Le call 6 mois strike 35 coûte 6 EUR ; le call 6 mois strike 40 coûte 4 EUR. L action sous-jacente cote EUR.

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1 Exercice 09/02 #3 Le call 6 mois strike 35 coûte 6 EUR ; le call 6 mois strike 40 coûte 4 EUR. L action sous-jacente cote EUR. a) Comment créer un bull spread avec ces calls? b) Quel est le gain, et quelle est la perte maximale de cette stratégie? A quels prix du sousjacent se matérialisent-ils? c) Quelles anticipations sur le cours de l action sont compatibles avec cette stratégie? Pourquoi? d) Comment créer le même bull spread en utilisant seulement des puts avec des strikes 35 et 40, cotant respectivement 3 et 6 EUR? a) le bull spread (call spread) est la combinaison de l achat du call 35, et de la vente du call 40 : son prix est donc de = -2 EUR b) le profil de résultat à l échéance montre un plancher de perte au dessous d un prix de l action à 35 EUR : le prix d achat de la stratégie de 2 EUR est donc la perte maximale A partir de 40 EUR, on atteint le plafond. A 40 EUR, le call 35 vaut : = 5 ; le call 40 vaut = 0 Le gain maximal BRUT est donc de +5 0 = 5 EUR En ôtant le coût initial de la stratégie (2 EUR), le gain maximal NET est de 3 EUR c) le cours actuel de l action est à mi-chemin entre les deux strikes. On espère une hausse modérée du titre à 40 EUR à l échéance. Au delà de 40 EUR, l investisseur aurait mieux fait d acheter le call 35 sans vendre le call 40 ; ainsi, il n aurait pas eu de plafond : ce bull spread n est donc pas la meilleure stratégie si on anticipe une forte hausse du sous-jacent. d) graphiquement, on repère, en partant de la droite, que le profil ressemble à une vente de put 40 (jusque 35 EUR). Ensuite, le put a un plancher que l on reproduit avec un achat de put 35. La méthode «graphique» est la plus adaptée pour trouver la réponse. Anthony Penel 1/11

2 Exercice 03/05 #5 Vous considérez des futures et options de type européen sur l indice de marché des actions SMI (Stock Market Index) d un pays donné. L indice action se situe actuellement à 1 000, les futures à 3 mois et les options à 3 mois sur cet indice, avec des prix d exercice respectifs à 900, et sont traités à leur prix théorique. Il n y a pas de distribution de dividendes et l on peut faire abstraction des frais de transaction et de marge. a) Vous vendez 2 calls avec un prix d exercice à et achetez 2 calls, l un avec un prix d exercice de 900 et l autre avec un prix d exercice de 1'100. a1) Au total, allez-vous payer ou encaisser une prime sur cette opération? Justifiez votre réponse en vous référant au graphique ci-dessous qui trace la relation entre les primes des calls (call premiums) et les prix d exercice (strike prices). a2) Tracez un graphique qui illustre le profil gain/perte (payoff) à l échéance pour cette position. a3) Quelle sorte d attente sur la performance du marché des actions (en termes de rendement et volatilité), et quelle préférence de profil gain/perte aurait un gérant de portefeuille en prenant une telle position? b) Supposez qu un trader vienne juste d acheter la stratégie décrite en a) et qu il veuille utiliser des futures pour implémenter une stratégie de couverture (hedging) dynamique. b1) Expliquez si ce trader doit, dans la situation actuelle, vendre des futures, en acheter ou ne pas traiter du tout. b2) Discutez si et/ou comment la réponse en b1) changerait si l indice SMI grimpait progressivement de à Expliquez quels ajustements doivent être entrepris sur la position futures pour différentes valeurs du SMI entre 1'000 et 1'200 points. c) Vous voulez utiliser des puts pour obtenir le même profil de gain/perte à l échéance qu au point a). Décrivez les opérations sur options puts que vous effectueriez, en précisant les prix d exercice. d) Discutez brièvement comment les gérants de fortunes devraient déterminer s ils couvrent leurs portefeuilles en utilisant des contrats futures ou des contrats d options. Anthony Penel 2/11

