TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE. Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines

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1 Ensimag - 2éme année Mai 2010 TRAVAIL D ETUDE ET DE RECHERCHE Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines Anne-Victoire AURIAULT 1/48

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3 Cadre de l Étude Cette étude a été menée sous le tutorat d Hervé Guiol, au sein du laboratoire TIMC-IMAG, équipe TIMB. Cette équipe travaille sur l analyse et la modélisation de systèmes biologiques ou de problèmes médicaux, l analyse mathématique des modèles qui en résultent ainsi que leur simulation. Elle mène aussi une activité en Bioinformatique ayant pour objet l analyse exploratoire de données évolutives multidimensionnelles et le développement d outils logiciels pour la simulation des modèles ou l analyse statistique des données biologiques. Dans leurs analyses les membres de l équipe utilisent des théories qui appartiennent à différentes branches des mathématiques allant des processus stochastiques aux équations d évolution déterministes. J ai pu travailler dans ce laboratoire car certaines de ces méthodes sont très utilisées en Finance. L objectif principal de mon étude était de travailler sur la méthode des arbres binomiaux, une méthode numérique utilisée pour «pricer» des produits dérivés tels que les options américaines. Cette méthode n étant pas au programme du cursus Finance de l Ensimag, l étudier était un un moyen de complémenter ma formation tout en découvrant l univers de la recherche. 3/48

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5 Table des Matières Introduction I - Le Problème des Options II - Le Modèle de Cox-Ross-Rubinstein : Hypothèses et Notations III - Les trajectoires dans le modèle de Cox-Ross-Rubinstein IV - Options Européennes : Approche historique 1. Le Problème du Pricing a. Le cas le plus simple : L arbre à une période b. L intuition de la récurrence : L arbre à deux périodes c. Généralisation : Arbre à N périodes d. Le passage au continu : N tend vers l infini 2. Le Problème de la couverture 3. Implémentation - Résultats Numériques V - Le point de vue risque neutre : Introductions des notions. VI - Options Américaines 1. Calcul du prix par récurrence rétrograde 2. Cas particulier du Call Américain 3. Le Put Américain : Théorème d'arrêt Optimal 4. Stratégie de Couverture avec Consommation 5. Implémentation et Résultats Numériques VII - Techniques d amélioration de la convergence Conclusion Bibliographie 5/48

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7 Introduction Dans les années 70, la volonté politique de déréglementer les marchés financiers a rendu les taux d intérêt très volatiles et les taux de change instables. Dans cet environnement dérégulé, les entreprises industrielles et commerciales ont soudainement été soumises à des risques accrus. Pour les aider et plus généralement pour permettre aux compagnies d assurance et aux banques de couvrir ces nouveaux risques, ont été créés des marchés organisés, les autorisant à intervenir massivement pour échanger des produits les assurant contre les variations de taux de change par exemple. C est la naissance de nouveaux instruments financiers, dits produits dérivés. Les options d achat et de vente sont les prototypes de ces produits financiers. On distingue les options européennes ne pouvant être exercées qu à l échéance du contrat et les options américaines qui peuvent être exercées à n importe quel instant. Ces options sont dites vanilles, car ce sont les premières apparues, les plus répandues et les plus simples. Ces produits financiers ont un coût que l on appelle la prime. La détermination de cette prime représente un axe principal de la recherche en mathématiques financières. Pour les options européennes : Les travaux de F. Black et M. Scholes ont ouvert la porte à la détermination de formules exactes des prix. Pour les options américaines : les formules exactes ne sont pas encore déterminées et on a recours à des méthodes numériques. Ces dernières sont multiples et leur efficacité en terme de vitesse convergence et de précision varie en fonction du type de l option considérée. On peut citer les 3 méthodes suivantes qui sont les plus utilisées : - La méthode de Monte-Carlo qui consiste à générer de nombreuses trajectoires possibles de l actif sous-jacent, à calculer les valeurs terminales du produit dérivé pour chaque trajectoire, à prendre leur moyenne et à l actualiser. - La méthode des différences finies : qui consiste à discrétiser l EDP vérifiée par le produit financier considéré de manière à la résoudre comme un algorithme. - La méthode des Arbres Binomiaux que nous allons étudier dans ce rapport. La méthode binomiale, présente de nombreux avantages. L'interprétation financière de cette méthode est naturelle, elle est mathématiquement simple et les résultats obtenus lorsque l on applique cette méthode à des options européennes convergent vers ceux donnés par le modèle de Black-Scholes. Elle est en particulier très utile pour valoriser des produits pouvant être exercés avant échéance. 7/48

8 I - Le problème des Options Une option est une assurance qui donne à son détenteur le droit et non l obligation d acheter ou de vendre une certaine quantité d un actif financier à une date convenue et à un prix fixé à l avance. L'univers des options financières comprend un vocabulaire spécifique, et de nombreux anglicismes. Ces derniers sont indiqués car leur usage est plus fréquent que leurs traductions en français : - La nature de l option : On parle de Call pour une option d achat et de Put pour une option de vente. - L actif sous-jacent (the underlying) sur lequel porte l option : Ce peut être une action, une obligation, une devise, un indice boursier, une matière première - Le montant : La quantité d actif sous-jacent à acheter ou vendre. Pour simplifier on supposera ici que le montant de l option est 1. - L échéance (maturity) qui limite la durée de vie de l option. On distingue : Les Options Européennes : Options ne pouvant être exercée qu à l échéance ; Les Options Américaines : Options pouvant être exercée à n importe quel instant précédent l échéance. - Le prix d exercice (strike) : Prix (fixé d avance) auquel se fait la transaction en cas d exercice de l option. L option, elle-même, a un prix que l on appelle la prime. Lorsque l option est cotée sur un marché organisé, la prime est donnée par le marché. En l absence de cotation, le problème du calcul de la prime se pose. Et même pour une action cotée, il peut être intéressant de disposer d une formule ou d un modèle permettant de détecter d éventuelles anomalies de marché. La prime à l échéance : Il est facile de déterminer la prime à l échéance. Prenons par exemple le cas d un Call européen d échéance T sur une action dont le cours à la date t est donné par S t. Soit K le prix d exercice. Deux cas sont possibles en T : - ST < K : Alors le détenteur de l option n a pas intérêt à exercer. Le profit réalisé par le détenteur de l option est nul. - ST > K : Alors le détenteur de l option va exercer son droit d achat au prix K et réalisera un profit égal à (ST - K). 8/48

9 À l échéance la valeur du Call est donc donnée par : (S T K) + = max(s T K,0) Les deux problématiques liées aux options : On sait donc déterminer la valeur de l option à l échéance en fonction du cours de l action à l échéance. Or, Au moment de la vente de l option le cours ST est inconnu et deux questions se posent : 1. Le Problème du Pricing : Quel est le juste prix de l option? Autrement dit comment évaluer à l instant t=0 une richesse (ST date T? - K)+ disponible à la 2. Le Problème de la Couverture : Comment le vendeur d un Call, qui touche la prime à l instant 0, parviendra t-il à produire la richesse (ST - K)+ à la date T. 9/48

