donc pas gaussien. 3. Soit T> un réel fixé. Pour tout entier positif n on considère une subdivision n = { =t n <t n <t n <...<t n N = T } de l intervalle [,T](l entiern dépend de la subdivision donc aussi de n). On suppose que le pas de la subdivision, n = max appleapplen (t n + t n ), tend vers lorsque n tend vers l infini. On rappelle que la somme P N = ( W + t n ) converge dans L vers la limite T. a. On considère les limites dans L et I =lim n S n avec S n = J =lim n T n avec T n = Calculer J I et I + J. En déduire la valeur de I et J. b. Vérifier que la suite de fonctions simples définie par approche f(t) =W t dans M T. En déduire la valeur de l intégrale f n (t) = = Z T = = ( + ) + ( + ). [t n,t n + [ (t) W s dw s. Redémontrons d abord le rappel sur la variation quadratique du brownien cité dans l énoncé. Par un calcul direct, en remarquant que T = P N = (tn + t n ): X n o ( + ) T = ( + ) (t n + t n ) N = = = n o + Xn on = ( + ) (t n + t n ) ( + ) (t n + t n ) ( k+ <k o ) (t n k k+ t n k). Posons =( + ) (t n + t n ), on a : X ( + ) T = N = = + X <k k. Les accroissements du brownien étant indépendants, centrés et de variance l accroissement temporel correspondant, on a E( k) =E( )E( k) =.

6 Par ailleurs E( ) =E ( + ) 4 (t n + t n )E ( + ) +(t n + t n ) et puisque les accroissements sont gaussiens, le moment d ordre 4 vaut 3(t n + t n ) et l on a E( ) = (t n + t n ). Finalement X ( + ) T = (t n + t n ) apple n (t n + t n )= n T!. N E = = = a. On a T n S n = ( + )! T = (convergence dans L )et S n + T n = (Wt n + = W t n )=W T. pour tout n. Ainsi J I = T et J + I = W T donc J = W T + T et I = W T T. b. Soit t fixé dans l intervalle [,T], il existe un indice tel que t [t,t + [. Alors D après la question a E (f n (t) W t ) = E ( W t ) = t t n apple n!. S n = Z T f n (s) dw s! I donc Z T W s dw s = I = W T T. 3