3 a1) la courbe étant convexe, on voit que le prix d un call 1000 est inférieur à la moyenne d un call 1100 et d un call 900. Donc, en vendant 2 calls 1000, on ne compense pas l achat des deux autres calls (900 et 1100) : au total on paye pour initier la stratégie. a2) une sommation graphique des payoffs de chaque option permet de visualiser la stratégie à échéance : a3) l indice est à 1000, soit le point le plus gagnant de la stratégie à échéance. L investisseur anticipe donc que l indice terminera sur ce niveau, c est à dire une stabilité par rapport au cours actuel. Il n est pas non plus prêt à prendre du risque : en cas d augmentation de la volatilité, il ne veut pas risquer de perdre plus que sa mise initiale. b1) la courbe de delta est symétrique : à la monnaie (1000), delta proche de 0.50 La vente des deux calls donne un delta de -1 A 1100 et 900, on aura un delta faible et un delta fort, chacun complémentaire pour avoir une somme de 1. Au total, le delta sera proche de 0, donc aucune couverture n est nécessaire tant que le future reste à b2) au fur et à mesure de la montée, le delta plonge avec la vente des deux calls Pour hedger la position, il faudra donc acheter des futures. A partir de 1100, le delta du call 900 devient stable proche de 1, et ne bouge plus (aplatissement de la courbe de delta en haut), tandis que le delta du call 1100 est à sa pente maximale : le delta global remonte, et le trader doit vendre petit à petit les futures achetés. A 1200, toutes les options sont fortement dans la monnaie (delta proche de 1), ce qui donne un delta global proche de 0 ( ) c) graphiquement, en partant de la droite, il faut acheter 1 put Puis, pour faire descendre la courbe, vendre 2 puts Anthony Penel 3/11

4 Enfin, pour la stabiliser, acheter un put 900. d) un future ne coûte rien, mais fige la position : il ne donne pas la possibilité de se tromper. L option, quant à elle, peut laisser la possibilité de se tromper, mais a un coût. Tout dépend donc du coût qu est prêt à subir le gérant. Par ailleurs, les options sont parfois peu liquides sur les échéances ou les strikes souhaités : dans ce cas, elles peuvent difficilement être traitées, et on se rabattra sur les futures. Exercice 03/06 #3 Votre cliente possède un portefeuille d actions bien diversifié, totalement investi en titres allemands et européens. Elle pense que les marchés vont baisser durant les six prochains mois et vous demande votre avis. Nous sommes le 20 août 2004 et la valeur du portefeuille est de EUR 10' Dans un premier temps, vous recommandez l utilisation de produits sur indices d actions comme couverture. Au vu de la composition du portefeuille, vous suggérez d utiliser l indice DAX 30 ou l indice DJ EURO STOXX 50, dont les valeurs figurent dans le tableau cidessous. Vous explicitez le pour et le contre de chacun des indices. En effectuant les régressions des rendements du portefeuille par rapport aux rendements de chacun des indices, vous obtenez également les bêtas du portefeuille: Indice Valeur β du portefeuille par rapport à l indice DAX ,61 1,2 DJ EURO STOXX ,96 1,3 Vous considérez comme possibles instruments de couverture les contrats futures DAX (FDAX) ou les contrats futures DJ EURO STOXX 50 (FESX), dont les éléments figurent dans le tableau ci-dessous: Contrat Echéance Prix actuel du futures F Taille du contrat Volatilité Std( F%) FDAX Mar mars ,00 EUR 25 par point d indice % FESX Mar mars ,00 EUR 10 par point d indice % (Note: Volatilité Std( F%) est la volatilité des variations en pourcentage des prix, i.e. des rendements, du contrat futures) Dans un deuxième temps, vous mentionnez les options comme autre instrument de couverture possible. Vous sélectionnez quatre options (de type européen) sur l indice DAX (ODAX) et rassemblez les données suivantes: Option Prix Prix actuel de Delta Gamma Echéance d exercice l option Γ ODAX Call Mar mars 2005 EUR 238,20 0,523 0, ODAX Call Mar mars 2005 EUR 296,60 0,585 0, ODAX Put Mar mars 2005 EUR 214,60-0,415 0, ODAX Put Mar mars 2005 EUR 179,00-0,357 0, Pour vos calculs utilisez la convention 1 mois = 30 jours et 1 an = 360 jours. Anthony Penel 4/11