10 II - Le modèle de Cox-Ross-Rubinstein : Hypothèses et Notations Le marché financier que nous considérons est un marché financier idéaliste. On fait les hypothèses économiques suivantes : - Le marché est sans friction : Il n y a pas de coûts de transaction ; Il n y a pas d écart entre prix d achat et prix de vente (pas de fourchette bid-ask) ; Les titres négociables sont très liquides et indéfiniment fractionnables ; Il n y pas de restriction sur les ventes à découvert ; Il n y a pas d impôts ou taxes ; Les transactions sont instantanées ; Les participants du marché n influencent pas les prix par leurs achats et ventes ; L hypothèse de marché parfait est une hypothèse théorique, évidemment non satisfaite dans la pratique et qu il convient de considérer comme satisfaite en première approximation. Les modèles mathématiques plus élaborés que le modèle CRR cherchent parfois à s en affranchir. Mais il faut reconnaître que, pour l essentiel, on ne sait pas le faire aujourd hui de façon satisfaisante et qu il reste beaucoup à améliorer dans cette direction. - Il y Absence d Opportunité d Arbitrage (AOA) : On ne peut pas faire de profit sans prendre de risque. Autrement dit, il est impossible de gagner de l argent de façon certaine à partir d un investissement initial nul. C est l hypothèse la plus importante. - Les investisseurs sont insatiables. - On se place en temps discret. L intervalle [0,T] est découpé en N intervalles de longueur T N. - On suppose qu il n y a qu un seul actif à risque. On note Sn son prix à l instant n. On suppose que cet actif ne verse pas de dividendes. En fait, il existe des modèles analogues au modèle CRR qui autorisent la prise en compte de dividendes. - Il n y a qu un seul actif sans risque de rendement certain r sur une période. On note Rn son prix à l instant n. On a : Rn = (1+r) n 10/48

11 Les modèles plus élaborés font parfois l hypothèse d un taux d escompte r stochastique et on peut alors, moyennant le choix d un modèle mathématique pour la dynamique des taux, intégrer dans la probabilité de calcul, et donc dans l évaluation des prix d option par la formule fondamentale, la présence de taux variables. J. Cox, S. Ross, et M. Rubinstein ont proposé en 1979 de modéliser l évolution du prix d un actif risqué de la façon suivante : Entre deux périodes consécutives, la variation relative du cours est soit a, soit b avec 0<b<a<1 S n+1 = (1+ a)s n (1+ b)s n avec une probabilité p avec une probabilité (1-p) Revenons sur l hypothèse d Absence d Opportunités d Arbitrage et développons les conséquences qu elle a sur le modèle : L hypothèse d AOA permet de justifier les inégalités suivantes : b < r < a En effet comme r est le rendement de l actif non risqué durant un pas de temps, et comme b et a sont les deux rendements possibles de l actif risqué sur le même laps de temps, si l on avait b < a < r par exemple, on aurait une opportunité d arbitrage : Constitution du portefeuille n Dénouement n+1 Vente dʼun titre risqué à découvert S n Achat dʼun titre risqué - S n (1+a) ou - S n (1+b) Placement de S n -S n Fin du prêt S n (1+r) Total Portefeuille 0 Total Portefeuille S n (r-a) ou S n (r-b) On raisonnerait de façon analogue dans le cas r <b < a. 11/48

12 C est aussi un raisonnement d AOA qui entraîne l unicité du prix de l option. En admettant que l on ai une méthode qui nous donne le prix de l option en 0 : C 0. Pourquoi n y aurait-il pas une autre façon de s y prendre qui conduirait à un prix différent, disons un prix moindre par exemple que l on note ici C? En réalité ce n est pas possible car si tel était le cas, on emprunterait une somme C permettant d acheter l option au prix moindre et on vendrait l option C 0. On réaliserait ainsi une opération d arbitrage. Enfin une importante conséquence de l AOA est la relation de parité Call-Put pour les options européennes : Considérons un Call Ct et un put Pt souscrits sur le même actif sous-jacent St, de même date d échéance N et même prix d exercice K. On a la relation de parité Call-Put suivante : C n P n = S n K ( 1+ r) N n Remarque : Lorsque l actif sous-jacent verse des dividendes au taux q la relation de parité Call-Put pour les options européennes devient : C n P n = S n (1+ q) N n K ( 1+ r) N n 12/48

13 III - Les trajectoires dans le modèle de CRR Dans cette partie, nous nous intéressons à l impact des hypothèses faites dans le modèle de Cox Ross Rubinstein sur les trajectoires de l actif sous-jacent. La marche de CRR S n est définie par sa valeur initiale S 0 et la relation : S n+1 = US n où U { up,down} ( ln(s n )) n définit donc une marche aléatoire. Autrement dit, la marche de CRR est une marche aléatoire géométrique. On pressent dors et déjà le lien pouvant être fait entre le modèle de CRR et le modèle de Black-Scholes. En effet dans le modèle de Black-Scholes, l évolution du cours de l actif sous-jacent est modélisée par les trajectoires d un mouvement brownien géométrique. Or, le mouvement brownien géométrique peut être vu comme la limite continue d une marche aléatoire géométrique (Se reporter à [4] pages pour plus de détails). Nous reviendrons sur le lien existant entre ces deux modèles ultérieurement. On choisit ici : up = e σ N down = e σ N Avec ce choix, ( ln(s n )) n est une marche aléatoire sur σ N Ces relations seront justifiées plus loin. σ est une constante strictement positive appelée volatilité de l actif et N est le nombre d étapes. On note p la probabilité que l actif subisse un mouvement «upward». 13/48

14 Dans un premier temps on s intéresse à l allure générale de l arbre de CRR : On prend S 0 = 140, N=30, σ = 0.2 et p=1/2. On obtient l'arbre suivant : Figure 1 On voit que le prix de l actif sous-jacent prend des valeurs entre comprises 46.8 et euros. Voyons maitenant l impact d une augmentation de la volatilité sur les évolutions des cours de l actif sous-jacent : Pour σ = 0.4 on obtient : Figure 2 La volatilité passe de 20% à 40%. On observe que le prix de l actif sous-jacent prend des valeurs comprises entre 15.6 et On constate à partir de ces arbres que plus la volatilité de l actif est grande plus la variance de la loi de l actif sous-jacent est grande. 14/48

15 On souhaite à présent simuler un nombre M de trajectoires et en déduire des informations sur la loi de la Marche de Cox-Ross-Rubinstein : Pour S 0 = 140, N=500, M=100, σ = 0.2 et p=0.5 on obtient : Figure 3 Figure 4 Pour σ = 0.4 on obtient : Figure 5 15/48

16 Figure 6 Ces tests viennent confirmer que plus la volatilité est grande plus la variance de la loi du sous-jacent est grande. En effet on voit clairement sur les histogrammes que pour une volatilité de 20% le prix prend des valeurs comprises entre 60 et 260 alors que pour une volatilité de 40% le prix prend des valeurs comprises entre 20 et 500. Les histogrammes ont la forme d une cloche asymétrique qui rappelle l allure d une loi lognormale. Montrons que le prix l actif sous-jacent suit asymptotiquement une loi log-normale : On a S n+1 = US n. Posons : S n = exp( Y n ) où Y n = Y n + ln( U ) ; ln( U ) σ N ; σ Y n est une marche aléatoire. N Posons maintenant : Z n = N σ Y n + n. On a : Z n B 2n, p ( ) Pour simplifier posons p=0.5 Le théorème central limite entraîne que Z n N n, n 2 lorsque n est grand. D où quand n tend vers l infini : Y n N 0, σ 2 n 2N Donc S n est de loi log normale pour n grand. 16/48