5 a) Etant donné que le DAX 30 est un indice de performance (total return) et que le DJ EURO STOXX 50 est un indice de prix, calculez le taux sans risque implicite (en rendement continu) pour les deux futures. Peut-on conclure, au vu des informations données, qu il y a une opportunité d arbitrage entre les deux contrats futures? Si oui, montrez comment en tirer profit, si non dites pourquoi. [Note: Un indice de performance réinvestit dans l indice lui-même les dividendes payés par les actions qui le composent; un indice de prix ne tient pas compte des dividendes versés.] b) Votre cliente décide d utiliser le contrat futures DAX pour couvrir son portefeuille. Calculez le ratio de couverture (hedge ratio) approprié et le nombre de contrats futures que votre cliente devra acheter afin de couvrir son portefeuille (arrondissez à l entier le plus proche). c) Supposez que le taux sans risque est de r = 3.25% (en rendement continu). La relation de parité put-call est-elle vérifiée pour les options avec un prix d exercice de 3'700? Montrez à votre cliente comment elle peut utiliser ces options via la parité put-call afin d aboutir à une position (plus ou moins) sans risque jusqu en mars 2005: combien d options doit-elle acheter/vendre si le bêta des rendements du portefeuille par rapport aux rendements de l indice DAX est de 1.2? Quels sont les coûts/revenus initiaux d une telle couverture? Pourquoi ses positions couvertes ne sont-elles pas parfaitement sans risque? d) Votre cliente préfère une stratégie d assurance de portefeuille dynamique car une telle stratégie préserve le potentiel haussier de son portefeuille. En utilisant comme référence le put avec un prix d exercice de 3'600, combien de titres devrait-elle vendre initialement? Après coup, elle réalise que les futures pourraient se révéler meilleur marché à l utilisation. Combien de contrats futures DAX doit-elle vendre si le bêta est de 1.2 et r = 3.23% (rendement continu)? Existe-t-il une différence entre les risques encourus par chacune de ces stratégies d assurance de portefeuille? (Supposez que l on ignore le rendement du dividende). e) Vous expliquez à votre cliente qu une stratégie delta-gamma-neutre peut constituer une autre possibilité. Cette stratégie conduit également à une position plus ou moins sans risque qui doit être toutefois gérée de façon dynamique. En utilisant les puts avec un prix d exercice de 3'600 et les calls avec un prix d exercice de 3'800, combien de puts et de calls devez-vous acheter/vendre initialement de sorte à atteindre une couverture delta-gamma-neutre de son portefeuille? Quels sont les coûts initiaux de cette stratégie protectrice? (Indication : votre assistant vous dit que 3'993 puts feront l affaire. Vérifiez!) a) Le prix du future est égal au prix du spot additionné de la «base». La base est le coût de portage : taux sans risque (r) moins taux de dividendes (y) L échéance des deux futures est dans 208 jours. ( r y) ( T t ) F = S e Pour le DAX : 3783 = e (r-y)(208/360) D où r-y = 3.25% Anthony Penel 5/11

6 Pour l EuroStoxx : 2667 = e (r-y)(208/360) D où r-y = 2.75% La différence entre les deux est le taux de dividende versé : 0.50% Il n y a pas d arbitrage : les modes de calculs de chaque indice sont différents, mais si on recalculait un EuroStoxx avec la même typologie «total return» que le DAX, on trouverait la même base. Dit autrement, la base est plus élevée sur le DAX car le taux de dividende est déjà dans le prix spot de l indice, tandis que l EuroStoxx ne l intègre pas à l indice il faut donc l intégrer dans le coût de portage. b) exposition à couvrir = beta x actif net = 1.2 x 10M = 12M Couverture en EUR du futures DAX : 3783 x 25 = Nombre de contrats à vendre : 12M / = 127 (ou application bête et méchante de la formule du formulae!!!) c) parité call-put : C P = S K.e -rt d où C = S K.e -rt + P Put Strike (K) 3700 Sous-jacent (S) = Prix théorique du call : C = e x208/ = Proche du prix de marché de : la relation est vérifiée (pas d arbitrage possible) En utilisant des options, on reproduit une vente synthétique de futures. Il faut combiner l achat d un put et la vente d un call. (note : seul l indice DAX est à 25 EUR du point ; sans autre précision, les options sont à 1 EUR du point) Exposition du portefeuille : 1.2 x 10M = 12M Chaque option représente un indice à à 1 EUR du point, soit EUR Nombre d options : 12M / = 3232 options Achat de 3232 puts pour : 3232 x = Vente de 3232 calls pour : On touche donc EUR (qui correspondent à l aspect trésorerie de la relation de parité call-put). La position n est pas complètement sans risque car les betas des titres composant le portefeuille peuvent évoluer (ce ne sont que des betas du passé) ; on couvre le risque de marché (systématique), mais pas le risque spécifique. d) l utilisation du put 3600 (delta de ) ferait baisser l exposition au marché du portefeuille de point pour 1 point d indice de sensibilité à l indice. Or, le portefeuille à une sensibilité (beta) de 1.2 ; donc 1.2 x = Pour un portefeuille de 10M : x 10M = à céder en titres du portefeuille. Anthony Penel 6/11

7 Pour réaliser la même chose avec les futures : Le coût de portage passe à 3.23% contre 3.25%. ( r y) ( T t ) Le nouveau prix du futures est donc F = S e = e /360 F = Chaque future correspond en EUR à : x 25 = EUR Pour vendre l équivalent de EUR, il faut donc vendre : / = 45 contrats futures. Avec les futures, on ne couvre que le risque systématique du portefeuille, tandis qu en vendant des titres en direct, on s allège également d une partie du risque spécifique du portefeuille. Si la date d échéance du future ne correspond pas précisément à celle de la couverture souhaitée, on supporte également un risque. e) il faut à la fois neutraliser le delta et le gamma. Le delta des options peut être neutralisé avec d autres options ou avec des futures (delta proche de 1 : prix futures / prix spot). Le gamma ne peut être neutralisé qu avec d autres options (un future ou un sous-jacent a un gamma de 0). Pour calculer un delta-gamma hedge, on commence toujours par calculer les quantités pour obtenir un gamma de 0. On calcule ensuite le delta résiduel, qu on neutralise si besoin avec des futures (note : le delta de l option change de sens lorsqu on la vend / le gamma est toujours positif pour une option call ou put achetée, et toujours négatif lorsqu elle est vendue). Une option correspond à un indice de à 1EUR du point. le delta en EUR d un achat de 3993 puts est de : 3993 x x = le gamma en EUR d un achat de 3993 puts est de : 3993 x x = On commence par neutraliser les EUR de gamma avec les calls Le gamma unitaire est de ; soit Nc le nombre de calls à traiter. On veut : Nc x x = On annule donc bien le gamma des puts D où Nc = (vente de calls) Le delta de ces calls est de : x x = Le delta global de la position est de : = Le portefeuille de la cliente est exposé à hauteur de : 1.2 x 10M = On a donc bien (à quelques EUR près) annulé l exposition du portefeuille (delta global options + portefeuille = 0) et ajusté le gamma à 0 (donne plus de stabilité à la couverture). Le coût initial correspond à l achat des puts et la vente des calls : -(3 993 x 179) + (3455 x ) = EUR perçus lors de l initiation de la couverture. Anthony Penel 7/11