17 IV - Options Européennes - Approche Historique Dans toute cette section on montrera les résultats pour un Call Européen sur Action. La généralisation à un Put étant immédiate grâce à la relation de parité Call-Put On considère donc dans toute cette section un Call de strike K. On se place sous les hypothèses du modèle de Cox-Ross-Rubinstein. On discrétise l intervalle [0,T] en N intervalles de même largeur. Les paramètres a b et p sont des données du problème. 1. Le Problème du Pricing On cherche à répondre au premier problème lié aux options : Quel est le juste prix de l option? a - Le cas le plus simple : Arbre binomial à une période On prend ici N=1. On note : S 0 le cours de l actif sous-jacent en 0 C 0 le prix du call en 0. C a le prix du call en 1 si l actif sous-jacent a subis une hausse. C b le prix du call en 1 si l actif sous-jacent a subi une baisse. R 0 un montant en cash et r le taux sans risque sur une période. L évolution du cours de l actif sous-jacent, du prix de l option et du cash peut être résumée dans le schéma suivant : (1+ a)s 0 (1+ r)r 0 S 0 C a R 0 C 0 (1+ b)s 0 Figure 7 (1+ r)r 0 C b On a vu dans la première partie de ce rapport qu à l échéance 1 la valeur du Call est donnée par S 1 K ( ) +. On connaît donc les valeurs Ca et Cb. On cherche la valeur de C0. 17/48

18 C est l hypothèse d absence d opportunité d arbitrage qui va nous permettre d obtenir cette valeur. Considérons qu en t=0 on achète une option et que l on vende à découvert d actifs sousjacents. Le prix du portefeuille évolue de la manière suivante : d(1+ a)s 0! C a ds 0! C 0 Figure 8 d(1 + b)s 0! C b Ce portefeuille est sans risque si : d(1+ a)s 0 C a = d(1+ b)s 0 C b Ce qui entraîne : d = C a C b S 0 (a b) Le portefeuille est sans risque il devrait donc être soumis au taux sans risque (AOA) et on devrait donc avoir la relation suivante : D où en remplaçant d par sa valeur dans le terme de droite : ds 0 C 0 = 1 1+ r C (1+ b) C a b (1+ a) a b V 0 = ds 0 C 0 = 1 1+ r V = 1 1 ( 1+ r d(1+ a)s C 0 a ) On remplace d par sa valeur dans le terme de gauche : C a C b a b C = r C (1+ b) C a b (1+ a) a b On obtient enfin : C 0 = 1 1+ r r b a b C + a r a a b C b 18/48

19 On a donc réussi à «pricer» un Call Européen. Les points suivants sont remarquables : - Le prix du Call en 0 ne dépend pas de la probabilité p qu a le sous-jacent de prendre de la valeur sur une période. Donc même si les investisseurs ont une analyse différente de l évolution du cours (pas la même probabilité p) cela naura pas d impact sur le prix du call en 0. - Aucune hypothèse n a été faite sur l attitude face au risque des investisseurs. - Enfin on pose : q = r b a b Si les investisseurs étaient «risque-neutres», c est à dire si les investisseurs n exigent aucune compensation pour le risque, on aurait la relation suivante : E(S 1 ) = p(1+ a)s 0 + (1 p)(1+ b)s 0 = (1+ r)s 0 ce qui entraîne p=q. On peut donc interpréter le prix du Call en 0 comme l espérance de ses valeurs futures dans un univers où les investisseurs sont risque-neutres. b -Intuition de la Récurrence : Arbre Binomial à Deux Périodes. On prend maintenant N=2. En conservant les même notations que pour le cas N=1 on peut résumer l évolution entre 0 et T du prix de l actif sous-jacent, du prix de l option et d un montant de cash dans le schéma ci-dessous : (1+ a)(1+ a)s 0 (1+ r) 2 R 0 (1 + a)s 0 C aa (1 + r)r 0 S 0 C a (1+ a)(1+ b)s 0 R 0 C 0 (1 + b)s 0 (1 + r)r 0 C b (1+ r) 2 R 0 C ab (1+ b)(1+ b)s 0 Figure 9 (1+ r) 2 R 0 C bb 19/48

20 D après le paragraphe précédent, on a : C a = 1 1+ r (q C a,a + (1 q) C a,b ) C b = 1 1+ r (q C b,a + (1 q) C b,b ) et C 0 = 1 1+ r r b a b C + a r a a b C b = 1 1+ r qc + (1 q)c a b ( ) D où en remplaçant : C 0 = 1 ( q 2 C (1 + r) 2 a,a + 2q(1 q) C a,b + (1 q) 2 C b,b ) c Généralisation à un arbre à N périodes. Par récurrence en remontant l arbre des feuilles vers la racine on obtient la formule générale suivante : 1 N N! C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j max ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K,0) j =0 Essayons de simplifier cette formule. On note m le nombre minimum de fois où l actif sous-jacent doit prendre de la valeur pour que le prix de l option à l échéance soit non nul Par exemple pour N=3 : si K = 50 alors m = si K = 57 alors m = Figure /48

21 1 N N! La formule C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j max ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K,0) devient : On peut la réécrire sous la forme suivante : N N! C 0 = S 0 j!(n j)! j = m j =0 1 N N! C 0 = (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j j = m q(1+ a) (1+ r) j (1 q)(1+ b) (1+ r) N j ((1+ a) j (1+ b) N j S 0 K ) K N N! (1+ r) N j!(n j)! q j (1 q) N j j = m On note φ la fonction : φ(m, N,q) = N j = m N! j!(n j)! q j (1 q) N j La formule s écrit alors : q(1 + a) C 0 = S 0 φ m, N, (1+ r) K φ m, N,q N (1 + r) ( ) Où q = r b a b [0,1] et m est le plus petit entier tel que (1+ a) m (1+ b) N m > K C est à dire, m est le plus petit entier tel que K ln S m > 0 (1+ b) N ln 1+ a 1+ b On a donc réussi à «pricer» un Call Européen à l aide d un simple raisonnement de récurrence sur le nombre de périodes. 21/48

22 A ce stade du rapport plusieurs objections peuvent être soulevées : Dans ce modèle le cours de l action ne peut prendre que deux valeurs différentes pendant une période de temps. Or, sur les marchés financiers le cours de l action évolue moins régulièrement. De plus, on considère ici que l achat ou la vente ne peut avoir lieu qu à un moment donné (par exemple une fois par jour) alors que dans la réalité achats et ventes se font en continu sur les marchés. Faire tendre N vers l infini, en modifiant les échelles, est le moyen de répondre à ces objections. C est ce que nous ferons dans le paragraphe suivant. d - Lorsque N tend vers l infini : Le passage au continu. Pour simplifier les notations dans cette section on notera r ce qui était noté 1+r dans les sections précédentes, a ce qui était noté 1+a et b ce qui était noté 1+b. Pour répondre aux objections levées dans le paragraphe précédent on veut faire tendre N vers l infini dans la formule obtenue. Pour ce faire nous devons faire quelques ajustements pour que la probabilité que le cours de l action bouge d un montant important sur une période très petite soit faible. C est à dire qu il faut ajuster les variables r, p, a et b de manière à ce que les résultats obtenus en faisant tendre N vers l infini soient réalistes. On s intéresse dans ce paragraphe à un Call Européen d échéance T > 0 (réel). On note h le temps écoulé entre 2 changement du cours de l action : h = T N. Où N désigne le nombre de périodes avec lequel on découpe l intervalle [0,T] On commence par introduire les notations suivantes : R représente 1 plus le taux d intérêt instantané entre les instants 0 et T. r désigne 1 plus le taux d intérêt sur une période. Il est clair que r dépend de N et qu on a la relation suivante : r N = R T ln(r)t N D où : r = e RT N Si R = 1+ R avec R petit on a : r = e 22/48

23 Nous avons aussi besoin de définir p, a et b. Notons J la variable aléatoire représentant le nombre de fois où le cours de l action a monté dans l arbre. On a : ln S N = ln aj b N J S 0 ( ) = J ln a b + N ln b ( ) D où : E ln S N S 0 = ln a b E J Var ln S N S 0 = ln a b [ ] + N ln( b) 2 Var J [ ] Par définition on a E[ J ] = Np et Var[ J ] = Np(1 p) On obtient alors : E ln S N S 0 = pln a b + ln( b) N = µn Var ln S N S 0 = p(1 p)ln a 2 b N = σ 2 N Si on veut maintenant faire tendre N vers l infini au doit faire face au problème suivant : Trouver a, b et p tels que les deux valeurs ci dessus ne tendent ni vers 0 ni vers l infini quand N tend vers l infini. Autrement dit on veut choisir a, b et p tels que : pln a b + ln( b) N µt N + p(1 p)ln a 2 b N N + σ 2 T Ces relations sont vérifiées pour : a = e σ T N b = e σ T N p = µ 2 σ T N 23/48

24 On peut maintenant étudier le comportement asymptotique de φ( m, N, q) la méthode étant identique pour le terme φ m, N, q(1+ a) (1+ r). On note (X 1,..., X N ) un échantillon de N variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de loi de Bernoulli de paramètre q. φ( m, N,q) = N N N! j!(n j)! q j (1 q) N j = P( X i m) j = m i=1 On a donc : φ m, N,q ( ) = P( X i m N i=1 ) = P N i=1 X i Nq Nq(1 q) m Nq Nq(1 q) avec N i=1 X i Nq Nq(1 q) N(0,1) L N + (Théorème central limite) Déterminons la limite de m Nq Nq(1 q) quand N tend vers l infini. Par définition on a : m = inf { j { 0...N},a j b N j > K} On a donc : a m b N m > K a m 1 b N m+1 < K Avec : a = e σ b = e σ T N T N On en déduit : m N 2 + m < N 2 + N T N T ln(k) 2σ ln(k) 2σ + 1 D où : m = N 2 + N T ln(k) 2σ + o( N ) 24/48

25 RT De plus comme q = e N b a b on obtient par un développement limité que : q = RT N + σ T N σ 2 T N + o 1 N 2σ T N + o 1N q = R 2σ T N σ 2 T N + o 1N On en déduit que : m Nq = NT 2σ ln(k) T R + σ NT 2 + o( N ) et Nq(1 q) = N 2 D où : 1+ o 1 N ln(k) m Nq T R T N + Nq(1 q) σ + σ T = ξ + σ T ( ) N + φ m, N,q F(ξ σ T ) où F est la fonction de répartition d une loi normale centrée réduite. On montre de la même manière que φ m, N, qa r F(ξ) N + Conclusion : Dans le modèle de Cox Ross Rubinstein à N périodes le prix du Call Européen à l instant 0 converge vers la limite C 0 = S 0 F(ξ) K e RT F(ξ σ T ) On reconnaît la formule obtenue dans le modèle de Black-Scholes. On remarque que cette formule dépend uniquement de la volatilité. Ce résultat souligne l intérêt du modèle de Cox-Ross-Rubinstein comme approximation du modèle en temps continue de Black-Scholes. En effet, les calculs dans CRR peuvent s effectuer de manière purement algorithmique. 25/48

26 2. Le problème de la Couverture Avant de se pencher sur le problème de la couverture on doit introduire quelques notions : Stratégie de gestion : Processus aléatoire φ = φ 0 1 ( n,φ n ) 0 n N à valeurs dans 2 donnant à chaque instant n les quantités : - φ n 0 quantité d actif sans risque dans le portefeuille ; - φ n 1 quantité d actif risqué dans le portefeuille. Le portefeuille à la date n est constitué au vu des informations disponibles à la date n-1 et conservé tel quel au moment des cotations à la date n. Valeur du portefeuille : V n ( φ) = φ 0 n (1+ r) n R 0 + φ 1 n S n Stratégie Autofinancée : n φ 0 n (1+ r) n R 0 + φ 1 0 n S n = φ n+1 (1+ r) n 1 R 0 + φ n+1 S n Il n y a ni apport ni retrait de fonds. On réinvestit à chaque période la valeur totale du portefeuille et rien de plus. Après avoir vendu un Call Européen à un prix C 0 le vendeur va réinvestir cette somme dans un portefeuille et ajuster ce portefeuille tout au long de la vie de l option en suivant l évolution des cours de manière à ce qu à l échéance son portefeuille vaille exactement C N. Autrement dit le vendeur suit la stratégie autofinancée (on peut montrer qu elle est unique) telle que V 0 = C 0 et V n = C n. Nous cherchons donc ici comment trouver cette stratégie. On a : φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 S n = C n pour tout n. On note : C n = c(n,s n ) 1 n n! avec c(n, x) = (1+ r) n j!(n j)! q j (1 q) n j j = m ((1+ a) j (1+ b) n j x K ) 26/48

27 On cherche à résoudre le système suivant : φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 (1+ a)s n 1 = c(n,(1+ a)s n 1 ) φ n 0 (1+ r) n R 0 + φ n 1 (1+ b)s n 1 = c(n,(1+ b)s n 1 ) D où : φ n 1 = c(n,(1+ a)s n 1 ) c(n,(1+ b)s n 1 ) S n 1 (a b) La stratégie de couverture à suivre par le vendeur de l option est donc la suivante : En 0 : Initialisation 1. On vend l option à l acheteur. On reçoit le montant C 0 en cash. 2. On détermine φ 1 1 la quantité d actifs risqués à détenir entre 0 et 1. On les achète. 3. Notre portefeuille est alors constitué de φ 1 1 S 0 euros d actifs risqués et donc de φ 0 1 = V 0 φ 1 1 S 0 = C 0 φ 1 1 S 0 euros en cash car le portefeuille est autofinançant. En n : Récurrence 1. On est en n. Le cours S n vient d être publié. La valeur de notre portefeuille est V n = φ n 1 S n + φ n On détermine φ n+1 la quantité d actif risqué à détenir entre n et n+1. On les achète Notre portefeuille est alors constitué de φ n+1 S n 0 φ n+1 1 = V n φ n+1 S n euros en cash car le portefeuille est autofinançant. euros en actif risqué et donc de Un exemple numérique sera développé dans la partie III.3. 27/48