8 Exercice 09/03 #3 a) Étudiez les informations ci-dessous relatives aux options sur le titre HPCL Ltd au National Stock Exchange en Inde, le 29 mars 2003: Sous-jacent Put/Call Prix d exercice (en Roupies) Prime (en Roupies) Echéance Positions ouvertes HPCL call mai HPCL put mai Ce jour là, le titre HPCL s échangeait à 295 Roupies. Le taux d intérêt simple sans risque s élevait à 7% l an et l écart-type des rendements du titre à 12%. L Indian National Stock Exchange ne traite actuellement que des options de type européen. Par convention, nous utiliserons 1 année = 360 jours pour toutes les questions de l exercice a). a1) Les primes des options call et put pour un prix d exercice de 300 sont-elles conformes à la relation de parité put-call? Expliquez votre réponse à l aide d un raisonnement chiffré approprié. a2) Supposez que l option put avec un prix d exercice de 300 soit surévaluée. Expliquez comment des arbitragistes peuvent en tirer profit et calculez le profit immédiat qu ils peuvent en tirer. a3) Supposez que le 29 mars 2003, l investisseur détienne une position à découvert de 100 titres HPCL. Combien d options call au prix d exercice de 300 roupies devrait-il vendre ou acheter pour obtenir un portefeuille delta-neutre à cette date? (Note : vous pouvez utiliser le tableau 2.3, page 23, du fascicule de formules.) a4) En quoi une couverture delta-gamma diffère-t-elle d une couverture delta-neutre? Quels sont les avantages d'une couverture delta-gamma? a5) Mi-mai 2003, un tribunal doit rendre sa sentence sur un litige touchant la société. Si celle-ci gagne, le titre pourrait enregistrer une hausse substantielle ; il pourrait également chuter sensiblement si elle perd le procès. Quelle est la stratégie à base d options que pourrait adopter un spéculateur dans une telle situation? Expliquez votre réponse. a6) Quels sont le profit maximum, la perte maximum et le cours d équilibre (break-even) pour la stratégie mentionnée au point a5) ci-dessus? b) Étudiez les données suivantes provenant du Chicago Mercantile Exchange et relatives aux échanges de contrats à terme sur euros le 18 mars Par convention, 1 année = 360 jours pour toutes les questions de l exercice b). Echéance Ouverture Plus haut Plus bas Dernier Règlement (settle) 18 juin sept déc Anthony Penel 8/11

9 La parité actuelle du dollar est de USD pour un EUR. Les taux d intérêt simples sans risque à 3 mois pour l EUR et l USD s élèvent respectivement à 1.45% et 1.28% (en valeur annualisée). Le montant de chaque contrat à terme s élève à EUR b1) En utilisant le taux de règlement à la date du 18 mars 2003 pour les contrats à terme à échéance au 18 juin, calculez les bénéfices d arbitrage disponibles en commentant leur origine. b2) Est-il toujours possible d exploiter les opportunités d arbitrage apparentes identifiées ci-dessus dans la question b1)? Justifiez votre réponse. c) Les cours ci-dessous sont les cours des contrats à terme sur le blé cotés au Chicago Board of Trade le 15 avril Par convention, 1 année = 360 jours pour toutes les questions de l exercice c). Echéance Ouverture Plus haut Plus bas Clôture Règlement Mai ½ ½ Juillet ½ 283¼ Sept ½ 289½ 290½ 290½ Les cours sont libellés en cents par boisseau de blé, et la quantité de blé sur laquelle porte chaque contrat s élève à boisseaux. Le taux d intérêt à court terme sans risque est actuellement estimé à 1.5% (en valeur annualisée), et le cours au comptant par boisseau de blé s élève à 284 cents. Le coût de l entreposage pour un mois s élève à 10 cents pour 5000 boisseaux. Pour répondre aux questions ci-dessous, vous pouvez prendre pour hypothèse que la date de livraison pour le contrat juillet 2003 est le 15 juillet. c1) Si le cours du contrat de juillet 2003 est correct, (cours de clôture au 15 avril 2003), quel est le rendement d opportunité (convenience yield) (en %) contenu dans le cours du contrat? c2) Supposez que vous êtes courtier en blé et que le 15 avril 2003, vous disposez de boisseaux de blé dans vos entrepôts. Combien de contrats à terme (futures) juillet 2003 achetez-vous ou vendez-vous ce jour-là pour protéger la valeur totale de votre blé contre des variations instantanées du cours du blé? a1) La parité call-put avec les intérêts simples : C P = S K/(1+r.t) D où le prix théorique du Call : C = S K/(1+r.t) + P = /(1+0.07*60/360) C =13.96 Or, le prix de marché est de 12 : la parité n est pas respectée ; il existe donc une possibilité d arbitrage. a2) si le Put marché est surévalué, il faut le vendre, et pour se couvrir, vendre un Put synthétique reconstitué via la parité call-put : on empoche alors la différence entre le prix théorique, et le prix de marché surévalué. Via la parité : P = C S + K/(1+r.t) Anthony Penel 9/11