28 3. Implémentation et Résultats Numériques On veut ici illustrer les résultats théoriques de cette partie à travers des exemples. a- Pricing / Couverture On veut s assurer qu en vendant l option au prix C 0 et en suivant la stratégie de couverture de l option déterminée dans le paragraphe III.2 on obtient bien une erreur de couverture nulle. Pour cela on écrit un programme Scilab qui calcule cette erreur de couverture. On initialise les paramètres du modèle comme suit : On prend : S 0 = 38 ; K=40 ; N = 100 ; T=1/3 années ; σ = 2% Le pas de temps vaut donc D t = T N On définit le taux sans risque annuel : R=log(1+0.05) Et on en déduit le taux sans risque sur une période : 1+ r = e RD t Les paramètres a et b vérifient les relations suivantes : 1+ a = e σ D t 1+ b = e σ D t On réalise 30 fois les opération suivantes : 1. On tire une trajectoire dans l arbre de CRR pour le prix de l actif sous-jacent 2. On calcule le prix du Call en 0 grâce à la formule de récurrence démontrée en III.1 3. On suit la stratégie de couverture développée en III.2 4. On compare la payoff de l option et la valeur finale du portefeuille de couverture On trace les 30 erreurs obtenues. Figure 11 On obtient une erreur de couverture de l ordre de soit quasi nulle. On illustre donc bien à travers ce programme le résultat théorique démontré en III.2 28/48

29 b- Convergence vers le Prix Black-Scholes On a montré que le prix de Cox Ross Rubinstein tend lorsque n tend vers l infini vers le prix de Black Scholes. On veut ici étudier cette convergence. Pour cela on écrit un programme Scilab qui trace le prix de Cox Ross Runbinstein en fonction de N (nombre de pas dans l arbre). On suit le schéma suivant : On commence par initialiser les données au problèmes : T=1; S 0 = 140 ; σ = 40% ; K=130 ; R=5% (taux annuel) Le pas de temps dans le modèle, les coefficients a, b, p et le taux r sur une période sont définis comme des fonctions de N. D N = T N a N = exp(σ D N ) b N = exp( σ D N ) r N = exp(rd N ) p N = r b N N a N b N Pour N allant de 1 à Nmax=250 on calcule le prix du Call en 0. On trace les 150 prix obtenus en fonctions de la valeur de N. Figure 12 29/48

30 On observe que lorsque N croit les variations semblent s'estomper. A partir de N=150 elles s e m b l e n t r e s t e r d a n s l i n t e r v a l l e [ 3 0, ; 3 0, ]. Les oscillations que l on observe sur le graphique ont donc une limite qui se situerait dans l intervalle [30,025 ; 30,075]. Dans le cas d un Call à la monnaie, c est à dire d un Call dont le prix d exercice K vaut S 0, on obtient le graphe suivant : Figure 13 Les valeurs du prix de CRR oscillent autour de la limite en s en rapprochant. Le prix est proche de 25,2 donc moins cher que lorsque K=130. Pour un put on obtient des graphes très similaires. Seule le valeur de la limité change. On trouve une limite environ égale à 13,75 dans le cas où K=130 et 18,4 dans le cas où K=140 (put à la monnaie). Pour s assurer que la limite vers laquelle converge le prix CRR est bien le prix BS on trace sur le graphe obtenu la valeur du prix Black-Scholes. On obtient : Figure 14 On retrouve bien graphiquement la convergence du prix de Cox-Ross-Rubinstein vers le prix Black-Scholes. 30/48

31 IV - Point de vue risque neutre : Introduction des notions Il existe une autre approche qui permet de résoudre le problème de l évaluation d une option. Cette méthode est moins intuitive que celle développée précédemment car elle met en jeu les notions de martingales et de changements de probabilité mais est beaucoup plus rapide une fois que l on maîtrise les outils nécessaires. Si, pour les options européennes, on a volontairement choisi une approche historique, pour les options américaines la maîtrise de ces outils est indispensable. 1. Introduction d un formalisme et définition de quelques notions. Un modèle de marché financier discret est construit sur un espace probabilisé fini ( Ω, F, P) muni d une filtration (suite croisante de sous tribus) F : F 0,F 1,...,F N F n représente les informations disponibles à l instant net est appelée «tribu des événements antérieurs à l instant n». Les prix de nos deux actifs financiers à l instant n sont donnés par les variables aléatoires R n,s n à valeurs strictement positives et mesurables par rapport à F n. Le vecteur P n = ( R n,s n ) est le vecteur des prix à l instant n. Stratégies Une stratégie de gestion est un processus aléatoire prévisible pour la filtration F : φ = φ R S ( n,φ n ) ( ) 0 n N donnant à chaque instant n les quantités des actifs détenues en portefeuille. La condition φ prévisible se traduisant par : Le portefeuille en n est constitué au vu des informations disponibles à la date n-1 et conservé tel quel au moment des cotations à la date n. On a comme dans le paragraphe précédent : Valeur du portefeuille à la date n : V n (φ) = φ n P n La stratégie est Autofinancée si : φ n P n = φ n+1 P n Une stratégie est Admissible si elle est autofinancée et que et si V n (φ) 0 pour tout n. Une stratégie d Arbitrage est une stratégie admissible de valeur initiale nulle et de valeur finale non nulle. Marchés Financiers Viables Un marché est viable s il n existe pas de stratégie d arbitrage. 31/48

32 Marchés Complets et Actifs Simulables On définit un actif conditionnel (une option européenne par exemple) d échéance N par la donnée d une variable aléatoire F n mesurable représentant le profit que permet l exercice de l option. Pour un Call on a h = ( S N K ) + et pour un put h = ( K S N ) +. On dit que l actif conditionnel défini par h est simulable s il existe un stratégie admissible conduisant à une valeur de portefeuille à l instant N égale à h. Le marché est complet si tout actif conditionnel est simulable. Théorème : Un marché est viable et complet si et seulement si il existe une seule probabilité P* équivalente à P sous laquelle les prix actualisés des actifs soient des martingales. On renvoie le lecteur à [3] page 20 pour une démonstration du Théorème. Évaluation et Couverture des Actifs Conditionnels dans les Marchés Complets. On se place dans un marché viable et complet. On note P* l unique probabilité sous laquelle les prix actualisés des actifs sont des martingales. Soit un actif conditionnel défini par h et φ une stratégie admissible simulant h. On a : V N (φ) = h On note ( Vn ) 0 n N la suite des prix actualisés du portefeuille. On a : n + V n = φ n P n où : P n = 1, S n = 1, S n (1+ r) n R n ( V n ) 0 n N est une martingale sous P*. Par conséquent : V 0 (φ) = V 0 (φ) = E * VN ( φ) ( ) = E * h et V n (φ) = E * ( VN n ( φ) F n ) = R N = 1 (1+ r) N E* h 1 ( (1+ r) N n E* h F n ) Si à l instant 0 un investisseur vend l actif au prix ( ) parfaitement en suivant une stratégie φ dite de couverture. 1 (1+ r) N E* h ( ) alors il peut se couvrir Remarque : En utilisant cette méthode pour pricer un Call européen on retrouve la formule obtenue au paragraphe 1. On retrouve également la formule de Black Scholes en faisant tendre N vers l infini. 32/48