10 Un put synthétique acheté est la combinaison d un achat de call, d une vente du sous-jacent, et du placement du strike au taux r sur la période t. vente du put marché achat du call marché vente de l action +295 placement de 300/(1+0.07x60/360) TOTAL Au jour de l initiation de l opération, on perçoit donc immédiatement Les opérations mises en place s annulent parfaitement le jour de l échéance (arbitrage sans risque). a3) il faut calculer le delta du call 300 mai 03. Dans la formule de Black & Scholes, le delta est le N(d1) 2 ln(s/ X) + (r + 0.5σ ) τ Avec d1 = σ τ d1 = ln(295/300) + ( ²)x2/12 = x (2/12) avec la table de loi normale : N(-0.08) = 1 N(0.08) = = Avec un delta de , combien faut-il d options pour annuler le delta des actions? Delta d une action à l achat : +1 Pour une position vendeuse de 100 titres, le delta de la position est : -100 x 1 = -100 Soit Nc le nombre de calls : Nc x = 0 D où Nc = +214 Il faut donc acheter (signe +) 214 calls 300 mai03 a4) une couverture delta-gamma couvre mieux le portefeuille contre les mouvements de l action sous-jacente. Le delta est une vitesse, le gamma est une accélération : on a amené les deux à zéro, d où une plus grande stabilité que quand seule la vitesse est nulle à l instant t, mais qu il y a une accélération dans le montage. Pour effectuer une couverture en delta-gamma, il faut utiliser en plus de l option initiale, une autre option sur le même sous-jacent. a5) on ignore le sens que prendra l action : il faut une stratégie qui permette de gagner à la hausse (comme avec un call) ou à la baisse (comme avec un put). La stratégie à mettre en œuvre est un straddle (encore appelé stellage) : achat d un call et achat d un put sur la même échéance et le même strike (ici mai 2003, strike 300). Si le cours baisse, c est la partie put de la stratégie qui fera gagner, s il monte, ce sera le call. Si stabilité du cours, on perd les deux primes payées ( =27.5) : situation défavorable. Anthony Penel 10/11

11 Le profil de gain à l échéance (payoff) : a6) perte maximale : perte des primes payées = Elle intervient à un cours de 300 EUR à l échéance. Points neutres : à prime et 300 prime ; soit et Gain potentiel : illimité!!! b1) théorie «covered interest rate» : F t,t / S t = (1 + R USD t,t) / (1 + R EUR t,t) Le prix du futures devrait donc être : F = x ( x 3/12) / ( x 3/12) = Le prix de marché est de : il y a donc un gain d arbitrage.. emprunter 100 USD à 1.28% pour 3 mois et les convertir en EUR au prix spot : 100 / = EUR. Placer ces EUR à 1.45% pour 3 mois : on récupérera vendre à terme 18 juin EUR à , donc contre USD le 18/06. récupérer le produit de placement en EUR de le convertir en USD via la vente à terme : USD. rembourser l emprunt de 100 USD : 100 x ( /4) = il reste donc = USD de gain d arbitrage pour 100 USD au départ. b2) non, en raison : - des coûts de transaction - des écarts de fourchette bid/ask sur chaque devise et chaque taux (4 fourchettes!) - liquidité du marché pour les gros volumes c1) pour mémoire : la détention d un future possède 2 avantages et un inconvénient par rapport à la détention du sous-jacent. - un avantage de trésorerie (pour tous les futures, financiers ou matières premières) - un avantage de stockage (pas de coût de stockage à payer sur une matière première) - mais supporte un rendement de convenance (Y) pour les matières premières En effet, détenir le sous-jacent est une source de stress en moins : pas de risque de rupture de stock, marchandise à disposition immédiate en cas de besoin inattendu plus tôt que prévu. D où : F = S.(1+r.t) + (coût stockage) (rendement convenance) Ici : 286 = 284.( x3/12) + (10 x 3) Y Y = Soit pour un prix spot de 284 : /284 = 10.23% c2) Nf = / (5 000 x ( /4) ) = -90 Il faut donc vendre 90 contrats pour couvrir les boisseaux. Anthony Penel 11/11