33 IV - Options Américaines Comme mentionné dans l introduction une option américaine peut être exercée à n importe quel instant entre 0 et N. La possibilité d exercer une option avant son échéance complique beaucoup son évaluation. On ne connaît d ailleurs, dans le cadre Black-Scholes, aucune solution analytique, même aux options américaines les plus simples. On étudiera dans cette section comment évaluer ces options en utilisant les arbres binomiaux. Un Call américain exercé à la date N rapporte : Z N = (S N K) + Et un Put américain exercé à la date N rapporte : Z N = (K S N ) Calcul du prix par récurrence rétrograde Comme précédemment, le processus S n, défini pour tout n 0, N, représente l évolution d un actif financier au cours du temps, et on le suppose adapté par rapport à une filtration (F n ) n qui représente l information disponible au fil du temps. Désignons par A n la valeur à l instant n d une option américaine dont le payoff est noté Z n. Comment évaluer son prix? Nous allons raisonner par récurrence en marche arrière à partir de l échéance N. Il est clair que la valeur de l option à l instant N est égale au payoff Z N. Plaçons nous maintenant en N-1. A quel prix faut-il vendre l option à l instant N-1? Deux cas de figure sont envisageables : L acheteur de l option exerce immédiatement. Il fait alors un profit de Z N 1. Il faut donc au moins vendre l option Z N 1 en N-1. L acheteur de l option n exerce pas en N-1. Il exercera alors éventuellement en N. Le vendeur de l option doit donc être prêt à payer la richesse Z N en N. La somme encaissée en N-1 permettant de fournir en N la somme Z N est la valeur en N-1 d une stratégie admissible de valeur finale Z N. Soit : 1 ( 1+ r E* Z N F N 1 ) On prend donc comme valeur de l option américaine en N-1 : 1 A N 1 = max Z N 1, ( 1+ r E* Z N F N 1 ) 33/48

34 De proche en proche on définit la valeur de l option américaine à l instant n par la relation de récurrence suivante : n 1, N A n 1 = max Z n 1, 1 ( 1+ r E* A n F n 1 ) (1) On a vu que dans le cas d une option européenne, on pouvait déduire facilement de la relation de récurrence la formule fondamentale indiquant que la valeur de l option à l instant t est l espérance actualisée de son payoff. Dans le cas d une option américaine, on ne déduit pas facilement la valeur de de l option directement comme une fonction de t et du payoff final. Par contre, il est facile de programmer cette récurrence pour calculer la prime à tout instant t. On ne sera pas surpris que l option américaine soit plus chère, ou au moins aussi chère, que l option européenne correspondante puisqu elle donne plus de droits. La différence entre les deux s appelle la prime d exercice anticipé (Early exercice premium). Dans quels cas a-t-on intérêt à exercer de façon anticipée c est-à-dire dans quels cas cette prime est-elle strictement positive? Nous allons voir que ce n est jamais le cas pour un Call et que par contre c est généralement le cas pour un Put. 34/48

35 2 - Cas particulier du Call Américain Le prix d un Call américain sur S t est égal au prix du Call européen de même date et même prix d exercice. Autrement dit, la prime d exercice anticipée est nulle. On déduit de (1) que n 0, N A n Z n L espérance conditionnelle et l actualisation conservant cette inégalité, il en résulte que n 0, N 1 ( 1+ r Ε* A n F n 1 ) 1 ( 1+ r Ε* Z n F n 1 ) Or n 0, N Z n = (S n K) + Z n est donc une fonction convexe de S n, l inégalité de Jensen implique que : n 0, N 1 ( 1+ r Ε* A n F n 1 ) 1 1+ r Ε* S n F n 1 ( ) 1 1+ r K + Or on a vu que la valeur actualisée de S n (notée S n ) est une martingale. On a donc : Ε * ( S n Fn 1 ) = S n 1 Ce qui se réécrit : 1 ( 1+ r Ε* S n F n 1 ) = S n 1 D où : n 0, N 1 1+ r Ε* A n F n 1 ( ) S n r K + ( S n 1 K ) + = Z n 1 la dernière inégalité résultant simplement du fait que 1 1+ r 1 Des deux termes du maximum de (1), le second reste, pour tout n, supérieur ou égal au premier. Il n y a donc pas d intérêt à exercer l option avant la date finale N. On notera que si l on remplace dans ce calcul le payoff du Call par celui du Put, la dernière inégalité cesse d être satisfaite dès que r > 0. Et, de fait, si l exercice anticipé n est jamais intéressant dans le cas du Call, il l est souvent dans celui du Put (sauf si r = 0), comme nous allons le voir maintenant. 35/48

36 3 - Le Put Américain : Théorème d arrêt optimal On s intéresse dans cette partie à la valorisation d un Put Américain. On rappelle qu un Put est un contrat qui donne à son détenteur le droit de vendre en T l actif sous-jacent au prix K. Pour les options européennes on a pas eu à traiter séparément le cas du Call et du Put car la relation de parité Call-Put nous permettait de déduire le prix du Put à partir de celui du Call. Mais dans le cas des options américaines la relation de parité Call-Put n est plus valable et on doit donc traiter le cas du Put Américain à part. Rien dans la formule de récurrence (1) ne permet aisément au détenteur de l option américaine de savoir à quel moment un exercice anticipé pourrait être intéressant pour lui. En réalité, il existe une courbe dans l espace ( t,s t ) appelée la frontière d exercice qui a la propriété suivante : aussi longtemps que le cours de l actif sous-jacent S t ne franchit pas cette courbe, un exercice anticipé n est pas intéressant (il est préférable de garder l option) mais dès que le cours la franchit, il est intéressant d exercer et il est même préférable de le faire sans attendre. On ne sait pas calculer l équation explicite de cette courbe mais on peut en calculer des approximations plus ou moins facilement. D un point de vue théorique, on peut montrer que cette frontière d exercice est le lieu d un temps d'arrêt appelé temps d'arrêt optimal. On a le théorème suivant ( [3] pages ): N (n, N) désigne l ensemble des temps d arrêt à valeur dans [ n, N ]. Le prix à l instant n de l option américaine de payoff Z n est donnée par : A n = Max m N (n,n ) (( ) + F n ) 1 (1+ r) N m Ε* K S m Le maximum étant atteint pour le temps d arrêt m défini par : { } ( ) + m = Min p N (n, N), A p = K S p Notons qu en particulier, si on applique ce théorème au cas où n=0, la prime d une option 1 américaine A 0 est égale à A 0 = (( (1+ r) N Ε* K S n0 ) + ), où n 0 est le premier instant où le prix de l option est égal au payoff, c est-à-dire le premier instant où le maximum de la formule (1) est égal au premier des deux termes. Plus précisément, tant que ce maximum est égal au second terme (espérance des valeurs futures), il n est pas intéressant d exercer, mais au premier instant où le payoff dépasse la valeur de la couverture, il convient d exercer. 36/48

37 Preuve : Pour simplifier, voici la preuve dans le cas particulier où t = 0 le cas général étant très semblable. On introduit la valeur actualisée de l option américaine A 1 n = (1+ r) A n n On considère : A n^n0 = A n A n0 Si n < n 0 Si n n 0 Cette marche est appelée la marche arrêtée au temps n 0. Nous allons vérifier que cette marche est une F n -martingale : Par définition de n 0, comme 1 = I n<n0 + I n n0 et ces deux indicatrices étant F n mesurable, puisque n 0 est un F n -temps d arrêt, on a ( ) = I n<n0 Ε( A n 1^n0 A n^n0 F n ) + I n n0 Ε( A n 1^n0 A n^n0 F n ) = Ε( I n<n0 ( A n 1^n0 A n^n0 ) F n ) + Ε( I n n0 ( A n 1^n0 A n^n0 ) F n ) Ε A n 1^n0 A n^n0 F n D où : Ε( A n 1^n0 A n^n0 F n ) = Ε( I n<n0 ( A n 1 A n ) F n ) + Ε( I n n0 ( A n0 A n0 ) F n ) Or sur { n < n 0 }, A n 1 = Ε( A n F n ) d après (1) et donc le premier terme est nul. C est évidemment le cas aussi du second. Donc Ε( A n 1^n0 A n^n0 F n ) = 0 A n^n0 est bien une F n martingale. Il en résulte que A0^n0 = A 0 = Ε( A N ^n0 F 0 ) = Ε( A n0 Ω) = Ε( A n0 ) = Ε ((K S n0 ) + ) Il reste a vérifier que pour tout temps d arrêt m N (n, N) on a Ε ((K S n0 ) + ) Ε ((K S m ) + ) On a bien en effet Ε ((K S n0 ) + ) = A 0 = A 0 = A 0^m Ε( A N ^m F 0 ) = Ε( A N ^m ) = Ε( A m ) Ε ((K S m ) + ) La première inégalité résultant du fait qu une surmartingale arrêtée est encore une surmartingale et la seconde de (1). 37/48

38 Remarque : Si l on désigne comme nous l avons fait pour A n, par Z n le payoff actualisé, la ( ( )) formule (1) peut s écrire plus simplement A n = max Z n,ε A n+1 F n On peut alors vérifier que A n est une surmartingale, et plus précisément que cette formule la définit comme la plus petite surmartingale qui majore le payoff actualisé Z n. C est ce que l on appelle l enveloppe de Snell de ce payoff actualisé Z n. Le théorème précédent est en fait un théorème général qui permet d exprimer toute enveloppe de Snell comme une martingale obtenue en arrêtant de façon appropriée la surmartingale constituée par cette enveloppe de Snell. 38/48

39 4 - Stratégie de Couverture avec Consommation Nous avons justifié la définition par récurrence rétrograde du prix de l option américaine en indiquant qu avec cette valeur le vendeur de l option pouvait se couvrir dans tous les cas, que le détenteur exerce de façon anticipée ou non. Mais comme nous allons le voir maintenant il ne s agit plus ici, comme dans le cas européen, d une couverture exacte car autofinancée mais plutôt d une sur-couverture encore appelée couverture avec consommation. En effet, tant que la frontière d exercice n a pas été franchie, la prime A 0, investie dans un portefeuille de couverture, géré de façon dynamique comme pour la couverture d une option européenne, fournit une couverture exacte en ce sens que la valeur du portefeuille à chaque instant est exactement égale à la valeur de l option américaine. Une fois la frontière d exercice franchie (si cela a lieu), il y a deux possibilités. Soit le détenteur de l option l exerce, il récupère le payoff et l option cesse d exister. Soit il n exerce pas (il n a pas noté le franchissement de la frontière d exercice) et dans ce cas le vendeur peut constituer son portefeuille de couverture à un prix strictement inférieur au payoff et réalise un gain aux dépens du détenteur négligeant. Ce revenu durera aussi longtemps que le prix de l action restera inférieur à la frontière d exercice et que le détenteur de l option n exerce pas son droit, rapportant une richesse strictement positive que l on désigne sous le nom de consommation et qui restera acquise au vendeur de l option. La couverture d une option américaine est donc une sur-couverture qui peut soit être une simple couverture (exacte) soit générer une consommation, selon les cas. Il y a une façon simple et élégante de formaliser cette situation au moyen d un résultat connu sous le nom de Décomposition de Doob-Meyer. On a vu dans la partie précédente que le prix de l option américaine A n était l enveloppe de Snell du processus Z n adapté à F n et représentant le payoff de l option américaine. A n est une F n sur-martingale. Il existe donc une marche aléatoire U n F n martingale M n telles que : A n = M n U n (Décomposition de Doob-Meyer). croissante et prévisible et une { } est ( ) + On peut alors montrer que le temps d'arrêt optimal n 0 = Min p N (0, N), A p = K S p égal au temps d arrêt n U = Min{ p N (0, N),U p+1 = 0} si U N 0 et n 0 = N sinon. Ce théorème affirme donc que le temps d arrêt optimal, c est à dire l instant d exercice optimal pour le détenteur, est le premier instant où le processus croissant U N cesse d être nul. Ce processus apparaît donc comme représentant précisément la consommation. En effet, dès que la frontière d exercice est franchie, si le détenteur n exerce pas l option, la valeur de l option cesse d être la valeur d un portefeuille autofinancé et commence à générer une consommation égale au processus croissant U N. C est cette consommation qui fait de l option américaine une sur-martingale (et non une martingale comme l option européenne). et du portefeuille de couverture une sur couverture (et non une couverture exacte comme pour l option européenne). 39/48

40 5. Implémentation et résultats numériques. a- Pricing des Put et Call Américains / Comparaison avec leurs analogues Européens. Grâce à la formule de récurrence démontrée dans le paragraphe 1 de ce chapitre on peut implémenter le calcul du prix d un call ou d un put américain. Pour les paramètres suivants n=50 ; S 0 = 100 ; σ = 0.4 ; K = S 0 ; r=25% on obtient : La prime du Call vaut La prime du Call Américain vaut La prime du Put vaut La prime du Put Américain vaut On constate que le prix du Call Américain est égal au prix du Call Européen comme nous l avons démontré plus haut. Le prix du Put Américain est supérieur au prix du Put Européen ce qui une fois de plus n est pas étonnant car le Put Américain donne plus de droit que l Européen. Si on re-exécute le programme avec r=0 on obtient : La prime du Call vaut La prime du Call Américain vaut La prime du Put vaut La prime du Put Américain vaut Ce qui vient confirmer le résultat théorique suivant : Put Américain et Put Européen ne sont différent que lorsque r est différent de 0 b- Frontière d Exercice du Put Américain. Pour tracer le frontière du Put Américain on définit une matrice qui vaut 1 aux points ( i, j ) de l arbre de CRR situés en dessous de la frontière d exercice c est à dire les points tels que le max de la formule du prix est égal au premier terme et 0 aux points situés au dessus de cette frontière c est à dire les points tels que le max de la formule du prix soit égale au deuxième terme. On peut alors tracer l arbre de CRR en représentant pas un losange les noeuds sous la frontière efficient et par une croix les noeuds au dessus de cette même frontière : 40/48

41 Figure 15 Enfin on trace la frontière d exercice pour r=0.2 Figure 16 Pour r=0.05 on obtient : Figure 17 Plus r est petit plus la frontière d'exercice se redresse et se rapproche de la verticale. 41/48

42 IV - Techniques d Amélioration de la Convergence La méthode de Cox-Ross-Rubinstein permet donc de pricer des options de ventes américaines pour lesquelles aucune formule explicite exploitable n est connue. Toutefois, si cette méthode s adapte bien pour des cas simples, elle présente une faiblesse notable : Le pas de l arbre doit tende vers l infini pour avoir une bonne convergence. Or dans la pratique la vitesse de convergence vers un prix acceptable est un critère vital dans le choix d une méthode numérique. Plusieurs techniques d amélioration de la convergence ont donc été proposées. notamment : Citons - Hull et White qui ont proposé en 1988 d introduire une variable de contrôle dont la valeur était basée sur le prix Black-Scholes de l option européenne équivalente. L utilisation de cette variable de contrôle permet l amélioration de l estimation du prix de l option américaine équivalente. - Broadie et Detemple qui ont proposé en 1996 deux modifications à l arbre binomial. La première consistait à remplacer les valeurs sur la couche n-1 de l arbre par le prix obtenu selon la méthode Black-Scholes. On parle de Smoothing. La deuxième modification était d utiliser l extrapolation de Richardson. - Tian qui développe en 1999 un arbre binomial flexible en utilisant un paramètre qui modifie la forme de l arbre. - Figlewski and Gao ont proposé en 1999 un modèle binomial adaptatif dans lequel l arbre voit son pas de temps changer selon que l on se situe près du prix d exercice ou près de l échéance : le degré de discrétisation est augmenté à bon escient dans les zones où cela entraîne une amélioration significative de la précision de calcul. Par manque de temps nous n avons pu implémenter toutes ces techniques. Nous avons choisi de nous concentrer sur les deux modifications apportées à l arbre binomial proposées par Broadie et Detemple. La première modification est appelée méthode BBS (Binomial Black and Scholes) par Broadie et Detemple. Elle est identique à la méthode binomiale à l exception du fait qu à l avant dernier niveau de l arbre on force la valeur prise par le prix de l option. On impose que sur l avant dernier niveau de l arbre, le prix du put américain soit égal au prix donné par la formule de Black Scholes pour un Put Européen. Cette méthode est plus coûteuse en nombre de calculs effectués que la méthode binomiale. En effet calculer le prix du modèle de Black-Scholes est plus coûteux qu une itération de la 42/48

43 méthode binomiale. Cependant on ne fait ce calcule que N fois (les N noeuds de l avant dernier niveau) et la complexité globale de la méthode reste N 2 comme pour la méthode binomiale. On obtient les résultats suivants : T=0.5 années ; S 0 = 100 ; σ = 30% ; K=90 ; R=0.05 Le pas de temps dans le modèle, les coefficients a, b, p et le taux r sur une période sont définis comme des fonctions de N. D N = T N a N = exp(σ D N ) b N = exp( σ D N ) r N = exp(rd N ) p N = r b N N a N b N On trace pour N allant de 10 à 100 les prix obtenus pour un Put Américain avec la méthode binomiale puis avec la méthode BBS : Figure 18 43/48

44 Figure 19 Les deux méthodes convergent vers un pris de Cependant, on constate que la convergence vers le prix du Put Américain est beaucoup plus lisse avec la méthode BBS. La deuxième modification est appelée méthode BBSR (Binomial Black and Scholes method with Richardson extrapolation ) par Broadie et Detemple. Cette méthode se superpose à la méthode BBS. Elle utilise le procédé d extrapolation de Richardson. Par exemple : On calcule le prix d un Put avec la méthode de BBS pour N=25 et N=50. Notons ces prix P 1 et P 2. La méthode de BBSR consiste à approximer le prix du put pour N=50 par P = 2P 2 P 1. Quel est l avantage de cette méthode? Lorsque l on applique la méthode binomiale le prix oscille autour de la valeur d équilibre. Si on utilise l extrapolation de Richardson sur cette méthode on peut donc être dans le cas P 1 inférieur à la valeur d équilibre et P 2 supérieur à la valeur d équilibre et donc 2P 2 P 1 supérieur à P 2. Cette méthode donnerait donc un résultat moins précis que la méthode binomiale sans extrapolation. Mais appliquée sur la méthode BBS l extrapolation de Richardson permet d obtenir un résultat plus précis à N fixé. En effet on voit sur le graphe ci dessus que dans la méthode BBS les prix convergent vers la valeur d équilbre par valeur supérieure et que de plus la courbe est beaucoup plus lisse. 44/48

45 On a donc obligatoirement P 1 et P 2 supérieurs à la valeur d équilibre et P 2 < P 1 pour deux points suffisamment espacés. Donc 2P 2 P 1 < P 2. La valeur P donnée par la méthode de BBSR est donc plus proche de la valeur de l'équilibre que celle donnée par la méthode BBS. On trace le prix donné par la méthode BBSR en fonction du nombre de pas dans l arbre. Figure 20 On constate graphiquement que la convergence est plus rapide avec cette méthode. Les 2 méthodes proposées par Broadie et Detemple permettent donc d'améliorer la convergence. Comme signalé dans l introduction de cette partir il existe de nombreuses méthodes d amélioration de la convergence des arbres binomiaux. Dans son article, The Convergence of binomial trees for pricing the american put, Mark Joshi a comparé 4 méthodes d'accélération appliquées sur 11 arbres différents. Il conclue que la meilleure combinaison est obtenue avec l arbre de Tian et la méthode BBSR. Nous aurions aimé pouvoir proposer une implémentation de cette combinaison mais par difficultés à se procurer les références et manque de temps nous n avons pas été en mesure de le faire. 45/48

46 Conclusion L approche par arbre binomial est donc une des méthodes numériques permettant d évaluer en temps discret des produits dérivés vanilles. Cette méthode permet de pricer des options européennes. Nous avons démontré que le prix obtenu par la méthode Cox-Ross-Rubinstein convergeait vers le prix donné par la formule de Black Scholes. Mais elle est surtout très utile lorsqu il s agit de pricer des options américaines pour lesquelles aucune formule explicite exploitable n est connue. Toutefois, nous avons vu qu une des principales faiblesses du modèle de Cox-Ross- Rubinstein était que la convergence vers le «juste prix» était lente. De nombreuses méthodes d amélioration de la convergence existent nous en avons étudiées 2. Ces méthodes permettent d obtenir des résultats plus précis plus rapidement et rendent ainsi la méthode des arbres binomiaux plus exploitable. Une autre faiblesse de l approche binomiale est sa difficulté d application pour les options possédant plusieurs sous-jacents, ou pour les options ayant des caractéristiques complexes. Un modèle binomial ne suffit plus, il faut considérer un arbre trinomial ou même multinomial pour évaluer l option. Ce qui rend les calculs plus complexes à effectuer, et l algorithme moins efficient en terme de temps d exécution. L approche binomiale est également difficilement applicable lorsque la valeur d exercice actualisée de l actif sous-jacent dépend de la trajectoire parcourue car le nombre de trajectoires à considérer devient trop grand. 46/48

47 Bibliographie [1] J. C. Cox, S. A. Ross and M. Rubinstein, Option Pricing : A simplified Approach, Journal of Financial Economics, 1079, Vol. 7, [2] J. C. Hull, Options, Futures and Other Derivatives, Sixth Edition, Prentice Hall, 2005 [3] D. Lamberton and B. Lapeyre, Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance, Ellipse, 1997 [4] E. Gobet, Introduction au calcul stochastique et applications en finance, Ensimag 2éme année, 2010 [5] R. Myneni, The Pricing of the American Option, The Annals of Applied Probability, 1992, Vol. 2, No. 1, 1-23 [6] M. Joshi, The Convergence of binomial trees for pricing the american put, Journal of Risk, 2009, Vol 11, N 4, /48

48 Remerciements À Hervé Guiol tout d abord pour avoir accepté de me tutorer et m avoir orientée sur ce sujet qui m a beaucoup appris. Pour son accueil, sa disponibilité et sa compréhension du temps que mes bases financières un peu trop neuves, m obligeaient à prendre pour maîtriser certaines notions. Pour avoir su, enfin, me recadrer fermement dans mes tâtonnements tout en restant à l écoute de mes difficultés. A toute l équipe du laboratoire TIMB qui m a entourée et grâce à qui j ai pu découvrir la vie d un laboratoire de recherche, sa cohésion et son esprit d équipe. Enfin à l ENSIMAG et à toute l équipe de chercheurs qui en rendant possible ce programme de TER, nous ouvre à une autre approche de notre spécialité. Merci à tous pour cette expérience très formatrice! 48/48